Slide 1

 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


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 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


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 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


Slide 4

 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


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 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


Slide 6

 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


Slide 7

 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


Slide 8

 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


Slide 9

 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


Slide 10

 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


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 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


Slide 12

 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


Slide 13

 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


Slide 14

 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


Slide 15

 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


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 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


Slide 17

 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


Slide 18

 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


Slide 19

 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.


Slide 20

 Assi cartesiani e rette ad essi parallele







Retta passante per l'origine
Equazione della retta in forma esplicita
Equazione della retta in forma implicita
Rette parallele – Rette perpendicolari
Fasci di rette
Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI

. . . . . .

Y

Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla.
Quindi possiamo concludere che l'equazione dell'asse delle ascisse è:

. . . . O. . . . . . .

y=0
X

Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle

ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla.
L'equazione dell'asse delle ordinate allora è:

x=0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti
del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è,
ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse
delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla.
Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico
dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Ogni punto dell'asse ha uguale
distanza dagli estremi A e B
del segmento.

A

M

B

Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad
esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI
y

I punti di una retta parallela all'asse x
hanno ascissa variabile, ma ordinata
costante. Se indichiamo con k tale
costante, l'equazione di tale retta è:

y=k

}

k

O

x

Mentre i punti di una retta parallela all'asse y hanno ordinata variabile ma
ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è:

x=h

y

O

x
h

RETTA PER L'ORIGINE
Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani
y

R
P
P'

Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi consideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che
indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determinare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '.
Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente uguali, e perciò possiamo scrivere:

r

Q

Q'

R'

x

R' R = Q' Q = P' P
O R'
O Q'
O P'

O

Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive
ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scrivere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di-

x1

x2

x3

re che in generale è:

Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse
di tutti i punti della retta è costante.

y
x

=m

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela
ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandezze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminuisce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) .
Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chiamato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo
delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m.
m=1/6

m=1/3
m=1
m=2
m=10
m=-10
m=-2

m=-1
Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto
con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

m=-1/3

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m,
tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x.
Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y.

m=2

m = 10
m =-10

m = -2
m=1
m = -1

Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e
terzo quadrante che ha equazione y

= x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del
secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'asse x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0.
Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla
per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0.

Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente angolare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della retta che ha ascissa 1.
Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a
90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente
angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o negativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito.
Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per
m =∞

Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori
di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè,
come si suol dire, tende a +∞.

A(1;m)
A(1;m)

A(1;m)

A(1;m)

Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a
90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume
valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a
meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta)
assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

A(1;m)
A(1:m)

A(1;m)
A(1;m)

Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta
passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = ∞

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante
per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di
una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché
le equazioni di tale traslazione sono:

{

x'=x
y'=y+q
y

cioè

{

x=x'
y=y'–q

y=mx+q
y=mx

y=mx+q

q

v (0 ; q )
O

, l'equazione della retta
generica possiamo ottenerla sostituendo ad
x
x e ad y
y–q
nell'equazione y = m x.
Si ottiene così l'equazione:

x

Pertanto si può concludere che

y=mx+q
è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse
y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore
reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.
Vediamo qual è il si gnificato di q .
Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata
del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y.
Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine.
y

(0;q)Q

q = ordinata all'origine
O

x

Significato di m quando la retta non passa per l’origine
Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo
qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei
cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci orizzontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di
tante unità quante indicate dall’incremento della y.
y
incremento y
y
m=
=
incremento x
x
x

P
P
P
I triangoli
sono simili

Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una
certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P
in una posizione precedente, possiamo scrivere:

2

m=

1

x

y

y2 – y1
x2 – x1

incremento y
incremento x

Cioè, il coefficiente angolare di
una retta si può ottenere come
rapporto fra la differenza delle
ordinate e delle ascisse di due
punti qualsiasi della retta.

Se m > 0 la retta è crescente

Se m < 0 la retta è decrescente

Se m = 0 la retta è parallela
all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA
Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma:

ax+by+c=0
Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha:

y

ax
b

c
b

Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b,
diventa del tipo: y

= m x + q ( equazione di una retta generica ).

Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione
di una retta generica del piano espressa però in forma implicita.
In tale equazione il coefficiente angolare è:

m=-a/b
e l’ordinata all'origine:

q=-c/b

Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene
l'equazione di una retta passante per l'origine.

Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a,
che è del tipo x = h.
Se è

a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio-

del tipo y = k.
b=0
c=0
a=0

Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale
in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele
all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè
l’equazione dell’asse x.
y

O

x

Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè
y
l’equazione dell’asse y.

O

x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’,
deve essere:

m = m’

y = mx + q
y = mx + q’
Esempio: y = 3x + 1
y = 3x + 2

Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare
l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè:

m = -1/ m’

y = mx + q
Esempio: y = 5x +1
y = (-1/5)x +3

y = (-1/m)x + q’

L’equazione del fascio di rette è:

y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0
dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio

oppure:
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa,
possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)
y2 – y1
m=
x2 – x1
Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione
y – y1 =

y2 – y1
x2 – x1
m

(x - x1)

che nel caso anche y = y1 possiamo
scrivere nella forma:

y – y1
=
y2 – y1

x – x1
x2 – x1

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si
è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa
ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y

= k.