Transcript F4_Leccion2_1
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FUERZAS Y MOVIMIENTO
Descripción del movimiento
Física y Química 4º ESO: guía interactiva
para la resolución de ejercicios
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y Química
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Posición, desplazamiento y distancia recorrida
Velocidad media y aceleración media
Gráficas x-t y v-t
Movimiento rectilíneo uniforme
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Caída libre y lanzamiento hacia arriba
Índice
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y Química
15
16
17
18
19
20
21
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27
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Ayuda
En un movimiento rectilíneo, la posición (x) de un cuerpo se determina mediante su distancia
a otro cuerpo tomado arbitrariamente como sistema de referencia. En general, se utilizan los
signos + y – para diferenciar las posiciones situadas a la derecha y a la izquierda, respectivamente, del sistema de referencia.
El desplazamiento (Dx) se determina restando a la posición final (xf ) la posición inicial (xi):
(Dx) = xf – xi
El desplazamiento será positivo o negativo según el sentido del movimiento; en el primer caso
el móvil avanza de posiciones negativas a posiciones positivas; en el segundo caso, el móvil
se desplaza del lado positivo al lado negativo. Esto significa que el desplazamiento es una
magnitud vectorial, pues para su determinación se requiere un número, una dirección y un
sentido.
En el lenguaje ordinario, desplazamiento (Dx) es sinónimo de distancia recorrida (s), pero en
Física no siempre coinciden y esta es una de las dificultades añadidas que presenta el aprendizaje de las ciencias. Así, un ciclista que sale de su casa y que, al cabo de cierto tiempo,
vuelve al mismo sitio, tiene un desplazamiento cero, aunque su cansancio le indica que ha
recorrido unos cuantos kilómetros. El desplazamiento puede ser positivo, negativo o cero,
pero la distancia recorrida siempre es positiva y nunca cero si ha habido movimiento. La distancia recorrida se obtiene sumando todos los desplazamientos tomados en valor absoluto.
Sólo en los movimientos sin cambio de sentido coinciden el módulo del desplazamiento y la
distancia recorrida.
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Ayuda
La velocidad media de un móvil es el desplazamiento realizado en la unidad de tiempo. Se
calcula dividiendo el desplazamiento (Dx) por el tiempo invertido (t):
vm
Dx
t
En el S.I., la velocidad se mide en metros por segundo (m/s).
La aceleración media es la variación de la velocidad por unidad de tiempo. Se calcula dividiendo la variación de la velocidad (Dv) por el tiempo invertido (t):
am
Dv
t
En el S.I., la aceleración se mide en metros por segundo cada segundo, esto es, en metros
por segundo al cuadrado (m/s²).
En una gráfica posición-tiempo (x-t) podemos analizar los cambios de velocidad por medio
de los cambios de pendiente de la recta tangente a la curva en cada uno de sus puntos.
En una gráfica velocidad-tiempo (v-t) podemos analizar los cambios de aceleración por medio de los cambios de pendiente de la recta tangente a la curva en cada uno de sus puntos.
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Ayuda
Movimiento rectilíneo con velocidad constante (MRU)
Es el movimiento de un objeto que, en intervalos de tiempo iguales, realiza desplazamientos
iguales, es decir, su velocidad es constante. Este movimiento se califica como uniforme.
La gráfica x-t para este tipo de movimiento es una línea recta (pendiente constante). La
pendiente representa la velocidad del móvil.
La gráfica v-t, al ser la velocidad constante, será una recta horizontal.
Movimiento rectilíneo con aceleración constante (MRUA)
Es el movimiento de un cuerpo que, en intervalos de tiempo iguales, experimenta variaciones
iguales de velocidad, esto es, su aceleración es constante. Este movimiento rectilíneo se llama
uniformemente acelerado.
La gráfica x-t para este tipo de movimiento es una línea curva (pendiente variable). Más
concretamente, dicha curva es una rama de parábola.
La gráfica v-t ahora es una línea recta (pendiente constante). La pendiente representa la
aceleración del móvil.
La gráfica a-t, al ser la aceleración constante, será una recta horizontal.
Ecuaciones del movimiento
Posición
Desplazamiento
Velocidad
Aceleración
MRU
MRUA
x = xo + vt
x = xo + vot + ½ at2
Dx = vt
Dx = vot + ½ at2
Constante
v = vo + at
Nula
Constante
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Ayuda
Para resolver los ejercicios de caída libre y, en general, cualquier ejercicio de Física, es
conveniente disponer de algún procedimiento o algoritmo de resolución. El que se
presenta a continuación no debe entenderse como un conjunto de pasos que hay que
seguir de manera estricta y rutinaria, sino como una serie de reglas orientativas:
Dibujar un esquema detallado de la situación descrita en el enunciado del ejercicio.
Elegir un sistema de referencia y establecer, de acuerdo con el mismo, las condiciones
iniciales. Esta elección es arbitraria: sólo depende del que está haciendo el ejercicio.
Escribir las ecuaciones del MRUA para el caso particular que estamos estudiando.
Hacer los cálculos pertinentes.
Analizar los resultados obtenidos.
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1
Calcula el desplazamiento realizado por una bola que se mueve sobre el carril mostrado en la figura:
a) al pasar del punto A al B;
b) al pasar del punto B al D;
c) al pasar del punto B al C;
d) al pasar del punto D al A.
A
D
-50 cm -40 cm -30 cm -20 cm -10 cm
# Recuerda la definición de desplazamiento.
a) D x AB x B x A 30 ( 50 ) 80 cm
b) D x BD x D x B 20 30 50 cm
c) D x BC x C x B 50 30 20 cm
B
0
10 cm
20 cm
30 cm 40 cm
C
50 cm
# Analiza los resultados obtenidos.
Vemos que el signo del desplazamiento (+ ó -)
está relacionado con el sentido del movimiento
(hacia la derecha o hacia la izquierda).
Esto nos indica que el desplazamiento es una
magnitud vectorial.
d) D x DA x A x D 50 ( 20 ) 30 cm
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2
Un profesor de guardia se mueve, arriba y abajo, a largo de un pasillo rectilíneo. A partir
del aula de 6º G, recorre 10 m hacia la derecha, 15 m hacia la izquierda y 8 m hacia la
derecha. Si la puerta de dicha aula se toma como sistema de referencia, halla el
desplazamiento total y la distancia recorrida por el profesor.
# Dibuja un esquema con el movimiento del profesor.
-10 m
-5 m
6º G
5m
# Calcula el desplazamiento total.
Dx x f x i 3 m 0 3 m
# Calcula la distancia recorrida.
s = 10 m + 15 m + 8 m = 33 m
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10 m
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a) Oímos por la radio que el AVE se ha detenido en el km 300 de su trazado ferroviario cerca de una
dolina aparecida recientemente. ¿Nos están informando de la distancia recorrida por el AVE antes
de pararse o del lugar exacto donde ha ocurrido el suceso?
b) El cuentakilómetros del autobús urbano Almozara-Cementerio aumenta en 8 km en el recorrido de
ida y 10 km en el recorrido de vuelta. Halla el desplazamiento del autobús y la distancia recorrida
en un trayecto completo.
# Antes de contestar al apartado a), ¿distingues entre posición, desplazamiento y
distancia recorrida?
Nos están informando de la posición en la que se encuentra el AVE,
independientemente de la distancia que haya podido recorrer.
# Contesta al apartado b).
El desplazamiento del autobús es cero, ya que vuelve al punto de partida.
La distancia recorrida es de 18 km (8 km a la ida más 10 km a la vuelta).
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4
En algunos experimentos escolares, para estudiar el movimiento de un cuerpo se une al mismo una cinta
de papel que pasa por un cronovibrador. El cronovibrador deja una marca en el papel a intervalos de
tiempo iguales; como la cinta de papel está unida al móvil, el conjunto de marcas nos indica las
posiciones sucesivas del móvil. Más abajo se muestra una de esas cintas, en la que sabemos que el
tiempo transcurrido entre marca y marca es de 0,02 s y que la escala graduada puede estimar hasta 1
mm. Determina las posiciones del móvil y calcula su velocidad media en intervalos de 0,02 s.
t=0s
x = 0 cm
1 cm
Desplazamiento:
Dx (m)
Velocidad media:
vm (m/s)
Tiempo: t (s)
Posición: x (m)
0,00
0,000
0,02
0,012
0,012
0,6
0,04
0,032
0,020
1,0
0,06
0,060
0,028
1,4
0,08
0,082
0,022
1,1
1,00
0,118
0,036
1,8
I.E.S. Élaios
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5
En los Campeonatos Mundiales de Atletismo de Tokio, celebrados en el verano de 1991, el
atleta Carl Lewis ganó la prueba de 100 m. La tabla siguiente muestra los tiempos de
Lewis cada 10 m. Completa la tabla y calcula la velocidad media cada 10 m de carrera.
¿En qué intervalo corrió más rápidamente?
Se movió más deprisa
en el intervalo 70-80 m.
Posición: x (m)
Tiempo: t (s)
Variación
temporal: Dt (s)
Velocidad media:
vm (m/s)
10
1,88
1,88
5,32
20
2,96
1,08
9,26
30
3,88
0,92
10,87
40
4,77
0,89
11,24
50
5,61
0,84
11,90
60
6,46
0,85
11,76
70
7,30
0,84
11,90
80
8,13
0,83
12,05
90
9,00
0,87
11,49
100
9,86
0,86
11,63
I.E.S. Élaios
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6
Durante un viaje a Teruel por una carretera rectilínea el cuentakilómetros de un coche
marca las velocidades indicadas más abajo. Calcula el valor de la aceleración media en
intervalos de 0,2 h. ¿En qué intervalo temporal la aceleración media es negativa? ¿Qué
significa?
Tiempo:
t (h)
Velocidad:
v (km/h)
0,0
0
0,2
0,4
0,6
40
72
# Recuerda, antes de contestar, cómo se calcula la
aceleración media.
a m ( 0 0,2 h )
a m ( 0,4 0,6 h )
120
1,0
1,2
100
125
125
a m ( 0,8 1,0 h )
a m (1,0 1,2 h )
40 0
0,2
a m ( 0,2 0,4 h )
a m ( 0,6 0,8 h )
0,8
v ( 0,2 ) v ( 0 )
0,2
v ( 0,4 ) v ( 0,2 )
160
km
h
120 72
0,2
240
0,2
v ( 0,8 ) v ( 0,6 )
0,2
100 120
125 100
v (1,2 ) v (1,0 )
100
125
125 125
0,2
km
km
h
0
2
km
h
2
2
km
h
0,2
2
h
0,2
0,2
I.E.S. Élaios
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2
0,2
v ( 0,6 ) v ( 0,4 )
0,2
km
h
72 40
0,2
v (1,0 ) v ( 0,8 )
200
2
Significa que en
dicho intervalo
el valor de la
velocidad ha
disminuido.
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En una competición de atletismo, una estudiante del Instituto obtuvo, en el transcurso de
una carrera de 100 m, los resultados indicados en la siguiente gráfica posición-tiempo.
a) Determina en qué intervalo temporal la velocidad es menor.
b) ¿En qué intervalo espacial se mueve más deprisa?
7
x (m )
120
# Recuerda cuál es el significado de la pendiente
de la tangente a la curva en un gráfico x-t y
contesta al apartado a).
III
100
IV
80
II
Si trazamos las tangentes a la curva en los
cuatro tramos que podemos distinguir en la
misma, vemos que tiene menos inclinación
(pendiente) la correspondiente al tramo I;
por tanto, en ese tramo, de 0 a 3 s, la velocidad es menor.
60
40
20
I
0
0
1
2
3
4
5
6
t (s)
7
8
9
10
11
12
# Contesta al apartado b).
La tangente del tramo III es la que tiene la
mayor pendiente; por consiguiente, de 8,4 a 9 s
es cuando la estudiante se mueve más rápidamente.
I.E.S. Élaios
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8
Indica de manera razonada cómo varía, a medida que transcurre el tiempo, la velocidad de
tres móviles cuyas gráficas posición-tiempo (x-t) se muestran a continuación.
x (m
x )(m)
x (m ) 80
80
xx (m
(m))
4,5
4,5
4
4
60
60
3,5
3,5
50
50
3
3
30
40
40
2,5
2,5
25
30
30
2
2
20
20
1,5
1,5
10
10
1
70
70
0,5
00
0
-10 0
11
22
Hemos trazado las tangentes a la
curva en los instantes 1, 2 y 3 s.
Vemos que sus pendientes son cada
vez mayores; por lo tanto, la
velocidad está aumentando.
30
25
20
20
15
10
1
0,5
0
44
0
tt (s)
(s)
3535
15
0
33
4040
0
55
1
1
10
5
5
0
6
6
02
0
02
t (s)
3
2 3
2
t (s)
En este caso, hemos trazado las
tangentes a la curva en los
instantes 0’1, 0’5 y 1 s. Vemos que
sus pendientes son cada vez
menores; por lo tanto, la velocidad
está disminuyendo.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y Química
4
4
4 4
6 5
8
5
6
t (s)
8
10
10
12
12
t (s)
Ahora la tangente a la “curva”
coincide con la propia recta. Como
su pendiente es constante, la
velocidad también es constante.
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La siguiente gráfica velocidad-tiempo (v-t) corresponde al viaje a Teruel citado en un ejercicio anterior.
a) ¿En qué tramo la aceleración es máxima?
b) ¿Cuándo la aceleración es negativa?
c) ¿Existe algún tramo en el que la aceleración sea nula? ¿Cuál?
9
# Recuerda cuál es el significado de la pendiente
de la tangente a la curva en un gráfico v-t y
contesta al apartado a).
v (km /h)
III
140
V
120
VI
Si trazamos las tangentes a la curva en los
seis tramos que podemos distinguir en la
misma, vemos que tiene más inclinación
(pendiente) la correspondiente al tramo III;
por tanto, en ese tramo, de 0,4 a 0,6 h, la
aceleración es máxima.
100
II
IV
80
I
60
40
20
# Contesta al apartado b).
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
t (h)
1,2
1,4
1,6
La aceleración será negativa cuando lo sea
la pendiente de la tangente; eso ocurre en el
tramo IV: de 0,6 a 0,8 h, aproximadamente.
# Contesta al apartado c).
La aceleración es nula en el tramo VI: de 1,2 a 1,4 h, ya que entonces
la tangente es horizontal y su pendiente nula.
I.E.S. Élaios
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10
Un coche, que se está moviendo por una carretera rectilínea con una velocidad de 80 km/h, está dando
alcance a una motocicleta que se mueve en el mismo sentido a 40 km/h. Los dos móviles están
inicialmente separados una distancia de 60 km.
a) Escribe las ecuaciones posición-tiempo de ambos móviles.
b) Dibuja, en el mismo sistema de ejes, las dos gráficas x-t.
c) ¿En qué posición y en qué instante el coche alcanzará a la motocicleta?
# Elige un sistema de referencia
y contesta al apartado a).
# Contesta al apartado b).
Si tomamos como referencia la posición
inicial del coche, las ecuaciones son:
180
Coche:
Motocicleta:
120
140
x (km )
xC = 80t
xM = 60 + 40t
160
100
80
60
40
# Contesta al apartado c).
20
0
Del análisis de las gráficas x-t se deduce
que el coche alcanza a la motocicleta en
la posición 120 km, 1,5 h después de
que el coche inicie su movimiento.
0
0,5
1
1,5
t (h )
Coc he
Motoc ic leta
A este resultado también se llega resolviendo el sistema formado por
las ecuaciones: xC = 80t ; xM = 60 + 40t. Cuando el coche alcanza a
la motocicleta se cumple que xC = xM, es decir,
80t = 60 + 40t; 40t = 60; t = 60/40 = 1,5 h. Sustituyendo este valor
en una de las ecuaciones anteriores, se obtiene: xC = xM = 120 km.
I.E.S. Élaios
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2
2,5
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La posición, en función del tiempo, de un cuerpo que se mueve en línea recta está dada por la siguiente
gráfica.
a) ¿En qué intervalo de tiempo se desplazó el cuerpo en el sentido positivo del eje X, es decir, de
izquierda a derecha? ¿Y en el sentido negativo del eje X, esto es, de derecha a izquierda?
b) ¿En qué instantes, además del t = 0, pasa el móvil por la posición x = 0? ¿En qué sentido se está
moviendo en dichos instantes?
11
# Para contestar al apartado a) analiza los
cinco tramos de la gráfica x-t.
12
10
8
x (m )
6
4
2
0
-2 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13
-4
-6
t (s)
# Contesta al apartado b).
De 0 a 1 s: el valor de la posición está
aumentando; el cuerpo se mueve de
izquierda a derecha.
De 1 a 3 s: el cuerpo está parado en la
posición x = 10 m.
De 3 a 6 s: la posición pasa de x = 10 m
a x = -5 m; el cuerpo se mueve de
derecha a izquierda.
De 6 a 11 s: el cuerpo está parado en
la posición x = -5 m.
De 11 a 12 s: la posición pasa de x = -5 m
a x = 0; el cuerpo se mueve de izquierda
a derecha.
El cuerpo pasa por x = 0 en los instantes
t = 5 s (de derecha a izquierda ) y t = 12 s
(de izquierda a derecha)
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Slide 18
Elabora la gráfica “posición-tiempo” correspondiente al movimiento descrito en la siguiente historieta:
# Analiza cada uno de los tramos y
realiza los cálculos pertinentes.
350
300
250
Durante los primeros 50 s la posición pasa de x = 0 a x = 300 m.
200
150
x (m)
12
Pedro sale de su casa en bicicleta en dirección al huerto del tío Jorge con el propósito de merendar gratis.
Manteniendo una velocidad constante de 6 m/s llega al huerto en 50 s; los siguientes 60 s los emplea en coger fruta.
Al sentirse sorprendido, toma de nuevo la bicicleta e inicia el movimiento de regreso con una velocidad constante
de 10 m/s e, intencionadamente, se pasa de su casa 100 m; deja la “bici” y se oculta tras unos matorrales, donde
permanece escondido 40 s. Al ver que no le persiguen, vuelve a su casa con una velocidad de 8 m/s.
100
Permanece 60 s, hasta el instante
t = 110 s, en x = 300 m.
50
0
-50 0
20
40
60
80 100 120 140 160 180 200 220 240
-100
-150
t (s)
Recorre 400 m de “vuelta” a 10
m/s, por lo que invierte 40 s más,
hasta la posición x = -100 m.
Permanece 40 s, hasta el instante
t = 190 s, en x = -100 m.
Recorre los últimos 100 m, hasta
la posición x = 0, a 8 m/s, por lo
que invierte 12,5 s.
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13
a) Describe los movimientos cuyas gráficas posición-tiempo se muestran a continuación.
La descripción debe ser cualitativa y cuantitativa.
b) Elabora las gráficas velocidad-tiempo asociadas a dichos movimientos.
30
40
35
20
30
15
25
x (m )
x (m )
25
10
5
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
0
5
0
1
2
3
4
5
6
t (s )
t (s )
# Contesta al apartado
a).
b).
15
16
10
14
El móvil 12
se encuentra inicialmente en la
10
posición x = 10 m y, durante 2 s, se mueve
8
a 5 m/s hasta
llegar a la posición x = 20 m.
6
Cambia bruscamente
su velocidad a 15 m/s,
4
velocidad2 que mantiene durante 1 s, hasta
0
la posición
x = 35 m. Finalmente, permanece
0
1
2
3
4
5
en reposo en dicha posición.
v ( m /s)
v ( m /s)
5
El móvil se encuentra
inicialmente en la
0
posición x = 0 y,
2,5
mueve
- 5 durante
0
1
2 s, se
3
4
5
10
a 10 m/s hasta llegar a la posición x = 25 m.
- 15
Después, durante
1 s, permanece en dicha
- 20
posición. Finalmente,
durante 1 s más,
- 25
vuelve al punto- 30de partida con una velocidad
t (s )
de -25 m/s.
t (s )
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Slide 20
14
Un móvil, que se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme, ocupa las posiciones x1 = 5 m y x2 = 17 m
en los instantes t1 = 4 s y t2 = 10 s, respectivamente. Determina:
a) la velocidad del móvil;
b) la ecuación de la posición;
c) la posición en el instante t = 5 s.
# Contesta al apartado a).
# Contesta al apartado b).
Teniendo en cuenta que, en este movimiento,
la velocidad media coincide con la velocidad
instantánea,
La ecuación de la posición tiene la forma:
x = xo + vt, en la que hay que determinar
los valores de xo y de v. Como v = 2 m/s,
sólo hemos de calcular el valor de la posición inicial; para ello, se dispone de dos
parejas de datos. De la primera de ellas:
5 = xo + 2·4, xo = -3 m. Puedes comprobar que se obtiene el mismo resultado con
la otra pareja de datos. Por lo tanto, la
ecuación de la posición es:
v vm
Dx
Dt
17 5
10 4
12
2 m s
6
# Contesta al apartado c).
x = -3 + 2t
Al sustituir en la ecuación de la posición el
valor del tiempo se obtiene: x = -3+2·5= 7 m.
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15
La gráfica x-t de un móvil es la que se muestra más abajo.
a) Determina las posiciones del móvil en los instantes t1 = 1 s y t2 = 4 s.
b) Calcula su velocidad.
c) Determina la ecuación de la posición.
# Contesta al apartado a).
x (m )
25
En la gráfica x-t observamos que, en los instantes
1 y 4 s, las posiciones son -4 m y 14 m, respectivamente.
20
15
10
5
# Contesta al apartado b).
0
-5 0
1
2
3
-1 0
-1 5
t (s )
4
5
6
La velocidad coincide con pendiente de la recta
en la gráfica x-t. Para su cálculo podemos utilizar
los puntos citados en el apartado anterior:
v
Dx
Dt
14 ( 4 )
4 1
# Contesta al apartado c).
La ecuación de la posición tiene la forma: x = xo + vt, en la que hay que
determinar los valores de xo y de v. Como v = 6 m/s y el valor de la
posición inicial es: xo = -10 m, la ecuación de la posición es: x = -10 + 6t.
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18
3
6 m s
Slide 22
16
El tío Juan sale de su pueblo, a las 8 horas de la mañana, con una velocidad constante de
9 km/h. Dos horas después, y del mismo pueblo, su cuñado sale con una velocidad
constante de 11 km/h con el propósito de alcanzarlo. ¿A qué hora y a qué distancia del
pueblo lo logrará?
# Lo primero que puedes hacer es transformar la diferencia en el tiempo que tienen los dos
movimientos en una diferencia espacial. Al mismo tiempo debes elegir un sistema de
referencia y escribir las ecuaciones de la posición de los dos “atletas”.
Cuando el cuñado inicia su movimiento, a las 10 horas de la mañana, el tío Juan ha recorrido ya
18 km. Si tomamos como referencia el pueblo y suponemos que el tiempo empieza a contar a
las 10 h, las ecuaciones de la posición son:
Tío Juan:
xJ = 18 + 9t
Cuñado:
xC = 11t
# Realiza ahora los cálculos pertinentes.
Cuando el cuñado alcanza al tío Juan se cumple que sus posiciones coinciden: xJ = xC; por lo
tanto, 18 + 9t = 11t; 18 = 2t y t = 18/2 = 9 horas. El encuentro tiene lugar 9 horas después de
haber salido el cuñado, es decir, a las 7 horas de la tarde.
Para hallar la distancia al pueblo, sustituimos el valor de t en cualquiera de las ecuaciones de la
posición: xJ = xC = 99 km.
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La gráfica representa la posición, en función del tiempo, de los cuerpos A y B que llevan movimientos
rectilíneos.
a) Describe de la forma más completa posible –esto es, incluyendo datos numéricos- cada uno de los
movimientos.
b) Indica en qué instante ambos cuerpos coinciden en la misma posición. Utiliza dos procedimientos:
algebraico y gráfico.
17
# Contesta al apartado a).
120
100
El cuerpo A, que se encuentra inicialmente en la
posición -25 m, se está moviendo con una velocidad
de 12,5 m/s (pendiente de la recta azul).
El cuerpo B, inicialmente situado en la posición
40 m, lleva una velocidad de -3,75 m/s (pendiente
de la recta magenta).
80
x (m )
60
40
20
0
-20
0
2
4
6
8
10
# Contesta al apartado b).
-40
t (s)
Móvil A
Móvil B
Se cumple que: xA = -25 + 12,5t y xB = 40 – 3,75t.
Coinciden en la misma posición cuando xA = xB, es
decir, -25 + 12,5t = 40 – 3,75t; 16,25t = 65; t = 4 s.
Llevando este resultado a cualquiera de las ecuaciones
de la posición, se obtiene que x = 25 m.
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Slide 24
En la figura observamos la gráfica posición-tiempo de un ciclista que se mueve en línea recta.
a) Describe cómo varía la velocidad del ciclista a medida que transcurre el tiempo.
b) ¿En qué intervalos de tiempo el movimiento es uniforme?
c) Halla la velocidad máxima alcanzada por el ciclista.
18
# Contesta al apartado a).
x (k m )
4
Durante el cuarto de hora inicial, al ser la gráfica x-t
una curva, vemos que la velocidad está aumentando.
En el siguiente cuarto de hora, al ser la gráfica x-t
una recta, la velocidad permanece constante. En la
siguiente media hora el ciclista está en reposo. En el
último cuarto hora el ciclista vuelve al punto de partida: durante 0,1 h con una velocidad constante y
durante 0,15 h con otra velocidad también constante.
3 ,5
3
2 ,5
2
1 ,5
1
0 ,5
0
0
0 ,2 5
0 ,5
0 ,7 5
1
1 ,2 5
1 ,5
t (h)
# Contesta al apartado c).
# Contesta al apartado b).
El movimiento es uniforme en los intervalos:
de 0,25 h a 0,5 h, de 1 h a 1,1 h y de 1,1 h
a 1,25 h.
La velocidad será máxima en los instantes en los que
la pendiente de la tangente a la gráfica también lo sea.
Eso ocurre en el intervalo de 1,1 h a 1,25 h, donde la
pendiente vale:
v
Dx
I.E.S. Élaios
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Dt
0 2,5
1,25 1,1
50
3
m/s
Slide 25
19
En el estudio experimental de un movimiento rectilíneo se ha obtenido los resultados abajo indicados.
a) Dibuja la gráfica velocidad-tiempo. ¿Se trata de un movimiento uniformemente acelerado? ¿Por qué?
b) Determina, mediante las ecuaciones del movimiento, el desplazamiento realizado por el móvil a los 7 s
de iniciado el movimiento.
t (s)
v (m/s)
0
-12
2
-2
4
8
6
18
8
28
10
38
# Contesta al apartado a).
v (m /s)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Se trata de un movimiento
uniformemente acelerado
ya que la velocidad es directamente proporcional al
tiempo y la gráfica v-t es
una recta.
Vemos que vo = -12 m/s y
que la aceleración (pendiente
de la recta) es:
a = 50/10 = 5 m/s²;
- 10
# Contesta al apartado b).
- 15
t (s)
La ecuación del desplazamiento es: Dx = vot + ½ at². Para t = 7 s, Dx = -12·7 + ½ 5·49 = 38,5 m.
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Slide 26
La gráfica v-t de la figura se refiere al movimiento de un cuerpo desde que se puso en
marcha el cronómetro hasta que fue parado, instante en el que marcaba 10 s. Halla el
desplazamiento del cuerpo en esos 10 s.
20
# Analiza cuántos movimientos podemos distinguir
en la gráfica v-t.
v (m /s)
16
14
De 0 a 4 s: movimiento rectilíneo uniforme con
v = 15 m/s.
De 4 s a 5 s: movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado con vo = 15 m/s y a = -15 m/s².
De 5 s a 10 s: movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado con vo = 0 y a = 2 m/s².
12
10
8
6
4
A1
2
45
15 67 ,5
2
A2
5 10
25
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
# Calcula ahora los desplazamientos en cada uno de los
tramos de la gráfica v-t.
t (s)
El desplazamiento también puede
calcularse como el “área bajo la curva”
en una gráfica v-t. En este caso, el
valor del desplazamiento coincide con
la suma de las áreas de un trapecio
(67,5 m) y de un triángulo (25 m).
Dx1 = vt = 15·4 = 60 m
Dx2 = vot +1/2 at² = 15·1 + ½ (-15)·1 = 7,5 m
Dx3 = vot +1/2 at² = 0 + ½ 2·5² = 25 m
El desplazamiento total es la suma de estos tres
desplazamientos parciales: 92,5 m.
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Slide 27
21
La siguiente gráfica velocidad-tiempo describe el movimiento rectilíneo de un ciclista.
Interprétala. Halla el desplazamiento y la distancia recorrida en 6 h.
# Analiza en qué tramos el movimiento es uniforme (MRU)
y en cuáles es uniformemente acelerado (MRUA).
v (km /h )
II
12
10
8
6
4
III
I
2
0
-2
0
1
2
3
4
5
IV
-4
6
7
V
MRU de 0,5 h a 1,5 h: v = 10 km/h
de 3 h a 5,5 h: v = -5 km/h
MRUA de 0 a 0,5 h: vo= 0 y a = 20 km/h²
de 1,5 h a 3 h: vo = 10 km/h y a = -10 km/h²
(en el instante t = 2,5 h, el
ciclista invierte el sentido del
movimiento)
de 5,5 h s 6 h: vo = -5 km/h y a = 10 km/h²
# Calcula ahora los desplazamientos en cada uno de los
tramos de la gráfica v-t.
-6
t (h )
# Determina la distancia recorrida.
El ciclista se mueve hacia la derecha durante
2,5 h y hacia la izquierda durante las 3,5 h
restantes. En dichos intervalos de tiempo
recorre 17,5 km y 15 km, respectivamente;
en total, 32,5 km.
DxI = vot +1/2 at² = 0 + ½ (20)·0,5² = 2,5 km
DxII = vt = 10·1 = 10 km
DxIII = vot +1/2 at² = 10·1,5 + ½ (-10)·1,5² = 3,75 km
DxIV = vt = -5·2,5 = -12,5 km
DxV = vot +1/2 at² = -5·0,5 + ½ (10)·0,5² = -1,25 km
El desplazamiento total es la suma de estos cinco
desplazamientos parciales: 2,5 km.
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Slide 28
22
Un motorista de tráfico circula con una velocidad de 20 m/s y observa que un conductor comete una
infracción. Sale en su persecución, para lo cual acelera con un ritmo constante de 0,5 m/s².
a) ¿Cuánto tiempo empleará el motorista en alcanzar una velocidad de 30 m/s?
b) Halla el desplazamiento del motorista en ese tiempo.
# Recuerda las ecuaciones de este movimiento y contesta al apartado a).
A partir de la ecuación de la velocidad podemos escribir:
t
vvo
a
30 20
0 ,5
20 s
# Contesta al apartado b).
Dx v ot
1
2
at ² 20 20
1
0 ,5 400 500 m
2
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Slide 29
Desde lo alto de un campanario de 20 m de altura, se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una
rapidez de 40 m/s. Se supone despreciable el rozamiento con el aire.
a) Calcula la posición y la velocidad del objeto en el instante t = 6 s.
b) ¿Qué altura máxima alcanza el objeto? ¿Qué tiempo emplea en lograrla?
c) Halla la velocidad del objeto cuando vuelve a pasar por el punto de lanzamiento y el tiempo total
empleado.
23
# Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento.
Y
De acuerdo con el sistema de
referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se
toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las
ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces:
yo = 20 m
vo = 40 m/s
v = 40 – 9,8t
y = 20 + 40t - 4,9t2
a = -9,8 m/s2
# Contesta al apartado a).
Sustituyendo en las ecuaciones del
movimiento t por 6,
v(6) = 40 -9,8·6 = -18,8 m/s
y(6) = 20 + 40·6 - 4,9·36 = 83,6 m
El signo – del primer resultado
indica que el objeto está bajando y
el valor de la posición significa que
se encuentra por encima del punto
de lanzamiento.
# Contesta al apartado b).
X
# Contesta al apartado c).
El punto de lanzamiento cumple la condición de que y = 20 m, por lo que:
20 = 20 + 40t – 4,9t2; 0 = 40t – 4,9t2; 0 = t(40 -4,9t), ecuación que tiene
dos soluciones: la evidente t = 0 y la que interesa ahora: t = 40/4,9 = 8,16 s.
La velocidad en dicho instante es: v = 40 – 9,8·8,16 = -40 m/s. Se concluye
que cuando el objeto vuelve al punto de lanzamiento se mueve con una velocidad de intensidad idéntica a la inicial, aunque de sentido contrario. También
vemos que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada.
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Cuando se alcanza la altura máxima
se cumple que la velocidad es nula,
cosa que sucede en un instante tal
que: 0 = 40 – 9,8t; t = 40/9,8 = 4,08 s;
por lo tanto,
ymax = 20 + 40·4,08 – 4,9·4,082 = 101,6 m
Slide 30
Se deja caer una piedra desde la boca de un pozo. Llega al fondo con una velocidad de
14,7 m/s de intensidad.
a) ¿Cuál es la profundidad del pozo?
b) ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al fondo del pozo?
24
# Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento.
Y
De acuerdo con el sistema de
referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se
toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las
ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces:
yo = ?
vo = 0
a = -9,8 m/s2
v = -9,8t
y = yo - 4,9t2
X
v = -14,7 m/s
# De acuerdo con la información
disponible, analiza qué apartado
debes contestar primero.
De la ecuación de la velocidad deducimos que:
-14,7 = -9,8t; t = 14,7/9,8 = 1,5 s, que es el
tiempo que tarda la piedra en llegar al fondo del
pozo.
En ese instante la posición de la piedra es y = 0;
por lo tanto, en la ecuación de la posición podemos escribir: 0 = yo – 4,9·1,52 = yo – 11, por lo
que la profundidad del pozo es: yo = 11 m.
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Slide 31
a) Desde una altura de 45 m, respecto al suelo, se deja caer un libro de Física y Química. Se considera
despreciable la influencia del aire. Halla la velocidad con que el libro llegará al suelo. ¿Cuánto tiempo
invertirá en dicho recorrido?
b) Repite el ejercicio suponiendo que el libro es lanzado verticalmente hacia abajo con una velocidad
inicial de 15 m/s.
25
# Dibuja un esquema, escribe las ecuaciones
del movimiento y contesta al apartado a).
# Dibuja un esquema, escribe las ecuaciones
del movimiento y contesta al apartado b).
Y
Y
De acuerdo con el sistema de
referencia, las magnitudes
vectoriales que apuntan
hacia arriba se toman con
signo + y las que señalan
hacia abajo con signo -. Las
ecuaciones asociadas a este
lanzamiento son, entonces:
yo = 45 m
vo = 0
a = -9,8 m/s2
X
v=?
t=?
v = -9,8t
y = 45 - 4,9t2
45
a = -9,8 m/s2
X
v=?
t=?
Cuando el libro llega al suelo se cumple que y = 0, es decir,
0 = 45 – 4,9t2;
t
yo = 45 m
vo = -15 m/s
3s
v = -15 - 9,8t
y = 45 -15t - 4,9t2
Cuando el libro llega al suelo se cumple que y = 0, es decir,
0 = 45 – 15t - 4,9t2, ecuación de 2º grado completa, cuyas
soluciones son:
4 ,9
t
La velocidad del libro en ese instante es:
v = -9,8·3 = -29,4 m/s
De acuerdo con el sistema de
referencia, las magnitudes
vectoriales que apuntan
hacia arriba se toman con
signo + y las que señalan
hacia abajo con signo -. Las
ecuaciones asociadas a este
lanzamiento son, entonces:
15
225 4 ( 4 ,9 ) 45
9 ,8
15 33 ,3
9 ,8
La velocidad del libro en el instante válido es:
v = -15 - 9,8·1,87 = -33,3 m/s
¡Comenta los resultados!
I.E.S. Élaios
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4 ,93
1,87
Slide 32
26
Desde una altura h se lanza verticalmente hacia abajo un cuerpo con una rapidez inicial de
5 m/s, invirtiéndose 6 s en llegar al suelo. Calcula el valor de h y la rapidez máxima que
alcanzará el cuerpo.
# Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento.
Y
yo = h = ?
vo = -5 m/s
v = -5 - 9,8t
y = h - 5t - 4,9t2
a = -9,8 m/s2
v=?
t=6s
De acuerdo con el sistema de referencia,
las magnitudes vectoriales que apuntan hacia
arriba se toman con signo + y las que señalan
hacia abajo con signo -. Las ecuaciones
asociadas a este lanzamiento son, entonces:
Debes perder el miedo a las
expresiones algebraicas y
trabajar con “letricas” como
si fuesen números. Fíjate en
las condiciones que cumple
la posición del cuerpo cuando
t = 6 s.
X
Cuando t = 6 s, se cumple que y = 0; llevando estas condiciones a la ecuación
de la posición, tenemos: 0 = h – 5·6 – 4,9·36; h = 206,4 m.
La rapidez máxima se alcanza cuando el cuerpo llega al suelo; por lo tanto,
la velocidad es: v = -5 -9,8·6 = -63,8 m/s. La rapidez vale: 63,8 m/s.
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Slide 33
27
a) Galileo lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una rapidez inicial de 29,4 m/s
¿Qué altura alcanzará (la piedra)?
b) ¿Experimentará la piedra el mismo desplazamiento en el primer segundo de subida que
en el último segundo? ¿Por qué?
# Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento.
Y
v=0
y=h=?
a = -9,8 m/s2
yo = 0
vo = 29,4 m/s
X
# Contesta al apartado a).
De acuerdo con el sistema de referencia,
las magnitudes vectoriales que apuntan hacia
arriba se toman con signo + y las que señalan
hacia abajo con signo -. Las ecuaciones
asociadas a este lanzamiento son, entonces:
Calculamos, en primer lugar, el tiempo
invertido por la piedra en subir.
En el punto más alto se cumple que
v = 0; por lo tanto, 0 = 29,4 - 9,8t;
t = 29,4/9,8 = 3 s.
v = 29,4 - 9,8t
y = 29,4t - 4,9t2
Sustituyendo este valor en la ecuación
de la posición, tenemos:
h = 29,4·3 – 4,9·9 = 44,1 m
# Contesta al apartado b).
Debido a que, a medida que la piedra asciende, se está moviendo más lentamente,
el desplazamiento en el primer segundo será mayor que en el último segundo de
subida. En cualquier caso, se puede comprobar esto mediante los cálculos adecuados.
• En el primer segundo: Dy(de 0 a 1 s) = y(1) = 29,4·1 – 4,9·1 = 24,5 m
• En el último segundo el desplazamiento será la diferencia entre las posiciones de la
piedra en los instantes 3 s y 2 s:
Dy(de 2 s a 3 s) = y(3) – y(2) = 44,1 – (29,4·2 – 4,9·4) = 44,1 – 39,2 = 4,9 m
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FUERZAS Y MOVIMIENTO
Descripción del movimiento
Física y Química 4º ESO: guía interactiva
para la resolución de ejercicios
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Slide 2
Posición, desplazamiento y distancia recorrida
Velocidad media y aceleración media
Gráficas x-t y v-t
Movimiento rectilíneo uniforme
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Caída libre y lanzamiento hacia arriba
Índice
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y Química
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Slide 3
Ayuda
En un movimiento rectilíneo, la posición (x) de un cuerpo se determina mediante su distancia
a otro cuerpo tomado arbitrariamente como sistema de referencia. En general, se utilizan los
signos + y – para diferenciar las posiciones situadas a la derecha y a la izquierda, respectivamente, del sistema de referencia.
El desplazamiento (Dx) se determina restando a la posición final (xf ) la posición inicial (xi):
(Dx) = xf – xi
El desplazamiento será positivo o negativo según el sentido del movimiento; en el primer caso
el móvil avanza de posiciones negativas a posiciones positivas; en el segundo caso, el móvil
se desplaza del lado positivo al lado negativo. Esto significa que el desplazamiento es una
magnitud vectorial, pues para su determinación se requiere un número, una dirección y un
sentido.
En el lenguaje ordinario, desplazamiento (Dx) es sinónimo de distancia recorrida (s), pero en
Física no siempre coinciden y esta es una de las dificultades añadidas que presenta el aprendizaje de las ciencias. Así, un ciclista que sale de su casa y que, al cabo de cierto tiempo,
vuelve al mismo sitio, tiene un desplazamiento cero, aunque su cansancio le indica que ha
recorrido unos cuantos kilómetros. El desplazamiento puede ser positivo, negativo o cero,
pero la distancia recorrida siempre es positiva y nunca cero si ha habido movimiento. La distancia recorrida se obtiene sumando todos los desplazamientos tomados en valor absoluto.
Sólo en los movimientos sin cambio de sentido coinciden el módulo del desplazamiento y la
distancia recorrida.
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Slide 4
Ayuda
La velocidad media de un móvil es el desplazamiento realizado en la unidad de tiempo. Se
calcula dividiendo el desplazamiento (Dx) por el tiempo invertido (t):
vm
Dx
t
En el S.I., la velocidad se mide en metros por segundo (m/s).
La aceleración media es la variación de la velocidad por unidad de tiempo. Se calcula dividiendo la variación de la velocidad (Dv) por el tiempo invertido (t):
am
Dv
t
En el S.I., la aceleración se mide en metros por segundo cada segundo, esto es, en metros
por segundo al cuadrado (m/s²).
En una gráfica posición-tiempo (x-t) podemos analizar los cambios de velocidad por medio
de los cambios de pendiente de la recta tangente a la curva en cada uno de sus puntos.
En una gráfica velocidad-tiempo (v-t) podemos analizar los cambios de aceleración por medio de los cambios de pendiente de la recta tangente a la curva en cada uno de sus puntos.
I.E.S. Élaios
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Slide 5
Ayuda
Movimiento rectilíneo con velocidad constante (MRU)
Es el movimiento de un objeto que, en intervalos de tiempo iguales, realiza desplazamientos
iguales, es decir, su velocidad es constante. Este movimiento se califica como uniforme.
La gráfica x-t para este tipo de movimiento es una línea recta (pendiente constante). La
pendiente representa la velocidad del móvil.
La gráfica v-t, al ser la velocidad constante, será una recta horizontal.
Movimiento rectilíneo con aceleración constante (MRUA)
Es el movimiento de un cuerpo que, en intervalos de tiempo iguales, experimenta variaciones
iguales de velocidad, esto es, su aceleración es constante. Este movimiento rectilíneo se llama
uniformemente acelerado.
La gráfica x-t para este tipo de movimiento es una línea curva (pendiente variable). Más
concretamente, dicha curva es una rama de parábola.
La gráfica v-t ahora es una línea recta (pendiente constante). La pendiente representa la
aceleración del móvil.
La gráfica a-t, al ser la aceleración constante, será una recta horizontal.
Ecuaciones del movimiento
Posición
Desplazamiento
Velocidad
Aceleración
MRU
MRUA
x = xo + vt
x = xo + vot + ½ at2
Dx = vt
Dx = vot + ½ at2
Constante
v = vo + at
Nula
Constante
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Slide 6
Ayuda
Para resolver los ejercicios de caída libre y, en general, cualquier ejercicio de Física, es
conveniente disponer de algún procedimiento o algoritmo de resolución. El que se
presenta a continuación no debe entenderse como un conjunto de pasos que hay que
seguir de manera estricta y rutinaria, sino como una serie de reglas orientativas:
Dibujar un esquema detallado de la situación descrita en el enunciado del ejercicio.
Elegir un sistema de referencia y establecer, de acuerdo con el mismo, las condiciones
iniciales. Esta elección es arbitraria: sólo depende del que está haciendo el ejercicio.
Escribir las ecuaciones del MRUA para el caso particular que estamos estudiando.
Hacer los cálculos pertinentes.
Analizar los resultados obtenidos.
I.E.S. Élaios
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Slide 7
1
Calcula el desplazamiento realizado por una bola que se mueve sobre el carril mostrado en la figura:
a) al pasar del punto A al B;
b) al pasar del punto B al D;
c) al pasar del punto B al C;
d) al pasar del punto D al A.
A
D
-50 cm -40 cm -30 cm -20 cm -10 cm
# Recuerda la definición de desplazamiento.
a) D x AB x B x A 30 ( 50 ) 80 cm
b) D x BD x D x B 20 30 50 cm
c) D x BC x C x B 50 30 20 cm
B
0
10 cm
20 cm
30 cm 40 cm
C
50 cm
# Analiza los resultados obtenidos.
Vemos que el signo del desplazamiento (+ ó -)
está relacionado con el sentido del movimiento
(hacia la derecha o hacia la izquierda).
Esto nos indica que el desplazamiento es una
magnitud vectorial.
d) D x DA x A x D 50 ( 20 ) 30 cm
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Slide 8
2
Un profesor de guardia se mueve, arriba y abajo, a largo de un pasillo rectilíneo. A partir
del aula de 6º G, recorre 10 m hacia la derecha, 15 m hacia la izquierda y 8 m hacia la
derecha. Si la puerta de dicha aula se toma como sistema de referencia, halla el
desplazamiento total y la distancia recorrida por el profesor.
# Dibuja un esquema con el movimiento del profesor.
-10 m
-5 m
6º G
5m
# Calcula el desplazamiento total.
Dx x f x i 3 m 0 3 m
# Calcula la distancia recorrida.
s = 10 m + 15 m + 8 m = 33 m
I.E.S. Élaios
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10 m
Slide 9
3
a) Oímos por la radio que el AVE se ha detenido en el km 300 de su trazado ferroviario cerca de una
dolina aparecida recientemente. ¿Nos están informando de la distancia recorrida por el AVE antes
de pararse o del lugar exacto donde ha ocurrido el suceso?
b) El cuentakilómetros del autobús urbano Almozara-Cementerio aumenta en 8 km en el recorrido de
ida y 10 km en el recorrido de vuelta. Halla el desplazamiento del autobús y la distancia recorrida
en un trayecto completo.
# Antes de contestar al apartado a), ¿distingues entre posición, desplazamiento y
distancia recorrida?
Nos están informando de la posición en la que se encuentra el AVE,
independientemente de la distancia que haya podido recorrer.
# Contesta al apartado b).
El desplazamiento del autobús es cero, ya que vuelve al punto de partida.
La distancia recorrida es de 18 km (8 km a la ida más 10 km a la vuelta).
I.E.S. Élaios
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Slide 10
4
En algunos experimentos escolares, para estudiar el movimiento de un cuerpo se une al mismo una cinta
de papel que pasa por un cronovibrador. El cronovibrador deja una marca en el papel a intervalos de
tiempo iguales; como la cinta de papel está unida al móvil, el conjunto de marcas nos indica las
posiciones sucesivas del móvil. Más abajo se muestra una de esas cintas, en la que sabemos que el
tiempo transcurrido entre marca y marca es de 0,02 s y que la escala graduada puede estimar hasta 1
mm. Determina las posiciones del móvil y calcula su velocidad media en intervalos de 0,02 s.
t=0s
x = 0 cm
1 cm
Desplazamiento:
Dx (m)
Velocidad media:
vm (m/s)
Tiempo: t (s)
Posición: x (m)
0,00
0,000
0,02
0,012
0,012
0,6
0,04
0,032
0,020
1,0
0,06
0,060
0,028
1,4
0,08
0,082
0,022
1,1
1,00
0,118
0,036
1,8
I.E.S. Élaios
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Slide 11
5
En los Campeonatos Mundiales de Atletismo de Tokio, celebrados en el verano de 1991, el
atleta Carl Lewis ganó la prueba de 100 m. La tabla siguiente muestra los tiempos de
Lewis cada 10 m. Completa la tabla y calcula la velocidad media cada 10 m de carrera.
¿En qué intervalo corrió más rápidamente?
Se movió más deprisa
en el intervalo 70-80 m.
Posición: x (m)
Tiempo: t (s)
Variación
temporal: Dt (s)
Velocidad media:
vm (m/s)
10
1,88
1,88
5,32
20
2,96
1,08
9,26
30
3,88
0,92
10,87
40
4,77
0,89
11,24
50
5,61
0,84
11,90
60
6,46
0,85
11,76
70
7,30
0,84
11,90
80
8,13
0,83
12,05
90
9,00
0,87
11,49
100
9,86
0,86
11,63
I.E.S. Élaios
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Slide 12
6
Durante un viaje a Teruel por una carretera rectilínea el cuentakilómetros de un coche
marca las velocidades indicadas más abajo. Calcula el valor de la aceleración media en
intervalos de 0,2 h. ¿En qué intervalo temporal la aceleración media es negativa? ¿Qué
significa?
Tiempo:
t (h)
Velocidad:
v (km/h)
0,0
0
0,2
0,4
0,6
40
72
# Recuerda, antes de contestar, cómo se calcula la
aceleración media.
a m ( 0 0,2 h )
a m ( 0,4 0,6 h )
120
1,0
1,2
100
125
125
a m ( 0,8 1,0 h )
a m (1,0 1,2 h )
40 0
0,2
a m ( 0,2 0,4 h )
a m ( 0,6 0,8 h )
0,8
v ( 0,2 ) v ( 0 )
0,2
v ( 0,4 ) v ( 0,2 )
160
km
h
120 72
0,2
240
0,2
v ( 0,8 ) v ( 0,6 )
0,2
100 120
125 100
v (1,2 ) v (1,0 )
100
125
125 125
0,2
km
km
h
0
2
km
h
2
2
km
h
0,2
2
h
0,2
0,2
I.E.S. Élaios
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2
0,2
v ( 0,6 ) v ( 0,4 )
0,2
km
h
72 40
0,2
v (1,0 ) v ( 0,8 )
200
2
Significa que en
dicho intervalo
el valor de la
velocidad ha
disminuido.
Slide 13
En una competición de atletismo, una estudiante del Instituto obtuvo, en el transcurso de
una carrera de 100 m, los resultados indicados en la siguiente gráfica posición-tiempo.
a) Determina en qué intervalo temporal la velocidad es menor.
b) ¿En qué intervalo espacial se mueve más deprisa?
7
x (m )
120
# Recuerda cuál es el significado de la pendiente
de la tangente a la curva en un gráfico x-t y
contesta al apartado a).
III
100
IV
80
II
Si trazamos las tangentes a la curva en los
cuatro tramos que podemos distinguir en la
misma, vemos que tiene menos inclinación
(pendiente) la correspondiente al tramo I;
por tanto, en ese tramo, de 0 a 3 s, la velocidad es menor.
60
40
20
I
0
0
1
2
3
4
5
6
t (s)
7
8
9
10
11
12
# Contesta al apartado b).
La tangente del tramo III es la que tiene la
mayor pendiente; por consiguiente, de 8,4 a 9 s
es cuando la estudiante se mueve más rápidamente.
I.E.S. Élaios
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Slide 14
8
Indica de manera razonada cómo varía, a medida que transcurre el tiempo, la velocidad de
tres móviles cuyas gráficas posición-tiempo (x-t) se muestran a continuación.
x (m
x )(m)
x (m ) 80
80
xx (m
(m))
4,5
4,5
4
4
60
60
3,5
3,5
50
50
3
3
30
40
40
2,5
2,5
25
30
30
2
2
20
20
1,5
1,5
10
10
1
70
70
0,5
00
0
-10 0
11
22
Hemos trazado las tangentes a la
curva en los instantes 1, 2 y 3 s.
Vemos que sus pendientes son cada
vez mayores; por lo tanto, la
velocidad está aumentando.
30
25
20
20
15
10
1
0,5
0
44
0
tt (s)
(s)
3535
15
0
33
4040
0
55
1
1
10
5
5
0
6
6
02
0
02
t (s)
3
2 3
2
t (s)
En este caso, hemos trazado las
tangentes a la curva en los
instantes 0’1, 0’5 y 1 s. Vemos que
sus pendientes son cada vez
menores; por lo tanto, la velocidad
está disminuyendo.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y Química
4
4
4 4
6 5
8
5
6
t (s)
8
10
10
12
12
t (s)
Ahora la tangente a la “curva”
coincide con la propia recta. Como
su pendiente es constante, la
velocidad también es constante.
Slide 15
La siguiente gráfica velocidad-tiempo (v-t) corresponde al viaje a Teruel citado en un ejercicio anterior.
a) ¿En qué tramo la aceleración es máxima?
b) ¿Cuándo la aceleración es negativa?
c) ¿Existe algún tramo en el que la aceleración sea nula? ¿Cuál?
9
# Recuerda cuál es el significado de la pendiente
de la tangente a la curva en un gráfico v-t y
contesta al apartado a).
v (km /h)
III
140
V
120
VI
Si trazamos las tangentes a la curva en los
seis tramos que podemos distinguir en la
misma, vemos que tiene más inclinación
(pendiente) la correspondiente al tramo III;
por tanto, en ese tramo, de 0,4 a 0,6 h, la
aceleración es máxima.
100
II
IV
80
I
60
40
20
# Contesta al apartado b).
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
t (h)
1,2
1,4
1,6
La aceleración será negativa cuando lo sea
la pendiente de la tangente; eso ocurre en el
tramo IV: de 0,6 a 0,8 h, aproximadamente.
# Contesta al apartado c).
La aceleración es nula en el tramo VI: de 1,2 a 1,4 h, ya que entonces
la tangente es horizontal y su pendiente nula.
I.E.S. Élaios
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Slide 16
10
Un coche, que se está moviendo por una carretera rectilínea con una velocidad de 80 km/h, está dando
alcance a una motocicleta que se mueve en el mismo sentido a 40 km/h. Los dos móviles están
inicialmente separados una distancia de 60 km.
a) Escribe las ecuaciones posición-tiempo de ambos móviles.
b) Dibuja, en el mismo sistema de ejes, las dos gráficas x-t.
c) ¿En qué posición y en qué instante el coche alcanzará a la motocicleta?
# Elige un sistema de referencia
y contesta al apartado a).
# Contesta al apartado b).
Si tomamos como referencia la posición
inicial del coche, las ecuaciones son:
180
Coche:
Motocicleta:
120
140
x (km )
xC = 80t
xM = 60 + 40t
160
100
80
60
40
# Contesta al apartado c).
20
0
Del análisis de las gráficas x-t se deduce
que el coche alcanza a la motocicleta en
la posición 120 km, 1,5 h después de
que el coche inicie su movimiento.
0
0,5
1
1,5
t (h )
Coc he
Motoc ic leta
A este resultado también se llega resolviendo el sistema formado por
las ecuaciones: xC = 80t ; xM = 60 + 40t. Cuando el coche alcanza a
la motocicleta se cumple que xC = xM, es decir,
80t = 60 + 40t; 40t = 60; t = 60/40 = 1,5 h. Sustituyendo este valor
en una de las ecuaciones anteriores, se obtiene: xC = xM = 120 km.
I.E.S. Élaios
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2
2,5
Slide 17
La posición, en función del tiempo, de un cuerpo que se mueve en línea recta está dada por la siguiente
gráfica.
a) ¿En qué intervalo de tiempo se desplazó el cuerpo en el sentido positivo del eje X, es decir, de
izquierda a derecha? ¿Y en el sentido negativo del eje X, esto es, de derecha a izquierda?
b) ¿En qué instantes, además del t = 0, pasa el móvil por la posición x = 0? ¿En qué sentido se está
moviendo en dichos instantes?
11
# Para contestar al apartado a) analiza los
cinco tramos de la gráfica x-t.
12
10
8
x (m )
6
4
2
0
-2 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13
-4
-6
t (s)
# Contesta al apartado b).
De 0 a 1 s: el valor de la posición está
aumentando; el cuerpo se mueve de
izquierda a derecha.
De 1 a 3 s: el cuerpo está parado en la
posición x = 10 m.
De 3 a 6 s: la posición pasa de x = 10 m
a x = -5 m; el cuerpo se mueve de
derecha a izquierda.
De 6 a 11 s: el cuerpo está parado en
la posición x = -5 m.
De 11 a 12 s: la posición pasa de x = -5 m
a x = 0; el cuerpo se mueve de izquierda
a derecha.
El cuerpo pasa por x = 0 en los instantes
t = 5 s (de derecha a izquierda ) y t = 12 s
(de izquierda a derecha)
I.E.S. Élaios
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Slide 18
Elabora la gráfica “posición-tiempo” correspondiente al movimiento descrito en la siguiente historieta:
# Analiza cada uno de los tramos y
realiza los cálculos pertinentes.
350
300
250
Durante los primeros 50 s la posición pasa de x = 0 a x = 300 m.
200
150
x (m)
12
Pedro sale de su casa en bicicleta en dirección al huerto del tío Jorge con el propósito de merendar gratis.
Manteniendo una velocidad constante de 6 m/s llega al huerto en 50 s; los siguientes 60 s los emplea en coger fruta.
Al sentirse sorprendido, toma de nuevo la bicicleta e inicia el movimiento de regreso con una velocidad constante
de 10 m/s e, intencionadamente, se pasa de su casa 100 m; deja la “bici” y se oculta tras unos matorrales, donde
permanece escondido 40 s. Al ver que no le persiguen, vuelve a su casa con una velocidad de 8 m/s.
100
Permanece 60 s, hasta el instante
t = 110 s, en x = 300 m.
50
0
-50 0
20
40
60
80 100 120 140 160 180 200 220 240
-100
-150
t (s)
Recorre 400 m de “vuelta” a 10
m/s, por lo que invierte 40 s más,
hasta la posición x = -100 m.
Permanece 40 s, hasta el instante
t = 190 s, en x = -100 m.
Recorre los últimos 100 m, hasta
la posición x = 0, a 8 m/s, por lo
que invierte 12,5 s.
I.E.S. Élaios
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Slide 19
13
a) Describe los movimientos cuyas gráficas posición-tiempo se muestran a continuación.
La descripción debe ser cualitativa y cuantitativa.
b) Elabora las gráficas velocidad-tiempo asociadas a dichos movimientos.
30
40
35
20
30
15
25
x (m )
x (m )
25
10
5
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
0
5
0
1
2
3
4
5
6
t (s )
t (s )
# Contesta al apartado
a).
b).
15
16
10
14
El móvil 12
se encuentra inicialmente en la
10
posición x = 10 m y, durante 2 s, se mueve
8
a 5 m/s hasta
llegar a la posición x = 20 m.
6
Cambia bruscamente
su velocidad a 15 m/s,
4
velocidad2 que mantiene durante 1 s, hasta
0
la posición
x = 35 m. Finalmente, permanece
0
1
2
3
4
5
en reposo en dicha posición.
v ( m /s)
v ( m /s)
5
El móvil se encuentra
inicialmente en la
0
posición x = 0 y,
2,5
mueve
- 5 durante
0
1
2 s, se
3
4
5
10
a 10 m/s hasta llegar a la posición x = 25 m.
- 15
Después, durante
1 s, permanece en dicha
- 20
posición. Finalmente,
durante 1 s más,
- 25
vuelve al punto- 30de partida con una velocidad
t (s )
de -25 m/s.
t (s )
I.E.S. Élaios
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Slide 20
14
Un móvil, que se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme, ocupa las posiciones x1 = 5 m y x2 = 17 m
en los instantes t1 = 4 s y t2 = 10 s, respectivamente. Determina:
a) la velocidad del móvil;
b) la ecuación de la posición;
c) la posición en el instante t = 5 s.
# Contesta al apartado a).
# Contesta al apartado b).
Teniendo en cuenta que, en este movimiento,
la velocidad media coincide con la velocidad
instantánea,
La ecuación de la posición tiene la forma:
x = xo + vt, en la que hay que determinar
los valores de xo y de v. Como v = 2 m/s,
sólo hemos de calcular el valor de la posición inicial; para ello, se dispone de dos
parejas de datos. De la primera de ellas:
5 = xo + 2·4, xo = -3 m. Puedes comprobar que se obtiene el mismo resultado con
la otra pareja de datos. Por lo tanto, la
ecuación de la posición es:
v vm
Dx
Dt
17 5
10 4
12
2 m s
6
# Contesta al apartado c).
x = -3 + 2t
Al sustituir en la ecuación de la posición el
valor del tiempo se obtiene: x = -3+2·5= 7 m.
I.E.S. Élaios
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Slide 21
15
La gráfica x-t de un móvil es la que se muestra más abajo.
a) Determina las posiciones del móvil en los instantes t1 = 1 s y t2 = 4 s.
b) Calcula su velocidad.
c) Determina la ecuación de la posición.
# Contesta al apartado a).
x (m )
25
En la gráfica x-t observamos que, en los instantes
1 y 4 s, las posiciones son -4 m y 14 m, respectivamente.
20
15
10
5
# Contesta al apartado b).
0
-5 0
1
2
3
-1 0
-1 5
t (s )
4
5
6
La velocidad coincide con pendiente de la recta
en la gráfica x-t. Para su cálculo podemos utilizar
los puntos citados en el apartado anterior:
v
Dx
Dt
14 ( 4 )
4 1
# Contesta al apartado c).
La ecuación de la posición tiene la forma: x = xo + vt, en la que hay que
determinar los valores de xo y de v. Como v = 6 m/s y el valor de la
posición inicial es: xo = -10 m, la ecuación de la posición es: x = -10 + 6t.
I.E.S. Élaios
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18
3
6 m s
Slide 22
16
El tío Juan sale de su pueblo, a las 8 horas de la mañana, con una velocidad constante de
9 km/h. Dos horas después, y del mismo pueblo, su cuñado sale con una velocidad
constante de 11 km/h con el propósito de alcanzarlo. ¿A qué hora y a qué distancia del
pueblo lo logrará?
# Lo primero que puedes hacer es transformar la diferencia en el tiempo que tienen los dos
movimientos en una diferencia espacial. Al mismo tiempo debes elegir un sistema de
referencia y escribir las ecuaciones de la posición de los dos “atletas”.
Cuando el cuñado inicia su movimiento, a las 10 horas de la mañana, el tío Juan ha recorrido ya
18 km. Si tomamos como referencia el pueblo y suponemos que el tiempo empieza a contar a
las 10 h, las ecuaciones de la posición son:
Tío Juan:
xJ = 18 + 9t
Cuñado:
xC = 11t
# Realiza ahora los cálculos pertinentes.
Cuando el cuñado alcanza al tío Juan se cumple que sus posiciones coinciden: xJ = xC; por lo
tanto, 18 + 9t = 11t; 18 = 2t y t = 18/2 = 9 horas. El encuentro tiene lugar 9 horas después de
haber salido el cuñado, es decir, a las 7 horas de la tarde.
Para hallar la distancia al pueblo, sustituimos el valor de t en cualquiera de las ecuaciones de la
posición: xJ = xC = 99 km.
I.E.S. Élaios
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Slide 23
La gráfica representa la posición, en función del tiempo, de los cuerpos A y B que llevan movimientos
rectilíneos.
a) Describe de la forma más completa posible –esto es, incluyendo datos numéricos- cada uno de los
movimientos.
b) Indica en qué instante ambos cuerpos coinciden en la misma posición. Utiliza dos procedimientos:
algebraico y gráfico.
17
# Contesta al apartado a).
120
100
El cuerpo A, que se encuentra inicialmente en la
posición -25 m, se está moviendo con una velocidad
de 12,5 m/s (pendiente de la recta azul).
El cuerpo B, inicialmente situado en la posición
40 m, lleva una velocidad de -3,75 m/s (pendiente
de la recta magenta).
80
x (m )
60
40
20
0
-20
0
2
4
6
8
10
# Contesta al apartado b).
-40
t (s)
Móvil A
Móvil B
Se cumple que: xA = -25 + 12,5t y xB = 40 – 3,75t.
Coinciden en la misma posición cuando xA = xB, es
decir, -25 + 12,5t = 40 – 3,75t; 16,25t = 65; t = 4 s.
Llevando este resultado a cualquiera de las ecuaciones
de la posición, se obtiene que x = 25 m.
I.E.S. Élaios
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Slide 24
En la figura observamos la gráfica posición-tiempo de un ciclista que se mueve en línea recta.
a) Describe cómo varía la velocidad del ciclista a medida que transcurre el tiempo.
b) ¿En qué intervalos de tiempo el movimiento es uniforme?
c) Halla la velocidad máxima alcanzada por el ciclista.
18
# Contesta al apartado a).
x (k m )
4
Durante el cuarto de hora inicial, al ser la gráfica x-t
una curva, vemos que la velocidad está aumentando.
En el siguiente cuarto de hora, al ser la gráfica x-t
una recta, la velocidad permanece constante. En la
siguiente media hora el ciclista está en reposo. En el
último cuarto hora el ciclista vuelve al punto de partida: durante 0,1 h con una velocidad constante y
durante 0,15 h con otra velocidad también constante.
3 ,5
3
2 ,5
2
1 ,5
1
0 ,5
0
0
0 ,2 5
0 ,5
0 ,7 5
1
1 ,2 5
1 ,5
t (h)
# Contesta al apartado c).
# Contesta al apartado b).
El movimiento es uniforme en los intervalos:
de 0,25 h a 0,5 h, de 1 h a 1,1 h y de 1,1 h
a 1,25 h.
La velocidad será máxima en los instantes en los que
la pendiente de la tangente a la gráfica también lo sea.
Eso ocurre en el intervalo de 1,1 h a 1,25 h, donde la
pendiente vale:
v
Dx
I.E.S. Élaios
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Dt
0 2,5
1,25 1,1
50
3
m/s
Slide 25
19
En el estudio experimental de un movimiento rectilíneo se ha obtenido los resultados abajo indicados.
a) Dibuja la gráfica velocidad-tiempo. ¿Se trata de un movimiento uniformemente acelerado? ¿Por qué?
b) Determina, mediante las ecuaciones del movimiento, el desplazamiento realizado por el móvil a los 7 s
de iniciado el movimiento.
t (s)
v (m/s)
0
-12
2
-2
4
8
6
18
8
28
10
38
# Contesta al apartado a).
v (m /s)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Se trata de un movimiento
uniformemente acelerado
ya que la velocidad es directamente proporcional al
tiempo y la gráfica v-t es
una recta.
Vemos que vo = -12 m/s y
que la aceleración (pendiente
de la recta) es:
a = 50/10 = 5 m/s²;
- 10
# Contesta al apartado b).
- 15
t (s)
La ecuación del desplazamiento es: Dx = vot + ½ at². Para t = 7 s, Dx = -12·7 + ½ 5·49 = 38,5 m.
I.E.S. Élaios
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Slide 26
La gráfica v-t de la figura se refiere al movimiento de un cuerpo desde que se puso en
marcha el cronómetro hasta que fue parado, instante en el que marcaba 10 s. Halla el
desplazamiento del cuerpo en esos 10 s.
20
# Analiza cuántos movimientos podemos distinguir
en la gráfica v-t.
v (m /s)
16
14
De 0 a 4 s: movimiento rectilíneo uniforme con
v = 15 m/s.
De 4 s a 5 s: movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado con vo = 15 m/s y a = -15 m/s².
De 5 s a 10 s: movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado con vo = 0 y a = 2 m/s².
12
10
8
6
4
A1
2
45
15 67 ,5
2
A2
5 10
25
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
# Calcula ahora los desplazamientos en cada uno de los
tramos de la gráfica v-t.
t (s)
El desplazamiento también puede
calcularse como el “área bajo la curva”
en una gráfica v-t. En este caso, el
valor del desplazamiento coincide con
la suma de las áreas de un trapecio
(67,5 m) y de un triángulo (25 m).
Dx1 = vt = 15·4 = 60 m
Dx2 = vot +1/2 at² = 15·1 + ½ (-15)·1 = 7,5 m
Dx3 = vot +1/2 at² = 0 + ½ 2·5² = 25 m
El desplazamiento total es la suma de estos tres
desplazamientos parciales: 92,5 m.
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21
La siguiente gráfica velocidad-tiempo describe el movimiento rectilíneo de un ciclista.
Interprétala. Halla el desplazamiento y la distancia recorrida en 6 h.
# Analiza en qué tramos el movimiento es uniforme (MRU)
y en cuáles es uniformemente acelerado (MRUA).
v (km /h )
II
12
10
8
6
4
III
I
2
0
-2
0
1
2
3
4
5
IV
-4
6
7
V
MRU de 0,5 h a 1,5 h: v = 10 km/h
de 3 h a 5,5 h: v = -5 km/h
MRUA de 0 a 0,5 h: vo= 0 y a = 20 km/h²
de 1,5 h a 3 h: vo = 10 km/h y a = -10 km/h²
(en el instante t = 2,5 h, el
ciclista invierte el sentido del
movimiento)
de 5,5 h s 6 h: vo = -5 km/h y a = 10 km/h²
# Calcula ahora los desplazamientos en cada uno de los
tramos de la gráfica v-t.
-6
t (h )
# Determina la distancia recorrida.
El ciclista se mueve hacia la derecha durante
2,5 h y hacia la izquierda durante las 3,5 h
restantes. En dichos intervalos de tiempo
recorre 17,5 km y 15 km, respectivamente;
en total, 32,5 km.
DxI = vot +1/2 at² = 0 + ½ (20)·0,5² = 2,5 km
DxII = vt = 10·1 = 10 km
DxIII = vot +1/2 at² = 10·1,5 + ½ (-10)·1,5² = 3,75 km
DxIV = vt = -5·2,5 = -12,5 km
DxV = vot +1/2 at² = -5·0,5 + ½ (10)·0,5² = -1,25 km
El desplazamiento total es la suma de estos cinco
desplazamientos parciales: 2,5 km.
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22
Un motorista de tráfico circula con una velocidad de 20 m/s y observa que un conductor comete una
infracción. Sale en su persecución, para lo cual acelera con un ritmo constante de 0,5 m/s².
a) ¿Cuánto tiempo empleará el motorista en alcanzar una velocidad de 30 m/s?
b) Halla el desplazamiento del motorista en ese tiempo.
# Recuerda las ecuaciones de este movimiento y contesta al apartado a).
A partir de la ecuación de la velocidad podemos escribir:
t
vvo
a
30 20
0 ,5
20 s
# Contesta al apartado b).
Dx v ot
1
2
at ² 20 20
1
0 ,5 400 500 m
2
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Desde lo alto de un campanario de 20 m de altura, se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una
rapidez de 40 m/s. Se supone despreciable el rozamiento con el aire.
a) Calcula la posición y la velocidad del objeto en el instante t = 6 s.
b) ¿Qué altura máxima alcanza el objeto? ¿Qué tiempo emplea en lograrla?
c) Halla la velocidad del objeto cuando vuelve a pasar por el punto de lanzamiento y el tiempo total
empleado.
23
# Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento.
Y
De acuerdo con el sistema de
referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se
toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las
ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces:
yo = 20 m
vo = 40 m/s
v = 40 – 9,8t
y = 20 + 40t - 4,9t2
a = -9,8 m/s2
# Contesta al apartado a).
Sustituyendo en las ecuaciones del
movimiento t por 6,
v(6) = 40 -9,8·6 = -18,8 m/s
y(6) = 20 + 40·6 - 4,9·36 = 83,6 m
El signo – del primer resultado
indica que el objeto está bajando y
el valor de la posición significa que
se encuentra por encima del punto
de lanzamiento.
# Contesta al apartado b).
X
# Contesta al apartado c).
El punto de lanzamiento cumple la condición de que y = 20 m, por lo que:
20 = 20 + 40t – 4,9t2; 0 = 40t – 4,9t2; 0 = t(40 -4,9t), ecuación que tiene
dos soluciones: la evidente t = 0 y la que interesa ahora: t = 40/4,9 = 8,16 s.
La velocidad en dicho instante es: v = 40 – 9,8·8,16 = -40 m/s. Se concluye
que cuando el objeto vuelve al punto de lanzamiento se mueve con una velocidad de intensidad idéntica a la inicial, aunque de sentido contrario. También
vemos que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada.
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Cuando se alcanza la altura máxima
se cumple que la velocidad es nula,
cosa que sucede en un instante tal
que: 0 = 40 – 9,8t; t = 40/9,8 = 4,08 s;
por lo tanto,
ymax = 20 + 40·4,08 – 4,9·4,082 = 101,6 m
Slide 30
Se deja caer una piedra desde la boca de un pozo. Llega al fondo con una velocidad de
14,7 m/s de intensidad.
a) ¿Cuál es la profundidad del pozo?
b) ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al fondo del pozo?
24
# Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento.
Y
De acuerdo con el sistema de
referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se
toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las
ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces:
yo = ?
vo = 0
a = -9,8 m/s2
v = -9,8t
y = yo - 4,9t2
X
v = -14,7 m/s
# De acuerdo con la información
disponible, analiza qué apartado
debes contestar primero.
De la ecuación de la velocidad deducimos que:
-14,7 = -9,8t; t = 14,7/9,8 = 1,5 s, que es el
tiempo que tarda la piedra en llegar al fondo del
pozo.
En ese instante la posición de la piedra es y = 0;
por lo tanto, en la ecuación de la posición podemos escribir: 0 = yo – 4,9·1,52 = yo – 11, por lo
que la profundidad del pozo es: yo = 11 m.
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a) Desde una altura de 45 m, respecto al suelo, se deja caer un libro de Física y Química. Se considera
despreciable la influencia del aire. Halla la velocidad con que el libro llegará al suelo. ¿Cuánto tiempo
invertirá en dicho recorrido?
b) Repite el ejercicio suponiendo que el libro es lanzado verticalmente hacia abajo con una velocidad
inicial de 15 m/s.
25
# Dibuja un esquema, escribe las ecuaciones
del movimiento y contesta al apartado a).
# Dibuja un esquema, escribe las ecuaciones
del movimiento y contesta al apartado b).
Y
Y
De acuerdo con el sistema de
referencia, las magnitudes
vectoriales que apuntan
hacia arriba se toman con
signo + y las que señalan
hacia abajo con signo -. Las
ecuaciones asociadas a este
lanzamiento son, entonces:
yo = 45 m
vo = 0
a = -9,8 m/s2
X
v=?
t=?
v = -9,8t
y = 45 - 4,9t2
45
a = -9,8 m/s2
X
v=?
t=?
Cuando el libro llega al suelo se cumple que y = 0, es decir,
0 = 45 – 4,9t2;
t
yo = 45 m
vo = -15 m/s
3s
v = -15 - 9,8t
y = 45 -15t - 4,9t2
Cuando el libro llega al suelo se cumple que y = 0, es decir,
0 = 45 – 15t - 4,9t2, ecuación de 2º grado completa, cuyas
soluciones son:
4 ,9
t
La velocidad del libro en ese instante es:
v = -9,8·3 = -29,4 m/s
De acuerdo con el sistema de
referencia, las magnitudes
vectoriales que apuntan
hacia arriba se toman con
signo + y las que señalan
hacia abajo con signo -. Las
ecuaciones asociadas a este
lanzamiento son, entonces:
15
225 4 ( 4 ,9 ) 45
9 ,8
15 33 ,3
9 ,8
La velocidad del libro en el instante válido es:
v = -15 - 9,8·1,87 = -33,3 m/s
¡Comenta los resultados!
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4 ,93
1,87
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Desde una altura h se lanza verticalmente hacia abajo un cuerpo con una rapidez inicial de
5 m/s, invirtiéndose 6 s en llegar al suelo. Calcula el valor de h y la rapidez máxima que
alcanzará el cuerpo.
# Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento.
Y
yo = h = ?
vo = -5 m/s
v = -5 - 9,8t
y = h - 5t - 4,9t2
a = -9,8 m/s2
v=?
t=6s
De acuerdo con el sistema de referencia,
las magnitudes vectoriales que apuntan hacia
arriba se toman con signo + y las que señalan
hacia abajo con signo -. Las ecuaciones
asociadas a este lanzamiento son, entonces:
Debes perder el miedo a las
expresiones algebraicas y
trabajar con “letricas” como
si fuesen números. Fíjate en
las condiciones que cumple
la posición del cuerpo cuando
t = 6 s.
X
Cuando t = 6 s, se cumple que y = 0; llevando estas condiciones a la ecuación
de la posición, tenemos: 0 = h – 5·6 – 4,9·36; h = 206,4 m.
La rapidez máxima se alcanza cuando el cuerpo llega al suelo; por lo tanto,
la velocidad es: v = -5 -9,8·6 = -63,8 m/s. La rapidez vale: 63,8 m/s.
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27
a) Galileo lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una rapidez inicial de 29,4 m/s
¿Qué altura alcanzará (la piedra)?
b) ¿Experimentará la piedra el mismo desplazamiento en el primer segundo de subida que
en el último segundo? ¿Por qué?
# Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento.
Y
v=0
y=h=?
a = -9,8 m/s2
yo = 0
vo = 29,4 m/s
X
# Contesta al apartado a).
De acuerdo con el sistema de referencia,
las magnitudes vectoriales que apuntan hacia
arriba se toman con signo + y las que señalan
hacia abajo con signo -. Las ecuaciones
asociadas a este lanzamiento son, entonces:
Calculamos, en primer lugar, el tiempo
invertido por la piedra en subir.
En el punto más alto se cumple que
v = 0; por lo tanto, 0 = 29,4 - 9,8t;
t = 29,4/9,8 = 3 s.
v = 29,4 - 9,8t
y = 29,4t - 4,9t2
Sustituyendo este valor en la ecuación
de la posición, tenemos:
h = 29,4·3 – 4,9·9 = 44,1 m
# Contesta al apartado b).
Debido a que, a medida que la piedra asciende, se está moviendo más lentamente,
el desplazamiento en el primer segundo será mayor que en el último segundo de
subida. En cualquier caso, se puede comprobar esto mediante los cálculos adecuados.
• En el primer segundo: Dy(de 0 a 1 s) = y(1) = 29,4·1 – 4,9·1 = 24,5 m
• En el último segundo el desplazamiento será la diferencia entre las posiciones de la
piedra en los instantes 3 s y 2 s:
Dy(de 2 s a 3 s) = y(3) – y(2) = 44,1 – (29,4·2 – 4,9·4) = 44,1 – 39,2 = 4,9 m
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