Transcript Berechnen von Momenten und Querkräften
Slide 1
Berechnen von Momenten und Querkräften
(Voraussetzung: Auflagerkraftberechnung)
ENDE
Das statische System
Slide 2
Berechnen von Momenten und Querkräften
(Voraussetzung: Auflagerkraftberechnung)
Touch me!
ENDE
Die Belastung
Slide 3
Berechnen von Momenten und Querkräften
F =20kN
Gegeben ist ein statisches System mit
den Auflagerkräften: FAH, FAV und FB
FST =2kN/m
Das System wird mit einer Kraft F von oben
und einer Streckenlast von FST belastet.
FAH
FAV
FB
b
c
a/2
a/2
a
ENDE
Folgende Kräfte sind bekannt:
F = 20kN
FST = 2kN/m
Slide 4
Berechnen von Momenten und Querkräften
FST · a ist die gesamte
Streckenlast, FG
FG
F
Sie greift in der Mitte an.
F
Unter der Annahme, daß die Summe der Momente um
einen Drehpunkt null ergibt, kann man folgende
Formel aufstellen:
FST
A
B
FAH
MA = 0
FG · a/2 + F · b - FB · a= 0
FAV
FB
Jetzt kann man über die Summe der vertikalen
Lasten die Auflagerkraft FAV berechnen:
b
c
a/2
a/2
a
V = 0
FG + F - FB - FAV = 0
FAH = 0, da keine weiteren
Horizontalkräfte vorhanden sind.
ENDE
Slide 5
Berechnen von Momenten und Querkräften
F = 20kN
FST = 2kN/m
F =20kN
14kN= FG
F =20kN
Die Brücke ist 7,00m lang.
FST =2kN/m
A
B
FAV
FB
5,00
b
3,50
a/2
3,50
a/2
7,00
a
ENDE
2,00
c
Die Kraft F greift im Abstand von 2,00m zu FB an.
Zuerst wird FG berechnet:
FST · a = FG
2kN/m · 7,00m = 14kN
Slide 6
Berechnen von Momenten und Querkräften
MA = 0
14kN= FG
F =20kN
FG · a/2 + F · b - FB · a = 0
14kN · 3,50m + 20kN · 5,00m - FB · 7,00m = 0
A
B
FB = 21,89kN
FAV =12,11kN
FB =21,89kN
V = 0
FB + FAV - FG- F = 0
21,89kN + FAV - 14kN - 20kN = 0
5,00
b
2,00
c
FAV = 12,11kN
3,50
a/2
3,50
a/2
7,00
a
ENDE
Slide 7
Berechnen von Momenten und Querkräften
F=20kN
Um die Querkräfte berechnen zu können,
muß man als erstes das System auf die
größte Belastung hin untersuchen.
FST=2kN/m²
Dies geschieht in diesem Fall im Punkt C,
wo die Kraft F = 20kN angreift.
C
FAV =12,11kN
5,00
2,00
7,00
ENDE
FB =21,89kN
Slide 8
Berechnen von Momenten und Querkräften
F=20kN
FST=2kN/m²
FST = 2kN/m
C
FAV =12,71kN
5,00
2,00
7,00
ENDE
FB =21,89kN
Das System wird jetzt vor und hinter
dem Punkt C geschnitten.
Man kann das System von FAV nach
C oder von C nach FB betrachten.
Hier wird das System von C nach FB
untersucht.
Rechts und links von Punkt C werden
die Querkräfte und das Moment
berechnet.
Slide 9
Berechnen von Momenten und Querkräften
Zuerst wird die Schnittstelle links
von C betrachtet.
F=20kN
v = 0
FST + F - FB - Ql = 0
FSTkN
=2kN/m²
39,78
=M
FST = 2kN/m
C
Ql
=2,11kN
FAV = 6,63kN
4kN + 20kN - 21,89kN - Ql = 0
Ql = 2,11kN
FB =21,89kN
M = 0
FST · 1,00m - FB · 2,00m - MC = 0
5,00
2,01
4kN · 1,00m - 21,89kN · 2,00m + MC = 0
MC = 39,78kNm
7,00
ENDE
Slide 10
Berechnen von Momenten und Querkräften
Jetzt wird die Schnittstelle rechts
von C betrachtet.
F=60N
FST=2kN/m²
FST = 2kN/m
v = 0
FST - FB = 0
4kN - 21,89kN - Qr = 0
-17,89kN= Qr
C
FAV = 6,63kN
5,00
ENDE
FB =21,89kN
1,99
7,00
Qr = -17,89kN
Das Moment muß hier nicht berechnet
werden, da das Ergebnis mit dem von
der Vorseite übereinstimmt.
Slide 11
Berechnen von Momenten und Querkräften
F=20kN
Mit Hilfe der Bilanzregel kann man nun ein
Querkraftdiagramm erstellen.
FST=2kN/m²
Hier gilt die Regel:“Alles gute kommt von
unten.“
C
FAV =12,11kN
ENDE
FB =21,89kN
Das heißt, alle Kräfte, die von unten
angreifen, werden im Kräftekonto addiert
und alle Kräfte, die von oben angreifen,
werden subtrahiert.
Slide 12
Berechnen von Momenten und Querkräften
Ql = 2,11kN
F=20kN
Qr = -17,89kN
FST=2kN/m²
A
C
B
Im Auflagerpunkt A greift die Kraft FAV =
12,11kN an. Sie werden also positiv „verbucht“.
FAV =12,11kN
FB =21,89kN
Von Punkt A bis Punkt C wird das System
mit einer Streckenlast belastet, die 10kN
beträgt.
0kN
2,11kN
Diese 10kN subtrahiert man jetzt von den
12,11kN, weil die Last von oben angreift
und sich negativ auf das System auswirkt.
Das Ergebnis ist 2,11kN, siehe Ql.
12,11kN
ENDE
Slide 13
Berechnen von Momenten und Querkräften
Ql = 2,11kN
F=20kN
Qr = -17,89kN
FST=2kN/m²
A
C
B
Da im Punkt C die Kraft F = 20kN von oben
angreift, muß sie von Ql = 2,11kN
subtrahiert werden.
Als Ergebnis erhält man -17,89kN, siehe Qr.
FAV =12,71kN
FB =21,89kN
-17,89kN
0kN
12,11kN
ENDE
+21,89kN
-21,89kN
0kN
2,11kN
Das System wird wieder von einer
Streckenlast, 4kN.
Man subtrahiert die 4kN von dem vorherigen
Ergebnis, -17,89kN, und erhält -21,89kN.
Nun addiert man die Auflagerkraft FB = 21,89kN
zu diesem Ergebnis, -21,89kN, hinzu und erhäft
wieder 0kN.
Slide 14
Berechnen von Momenten und Querkräften
Ql = 2,11kN
F=20kN
Qr = -17,89kN
FST=2kN/m²
A
C
FAV =12,71kN
B
FB =21,89kN
-21,89kN
-17,89kN
Es kommt dieses Querkraftdiagramm
zustande.
0kN
12,11kN
ENDE
0kN
2,11kN
Slide 15
Berechnen von Momenten und Querkräften
F=20kN
M = 39,78kNm
FST=2kN/m²
A
B
C
FAV =12,71kN
FB =21,89kN
Im Punkt C ist das Moment M = 39,78kNm,
am größten, weil in diesem Punkt ein
Vorzeichenwechsel bei den Querkräften
stattfindet.
In den Punkten A und B ist das Moment M =
0kNm
0kNm
0kNm
39,78kNm
ENDE
Es ergibt sich folgendes Diagramm,
wenn man noch an anderen Stellen
des Systems noch die Momente
berechnet.
Slide 16
Berechnen von Momenten und Querkräften
F=20kN
FST=2kN/m²
A
B
C
Die Ergebnisse noch einmal
zusammengefaßt.
FAV = 12,11kN
FAV =12,11kN
FB =21,89kN
FB = 21,89kN
-21,89kN
Ql = 2,11kN
-17,89kN
Qr = -17,89kN
0kN
2,11kN
12,11kN
0kNm
ENDE
0kNm
39,78kNm
M = 39,78kNm
Berechnen von Momenten und Querkräften
(Voraussetzung: Auflagerkraftberechnung)
ENDE
Das statische System
Slide 2
Berechnen von Momenten und Querkräften
(Voraussetzung: Auflagerkraftberechnung)
Touch me!
ENDE
Die Belastung
Slide 3
Berechnen von Momenten und Querkräften
F =20kN
Gegeben ist ein statisches System mit
den Auflagerkräften: FAH, FAV und FB
FST =2kN/m
Das System wird mit einer Kraft F von oben
und einer Streckenlast von FST belastet.
FAH
FAV
FB
b
c
a/2
a/2
a
ENDE
Folgende Kräfte sind bekannt:
F = 20kN
FST = 2kN/m
Slide 4
Berechnen von Momenten und Querkräften
FST · a ist die gesamte
Streckenlast, FG
FG
F
Sie greift in der Mitte an.
F
Unter der Annahme, daß die Summe der Momente um
einen Drehpunkt null ergibt, kann man folgende
Formel aufstellen:
FST
A
B
FAH
MA = 0
FG · a/2 + F · b - FB · a= 0
FAV
FB
Jetzt kann man über die Summe der vertikalen
Lasten die Auflagerkraft FAV berechnen:
b
c
a/2
a/2
a
V = 0
FG + F - FB - FAV = 0
FAH = 0, da keine weiteren
Horizontalkräfte vorhanden sind.
ENDE
Slide 5
Berechnen von Momenten und Querkräften
F = 20kN
FST = 2kN/m
F =20kN
14kN= FG
F =20kN
Die Brücke ist 7,00m lang.
FST =2kN/m
A
B
FAV
FB
5,00
b
3,50
a/2
3,50
a/2
7,00
a
ENDE
2,00
c
Die Kraft F greift im Abstand von 2,00m zu FB an.
Zuerst wird FG berechnet:
FST · a = FG
2kN/m · 7,00m = 14kN
Slide 6
Berechnen von Momenten und Querkräften
MA = 0
14kN= FG
F =20kN
FG · a/2 + F · b - FB · a = 0
14kN · 3,50m + 20kN · 5,00m - FB · 7,00m = 0
A
B
FB = 21,89kN
FAV =12,11kN
FB =21,89kN
V = 0
FB + FAV - FG- F = 0
21,89kN + FAV - 14kN - 20kN = 0
5,00
b
2,00
c
FAV = 12,11kN
3,50
a/2
3,50
a/2
7,00
a
ENDE
Slide 7
Berechnen von Momenten und Querkräften
F=20kN
Um die Querkräfte berechnen zu können,
muß man als erstes das System auf die
größte Belastung hin untersuchen.
FST=2kN/m²
Dies geschieht in diesem Fall im Punkt C,
wo die Kraft F = 20kN angreift.
C
FAV =12,11kN
5,00
2,00
7,00
ENDE
FB =21,89kN
Slide 8
Berechnen von Momenten und Querkräften
F=20kN
FST=2kN/m²
FST = 2kN/m
C
FAV =12,71kN
5,00
2,00
7,00
ENDE
FB =21,89kN
Das System wird jetzt vor und hinter
dem Punkt C geschnitten.
Man kann das System von FAV nach
C oder von C nach FB betrachten.
Hier wird das System von C nach FB
untersucht.
Rechts und links von Punkt C werden
die Querkräfte und das Moment
berechnet.
Slide 9
Berechnen von Momenten und Querkräften
Zuerst wird die Schnittstelle links
von C betrachtet.
F=20kN
v = 0
FST + F - FB - Ql = 0
FSTkN
=2kN/m²
39,78
=M
FST = 2kN/m
C
Ql
=2,11kN
FAV = 6,63kN
4kN + 20kN - 21,89kN - Ql = 0
Ql = 2,11kN
FB =21,89kN
M = 0
FST · 1,00m - FB · 2,00m - MC = 0
5,00
2,01
4kN · 1,00m - 21,89kN · 2,00m + MC = 0
MC = 39,78kNm
7,00
ENDE
Slide 10
Berechnen von Momenten und Querkräften
Jetzt wird die Schnittstelle rechts
von C betrachtet.
F=60N
FST=2kN/m²
FST = 2kN/m
v = 0
FST - FB = 0
4kN - 21,89kN - Qr = 0
-17,89kN= Qr
C
FAV = 6,63kN
5,00
ENDE
FB =21,89kN
1,99
7,00
Qr = -17,89kN
Das Moment muß hier nicht berechnet
werden, da das Ergebnis mit dem von
der Vorseite übereinstimmt.
Slide 11
Berechnen von Momenten und Querkräften
F=20kN
Mit Hilfe der Bilanzregel kann man nun ein
Querkraftdiagramm erstellen.
FST=2kN/m²
Hier gilt die Regel:“Alles gute kommt von
unten.“
C
FAV =12,11kN
ENDE
FB =21,89kN
Das heißt, alle Kräfte, die von unten
angreifen, werden im Kräftekonto addiert
und alle Kräfte, die von oben angreifen,
werden subtrahiert.
Slide 12
Berechnen von Momenten und Querkräften
Ql = 2,11kN
F=20kN
Qr = -17,89kN
FST=2kN/m²
A
C
B
Im Auflagerpunkt A greift die Kraft FAV =
12,11kN an. Sie werden also positiv „verbucht“.
FAV =12,11kN
FB =21,89kN
Von Punkt A bis Punkt C wird das System
mit einer Streckenlast belastet, die 10kN
beträgt.
0kN
2,11kN
Diese 10kN subtrahiert man jetzt von den
12,11kN, weil die Last von oben angreift
und sich negativ auf das System auswirkt.
Das Ergebnis ist 2,11kN, siehe Ql.
12,11kN
ENDE
Slide 13
Berechnen von Momenten und Querkräften
Ql = 2,11kN
F=20kN
Qr = -17,89kN
FST=2kN/m²
A
C
B
Da im Punkt C die Kraft F = 20kN von oben
angreift, muß sie von Ql = 2,11kN
subtrahiert werden.
Als Ergebnis erhält man -17,89kN, siehe Qr.
FAV =12,71kN
FB =21,89kN
-17,89kN
0kN
12,11kN
ENDE
+21,89kN
-21,89kN
0kN
2,11kN
Das System wird wieder von einer
Streckenlast, 4kN.
Man subtrahiert die 4kN von dem vorherigen
Ergebnis, -17,89kN, und erhält -21,89kN.
Nun addiert man die Auflagerkraft FB = 21,89kN
zu diesem Ergebnis, -21,89kN, hinzu und erhäft
wieder 0kN.
Slide 14
Berechnen von Momenten und Querkräften
Ql = 2,11kN
F=20kN
Qr = -17,89kN
FST=2kN/m²
A
C
FAV =12,71kN
B
FB =21,89kN
-21,89kN
-17,89kN
Es kommt dieses Querkraftdiagramm
zustande.
0kN
12,11kN
ENDE
0kN
2,11kN
Slide 15
Berechnen von Momenten und Querkräften
F=20kN
M = 39,78kNm
FST=2kN/m²
A
B
C
FAV =12,71kN
FB =21,89kN
Im Punkt C ist das Moment M = 39,78kNm,
am größten, weil in diesem Punkt ein
Vorzeichenwechsel bei den Querkräften
stattfindet.
In den Punkten A und B ist das Moment M =
0kNm
0kNm
0kNm
39,78kNm
ENDE
Es ergibt sich folgendes Diagramm,
wenn man noch an anderen Stellen
des Systems noch die Momente
berechnet.
Slide 16
Berechnen von Momenten und Querkräften
F=20kN
FST=2kN/m²
A
B
C
Die Ergebnisse noch einmal
zusammengefaßt.
FAV = 12,11kN
FAV =12,11kN
FB =21,89kN
FB = 21,89kN
-21,89kN
Ql = 2,11kN
-17,89kN
Qr = -17,89kN
0kN
2,11kN
12,11kN
0kNm
ENDE
0kNm
39,78kNm
M = 39,78kNm