Transcript Differentialgleichungen auf dem TI92
Slide 1
Vom Modell zur
Differentialgleichung
Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht (IFB 19.659)
Gregor Noll
Januar 2002
Slide 2
Modellbildung
besonders geeignet für einen fach- und
themenübergreifenden Unterricht
für Schülerinnen und Schüler ein
ansprechender Themenkreis
hat im neuen Lehrplan einen hohen
Stellenwert
2
G. Noll
2002
Slide 3
Graphische Modellbildung
Entwicklung eines Modells auf einer
zunächst weitgehend mathematikfreien
Ebene bis hin zu einem Flüssediagramm
leichte Änderungsmöglichkeiten von
Modellbeziehungen und Parametern im
Simulationskreislauf
Ergebnisse in graphischer und tabellarischer
Darstellung
3
G. Noll
2002
Slide 4
Was steckt dahinter ?
System von Modellgleichungen
Numerische Integration
(Euler-Cauchy oder Runge-Kutta Verfahren)
Differentialgleichungen
4
G. Noll
2002
Slide 5
DGl im Lehrplan
Behandlung im Themenkreis „Weiterführung der
Differential- und Integralrechnung“
exemplarische Behandlung mit Beispielen:
Wachstumsvorgänge - Schwingungen
einfache Lösungsverfahren durch direkte Integration
ein numerisches Lösungsverfahren kennenlernen
graphische Darstellung der Lösung
5
G. Noll
2002
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Abkühlungsprozess
Heißer Kaffee der Temperatur 80°C soll so
abkühlen, dass er in der ersten Zeiteinheit 2K an
Temperatur verliert.
Typisches Anfangsmodell:
6
G. Noll
2002
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Abkühlungsprozess
Zeitdiagramm
linear fallend
Temp = -2*Zeit + 80
7
G. Noll
2002
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Abkühlungsprozess
Modellkritik
die Kaffeetemperatur kann nicht beliebig sinken
die Kaffeetemperatur ist nach unten durch die
Umgebungstemperatur beschränkt
die Abkühlungsrate ist nicht konstant, sondern nimmt im
Laufe der Zeit ab
eine lineare Abnahme der Kaffeetemperatur ist deshalb
unrealistisch
8
G. Noll
2002
Slide 9
Abkühlungsprozess
Wirkungsdiagramm
stabilisierend
-
9
G. Noll
2002
Slide 10
Abkühlungsprozess
Neues Modell
Hier fehlt uns der
Zusammenhang
zwischen
Abkühlungsrate und
Temperaturdifferenz
10
G. Noll
2002
Slide 11
Abkühlungsprozess
Neues Modell
Einfachster Fall:
Abkühlungsrate und
Temperaturdifferenz
sind zueinander
proportional
11
G. Noll
2002
Slide 12
Abkühlungsprozess
Neues Modell
12
G. Noll
2002
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Abkühlungsprozess
Graph der Temperatur
13
G. Noll
2002
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Abkühlungsprozess
Graph der Änderungsrate
14
G. Noll
2002
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Abkühlungsprozess
Modellgleichungen
Zustandsgleichungen
Kaffeetemperatur.neu <-- Kaffeetemperatur.alt + dt*(Abkühlungsrate)
Startwert Kaffeetemperatur = 80
Zustandsänderungen
Abkühlungsrate = PPF*Temperaturdifferenz
Konstanten
Umgebungstemperatur = 20
PPF = -2/60
Zwischenwerte
Temperaturdifferenz = Kaffeetemperatur-Umgebungstemperatur
15
G. Noll
2002
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Abkühlungsprozess
Differentialgleichung
Zustandsgleichungen
Kaffeetemperatur.neu <-- Kaffeetemperatur.alt + dt*(Abkühlungsrate)
Startwert Kaffeetemperatur = 80
y ( t t ) y ( t ) t ( A bkühlungsrate )
y (t t ) y (t )
A bkühlungsrate
t
im Grenzwert
y '( t ) A bkühlungsrate
16
G. Noll
2002
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Abkühlungsprozess
Differentialgleichung
y '( t ) A bkühlungsrate
Zustandsänderungen
Abkühlungsrate = PPF*Temperaturdifferenz
Konstanten
Umgebungstemperatur = 20
PPF = -2/60
Zwischenwerte
Temperaturdifferenz = Kaffeetemperatur-Umgebungstemperatur
y '( t )
2
60
( y ( t ) 20)
17
G. Noll
2002
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Einsatz des TI-92
Über [Mode] den Graphikmodus Diff Equations
auswählen
Im [y=] Editor können wir die Gleichungen und
Bedingungen eingeben
18
G. Noll
2002
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Die DGL y´ = -1/30(y-20)
Eingabe im [y=] Editor
Bei diesem Wert tritt die
Anfangsbedingung ein
DGL
Hier können wir eine
oder mehrere
Anfangsbedingungen
angeben
19
G. Noll
2002
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Näherungsverfahren
Unter [F1-9] wählen wir zwischen RungeKutta und Euler-Verfahren
20
G. Noll
2002
Slide 21
Graphische Darstellung
Unter [F1-9] wählen wir auch die Art der
Graphik
nur für DGL
1.Ordnung
nur für DGL
2.Ordnung bzw.
Systeme von 2
DGL 1.Ordnung
21
G. Noll
2002
Slide 22
Graphische Darstellung
Mit [Graph] erhalten wir das Steigungsfeld
der DGL :
... das mit den Standardeinstellungen
nicht besonders aussagekräftig ist
22
G. Noll
2002
Slide 23
Graphikeinstellungen
Über [Window] gelangen wir in ein Fenster
mit Einstellmöglichkeiten für die Graphik:
Anfangswert der
zur Auswertung
benutzen t-Werte
Schrittweite und
max. t-Wert
werden beim
Steigungsfeld
SLPFLD ignoriert
erster geplotteter
t-Wert
23
G. Noll
2002
Slide 24
Graphikeinstellungen
Über [Window] gelangen wir in ein Fenster
mit Einstellmöglichkeiten für die Graphik:
x-Wertebereich des
Ansichtsfensters und
Abstand der
Markierungen
y-Wertebereich des
Ansichtsfensters und
Abstand der
Markierungen
24
G. Noll
2002
Slide 25
Graphikeinstellungen
Über [Window] gelangen wir in ein Fenster
mit Einstellmöglichkeiten für die Graphik:
Anzahl der
Lösungskurven, die
automatisch
gezeichnet werden
Anzahl der EULERIterationen zwischen
den tstep-Werten
25
G. Noll
2002
Slide 26
Graphikeinstellungen
Über [Window] gelangen wir in ein Fenster
mit Einstellmöglichkeiten für die Graphik:
Toleranz bei der
Auflösung von
Gleichungen des RKVerfahrens
Anzahl der Spalten
für das Steigungsbzw. Richtungsfeld
26
G. Noll
2002
Slide 27
Graphikeinstellungen
Für unsere DGl verwenden wir
xmin = -10
xmax = 150
xscl = 10
ymin = -10
ymax = 90
yscl = 10
27
G. Noll
2002
Slide 28
Steigungsfeld
Mit den richtigen Einstellungen erhalten wir
ein deutlich aussagekräftigeres Steigungsfeld
28
G. Noll
2002
Slide 29
Spezielle Lösungskurve
Sobald wir einen Anfangswert festlegen,
wird der Graph der dazugehörigen
Lösungsfunktion gezeichnet
29
G. Noll
2002
Slide 30
Anfangsbedingungen
Wir können
Anfangsbedingungen vom TI-92 automatisch
wählen lassen
im y-Editor eine Liste von Anfangsbedingungen
eingeben
mit der Fenstervariablen ncurves
z. B. yi1={10,15,20}
Anfangsbedingungen interaktiv in der Graphik
setzen
nach [F8] mit dem Cursor die Stelle auswählen
30
G. Noll
2002
Slide 31
Rechnerische Lösung
Mit der Funktion deSolve lassen sich allgemeine
und spezielle Lösungen von DGL exakt auflösen
@1 ist eine Konstante
Syntax: deSolve(DGL, unabhängige Variable, abhängige Variable)
31
G. Noll
2002
Slide 32
Lösung mit Anfangsbedingung
Die in der allgemeinen Lösung auftretende
Konstante lässt sich bei Vorgabe einer
Anfangsbedingung bestimmen
berechnete
Konstante: 80 - 20
Anfangsbedingung
32
G. Noll
2002
Slide 33
TI-92 ohne Plus Modul
Der TI-92 ohne Plus Erweiterung besitzt
nicht die besprochenen Möglichkeiten für
DGL
Was kann man tun?
Selbst die notwendigen Module
programmieren
Auf fertige Programme für DGL
zurückgreifen
33
G. Noll
2002
Slide 34
Eigene Programme
Die Erzeugung eines Steigungsfeldes lässt sich
leicht selbst programmieren. Dabei wird
durchsichtig, wie dieses Feld entsteht und welche
Parameter für die Zeichnung erforderlich sind.
Das Euler-Verfahren für die Lösung bei einer
Anfangsbedingung ist eine einfache Veränderung
des Programms für das Steigungsfeld
34
G. Noll
2002
Slide 35
stfeld( )
stfeld(fkt, tp, yp, tvon, tbis, yvon, ybis)
Prgm
stfeld(-1/30(y-20),t,y,-10,150,-10,90)
Local dt,dy,dg,m,tx,yy
tvon xmin: tbis xmax
yvon ymin: ybis ymax
(tbis-tvon)/32 dt: dt/4 dg
(ybis-yvon)/14 dy
For tx, tvon, tbis, dt
For yy, yvon, ybis, dy
fkt | (tp=tx and yp=yy) m
Line tx-dg, yy-m*dg, tx+dg, yy+m*dg
EndFor
EndFor
EndPrgm
G. Noll
35
2002
Slide 36
euler( )
euler(fkt, tp, yp, tvon, tbis, yvon, ybis, ta, ya)
Prgm
Local dt, dy, m, tx, yy, tx1, tx2, yy1, yy2
tvon xmin: tbis xmax
yvon ymin: ybis ymax
(tbis-tvon)/32 dt: (ybis-yvon)/14 dy
Anfangswert
ta tx1: ya yy1
ta tx1: ya yy1: -dt dt
For tx, ta, tbis, dt
fkt | (tp=tx and yp=yy1) m
tx+dt tx2: yy1+m*dt yy2
Line tx1,yy1,tx2,yy2
tx2 tx1: yy2 yy1
EndFor
For tx, ta, tvon, dt
fkt|tp=tx and yp=yy1 m
tx+dt tx2: yy1+m*dt yy2
Line tx1,yy1,tx2,yy2
tx2 tx1: yy2 yy1
EndFor
G. Noll
EndPrgm
36
2002
Slide 37
Selbstprogrammierte Graphik
DGL y´ = -1/30(y-20)
Eingaben in den TI92
stfeld(-1/30(y-20),t,y,-10,150,-10,90)
euler(-1/30(y-20),t,y,-10,150,-10,90,0,80)
37
G. Noll
2002
Slide 38
Der Forellenteich
In einem Teich mit 180hl Wassermenge befinden
sich 150 Forellen. Ein Zufluss führt pro Minute 20
Liter Wasser zu, durch das im Durchschnitt 3
Forellen pro 750 Liter in den Teich gelangen. Um
den Teich aufzufüllen, ist der Abfluss gedrosselt
und beträgt nur 18 Liter pro Minute. Durch den
Abfluss gehen eine dem Bestand und Volumen des
Teiches entsprechende Menge Forellen verloren.
Wie entwickelt sich der Forellenbestand?
38
G. Noll
2002
Slide 39
Modellierung in Dynasis
Flüssediagramm
39
G. Noll
2002
Slide 40
Modellierung in Dynasis
Modellgleichungen
Zustandsgleichungen
Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt + dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme)
Startwert Forellenbestand = 150
Wassermenge.neu <-- Wassermenge.alt + dt*(Zufluss-Abfluss)
Startwert Wassermenge = 18000
Zustandsänderungen
Zufluss = 20
Abfluss = 18
Forellen_Zunahme = Zufluss*3/750
Forellen_Abnahme = Forellenbestand/Wassermenge*Abfluss
Konstanten
Zwischenwerte
40
G. Noll
2002
Slide 41
Modellierung in Dynasis
Forellenbestand
41
G. Noll
2002
Slide 42
Aufstellen der DGL
Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt +
dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme)
y ( t t ) y ( t ) t ( F orellen _ Z unahm e F orellen _ A bnahm e )
Zufluss = 20
Forellen_Zunahme = Zufluss*3/750 = 60/750
y ( t t ) y ( t ) t (60 / 750 F orellen _ A bnahm e )
42
G. Noll
2002
Slide 43
Aufstellen der DGL
Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt +
dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme)
y ( t t ) y ( t ) t (60 / 750 F orellen _ A bnahm e )
Forellen_Abnahme = Forellenbestand/Wassermenge*Abfluss
Abfluss = 18
Forellen_Abnahme = y(t)*18/Wassermenge
y ( t t ) y ( t ) t (60 / 750 y ( t ) 18 / W asserm enge )
43
G. Noll
2002
Slide 44
Aufstellen der DGL
Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt +
dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme)
y ( t t ) y ( t ) t (60 / 750 y ( t ) 18 / W asserm enge )
Startwert Wassermenge = 18000
Wassermenge.neu <-- Wassermenge.alt + dt*(Zufluss-Abfluss)
Linearer Zusammenhang !
Wassermenge(t) = StartwertWassermenge + t(20-18)
Wassermenge(t) = 18000+2t
y ( t t ) y ( t ) t (60 / 750 y ( t ) 18 /(18000 2 t )
44
G. Noll
2002
Slide 45
Aufstellen der DGL
Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt +
dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme)
y ( t t ) y ( t ) t (60 / 750 y ( t ) 18 /(18000 2 t )
y (t t ) y (t )
60 / 750 y ( t ) 18 /(18000 2 t )
t
y '( t )
2
25
9
9000 t
y (t )
45
G. Noll
2002
Slide 46
Graphik mit dem TI-92
Zunächst das Steigungsfeld
Window-Einstellung
46
G. Noll
2002
Slide 47
Graphik mit dem TI-92
dann eine spezielle Lösung mit (0,150)
Das Minimum können wir mit einem Trace
[F3] bestimmen
47
G. Noll
2002
Slide 48
Exakte Lösung
Wir lösen die DGl mit dem TI-92
y '( t )
2
25
9
9000 t
y (t )
mit Startwert (0;150)
48
G. Noll
2002
Slide 49
Exakte Lösung
Wir lösen die DGl mit dem TI-92
y '( t )
2
25
9
9000 t
y (t )
mit Startwert (0;150)
49
G. Noll
2002
Slide 50
Modellkritik
Vernachlässigung der biologischen Vermehrung
Der konstante Zuwachs der Forellen durch den
Zufluss
Können Forellen eventuell auch durch den Zufluss
entweichen?
Ist das Auffüllen des Teiches unbeschränkt
möglich?
???
ÜA
50
G. Noll
2002
Slide 51
Literatur
Bossel, Hartmut
Modellbildung und Simulation
Braunschweig, 19942
Eike, B. - Holzherr, E.
Analysis mit dem CAS des TI92
Teil 4: Differentialgleichungen
ETH Zürich, 1997
http://www.educeth.ch/mathematik/ti92/analysis.html
51
G. Noll
2002
Slide 52
Danke
für Ihre Aufmerksamkeit !
52
G. Noll
2002
Slide 53
Die DGl
dy
dx
Ermitteln Sie geometrisch
näherungsweise die
Steigung an den Punkten
P(5;2) und Q(-8;9)
Überprüfen Sie die
Ergebnisse rechnerisch.
0.36
x
y
53
G. Noll
2002
Slide 54
Die DGl
dy
dx
0.36
x
y
Starten Sie im Punkt A(0;6)
und zeichne den Graphen, der
diejenige spezielle Lösung der
DGl repräsentiert, die den
Punkt A enthält.
54
G. Noll
2002
Slide 55
Die DGl
dy
dx
Starten Sie im Punkt
P(5;2) und zeichnen Sie
eine weitere spezielle
Lösungskurve der DGl.
Die Lösungskurven
scheinen Ellipsen zu sein
0.36
x
y
55
G. Noll
2002
Slide 56
dy
Die DGl
dx
0.36
x
y
Lösen Sie die DGl algebraisch über den Ansatz
„Trennung der Variablen” und ermitteln Sie die
speziellen Lösungen für die beiden Anfangsbedingungen der vorherigen Teilaufgaben
ydy 0, 36 xdx
ydy 0, 36 xdx
0, 5 y 0,18 x C
2
2
P (0; 6) 0, 5 * 36 0,18 * 0 C C 1 8
56
G. Noll
2002
Slide 57
Die DGl
dy
dx
0.36
x
y
Stellen Sie das Steigungsfeld und die speziellen
Lösungskurven der DGl mit dem TI-92 dar
57
G. Noll
2002
Slide 58
Die DGl
dy
dx
0.36
x
y
Ermitteln Sie die allgemeine und die
speziellen Lösungen mit dem TI-92
58
G. Noll
2002
Slide 59
Literatur
Bossel, Hartmut
Modellbildung und Simulation
Braunschweig, 19942
Eike, B. - Holzherr, E.
Analysis mit dem CAS des TI92
Teil 4: Differentialgleichungen
ETH Zürich, 1997
http://www.educeth.ch/mathematik/ti92/analysis.html
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G. Noll
2002
Slide 60
Danke
für Ihre Aufmerksamkeit !
60
G. Noll
2002
Slide 61
Flüssediagramm
61
G. Noll
2002
Slide 62
Simulationskreislauf
Wortmodell
Wirkungsdiagramm
reale Situation
Übersetzen
Modell
Flüssediagramm
formales Modell
Beurteilen
Auswertung
Simulieren
Interpretieren
Ergebnisse
62
G. Noll
2002
Slide 63
Window-Einstellung
63
G. Noll
2002
Vom Modell zur
Differentialgleichung
Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht (IFB 19.659)
Gregor Noll
Januar 2002
Slide 2
Modellbildung
besonders geeignet für einen fach- und
themenübergreifenden Unterricht
für Schülerinnen und Schüler ein
ansprechender Themenkreis
hat im neuen Lehrplan einen hohen
Stellenwert
2
G. Noll
2002
Slide 3
Graphische Modellbildung
Entwicklung eines Modells auf einer
zunächst weitgehend mathematikfreien
Ebene bis hin zu einem Flüssediagramm
leichte Änderungsmöglichkeiten von
Modellbeziehungen und Parametern im
Simulationskreislauf
Ergebnisse in graphischer und tabellarischer
Darstellung
3
G. Noll
2002
Slide 4
Was steckt dahinter ?
System von Modellgleichungen
Numerische Integration
(Euler-Cauchy oder Runge-Kutta Verfahren)
Differentialgleichungen
4
G. Noll
2002
Slide 5
DGl im Lehrplan
Behandlung im Themenkreis „Weiterführung der
Differential- und Integralrechnung“
exemplarische Behandlung mit Beispielen:
Wachstumsvorgänge - Schwingungen
einfache Lösungsverfahren durch direkte Integration
ein numerisches Lösungsverfahren kennenlernen
graphische Darstellung der Lösung
5
G. Noll
2002
Slide 6
Abkühlungsprozess
Heißer Kaffee der Temperatur 80°C soll so
abkühlen, dass er in der ersten Zeiteinheit 2K an
Temperatur verliert.
Typisches Anfangsmodell:
6
G. Noll
2002
Slide 7
Abkühlungsprozess
Zeitdiagramm
linear fallend
Temp = -2*Zeit + 80
7
G. Noll
2002
Slide 8
Abkühlungsprozess
Modellkritik
die Kaffeetemperatur kann nicht beliebig sinken
die Kaffeetemperatur ist nach unten durch die
Umgebungstemperatur beschränkt
die Abkühlungsrate ist nicht konstant, sondern nimmt im
Laufe der Zeit ab
eine lineare Abnahme der Kaffeetemperatur ist deshalb
unrealistisch
8
G. Noll
2002
Slide 9
Abkühlungsprozess
Wirkungsdiagramm
stabilisierend
-
9
G. Noll
2002
Slide 10
Abkühlungsprozess
Neues Modell
Hier fehlt uns der
Zusammenhang
zwischen
Abkühlungsrate und
Temperaturdifferenz
10
G. Noll
2002
Slide 11
Abkühlungsprozess
Neues Modell
Einfachster Fall:
Abkühlungsrate und
Temperaturdifferenz
sind zueinander
proportional
11
G. Noll
2002
Slide 12
Abkühlungsprozess
Neues Modell
12
G. Noll
2002
Slide 13
Abkühlungsprozess
Graph der Temperatur
13
G. Noll
2002
Slide 14
Abkühlungsprozess
Graph der Änderungsrate
14
G. Noll
2002
Slide 15
Abkühlungsprozess
Modellgleichungen
Zustandsgleichungen
Kaffeetemperatur.neu <-- Kaffeetemperatur.alt + dt*(Abkühlungsrate)
Startwert Kaffeetemperatur = 80
Zustandsänderungen
Abkühlungsrate = PPF*Temperaturdifferenz
Konstanten
Umgebungstemperatur = 20
PPF = -2/60
Zwischenwerte
Temperaturdifferenz = Kaffeetemperatur-Umgebungstemperatur
15
G. Noll
2002
Slide 16
Abkühlungsprozess
Differentialgleichung
Zustandsgleichungen
Kaffeetemperatur.neu <-- Kaffeetemperatur.alt + dt*(Abkühlungsrate)
Startwert Kaffeetemperatur = 80
y ( t t ) y ( t ) t ( A bkühlungsrate )
y (t t ) y (t )
A bkühlungsrate
t
im Grenzwert
y '( t ) A bkühlungsrate
16
G. Noll
2002
Slide 17
Abkühlungsprozess
Differentialgleichung
y '( t ) A bkühlungsrate
Zustandsänderungen
Abkühlungsrate = PPF*Temperaturdifferenz
Konstanten
Umgebungstemperatur = 20
PPF = -2/60
Zwischenwerte
Temperaturdifferenz = Kaffeetemperatur-Umgebungstemperatur
y '( t )
2
60
( y ( t ) 20)
17
G. Noll
2002
Slide 18
Einsatz des TI-92
Über [Mode] den Graphikmodus Diff Equations
auswählen
Im [y=] Editor können wir die Gleichungen und
Bedingungen eingeben
18
G. Noll
2002
Slide 19
Die DGL y´ = -1/30(y-20)
Eingabe im [y=] Editor
Bei diesem Wert tritt die
Anfangsbedingung ein
DGL
Hier können wir eine
oder mehrere
Anfangsbedingungen
angeben
19
G. Noll
2002
Slide 20
Näherungsverfahren
Unter [F1-9] wählen wir zwischen RungeKutta und Euler-Verfahren
20
G. Noll
2002
Slide 21
Graphische Darstellung
Unter [F1-9] wählen wir auch die Art der
Graphik
nur für DGL
1.Ordnung
nur für DGL
2.Ordnung bzw.
Systeme von 2
DGL 1.Ordnung
21
G. Noll
2002
Slide 22
Graphische Darstellung
Mit [Graph] erhalten wir das Steigungsfeld
der DGL :
... das mit den Standardeinstellungen
nicht besonders aussagekräftig ist
22
G. Noll
2002
Slide 23
Graphikeinstellungen
Über [Window] gelangen wir in ein Fenster
mit Einstellmöglichkeiten für die Graphik:
Anfangswert der
zur Auswertung
benutzen t-Werte
Schrittweite und
max. t-Wert
werden beim
Steigungsfeld
SLPFLD ignoriert
erster geplotteter
t-Wert
23
G. Noll
2002
Slide 24
Graphikeinstellungen
Über [Window] gelangen wir in ein Fenster
mit Einstellmöglichkeiten für die Graphik:
x-Wertebereich des
Ansichtsfensters und
Abstand der
Markierungen
y-Wertebereich des
Ansichtsfensters und
Abstand der
Markierungen
24
G. Noll
2002
Slide 25
Graphikeinstellungen
Über [Window] gelangen wir in ein Fenster
mit Einstellmöglichkeiten für die Graphik:
Anzahl der
Lösungskurven, die
automatisch
gezeichnet werden
Anzahl der EULERIterationen zwischen
den tstep-Werten
25
G. Noll
2002
Slide 26
Graphikeinstellungen
Über [Window] gelangen wir in ein Fenster
mit Einstellmöglichkeiten für die Graphik:
Toleranz bei der
Auflösung von
Gleichungen des RKVerfahrens
Anzahl der Spalten
für das Steigungsbzw. Richtungsfeld
26
G. Noll
2002
Slide 27
Graphikeinstellungen
Für unsere DGl verwenden wir
xmin = -10
xmax = 150
xscl = 10
ymin = -10
ymax = 90
yscl = 10
27
G. Noll
2002
Slide 28
Steigungsfeld
Mit den richtigen Einstellungen erhalten wir
ein deutlich aussagekräftigeres Steigungsfeld
28
G. Noll
2002
Slide 29
Spezielle Lösungskurve
Sobald wir einen Anfangswert festlegen,
wird der Graph der dazugehörigen
Lösungsfunktion gezeichnet
29
G. Noll
2002
Slide 30
Anfangsbedingungen
Wir können
Anfangsbedingungen vom TI-92 automatisch
wählen lassen
im y-Editor eine Liste von Anfangsbedingungen
eingeben
mit der Fenstervariablen ncurves
z. B. yi1={10,15,20}
Anfangsbedingungen interaktiv in der Graphik
setzen
nach [F8] mit dem Cursor die Stelle auswählen
30
G. Noll
2002
Slide 31
Rechnerische Lösung
Mit der Funktion deSolve lassen sich allgemeine
und spezielle Lösungen von DGL exakt auflösen
@1 ist eine Konstante
Syntax: deSolve(DGL, unabhängige Variable, abhängige Variable)
31
G. Noll
2002
Slide 32
Lösung mit Anfangsbedingung
Die in der allgemeinen Lösung auftretende
Konstante lässt sich bei Vorgabe einer
Anfangsbedingung bestimmen
berechnete
Konstante: 80 - 20
Anfangsbedingung
32
G. Noll
2002
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TI-92 ohne Plus Modul
Der TI-92 ohne Plus Erweiterung besitzt
nicht die besprochenen Möglichkeiten für
DGL
Was kann man tun?
Selbst die notwendigen Module
programmieren
Auf fertige Programme für DGL
zurückgreifen
33
G. Noll
2002
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Eigene Programme
Die Erzeugung eines Steigungsfeldes lässt sich
leicht selbst programmieren. Dabei wird
durchsichtig, wie dieses Feld entsteht und welche
Parameter für die Zeichnung erforderlich sind.
Das Euler-Verfahren für die Lösung bei einer
Anfangsbedingung ist eine einfache Veränderung
des Programms für das Steigungsfeld
34
G. Noll
2002
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stfeld( )
stfeld(fkt, tp, yp, tvon, tbis, yvon, ybis)
Prgm
stfeld(-1/30(y-20),t,y,-10,150,-10,90)
Local dt,dy,dg,m,tx,yy
tvon xmin: tbis xmax
yvon ymin: ybis ymax
(tbis-tvon)/32 dt: dt/4 dg
(ybis-yvon)/14 dy
For tx, tvon, tbis, dt
For yy, yvon, ybis, dy
fkt | (tp=tx and yp=yy) m
Line tx-dg, yy-m*dg, tx+dg, yy+m*dg
EndFor
EndFor
EndPrgm
G. Noll
35
2002
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euler( )
euler(fkt, tp, yp, tvon, tbis, yvon, ybis, ta, ya)
Prgm
Local dt, dy, m, tx, yy, tx1, tx2, yy1, yy2
tvon xmin: tbis xmax
yvon ymin: ybis ymax
(tbis-tvon)/32 dt: (ybis-yvon)/14 dy
Anfangswert
ta tx1: ya yy1
ta tx1: ya yy1: -dt dt
For tx, ta, tbis, dt
fkt | (tp=tx and yp=yy1) m
tx+dt tx2: yy1+m*dt yy2
Line tx1,yy1,tx2,yy2
tx2 tx1: yy2 yy1
EndFor
For tx, ta, tvon, dt
fkt|tp=tx and yp=yy1 m
tx+dt tx2: yy1+m*dt yy2
Line tx1,yy1,tx2,yy2
tx2 tx1: yy2 yy1
EndFor
G. Noll
EndPrgm
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2002
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Selbstprogrammierte Graphik
DGL y´ = -1/30(y-20)
Eingaben in den TI92
stfeld(-1/30(y-20),t,y,-10,150,-10,90)
euler(-1/30(y-20),t,y,-10,150,-10,90,0,80)
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G. Noll
2002
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Der Forellenteich
In einem Teich mit 180hl Wassermenge befinden
sich 150 Forellen. Ein Zufluss führt pro Minute 20
Liter Wasser zu, durch das im Durchschnitt 3
Forellen pro 750 Liter in den Teich gelangen. Um
den Teich aufzufüllen, ist der Abfluss gedrosselt
und beträgt nur 18 Liter pro Minute. Durch den
Abfluss gehen eine dem Bestand und Volumen des
Teiches entsprechende Menge Forellen verloren.
Wie entwickelt sich der Forellenbestand?
38
G. Noll
2002
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Modellierung in Dynasis
Flüssediagramm
39
G. Noll
2002
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Modellierung in Dynasis
Modellgleichungen
Zustandsgleichungen
Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt + dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme)
Startwert Forellenbestand = 150
Wassermenge.neu <-- Wassermenge.alt + dt*(Zufluss-Abfluss)
Startwert Wassermenge = 18000
Zustandsänderungen
Zufluss = 20
Abfluss = 18
Forellen_Zunahme = Zufluss*3/750
Forellen_Abnahme = Forellenbestand/Wassermenge*Abfluss
Konstanten
Zwischenwerte
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G. Noll
2002
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Modellierung in Dynasis
Forellenbestand
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G. Noll
2002
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Aufstellen der DGL
Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt +
dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme)
y ( t t ) y ( t ) t ( F orellen _ Z unahm e F orellen _ A bnahm e )
Zufluss = 20
Forellen_Zunahme = Zufluss*3/750 = 60/750
y ( t t ) y ( t ) t (60 / 750 F orellen _ A bnahm e )
42
G. Noll
2002
Slide 43
Aufstellen der DGL
Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt +
dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme)
y ( t t ) y ( t ) t (60 / 750 F orellen _ A bnahm e )
Forellen_Abnahme = Forellenbestand/Wassermenge*Abfluss
Abfluss = 18
Forellen_Abnahme = y(t)*18/Wassermenge
y ( t t ) y ( t ) t (60 / 750 y ( t ) 18 / W asserm enge )
43
G. Noll
2002
Slide 44
Aufstellen der DGL
Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt +
dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme)
y ( t t ) y ( t ) t (60 / 750 y ( t ) 18 / W asserm enge )
Startwert Wassermenge = 18000
Wassermenge.neu <-- Wassermenge.alt + dt*(Zufluss-Abfluss)
Linearer Zusammenhang !
Wassermenge(t) = StartwertWassermenge + t(20-18)
Wassermenge(t) = 18000+2t
y ( t t ) y ( t ) t (60 / 750 y ( t ) 18 /(18000 2 t )
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G. Noll
2002
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Aufstellen der DGL
Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt +
dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme)
y ( t t ) y ( t ) t (60 / 750 y ( t ) 18 /(18000 2 t )
y (t t ) y (t )
60 / 750 y ( t ) 18 /(18000 2 t )
t
y '( t )
2
25
9
9000 t
y (t )
45
G. Noll
2002
Slide 46
Graphik mit dem TI-92
Zunächst das Steigungsfeld
Window-Einstellung
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G. Noll
2002
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Graphik mit dem TI-92
dann eine spezielle Lösung mit (0,150)
Das Minimum können wir mit einem Trace
[F3] bestimmen
47
G. Noll
2002
Slide 48
Exakte Lösung
Wir lösen die DGl mit dem TI-92
y '( t )
2
25
9
9000 t
y (t )
mit Startwert (0;150)
48
G. Noll
2002
Slide 49
Exakte Lösung
Wir lösen die DGl mit dem TI-92
y '( t )
2
25
9
9000 t
y (t )
mit Startwert (0;150)
49
G. Noll
2002
Slide 50
Modellkritik
Vernachlässigung der biologischen Vermehrung
Der konstante Zuwachs der Forellen durch den
Zufluss
Können Forellen eventuell auch durch den Zufluss
entweichen?
Ist das Auffüllen des Teiches unbeschränkt
möglich?
???
ÜA
50
G. Noll
2002
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Literatur
Bossel, Hartmut
Modellbildung und Simulation
Braunschweig, 19942
Eike, B. - Holzherr, E.
Analysis mit dem CAS des TI92
Teil 4: Differentialgleichungen
ETH Zürich, 1997
http://www.educeth.ch/mathematik/ti92/analysis.html
51
G. Noll
2002
Slide 52
Danke
für Ihre Aufmerksamkeit !
52
G. Noll
2002
Slide 53
Die DGl
dy
dx
Ermitteln Sie geometrisch
näherungsweise die
Steigung an den Punkten
P(5;2) und Q(-8;9)
Überprüfen Sie die
Ergebnisse rechnerisch.
0.36
x
y
53
G. Noll
2002
Slide 54
Die DGl
dy
dx
0.36
x
y
Starten Sie im Punkt A(0;6)
und zeichne den Graphen, der
diejenige spezielle Lösung der
DGl repräsentiert, die den
Punkt A enthält.
54
G. Noll
2002
Slide 55
Die DGl
dy
dx
Starten Sie im Punkt
P(5;2) und zeichnen Sie
eine weitere spezielle
Lösungskurve der DGl.
Die Lösungskurven
scheinen Ellipsen zu sein
0.36
x
y
55
G. Noll
2002
Slide 56
dy
Die DGl
dx
0.36
x
y
Lösen Sie die DGl algebraisch über den Ansatz
„Trennung der Variablen” und ermitteln Sie die
speziellen Lösungen für die beiden Anfangsbedingungen der vorherigen Teilaufgaben
ydy 0, 36 xdx
ydy 0, 36 xdx
0, 5 y 0,18 x C
2
2
P (0; 6) 0, 5 * 36 0,18 * 0 C C 1 8
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G. Noll
2002
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Die DGl
dy
dx
0.36
x
y
Stellen Sie das Steigungsfeld und die speziellen
Lösungskurven der DGl mit dem TI-92 dar
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G. Noll
2002
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Die DGl
dy
dx
0.36
x
y
Ermitteln Sie die allgemeine und die
speziellen Lösungen mit dem TI-92
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G. Noll
2002
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Literatur
Bossel, Hartmut
Modellbildung und Simulation
Braunschweig, 19942
Eike, B. - Holzherr, E.
Analysis mit dem CAS des TI92
Teil 4: Differentialgleichungen
ETH Zürich, 1997
http://www.educeth.ch/mathematik/ti92/analysis.html
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G. Noll
2002
Slide 60
Danke
für Ihre Aufmerksamkeit !
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G. Noll
2002
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Flüssediagramm
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G. Noll
2002
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Simulationskreislauf
Wortmodell
Wirkungsdiagramm
reale Situation
Übersetzen
Modell
Flüssediagramm
formales Modell
Beurteilen
Auswertung
Simulieren
Interpretieren
Ergebnisse
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G. Noll
2002
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Window-Einstellung
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G. Noll
2002