Transcript Aplicaciones de la Integral Definida
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ANALISIS MATEMATICO PARA
ECONOMISTAS
Aplicaciones de la
Integral definida
Slide 2
Cambio Neto
En muchas aplicaciones prácticas, se
proporciona la razón de cambio Q’(x)
de una cantidad y se requiere calcular el
cambio neto:
b
CN Q(b) Q(a) Q´ (x)dx
a
en Q (x), cuando x varía desde x=a
hasta x=b
Slide 3
y
Q´(x)
CN
b
Q ´(x) dx
a
CN
a
b
x
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Ejemplo 1
En cierta fábrica, el costo marginal es
6(q - 5)2 dólares por unidad cuando el
nivel de producción es “q” unidades.
¿En cuánto aumentará el costo total de
fabricación, si el nivel de producción
sube de 10 a 13 unidades?
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Ejemplo 2
El valor de reventa de cierta máquina
industrial decrece durante un periodo de
10 años a una razón que cambia con el
tiempo. Cuando la máquina tiene x
años, la razón a la cual cambia su valor
es 220(x-10) dólares al año. ¿En cuánto
se deprecia la máquina durante el
segundo año?
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Exceso de Utilidad Neta
Si dentro de “t” años dos planes de
Inversión generan utilidades a unas
tasas P´1(t), P´2(t) tal que se cumple
que P´2(t) > P´1(t) durante los primeros
N años, entonces, el exceso de utilidad
neta es
N
UN
P ´ (t ) P ' (t ) dt
2
o
1
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y (dólares al año)
P1´(t)
P2´(t)
N
UN
P ´ (t ) P ' (t ) dt
2
1
o
N
t (años)
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Ejemplo
Suponga que dentro de “t” años un plan de
Inversión generará utilidades a razón de
P´1(t) = 100+t2 cientos de dólares al año,
mientras una segunda inversión generará
utilidades a una razón P´2(t) = 220+2t
cientos de dólares al año
a) ¿Durante cuántos años la tasa de rentabilidad
de la segunda inversión excederá a la primera?
b) Calcule el exceso de utilidad neta durante el
periodo determinado en el literal a).
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Ganancias netas producidas por equipos industriales
y (dólares al año)
Ganancia neta
C´(t)
T
GN
R ´( t ) C '( t ) dt
o
R´(t)
T
t (años)
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Ganancias netas producidas por equipos industriales
Suponga que dentro t años una máquina generará
ingresos a razón de R’(t) = 5000-20t2 dólares al
año y que los costos totales se acumulan a una
razón de C’(t) = 2000 + 10 t2 dólares al año.
a) ¿Cuántos años transcurren antes que la
rentabilidad de la máquina disminuya?
b) Calcule las ganancias netas generadas por la
máquina durante el periodo determinado en a)
c) Si se empleara la máquina durante 15 años
¿Cuánto sería la ganancia que se obtendría ?
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Monto disponible a gastar al adquirir q0 unidades
p (dólares por unidad)
El precio que los consumidores están dispuestos a
pagar por obtener una unidad adicional disminuye
cuando el número de unidades compradas aumenta.
p = D(q)
0
1
2
3
q
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p (dólares por unidad)
Disponibilidad total a gastar
por los Consumidores
q0
D(q) dq
0
p= D(q)
q
0
q0
Slide 13
Ejemplo
Suponga que la demanda de los
consumidores de cierto artículo es
D(q)=2(64 - q2) dólares por unidad.
a) Halle la cantidad total de dinero que el
consumidor esta dispuesto a pagar por 6
unidades del artículo
b) Trace la curva de demanda e interprete
como área la respuesta obtenida en a)
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Excedente de los consumidores
p
Excedente de los
consumidores
p = D(q)
q0
EC D(q)dq p0 q0
p0
0
Gasto
real
0
q0
q
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Si se venden q0 unidades de un artículo a p0 la
unidad y si p =D(q) es la función de demanda de
los consumidores del artículo, entonces:
Excedente del
consumidor
cantidad total que
los consumidor es
están dispuestos a
pagar por q 0 unidades
EC
q0
0
gasto real del
consumidor
en q 0 unidades
D(q)dq p0 q0
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Excedente de los productores
p (dólares por unidad)
p = S(q)
P0
Excedente de los
productores
q0
EP p0 q0 S (q)dq
0
q0
q ( unidades)
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Si se venden q0unidades a p0 dólares la unidad y
si p = S(q) es la función de oferta de los
productores del artículo, entonces:
Excedente de
los
productore
s
gasto real del
consumidor por
q 0 unidades
q0
cantidad total que los
productore s estarían
dispuestos a recibir
cuando se ofrecen q 0
unidades
EP p0 q0 S (q)dq
0
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Ejemplo 1
Un fabricante de llantas calcula que los mayoristas
comprarán q (miles) de llantas radiales si:
p = -0,1q2 + 90 dólares la unidad, y el mismo
número de llantas se suministrará cuando
p = 0,2q2+ q +50 dólares por llanta.
a) Halle el precio de equilibrio y la cantidad
suministrada y demandada a ese precio.
b) Determine el excedente de los consumidores y de
los productores al precio de equilibrio.
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Ejemplo 2
La demanda (D) y la oferta (S) de cierto artículo que se
vende a “p” dólares están dadas por:
D(q)= 100 – q2 y S (q )
q
2
2q 5
3
a) Graficar ambas funciones y determine el gasto en el
equilibrio.
b) Hallar el excedente de los consumidores y productores
en el punto de equilibrio del mercado.
ANALISIS MATEMATICO PARA
ECONOMISTAS
Aplicaciones de la
Integral definida
Slide 2
Cambio Neto
En muchas aplicaciones prácticas, se
proporciona la razón de cambio Q’(x)
de una cantidad y se requiere calcular el
cambio neto:
b
CN Q(b) Q(a) Q´ (x)dx
a
en Q (x), cuando x varía desde x=a
hasta x=b
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y
Q´(x)
CN
b
Q ´(x) dx
a
CN
a
b
x
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Ejemplo 1
En cierta fábrica, el costo marginal es
6(q - 5)2 dólares por unidad cuando el
nivel de producción es “q” unidades.
¿En cuánto aumentará el costo total de
fabricación, si el nivel de producción
sube de 10 a 13 unidades?
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Ejemplo 2
El valor de reventa de cierta máquina
industrial decrece durante un periodo de
10 años a una razón que cambia con el
tiempo. Cuando la máquina tiene x
años, la razón a la cual cambia su valor
es 220(x-10) dólares al año. ¿En cuánto
se deprecia la máquina durante el
segundo año?
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Exceso de Utilidad Neta
Si dentro de “t” años dos planes de
Inversión generan utilidades a unas
tasas P´1(t), P´2(t) tal que se cumple
que P´2(t) > P´1(t) durante los primeros
N años, entonces, el exceso de utilidad
neta es
N
UN
P ´ (t ) P ' (t ) dt
2
o
1
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y (dólares al año)
P1´(t)
P2´(t)
N
UN
P ´ (t ) P ' (t ) dt
2
1
o
N
t (años)
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Ejemplo
Suponga que dentro de “t” años un plan de
Inversión generará utilidades a razón de
P´1(t) = 100+t2 cientos de dólares al año,
mientras una segunda inversión generará
utilidades a una razón P´2(t) = 220+2t
cientos de dólares al año
a) ¿Durante cuántos años la tasa de rentabilidad
de la segunda inversión excederá a la primera?
b) Calcule el exceso de utilidad neta durante el
periodo determinado en el literal a).
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Ganancias netas producidas por equipos industriales
y (dólares al año)
Ganancia neta
C´(t)
T
GN
R ´( t ) C '( t ) dt
o
R´(t)
T
t (años)
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Ganancias netas producidas por equipos industriales
Suponga que dentro t años una máquina generará
ingresos a razón de R’(t) = 5000-20t2 dólares al
año y que los costos totales se acumulan a una
razón de C’(t) = 2000 + 10 t2 dólares al año.
a) ¿Cuántos años transcurren antes que la
rentabilidad de la máquina disminuya?
b) Calcule las ganancias netas generadas por la
máquina durante el periodo determinado en a)
c) Si se empleara la máquina durante 15 años
¿Cuánto sería la ganancia que se obtendría ?
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Monto disponible a gastar al adquirir q0 unidades
p (dólares por unidad)
El precio que los consumidores están dispuestos a
pagar por obtener una unidad adicional disminuye
cuando el número de unidades compradas aumenta.
p = D(q)
0
1
2
3
q
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p (dólares por unidad)
Disponibilidad total a gastar
por los Consumidores
q0
D(q) dq
0
p= D(q)
q
0
q0
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Ejemplo
Suponga que la demanda de los
consumidores de cierto artículo es
D(q)=2(64 - q2) dólares por unidad.
a) Halle la cantidad total de dinero que el
consumidor esta dispuesto a pagar por 6
unidades del artículo
b) Trace la curva de demanda e interprete
como área la respuesta obtenida en a)
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Excedente de los consumidores
p
Excedente de los
consumidores
p = D(q)
q0
EC D(q)dq p0 q0
p0
0
Gasto
real
0
q0
q
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Si se venden q0 unidades de un artículo a p0 la
unidad y si p =D(q) es la función de demanda de
los consumidores del artículo, entonces:
Excedente del
consumidor
cantidad total que
los consumidor es
están dispuestos a
pagar por q 0 unidades
EC
q0
0
gasto real del
consumidor
en q 0 unidades
D(q)dq p0 q0
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Excedente de los productores
p (dólares por unidad)
p = S(q)
P0
Excedente de los
productores
q0
EP p0 q0 S (q)dq
0
q0
q ( unidades)
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Si se venden q0unidades a p0 dólares la unidad y
si p = S(q) es la función de oferta de los
productores del artículo, entonces:
Excedente de
los
productore
s
gasto real del
consumidor por
q 0 unidades
q0
cantidad total que los
productore s estarían
dispuestos a recibir
cuando se ofrecen q 0
unidades
EP p0 q0 S (q)dq
0
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Ejemplo 1
Un fabricante de llantas calcula que los mayoristas
comprarán q (miles) de llantas radiales si:
p = -0,1q2 + 90 dólares la unidad, y el mismo
número de llantas se suministrará cuando
p = 0,2q2+ q +50 dólares por llanta.
a) Halle el precio de equilibrio y la cantidad
suministrada y demandada a ese precio.
b) Determine el excedente de los consumidores y de
los productores al precio de equilibrio.
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Ejemplo 2
La demanda (D) y la oferta (S) de cierto artículo que se
vende a “p” dólares están dadas por:
D(q)= 100 – q2 y S (q )
q
2
2q 5
3
a) Graficar ambas funciones y determine el gasto en el
equilibrio.
b) Hallar el excedente de los consumidores y productores
en el punto de equilibrio del mercado.