Slide 1

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 2

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 3

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 4

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 5

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 6

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 7

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 8

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 9

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 10

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 11

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 12

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 13

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 14

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 15

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 16

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 17

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 18

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19


Slide 19

Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK
Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu:
čvrstoću
krutost
i stabilnost
z
F

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno
opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,
prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):
 materijal je homogen i izotropan
 veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu =E
 uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometriji
nosača
 prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapa
se samo skraćuje i ostaje prava ⇒
deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

F  Fkr  A   T
Dimenzionisanje:

Uslov nosivosti:

z 

Uslov deformacije:  l 

F
A

  dop 

F l
EA

Krti materijal
F  Fkr  A   M
T
fT

ili

M
fM

  ldop
3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJE
štapa
prava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒
sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPA
EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta
savijanja
5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2

gde su:
Pkr - kritična sila izvijanja
E – modul elastičnosti
Imin – minimalni aksijalni momenat inercije
l0 – dužina izvijanja
Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.
Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri
osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

;  kr 

2

Pkr
A

2

 kr 

 E  I min
A  (l 0 )
2

 kr 

2

 E  imin
(l 0 )

2

imin 

2

2








A
2

 E
 l0

i
 min

I min

2



gde je:
- vitkost štapa
imin –minimalni poluprečnik inercije

 E
2





2
imin

 



I min
A
l0

imin

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod
poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu
na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo
veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost
 gr  

E
p

gde je:
gr- granična vitkost štapa
p –granica proporcionalnosti materijala
9

Dimenzionisanje
kr

I. područje: m
Štapovi se proracunavaju na
pritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne
uzima u obzir

Kritični napon za kratke grede
Tetmajerova prava

m

II. područje: mgr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Tetmajerovog
izraza ili nekog drugog empirijskog
izraza.

p
Ojlerova hiperbola

I

II
m

III
gr



III. područje: gr
Štapovi se proračunavaju na
izvijanje pomoću Ojlerovog
obrasca
10

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja
Materijal

m

gr

kr (kN/cm2)
0m

mgr

Čelik (JUS Č. 0370)

60

100

24

28.9-0.082

Čelik (JUS Č. 0545)

60

100

31.2

46.9-0.262

Liveno gvoždje

0

80

76.1

76.1-1.18+0.00522

Drvo (četinari)

0

60

4

4-0.02

Koeficijenti sigurnosti
 izv 

 kr
n izv

Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

kontrola napona se sprovodi prema

 

F
A

  izv 

 kr
n izv
11

-postupak
 izv 

 dop


dop-dopušteni napon kada nema izvijanja
-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za razne
materijale eksperimentalno određen (1)

kontrola napona se sprovodi prema
 

F
A



 dop


12

vrednosti koeficijenta izvijanja 
Čelik 0370

Čelik 0545

Drvo

1,00
1,01
1,02
1,05
1,10
1,17
1,26
1,39
1,59
1,88
2,36
2,86
3,40
4,00
4,63
5,32
6,05
6,83
7,66
8,53
9,46

1,00
1,01
1,03
1,07
1,13
1,22
1,35
1,54
1,85
2,39
3,55
4,29
5,11
5,99
6,95
7,98
9,08
10,25
11,49
12,80
14,18

1,00
1,09
1,20
1,33
1,47
1,65
1,87
2,14
2,49
2,95
3,60
4,43
5,36
6,39
7,53
8,78
-

2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Liveno
gvožđe
1,00
1,01
1,05
1,11
1,22
1,39
1,67
2,21
3,50
4,43
5,45
-

13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na slici
E=21 MN/cm2
gr=100 l=150 cm Profil NP I 16

150

Rešenje
Iz tablica za I 16 čitamo
geometrijske karakteristike

I 16

Imin=54,7 cm4
 

Određivanje vitkosti:
dužina izvijanja (Ojler):
lo=2l=2150=300 cm

 

A=22,80 cm2

imin=1,55 cm

l0
imin
l0

imin



300
1 , 55

 193 , 5   gr

kritična sila izvijanja je:
2

Pkr 

 E  I min
(l 0 )

2





2

 21  10
300

3
2

 54 ,7

 125 ,97 kN
14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast
temperature T koje će izazvati izvijanje štapa
Dato: l, I, A, αt
F

Rešenje

ukupno izduženje jednako nuli

izduženje usled temperature l=αtlT
l 

l

izduženje usled sile
T

T

Fl
EA

EA

 t  l  T  0

E  A  t  T  F

F

Fl

F  Fkr

2

E  A  t  T 

 EI
l

2



 T 
l

2

2

I

 A  t

za l=100 cm d=3 cm αt=1,2510-5 1/C
o

 T  44 , 4 C

15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub je
statičkog sistema kao na slici.
a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent
sigurnosti nizv=2,2
b) Po  postupku ako je dop=16 kN/cm2

600

profil štapa 2U20

2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

A=32.2 *2=64.40cm2

Wy=191cm3

Wy=191*2=382 cm3

Wz=27 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910 cm4

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=148 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

iz=5.89 cm
17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200
1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na
polovini profila
s

2

2

Iz  2Iz  2  A 1 (7 . 5  2 . 01 )  2  148  2  32 . 2  5 . 49  2237 cm

4

Otporni momenat je

Wz  Iz / b  2237 / 7 . 5  298 cm

3

Poluprečnik inercije je

iz 

Iz / A 

2237 / 64 . 4  5 . 89 cm

18

Minimalni poluprečnik inercije je

i z  i min  5 . 89 cm


lo
i min



420
5 , 89

l 0  0 , 7  600  420 cm

 71 , 30   gr  100

 kr  289  0 , 82    289  0 , 82  71 , 3  230 , 53 MPa

Fkr 

 kr  A
n izv



23 , 05  64 , 4
2 ,2

 674 , 74 kN

b)  postupak
  71 ,30    1 , 41

Fkr 

 dop  A




16  64 , 4
1 , 41

 730 , 78 kN
19