OTPORNOST MATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m2 MPa=106Pa F (N) GPa=109Pa kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa Jedinična površina (m2) U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa TENZOR NAPONA Telo.
Download ReportTranscript OTPORNOST MATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m2 MPa=106Pa F (N) GPa=109Pa kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa Jedinična površina (m2) U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa TENZOR NAPONA Telo.
Slide 1
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 2
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 3
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 4
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 5
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 6
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 7
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 8
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 9
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 10
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 11
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 12
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 13
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 14
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 15
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 16
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 17
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 18
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 19
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 20
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 21
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 22
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 23
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 24
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 25
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 26
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 27
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 2
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 3
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 4
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 5
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 6
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 7
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 8
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 9
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 10
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 11
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 12
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 13
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 14
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 15
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 16
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 17
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 18
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 19
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 20
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 21
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 22
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 23
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 24
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 25
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 26
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27
Slide 27
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=109Pa
kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa
2
TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka
A
n
Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3
n1
n
A
ravan preseka
ravan preseka 1
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
ravan x0y
x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4
z
ravan y0z
ravan x0z
y
0
x
Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna
ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F
dA
F
l
l
n
n
A
t
dA
t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l
6
Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona
Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z
ravan x0z
Normalni naponi
xx , yy i zz
ravan y0z
Smičući naponi
y
0
xy , xz , yx , yz , zx i zy
ravan x0y
x
7
zz
zy
zx
z
xz
A
xy
xx
dA
yz
yy
yx
y
0
U matričnom zapisu imamo
xx xy xz
x
yx yy yz
zx zy zz
Kako čitamo:
xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu
yx
pravac normale na ravan
pravac napona
8
xx xy xz
yx yy yz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona
zx zy zz
y
y
B
yx
A
M
yx
x xy
yx y
x
x
y
x
x
x
x
ravno stanje napona
linearno stanje napona
9
Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
10
RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno
Normalni naponi
xx , yy i zz
Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy
y
y
B
yx
A
M
yx
y
x
x
x xy
yx y
Tenzor napona
za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa x osom
y
n
x
A
Poznajemo napone
x xy
yx y
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
12
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg 2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III
y
2
I
1
x
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1
2
x y
2
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4 xy
( x y ) 4 xy
( x y )
-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
( 1 2 )
y
s
/4
max
x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45
Njemu odgovarajući normalni napon je
s
1
2
( x y )
1
2
( 1 2 )
14
Morov krug napona
2
2
x y
x y
2
2
n
n
xy
2
2
To je jednačina kruga sa centrom
x y
C
; 0
2
i poluprečnikom
1
2
2
2
( x y ) 4 xy
15
Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem 0
2. Odredimo tačke
A(x; xy)
B(y; yx)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16
-xy
+yx
120
110
100
90
80
70
B
max
n
n
60
50
40
30
20
10
2
-
A(x; xy)
B(y; yx)
N
80 70 60 50 40 30 20 10
10
C
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A
80
90
100
110
120
-yx
+xy
x xy
yx y
17
Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje
x0 - pritisak
y
x
A
M
x
x
x
-tenzor napona
y=0 yx=xy=0
y=0
1 ,2
x y
1 x
2
2 0
1
2
2
( x y )
2
4 xy
-pritisak
2
1
1
2
x
1
2
x
2
2
-zatezanje
1
18
Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A
M
1 ,2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2
0 4 xz xy
Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje
x=y
y
1 2 x
x
A
M
1 ,2
x y
1 x
2 x
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
1
2
2 x
1
2
0 0 x
ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona
100 60
60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx
yx
A
M
y
x
x
x xy
yx y
ravno stanje napona
21
ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n
x y
2
x y
2
y
cos 2 xy sin 2
-smičući napon
n
x y
2
n
C
D
n
x
M
sin 2 xy cos 2
22
vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n
n
100 60
2
100 60
2
100 60
2
0 . 98481 60 ( 0 . 17365 ) 89 . 20 MPa
y
n
C
D
n
( 0 . 17365 ) 60 0 . 98481 65 . 20 MPa
x
M
b)
*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23
Glavni pravci i glavni naponi
1 ,2
20
1
2
x y
2
1
2
2
( x y )
2
4 xy
100 60
40000 20 100 1 120 MPa
2
1
2
2
(100 60 ) 4 60
2
2=-80 MPa
ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2
2 xy
( x y )
2 * 60
(100 60)
0.75
2 36 .87
o
18 .435
o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y
2
1
*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
x
24
Maksimalni smičući napon
xy max
1
2
x y 2 4 2xy
1
2
100 60 2 4 60 2 100 MPa
ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s
x y
2
100 60
2
y
20 MPa
s
/4
max
x
25
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
C(20; 0)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
100 60
60 60
110
120
-yx
+xy
26
+yx
-xy
120
110
100
90
80
70
B(-60;60)
max=100
n=65,20
40
30
20
10
2
-
80 70 60 50 40 30 20 10
10
N
n=89,20
60
50
A(x; xy)
B(y; yx)
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420
+
30
40
=50
50
P
60
70
A(100;-60)
80
90
100
110
120
-yx
+xy
27