Slide 1

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 2

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 3

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 4

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 5

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 6

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 7

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 8

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 9

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 10

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 11

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 12

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 13

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 14

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 15

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 16

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 17

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 18

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 19

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 20

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 21

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 22

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 23

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 24

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 25

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 26

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27


Slide 27

OTPORNOST MATERIJALA

Naponi

1

ANALIZA NAPONA
Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa

F (N)

GPa=109Pa

kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa
Jedinična površina (m2)
U tečnostima pritisak jedinica bar=105 Pa

2

TENZOR NAPONA
Telo je opterećeno spoljašnjim silama
U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje
sile
ravan preseka 
A



n

Svaka ravan ima normalu na ravan n
Posmatramo tačku A u ravni 
Kroz tačku A možemo da postavimo
beskonačno mnogo ravni i
3


n1

n

A

ravan preseka 
ravan preseka 1
z

ravan y0z

ravan x0z
y
0
ravan x0y
x

Posmatramo tri ravni kroz tačku O
Ravni su upravne među sobom
Normala ravni y0z je x osa
Normala ravni x0y je z osa
Normala ravni x0z je y osa
Znači:
svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z
normala na ravan je paralelna x osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y
normala na ravan je paralelna z osi
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z
normala na ravan je paralelna y osi
4

z

ravan y0z

ravan x0z

y
0

x

Svaku silu kroz tačku O možemo
Projektovati na jednu od tri ravni i
na normalu na tu ravan
Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni
Sila je prikazana preko projekcija
pa nam više nije potrebna

ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati
na ose x i y
Uklonićemo i tu silu jer je menjaju
projekcije

Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca

5

ravan preseka 



F
dA



F

l

l



n



n

A

t

dA



t
Dobili smo napon u pravcu normale n
to je normalni napon
i dva smičuća napona u ravni preseka
t i l

6

Znači:
za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona
Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno
mnogo normalnih i smičućih napona

Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate
normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni
Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi
z

ravan x0z

Normalni naponi

xx , yy i zz

ravan y0z

Smičući naponi
y

0

xy , xz , yx , yz , zx i zy

ravan x0y
x

7

zz
zy

zx
z



xz

A

xy

xx

dA

yz

yy

yx

y
0

U matričnom zapisu imamo
  xx  xy  xz 
x




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 




Kako čitamo:

xz- smičući napon u tački u pravcu
z ose za ravan sa normalom u x pravcu

 yx

pravac normale na ravan
pravac napona
8

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz  Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona


 zx  zy  zz 



y
y
B

yx
A

M
yx

  x  xy

  
 yx  y



x
x

y
x

x

x

   x 







ravno stanje napona

linearno stanje napona

9

Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki
Stav o konjugovanosti smičućih napona
xy = yx , xz = zx , yz = zy
Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati
Tri normalna napona i tri smičuća napona

  xx  xy  xz 




    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 



10

RAVNO STANJE NAPONA
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose
Tada je naponsko stanje ravno

Normalni naponi
xx , yy i zz

Smičući naponi
xy , xz , yx , yz , zx i zy

y
y
B

yx
A

M
yx

y

x
x

  x  xy

  
 yx  y









Tenzor napona
za ravno stanje napona

11

Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom
y

n


x

A

Poznajemo napone

  x  xy

  
 yx  y



-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2







n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 
12

Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona

tg 2  

2   xy
x  y

Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2

II

Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant
III

y

2

I

1

 x

IV

Vrednosti glavnih napona tada su
1 
2 

x  y
2
x  y
2




1
2
1
2

2

2

2

2
4  xy

(  x   y )  4  xy
( x   y ) 

-maksimalni glavni napon
-minimalni glavni napon
13

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
 max 

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

( 1   2 )

y
s

/4

max


x

Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45

Njemu odgovarajući normalni napon je
s 

1
2

( x   y ) 

1
2

( 1   2 )

14

Morov krug napona
2

2

x  y 

 x  y 
2
2







 n



n
xy
2
2





To je jednačina kruga sa centrom
 x  y

C 
; 0
2



i poluprečnikom
1
2

2

2

(  x   y )  4  xy

15

Kako ga konstruišemo
1. Nacrtamo koordinatni sistem  0
2. Odredimo tačke

A(x; xy)

B(y; yx)

3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim
Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti
napona 1 i 2
5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu
pravu) . One se seku na krugu. To je pol P
6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim
vrednostima napona 1 i 2
16

-xy

+yx

120
110

100
90
80
70

B

max
n

n

60
50
40
30
20
10

2
-

A(x; xy)
B(y; yx)

N

80 70 60 50 40 30 20 10
10

C

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A

80
90
100
110
120

-yx

+xy

  x  xy

  
 yx  y








17

Specijalna naponska stanja
-Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje
x0 - zatezanje

x0 - pritisak

y

x

A
M

   x 

x

x

-tenzor napona

y=0 yx=xy=0
y=0
 1 ,2 

x  y

1   x

2



2  0

1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy

-pritisak



2

1



1
2



x 

1
2

x

2


2

-zatezanje
1


18

Specijalna naponska stanja
-Čisto smicanje



x=0
y

y=0

xy

1

2

x

A
M

 1 ,2 

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2

0  4  xz    xy



Specijalna naponska stanja
-Izotropno stanje



x=y



y

1  2   x

x

A
M

 1 ,2 

x  y

1   x
2  x

2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



1
2

2 x 

1
2

0  0  x

ZADATAK 2.1
U tački M zadato je ravno stanje napona

100 60


60  60









(Mpa)

Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona:
-normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50°
sa x-osom,
-glavne pravce i glavne napone
-maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon
-skicirati orjentirane elemente u tački M za svaki koordinatni sistem sa
ucrtanim komponentama napona.
y
y
B
x
yx

yx
A

M
y

x
x

  x  xy


  yx  y








ravno stanje napona
21

ANALITIČKO REŠENJE
a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati
su izrazima
-normalni napon
n 

x  y
2



x  y
2

y

cos 2    xy sin 2 

-smičući napon
n 

x  y
2

n
C

D

n 

x

M

sin 2    xy cos 2 

22

vrednosti trigonometrijskih funkcija
cos2=cos(100°)=-0.17365
sin2=sin(100°)=0.98481
n 
n 

100  60
2
100  60
2



100  60
2

 0 . 98481  60  (  0 . 17365 )  89 . 20 MPa

y
n
C

D

n

(  0 . 17365 )  60  0 . 98481  65 . 20 MPa


x

M

b)

*na slici b) prikazani su ovi naponi.
Normalni napon je pozitivan i smer mu je u
smeru normale na ravan. Smičući napon je
pozitivan i deluje u smeru kao na slici.
Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u
pozitivnom matematičkom pravcu smer napona
poklopi sa smerom normale na ravan.
23

Glavni pravci i glavni naponi
 1 ,2 

 20 

1
2

x  y
2



1
2

2

( x   y ) 

2
4  xy



100  60

40000  20  100   1  120 MPa

2



1
2

2

(100  60 )  4  60

2

2=-80 MPa

ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose
tg2 

2   xy
( x   y )



2 * 60
(100  60)

 0.75 

2  36 .87

o

   18 .435

o

ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x
y

2

1

*U ravni glavnih osa smičući napon
je jednak nuli. τ=0
 x

24

Maksimalni smičući napon
 xy max 

1
2

 x   y 2  4   2xy



1
2

100  60 2  4  60 2  100 MPa

ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim
pravcima ugao od π/4 (45°)
U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435
odgovarajući normalni napon
s 

x  y
2



100  60
2

y

 20 MPa

s

/4

max


x

25

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

C(20; 0)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100

100 60


60  60



110
120

-yx

+xy







26

+yx

-xy

120
110
100
90
80
70

B(-60;60)

max=100

n=65,20

40
30
20
10

2
-

80 70 60 50 40 30 20 10
10

N

n=89,20

60
50

A(x; xy)
B(y; yx)

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/420

+

30
40

=50

50

P

60
70

A(100;-60)

80
90
100
110
120

-yx

+xy

27