Slide 1

KOMBINATORIKAS
ELEMENTI

11.klase
Olga Maļkova


Slide 2

Par kombinatoriku sauc matemātikas nozari, kurā
noskaidro, cik noteikta veida apakškopu jeb izlašu var
izveidot (sastādīt) no dotās kopas elementiem.
 No latīnu valodas “combinare” – “savienot”.



Slide 3

SASKAITĪŠANAS LIKUMS


Pieņemsim, ka divās kopās A un B nav vienādu
elementu un ir jāizvēlas viens elements no A vai
B kopas. Ja no A kopas elementu var izvēlēties n
veidos, bet no B kopas elementu var izvēlēties k
veidos, tad izvēlēties vienu elementu no A vai
B kopas var n + k veidos.


Slide 4

PIEMĒRS


Ir doti 2 dažādi āboli, 3 dažādi bumbieri, 4 dažādi
citroni. Cik dažādos veidos no visiem šim augļiem
var izvēlēties vienu?

Risinājums:
Vadoties pēc kombinatorikas saskaitīšanas
likuma:
no visiem šiem augļiem vienu augli var izvēlēties
M = 2 + 3 + 4 = 9 dažādos veidos.




Slide 5

LAI IZMANTOTU SASKAITĪŠANAS LIKUMU:
jāsaprot, kādas ir grupas, no kurām jāizvēlas 1
elements;
 jānoskaidro elementu skaits katrā grupā;
 jāpārliecinās, ka šajās grupās nav vienādu elementu.



Slide 6

REIZINĀŠANAS LIKUMS


Ja vienu elementu A var izvēlēties n dažādos veidos,
bet otru elementu B neatkarīgi no elementa A izvēles
var izvēlēties k dažādos veidos, tad abu elementu
pāri kopā “A un B” var izvēlēties n · k dažādos veidos.


Slide 7

PIEMĒRS


Jānokļūst no pieturas Abbey
Bridge līdz pieturai Sherwood
Rise. Cik dažādos veidos,
izmantojot autobusu satiksmi
to var izdarīt?

Izvēles

Brūnais
maršruts

Dzeltenais
maršruts

Iespēju skaits

2

5

Kopā ir
10 dažādas
iespējas


Slide 8

LAI IZMANTOTU REIZINĀŠANAS LIKUMU:
jānoskaidro, cik un kādas ir izvēles;
 jānoskaidro, cik izvēles iespējas ir katrā izvēlē;
 jāsareizina izvēles iespēju skaits visās izvēlēs.



Slide 9

PIEMĒRS


Cik dažādos atšķirīgos veidos var izvēlēties
pusdienu ēdienkarti, ja ir trīs 1. ēdieni, pieci 2.
ēdieni un četri 3. ēdieni?
3

5

3  5  4  60

4


Slide 10

PIEMĒRS
Cik dažādus piecciparu skaitļus var izveidot no
cipariem 0, 2, 5, 7 un 8,
a) ja cipari var atkārtoties;
b) ja cipari ir dažādi;
c) ja skaitlis dalās ar 10 un visi cipari ir dažādi?


4

5

5

5

5

4  5  5  5  5  2500

4

4

3

2

1

4  4  3  2 1  96

1

2

3

4

1

1 2  3  4 1  24


Slide 11

SKAITĻA FAKTORIĀLS


Visu naturālo skaitļu no 1 līdz n reizinājumu sauc par
skaitļa n faktoriālu un apzīmē ar n! (lasa: "en" faktoriāls)
1 ∙ 2 ∙ 3 ∙....∙ (n - 2) ∙ (n - 1) ∙ n = n!

o

o

No angļu valodas matemāt.termina “factor” –
“pavairotājs”.
Tiek pieņemts, ka 0! = 1.
1! = 1
2! = 1 ∙ 2 = 2
(n + 1)! = n! ∙ (n + 1)

20! 19! 20  18!19  20


Slide 12

PIEMĒRI
14!
 Atrast dotās izteiksmes vērtību:
12!
14! 12!13 14

 13 14  182
12!
12!
16!
16!
1
1



18! 16!17 18 17 18 306

16!
18!

9!
5!4!

9! 5!6  7  8  9 6  7  8  9


 7  2  9  126
5!4!
5!4!
1 2  3  4
7!6! 6! 7  6! 6! (7  1) 5! 6  8



 6  8  48
5!
5!
5!
5!

7!6!
5!


Slide 13

SAKĀRTOTAS UN NESAKĀRTOTAS IZLASES




1)
2)
3)
4)

Apakškopu, kas atbilst noteiktām īpašībām, sauc
par kopas elementu izlasi.
Piemērs. Aplūko 11. klases skolēnu kopu. No šīs
kopas elementiem pēc nepieciešamības var veidot
dažādas apakškopas jeb izlases.
Visu meiteņu izlase.
Visu zēnu izlase.
Divu zēnu izlase.
Trīs skolēnu izlases.


Slide 14

IZLASES

sakārtotas

nesakārtotas

Sakārtotas – tādas, kurās elementu secībai ir nozīme.
 Nesakārtotas – tādas, kurās elementu secībai nav
nozīmes.



Slide 15

PIEMĒRS.




Divu zēnu izlase.
nesakārtota
Divu zēnu izlase, kur viens būs dežurants, bet
otrs ies mājās.
sakārtota


Slide 16

PIEMĒRS.





Dota kopa 1; 2; 3 .
1) Izveidot divu dažādu elementu sakārtotas izlases.


(1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 3), (3; 1), (3; 2)
2)

Izveidot divu dažādu elementu nesakārtotas
izlases.

(1; 2), (1; 3), (2; 3)


Slide 17

PIEMĒRS.

Sakārtotas: a, c, e, f.
 Nesakārtotas: b, d.



Slide 18

PERMUTĀCIJAS – (ПЕРЕСТАНОВКИ)





Sakārtotas n elementu kopas (izlases), kuras cita
no citas atšķiras tikai ar elementu secību, sauc
par permutācijām. Apzīmē ar Pn.
Katra permutācija satur visus kopas elementus.
To var aprēķināt, izmantojot reizināšanas
likumu vai formulu Pn =n!


Slide 19

PIEMĒRS
1.

Doti trīs elementi {a;b;c}. Cik dažādos veidos
tos var sakārtot?
1) (a;b;c)
2) (a;c;b)

3) (b;a;c)
4) (b;c;a)

P3  3! 1 2  3  6

5) (c;a;b)
6) (c;b;a)


Slide 20

PIEMĒRS


Slide 21

VARIĀCIJAS – (РАЗМЕЩЕНИЯ)


Par variāciju no n elementiem pa k elementiem
sauc sakārtotu dotās kopas k elementu izlasi.
Apzīmē ar k

An , kur n  k  0 un n, k  N vai 0.





Variācijas atšķiras cita no citas vai nu ar pašiem
elementiem, vai to secību.

Aprēķināšanai izmanto reizināšanas likumu vai
formulu
n!
k
An 
(n  k )!


Slide 22

PIEMĒRS
1)

Doti trīs dažādu krāsu elementi: . Cik veidos
var izvēlēties divus no tiem, ja ir svarīgi, kurš ir
pirmais?

3!
1 2  3 6
A 

 6
(3  2)!
1!
1
2
3


Slide 23

PIEMĒRS


Slide 24

KOMBINĀCIJAS – (CОЧЕТАНИЯ)


Par kombināciju no n elementiem pa k
elementiem sauc nesakārtotu dotās kopas k elementu
izlasi. Apzīmē ar C k , kur n  k  0 un n, k  N vai 0.
n





Kombinācijas cita no citas atšķiras ar vismaz vienu
elementu, bet elementu secībai nav nozīmes.

Aprēķināšanai izmanto reizināšanas likumu vai
formulu
k

An
C 
Pk
k
n

n!
C 
k! (n  k )!
k
n


Slide 25

PIEMĒRS


Doti trīs elementi
Cik veidos varam izvēlēties divus no tiem, ja nav
svarīga secība?
To var izdarīt 3 veidos:

3!
6
C 
 3
2! (3  2)! 2
2
3


Slide 26

PIEMĒRS

9!
9! 5! 6  7  8  9
C 


 7  2  9  126 ( veidi )
4! (9  4)! 4! 5! 2  3  4  5!
4
9


Slide 27

PIEMĒRS
Klasē ir 10 zēni un 8 meitenes. Skolas viktorīnā
klasi pārstāvēs 5 cilvēku komanda. Cik dažādas
komandas var izveidot, ja
1) dalībnieku izvēlei nav ierobežojumu,
2) komandā jābūt tikai zēniem,
3) komandā jābūt 3 zēniem un 2 meitenēm.


Komandā būs nesakārtota izlase, tāpēc atbilstoši
nosacījumiem jāaprēķina iespējamo
kombināciju skaits.


Slide 28

1)

18!
18!
C 

(komandas )
5! (18  5)! 5!13!

2)

Jāizvēlas 5 zēni no 10.

5
18

10!
10! 5! 6  7  8  9 10
C 


 252 (kom.)
5! (10  5)! 5! 5!
5! 2  3  4  5
5
10

3)

Jāizvēlas 3 zēni no 10 zēniem un 2 meitenes no 8
meitenēm.

10!
8!
10! 8!
C C 


 3360 (kom.)
3! (10  3)! 2! (8  2)! 3! 7! 2! 6!
3
10

2
8


Slide 29

KOMBINĀCIJU SKAITA ĪPAŠĪBAS.
1. Cnk  Cnn k , kur n  k .
2. Cn0  1 un Cnn  1 jebkurai pieļaujamai n vērtībai.
3. C

k
n 1

C

k 1
n

 C , kur n  k  1.
k
n

0
1
2
n 1
n
n
C

C

C

...

C

C

2
, ja n  0; 1; 2; 3; ...
4. n
n
n
n
n


Slide 30


Slide 31

PASKĀLA TRIJSTŪRIS


Slide 32


Slide 33

PIEMĒRI
C  C  C  C  C  C  2  32
0
5

1
5

2
5

3
5

4
5

5
5

5

C5443  C5444  C5544  C5544  C5544  0

C51  C52  C53  C54  C62  C64  C62  C66 4 
 C62  C62  2  C62  2 15  30