Podstawy analizy matematycznej I Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle"
Download ReportTranscript Podstawy analizy matematycznej I Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle"
Slide 1
Podstawy
analizy matematycznej
I
Andrzej Marciniak
Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na
Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich
zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Slide 2
Ciągi liczbowe
Jeżeli każdej liczbie naturalnej n zostanie
przyporządkowana jedna liczba rzeczywista an , to
mówimy, że został określony nieskończony ciąg
liczbowy.
Ciąg nieskończony zapisuje się w postaci
a1 , a2 , … , an , … lub {an}.
Liczby a1 , a2 , … nazywamy wyrazami ciągu {an}, a symbol
an – wyrazem ogólnym tego ciągu.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2
Slide 3
Ciągi liczbowe
Ciąg nieskończony {an} ma granicę g, jeżeli dla każdej
liczby > 0 istnieje taka liczba N, że dla każdej liczby
n N zachodzi nierówność
| an g | < .
Zapisujemy
an g, gdy n lub lim an = g.
n
Ciąg nieskończony {an} ma granicę , jeżeli dla każdej
liczby M > 0 istnieje taka liczba N, że dla każdej liczby
n N zachodzi nierówność an > M.
Ciąg nieskończony {an} ma granicę , jeżeli dla każdej
liczby M > 0 istnieje taka liczba N, że dla każdej liczby
n N zachodzi nierówność an < M.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3
Slide 4
Ciągi liczbowe
Nie każdy ciąg nieskończony ma granicę.
Ciąg nieskończony, który ma granicę skończoną
nazywamy ciągiem zbieżnym. Wszystkie inne ciągi
nieskończone nazywamy ciągami rozbieżnymi.
W szczególności o ciągu dążącym do + mówimy, że
jest rozbieżny do plus nieskończoności. Podobnie
mówimy o ciągu rozbieżnym do minus nieskończoności.
Zmiana skończonej liczby wyrazów ciągu
nieskończonego nie wpływa na istnienie granicy ciągu
i na jej wartość.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
4
Slide 5
Ciągi liczbowe
Przykład 1. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
an = (2n 2 3n + 5)/(3 + 7n 6n 2).
Dzieląc licznik i mianownik przez n 2, otrzymujemy
an = (2n 2/n 2 3n /n 2 + 5/n 2)/(3/n 2 + 7n /n 2 6n 2/n 2)
= (2 2/n + 5/n 2)/(3/n 2 + 7/n 6).
Zatem
lim an = 2/(6) = 1/3
n
Ogólnie, prawdziwe jest poniższe twierdzenie.
Jeżeli licznik i mianownik ułamka są wielomianami tego samego stopnia
względem zmiennej naturalnej n, to granica takiego ułamka przy n
równa się stosunkowi współczynników przy najwyższych potęgach n.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
5
Slide 6
Ciągi liczbowe
Przykład 2. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
an = (n 3 + 2n 2 + 4)1/3 (n 3 + 1)1/3.
Bezpośrednie wnioskowanie z postaci wyrazu an jest trudne, bo
zarówno odjemna, jak i odjemnik rosną nieograniczenie ze
wzrostem n.
Przekształćmy dane wyrażenie korzystając z rozkładu różnicy
sześcianów
a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2),
skąd
a b = (a 3 b 3)/(a 2 + ab + b 2).
Otrzymujemy
an = (n 3 + 2n 2 + 4) (n 3 +1)
/[(n 3 + 2n 2 + 4)2/3 + (n 3 + 2n 2 +4)1/3(n 3 + 1)1/3 + (n 3 + 1)2/3].
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
6
Slide 7
Ciągi liczbowe
Po wykonaniu redukcji licznika i podzieleniu licznika i mianownika
przez n 2 mamy
an = (2 + 3/n 2)
/[(1 + 2/n + 4/n 3)2/3 + (1 + 2/n + 4/n 3)1/3(1 + 1/n 3)1/3
+ (1 + 1/n 3)2/3].
Przechodząc do granicy otrzymujemy ostatecznie
lim an = 2/(1+1+1) = 2/3.
n
Przykład 3. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
an = (3 2n + 1 7)/(9n + 4).
Zauważmy, że
an = (3 9n 7)/(9n + 4)
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
7
Slide 8
Ciągi liczbowe
i po podzieleniu licznika i mianownika przez 9n mamy
an = (3 7/9n)/(1+4/9n),
a więc
lim an = 3/1 = 3.
n
Przykład 4. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
an = (3n + 5n + 7n)1/n.
Ponieważ
7n < 3n + 5n + 7n < 7n + 7n + 7n,
więc
7n /n < (3n + 5n + 7n)1/n < (37n)1/n,
czyli
7 < (3n + 5n + 7n)1/n < 731/n
i możemy zastosować twierdzenie o trzech ciągach.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
8
Slide 9
Ciągi liczbowe
Jeżeli wyrazy ogólne trzech ciągów {bn }, {an } i {cn } spełniają
nierówności bn an cn i jeżeli ciągi {bn } i {cn } mają wspólną
granicę g, to ciąg {an } ma tę samą granicę.
W naszym przypadku bn = 7 i cn = 731/n. Ponieważ
lim 1/n = 1 dla > 0,
n
więc lim cn = 71. Oczywiście lim bn = 7. Zatem także lim an = 7.
n
n
n
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
9
Slide 10
Ciągi liczbowe
Przykład 5. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
an = (1 + 4/n)n.
Korzystamy z jednego z podstawowych wzorów teorii granic:
lim (1 + 1/n)n = e
n
lub z wzoru ogólniejszego:
lim (1 + bn)1/bn = e, jeśli lim bn = 0 i bn 0.
n
n
Jeżeli wyraz ogólny rozważanego ciągu zapiszemy w postaci
an = [(1+4/n)n/4]4
i podstawimy w powyższym wzorze bn = 4/n, to otrzymamy, że
granicą ciągu {an } jest e 4.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
10
Slide 11
Ciągi liczbowe
Przykład 6. Obliczyć lim n
n
10/2n.
Korzystamy z twierdzenia: jeżeli dla ciągu {an } istnieje granica
lim | an+1 |/| an | = g < 1, to lim an = 0.
n
n
Uwaga: gdy dla ciągu {an } istnieje granica
lim | an+1 |/| an | = g > 1, to lim | an | = +,
n
n
a więc ciąg {an } jest rozbieżny.
W rozważanym przykładzie mamy
an = n 10/2n oraz an+1 = (n + 1)10/2n+1.
Ponieważ lim an+1/an = ½, więc na podstawie podanego
n
twierdzenia granicą naszego ciągu jest 0.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
11
Slide 12
Szeregi liczbowe
Przez szereg liczbowy nieskończony oznaczany
symbolem
an
n=1
rozumiemy ciąg sum:
s1 = a1 ,
s2 = a1 + a2 ,
……………………..
sn = a1 + a2 + … + an ,
…………………………………
Liczby a1 , a2 , … nazywamy wyrazami szeregu, a symbol
sn nazywamy wyrazem ogólnym szeregu. Wyrazy ciągu
{sn} nazywamy sumami częściowymi szeregu.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
12
Slide 13
Szeregi liczbowe
Jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny, czyli ma
skończoną granicę s, to mówimy, że szereg jest zbieżny,
a liczbę s nazywamy sumą szeregu nieskończonego.
Warunkiem koniecznym zbieżności każdego szeregu jest
to, by jego wyraz ogólny an dążył do zera.
Ważniejsze szeregi:
szereg geometryczny
aq n1, a 0
n=1
jest zbieżny, gdy | q | < 1 i wówczas jego suma wynosi
a/(1 q),
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
13
Slide 14
Szeregi liczbowe
szereg harmoniczny rzędu
1/n , gdzie > 0,
n=1
jest zbieżny dla > 1 i rozbieżny, gdy 1.
Ze względu na metody badania zbieżności szeregów
wyróżnia się dwie grupy:
szeregi o wyrazach nieujemnych ,
szeregi przemienne .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
14
Slide 15
Szeregi o wyrazach nieujemnych
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów. Jeżeli dla szeregu
an , gdzie an 0,
n=1
można wskazać taki szereg zbieżny
bn ,
n=1
że począwszy od pewnego miejsca N, czyli dla każdego n N, zachodzi
nierówność an bn, to pierwszy szereg jest równie zbieżny.
Kryterium porównawcze rozbieżności szeregów. Jeżeli dla
szeregu
an
n=1
można wskazać taki szereg rozbieżny
bn , gdzie bn 0,
n=1
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
15
Slide 16
Szeregi o wyrazach nieujemnych
że począwszy od pewnego n N zachodzi nierówność an bn, to
pierwszy szereg jest również rozbieżny.
Kryterium d’Alemberta zbieżności szeregów. Jeżeli w szeregu
an , gdzie an 0,
n=1
począwszy od pewnego miejsca N, tzn. dla n N, stosunek dowolnego
wyrazu an+1 do poprzedzającego wyrazu an jest stale mniejszy od
pewnej liczy p mniejszej od 1, tzn. jeżeli
an+1/an p < 1
dla każdego n N, to szereg jest zbieżny.
Gdy an+1/an 1 dla każdego n N, to szereg jest rozbieżny.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
16
Slide 17
Szeregi o wyrazach nieujemnych
Kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów. Jeżeli dla szeregu
an , gdzie an 0,
n=1
istnieje taka liczba p < 1, że począwszy od pewnego miejsca N, tzn.
dla każdego n N, zachodzi nierówność
(an )1/n < p < 1,
to szereg jest zbieżny. Gdy (an )1/n 1, to szereg jest rozbieżny.
Uwaga: Kryterium Cauchy’ego jest mocniejsze niż kryterium
d’Alemberta. Na przykład w szeregu
1 + 3/2 + 1/22 + 3/23 + … + 1/22n + 3/22n+1 + …
kryterium d’Alemeberta nie prowadzi do rozstrzygnięcia, bo stosunek
an+1/an jest na przemian większy i mniejszy od 1. Korzystając z kryterium
Cauchy’ego mamy lim (an )1/n = ½ < 1, a więc szereg jest zbieżny.
n
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
17
Slide 18
Szeregi o wyrazach nieujemnych
Przykład 1. Zbadać zbieżność szeregu
6n/n!.
n=1
Korzystamy z kryterium d’Alemberta:
an = 6n/n!, an+1 = 6n+1/(n+1)!,
a więc
an+1/an = 6n+1n!/[(n+1)!6n] = 6/(n+1) 0, gdy n .
Szereg jest zatem zbieżny.
Przykład 2. Zbadać zbieżność szeregu
n 3/2n.
n=1
Stosujemy kryterium Cauchy’ego. Mamy
(an )1/n = (n 3/2n)1/n = (n
1/n)3/2.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
18
Slide 19
Szeregi o wyrazach nieujemnych
Ale n 1/n 1, gdy n , więc (an )1/n ½ i szereg jest zbieżny.
Przykład 3. Zbadać zbieżność szeregu
n!/n n.
n=1
Zauważmy, że wyraz ogólny
an = n!/n n = 123 … n/(nnn … n)
jest, zaczynając od czwartego miejsca, mniejszy od 2/n 2, tzn. jest
mniejszy od ogólnego wyrazu szeregu
2/n = 2 1/n 2,
n=1
2
n=1
a ten szereg jest zbieżny jako iloczyn liczby 2 przez szereg harmoniczny
rzędu wyższego od 1.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
19
Slide 20
Szeregi przemienne
Kryterium Leibniza zbieżności szeregów. Jeżeli w szeregu
przemiennym
an
(1)
n=1
począwszy od pewnego miejsca N bezwzględne wartości wyrazów dążą
monotonicznie do zera, tzn. dla każdego n > N spełnione są warunki:
| an+1 | | an |,
lim an = 0,
n
to szereg jest zbieżny.
Kryterium bezwzględnej zbieżności szeregów. Jeżeli szereg
| an |,
n=1
którego wyrazy są równe wartościom bezwzględnym wyrazów szeregu
(1), jest zbieżny, to szereg (1) też jest zbieżny.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
20
Slide 21
Szeregi przemienne
Szereg
an
n=1
nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, gdy szereg
| an |
n=1
jest zbieżny.
Szereg zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżny,
nazywamy szeregiem warunkowo zbieżnym.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
21
Slide 22
Szeregi przemienne
Przykład 1. Zbadać zbieżność szeregu
(1)n+1/n.
n=1
Jest to szereg przemienny. Bezwzględne wartości jego wyrazów dążą
monotonicznie do zera:
1 > ½ > 1/3 > ¼ > … > 1/n > 1/(n+1) > …
oraz lim 1/n = 0. Na podstawie kryterium Leibniza szereg jest zbieżny.
n
Przykład 2. Zbadać zbieżność szeregu
1 ½ + 1/22 1/22 + 1/32 1/23 + 1/42 1/24 + … + 1/n 2 1/2n.
Jest to szereg przemienny. Nie spełnia on kryterium Leibniza, gdyż mamy
1/62 > 1/26, 1/26 < 1/72, 1/72 > 1/27, 1/27 < 1/82, …
Szereg jest jednak zbieżny i to bezwzględnie.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
22
Slide 23
Szeregi przemienne
Oznaczmy przez Sn sumę wartości bezwzględnych jego n wyrazów i weźmy
najpierw pod uwagę ciąg sum parzystych S2n. Łącząc w grupy odpowiednie
wyrazy otrzymujemy
S2n = (1 + 1/22 + 1/32 + … + 1/n 2) + (1/2 + 1/22 + 1/23 + … + 1/2n),
czyli
n
S2n = 1/k
2
k=1
n
+ 1/2k.
k=1
Granica pierwszej sumy jest równa sumie szeregu harmonicznego rzędu 2,
a więc szeregu zbieżnego. Granica drugiej sumy może być obliczona na
podstawie sumy szeregu geometrycznego (jest równa 1). Zatem
lim S2n = 1/n
n
n=1
2
+ 1.
Ciąg sum cząstkowych parzystych jest zatem zbieżny.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
23
Slide 24
Szeregi przemienne
Aby dowieść, że ciąg Sn jest zbieżny, należy jeszcze wykazać, że ciąg sum
cząstkowych nieparzystych S2n+1 jest zbieżny (i to do tej samej granicy).
Wynika to bezpośrednio z równości
S2n+1 = S2n + a2n+1,
wobec tego, że wyraz ogólny danego szeregu dąży do zera.
Udowodniliśmy zatem zbieżność szeregu utworzonego z bezwzględnych
wartości wyrazów danego szeregu, a więc tym samym wykazaliśmy
bezwzględną zbieżność danego szeregu.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
24
Podstawy
analizy matematycznej
I
Andrzej Marciniak
Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na
Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich
zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Slide 2
Ciągi liczbowe
Jeżeli każdej liczbie naturalnej n zostanie
przyporządkowana jedna liczba rzeczywista an , to
mówimy, że został określony nieskończony ciąg
liczbowy.
Ciąg nieskończony zapisuje się w postaci
a1 , a2 , … , an , … lub {an}.
Liczby a1 , a2 , … nazywamy wyrazami ciągu {an}, a symbol
an – wyrazem ogólnym tego ciągu.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2
Slide 3
Ciągi liczbowe
Ciąg nieskończony {an} ma granicę g, jeżeli dla każdej
liczby > 0 istnieje taka liczba N, że dla każdej liczby
n N zachodzi nierówność
| an g | < .
Zapisujemy
an g, gdy n lub lim an = g.
n
Ciąg nieskończony {an} ma granicę , jeżeli dla każdej
liczby M > 0 istnieje taka liczba N, że dla każdej liczby
n N zachodzi nierówność an > M.
Ciąg nieskończony {an} ma granicę , jeżeli dla każdej
liczby M > 0 istnieje taka liczba N, że dla każdej liczby
n N zachodzi nierówność an < M.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3
Slide 4
Ciągi liczbowe
Nie każdy ciąg nieskończony ma granicę.
Ciąg nieskończony, który ma granicę skończoną
nazywamy ciągiem zbieżnym. Wszystkie inne ciągi
nieskończone nazywamy ciągami rozbieżnymi.
W szczególności o ciągu dążącym do + mówimy, że
jest rozbieżny do plus nieskończoności. Podobnie
mówimy o ciągu rozbieżnym do minus nieskończoności.
Zmiana skończonej liczby wyrazów ciągu
nieskończonego nie wpływa na istnienie granicy ciągu
i na jej wartość.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
4
Slide 5
Ciągi liczbowe
Przykład 1. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
an = (2n 2 3n + 5)/(3 + 7n 6n 2).
Dzieląc licznik i mianownik przez n 2, otrzymujemy
an = (2n 2/n 2 3n /n 2 + 5/n 2)/(3/n 2 + 7n /n 2 6n 2/n 2)
= (2 2/n + 5/n 2)/(3/n 2 + 7/n 6).
Zatem
lim an = 2/(6) = 1/3
n
Ogólnie, prawdziwe jest poniższe twierdzenie.
Jeżeli licznik i mianownik ułamka są wielomianami tego samego stopnia
względem zmiennej naturalnej n, to granica takiego ułamka przy n
równa się stosunkowi współczynników przy najwyższych potęgach n.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
5
Slide 6
Ciągi liczbowe
Przykład 2. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
an = (n 3 + 2n 2 + 4)1/3 (n 3 + 1)1/3.
Bezpośrednie wnioskowanie z postaci wyrazu an jest trudne, bo
zarówno odjemna, jak i odjemnik rosną nieograniczenie ze
wzrostem n.
Przekształćmy dane wyrażenie korzystając z rozkładu różnicy
sześcianów
a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2),
skąd
a b = (a 3 b 3)/(a 2 + ab + b 2).
Otrzymujemy
an = (n 3 + 2n 2 + 4) (n 3 +1)
/[(n 3 + 2n 2 + 4)2/3 + (n 3 + 2n 2 +4)1/3(n 3 + 1)1/3 + (n 3 + 1)2/3].
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
6
Slide 7
Ciągi liczbowe
Po wykonaniu redukcji licznika i podzieleniu licznika i mianownika
przez n 2 mamy
an = (2 + 3/n 2)
/[(1 + 2/n + 4/n 3)2/3 + (1 + 2/n + 4/n 3)1/3(1 + 1/n 3)1/3
+ (1 + 1/n 3)2/3].
Przechodząc do granicy otrzymujemy ostatecznie
lim an = 2/(1+1+1) = 2/3.
n
Przykład 3. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
an = (3 2n + 1 7)/(9n + 4).
Zauważmy, że
an = (3 9n 7)/(9n + 4)
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
7
Slide 8
Ciągi liczbowe
i po podzieleniu licznika i mianownika przez 9n mamy
an = (3 7/9n)/(1+4/9n),
a więc
lim an = 3/1 = 3.
n
Przykład 4. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
an = (3n + 5n + 7n)1/n.
Ponieważ
7n < 3n + 5n + 7n < 7n + 7n + 7n,
więc
7n /n < (3n + 5n + 7n)1/n < (37n)1/n,
czyli
7 < (3n + 5n + 7n)1/n < 731/n
i możemy zastosować twierdzenie o trzech ciągach.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
8
Slide 9
Ciągi liczbowe
Jeżeli wyrazy ogólne trzech ciągów {bn }, {an } i {cn } spełniają
nierówności bn an cn i jeżeli ciągi {bn } i {cn } mają wspólną
granicę g, to ciąg {an } ma tę samą granicę.
W naszym przypadku bn = 7 i cn = 731/n. Ponieważ
lim 1/n = 1 dla > 0,
n
więc lim cn = 71. Oczywiście lim bn = 7. Zatem także lim an = 7.
n
n
n
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
9
Slide 10
Ciągi liczbowe
Przykład 5. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
an = (1 + 4/n)n.
Korzystamy z jednego z podstawowych wzorów teorii granic:
lim (1 + 1/n)n = e
n
lub z wzoru ogólniejszego:
lim (1 + bn)1/bn = e, jeśli lim bn = 0 i bn 0.
n
n
Jeżeli wyraz ogólny rozważanego ciągu zapiszemy w postaci
an = [(1+4/n)n/4]4
i podstawimy w powyższym wzorze bn = 4/n, to otrzymamy, że
granicą ciągu {an } jest e 4.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
10
Slide 11
Ciągi liczbowe
Przykład 6. Obliczyć lim n
n
10/2n.
Korzystamy z twierdzenia: jeżeli dla ciągu {an } istnieje granica
lim | an+1 |/| an | = g < 1, to lim an = 0.
n
n
Uwaga: gdy dla ciągu {an } istnieje granica
lim | an+1 |/| an | = g > 1, to lim | an | = +,
n
n
a więc ciąg {an } jest rozbieżny.
W rozważanym przykładzie mamy
an = n 10/2n oraz an+1 = (n + 1)10/2n+1.
Ponieważ lim an+1/an = ½, więc na podstawie podanego
n
twierdzenia granicą naszego ciągu jest 0.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
11
Slide 12
Szeregi liczbowe
Przez szereg liczbowy nieskończony oznaczany
symbolem
an
n=1
rozumiemy ciąg sum:
s1 = a1 ,
s2 = a1 + a2 ,
……………………..
sn = a1 + a2 + … + an ,
…………………………………
Liczby a1 , a2 , … nazywamy wyrazami szeregu, a symbol
sn nazywamy wyrazem ogólnym szeregu. Wyrazy ciągu
{sn} nazywamy sumami częściowymi szeregu.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
12
Slide 13
Szeregi liczbowe
Jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny, czyli ma
skończoną granicę s, to mówimy, że szereg jest zbieżny,
a liczbę s nazywamy sumą szeregu nieskończonego.
Warunkiem koniecznym zbieżności każdego szeregu jest
to, by jego wyraz ogólny an dążył do zera.
Ważniejsze szeregi:
szereg geometryczny
aq n1, a 0
n=1
jest zbieżny, gdy | q | < 1 i wówczas jego suma wynosi
a/(1 q),
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
13
Slide 14
Szeregi liczbowe
szereg harmoniczny rzędu
1/n , gdzie > 0,
n=1
jest zbieżny dla > 1 i rozbieżny, gdy 1.
Ze względu na metody badania zbieżności szeregów
wyróżnia się dwie grupy:
szeregi o wyrazach nieujemnych ,
szeregi przemienne .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
14
Slide 15
Szeregi o wyrazach nieujemnych
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów. Jeżeli dla szeregu
an , gdzie an 0,
n=1
można wskazać taki szereg zbieżny
bn ,
n=1
że począwszy od pewnego miejsca N, czyli dla każdego n N, zachodzi
nierówność an bn, to pierwszy szereg jest równie zbieżny.
Kryterium porównawcze rozbieżności szeregów. Jeżeli dla
szeregu
an
n=1
można wskazać taki szereg rozbieżny
bn , gdzie bn 0,
n=1
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
15
Slide 16
Szeregi o wyrazach nieujemnych
że począwszy od pewnego n N zachodzi nierówność an bn, to
pierwszy szereg jest również rozbieżny.
Kryterium d’Alemberta zbieżności szeregów. Jeżeli w szeregu
an , gdzie an 0,
n=1
począwszy od pewnego miejsca N, tzn. dla n N, stosunek dowolnego
wyrazu an+1 do poprzedzającego wyrazu an jest stale mniejszy od
pewnej liczy p mniejszej od 1, tzn. jeżeli
an+1/an p < 1
dla każdego n N, to szereg jest zbieżny.
Gdy an+1/an 1 dla każdego n N, to szereg jest rozbieżny.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
16
Slide 17
Szeregi o wyrazach nieujemnych
Kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów. Jeżeli dla szeregu
an , gdzie an 0,
n=1
istnieje taka liczba p < 1, że począwszy od pewnego miejsca N, tzn.
dla każdego n N, zachodzi nierówność
(an )1/n < p < 1,
to szereg jest zbieżny. Gdy (an )1/n 1, to szereg jest rozbieżny.
Uwaga: Kryterium Cauchy’ego jest mocniejsze niż kryterium
d’Alemberta. Na przykład w szeregu
1 + 3/2 + 1/22 + 3/23 + … + 1/22n + 3/22n+1 + …
kryterium d’Alemeberta nie prowadzi do rozstrzygnięcia, bo stosunek
an+1/an jest na przemian większy i mniejszy od 1. Korzystając z kryterium
Cauchy’ego mamy lim (an )1/n = ½ < 1, a więc szereg jest zbieżny.
n
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
17
Slide 18
Szeregi o wyrazach nieujemnych
Przykład 1. Zbadać zbieżność szeregu
6n/n!.
n=1
Korzystamy z kryterium d’Alemberta:
an = 6n/n!, an+1 = 6n+1/(n+1)!,
a więc
an+1/an = 6n+1n!/[(n+1)!6n] = 6/(n+1) 0, gdy n .
Szereg jest zatem zbieżny.
Przykład 2. Zbadać zbieżność szeregu
n 3/2n.
n=1
Stosujemy kryterium Cauchy’ego. Mamy
(an )1/n = (n 3/2n)1/n = (n
1/n)3/2.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
18
Slide 19
Szeregi o wyrazach nieujemnych
Ale n 1/n 1, gdy n , więc (an )1/n ½ i szereg jest zbieżny.
Przykład 3. Zbadać zbieżność szeregu
n!/n n.
n=1
Zauważmy, że wyraz ogólny
an = n!/n n = 123 … n/(nnn … n)
jest, zaczynając od czwartego miejsca, mniejszy od 2/n 2, tzn. jest
mniejszy od ogólnego wyrazu szeregu
2/n = 2 1/n 2,
n=1
2
n=1
a ten szereg jest zbieżny jako iloczyn liczby 2 przez szereg harmoniczny
rzędu wyższego od 1.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
19
Slide 20
Szeregi przemienne
Kryterium Leibniza zbieżności szeregów. Jeżeli w szeregu
przemiennym
an
(1)
n=1
począwszy od pewnego miejsca N bezwzględne wartości wyrazów dążą
monotonicznie do zera, tzn. dla każdego n > N spełnione są warunki:
| an+1 | | an |,
lim an = 0,
n
to szereg jest zbieżny.
Kryterium bezwzględnej zbieżności szeregów. Jeżeli szereg
| an |,
n=1
którego wyrazy są równe wartościom bezwzględnym wyrazów szeregu
(1), jest zbieżny, to szereg (1) też jest zbieżny.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
20
Slide 21
Szeregi przemienne
Szereg
an
n=1
nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, gdy szereg
| an |
n=1
jest zbieżny.
Szereg zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżny,
nazywamy szeregiem warunkowo zbieżnym.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
21
Slide 22
Szeregi przemienne
Przykład 1. Zbadać zbieżność szeregu
(1)n+1/n.
n=1
Jest to szereg przemienny. Bezwzględne wartości jego wyrazów dążą
monotonicznie do zera:
1 > ½ > 1/3 > ¼ > … > 1/n > 1/(n+1) > …
oraz lim 1/n = 0. Na podstawie kryterium Leibniza szereg jest zbieżny.
n
Przykład 2. Zbadać zbieżność szeregu
1 ½ + 1/22 1/22 + 1/32 1/23 + 1/42 1/24 + … + 1/n 2 1/2n.
Jest to szereg przemienny. Nie spełnia on kryterium Leibniza, gdyż mamy
1/62 > 1/26, 1/26 < 1/72, 1/72 > 1/27, 1/27 < 1/82, …
Szereg jest jednak zbieżny i to bezwzględnie.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
22
Slide 23
Szeregi przemienne
Oznaczmy przez Sn sumę wartości bezwzględnych jego n wyrazów i weźmy
najpierw pod uwagę ciąg sum parzystych S2n. Łącząc w grupy odpowiednie
wyrazy otrzymujemy
S2n = (1 + 1/22 + 1/32 + … + 1/n 2) + (1/2 + 1/22 + 1/23 + … + 1/2n),
czyli
n
S2n = 1/k
2
k=1
n
+ 1/2k.
k=1
Granica pierwszej sumy jest równa sumie szeregu harmonicznego rzędu 2,
a więc szeregu zbieżnego. Granica drugiej sumy może być obliczona na
podstawie sumy szeregu geometrycznego (jest równa 1). Zatem
lim S2n = 1/n
n
n=1
2
+ 1.
Ciąg sum cząstkowych parzystych jest zatem zbieżny.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
23
Slide 24
Szeregi przemienne
Aby dowieść, że ciąg Sn jest zbieżny, należy jeszcze wykazać, że ciąg sum
cząstkowych nieparzystych S2n+1 jest zbieżny (i to do tej samej granicy).
Wynika to bezpośrednio z równości
S2n+1 = S2n + a2n+1,
wobec tego, że wyraz ogólny danego szeregu dąży do zera.
Udowodniliśmy zatem zbieżność szeregu utworzonego z bezwzględnych
wartości wyrazów danego szeregu, a więc tym samym wykazaliśmy
bezwzględną zbieżność danego szeregu.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
24