Морозов Влад 11-А Многокутники Види многокутників плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині. опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з умов: —
Download ReportTranscript Морозов Влад 11-А Многокутники Види многокутників плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині. опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з умов: —
Slide 1
Морозов Влад 11-А
Многокутники
Види многокутників
плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині.
опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з
умов:
— многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить
довільну його сторону;
— всі внутрішні кути многокутника менші 180°;
— будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника
перетинає границю многокутника у двох точках.
правильні многокутники, коли вони є плоскими, опуклими і з
рівними сторонами та кутами.
Правильний многокутник
Історія
Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова
ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна
отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15.
Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в
«Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже
побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми
будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі
Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то
можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні
математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число, — числа 3 та 5, а
приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося
довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться
17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що
правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює , де — ціле невід'ємне число, приймають
значення 0 або 1, а — прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном
Ванцелем у 1836 році.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було
знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом
Гермесом у 1894 році.
З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.
Застосування
Правильними многокутниками за
визначенням є грані правильних
многогранників.
Древньогрецькі математики (Антіфон,
Брісон, Архімед та ін.) використовували
правильні многокутники для обчислення
числа .Вони обчислювали площі
вписаних в коло і описаних навколо нього
многокутників, поступово збільшуючи
число їх сторін і отримуючи таким чином
оцінку площі кола.
Додекагон
Додекагон (грец. δώδεκα - дванадцять та грец. γωνία - кут ) - багатокутник кутами з 12
кутами і 12 сторонами. Як правило, додекагоном називають правильний багатокутник,
тобто такий, у якого всі сторони і всі кути рівні (у випадку додекагона кути рівні 150 °).
Правильний додекагон використовується в деяких країнах як форма монет.
Площа правильного додекагона зі стороною a
вираховується за формулою:
Або при радіусі описанного кола R:
Або при радіусі вписаного кола r:
Десятикутник
Десятикутник (правильний десятикутник —
декагон) — багатокутник з десятьма кутами.
Площа правильного десятикутника
обчислюється таким чином:
Правильний восьмикутник
Восьмикутник — багатокутник з вісьмома кутами.
Сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника дорівнює 1080 °.
Шестикутник
Правильний шестикутник — це правильний багатокутник з шістьма сторонами.
Особливість правильного шестикутника — рівність його сторони і радіуса описаного навколо нього кола,
оскільки
Радіус вписаного кола дорівнює:
Радіус описаного кола дорівнює:
Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:
Периметр правильного шестикутника дорівнює
Найдовша діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.
Slide 2
Морозов Влад 11-А
Многокутники
Види многокутників
плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині.
опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з
умов:
— многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить
довільну його сторону;
— всі внутрішні кути многокутника менші 180°;
— будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника
перетинає границю многокутника у двох точках.
правильні многокутники, коли вони є плоскими, опуклими і з
рівними сторонами та кутами.
Правильний многокутник
Історія
Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова
ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна
отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15.
Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в
«Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже
побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми
будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі
Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то
можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні
математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число, — числа 3 та 5, а
приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося
довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться
17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що
правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює , де — ціле невід'ємне число, приймають
значення 0 або 1, а — прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном
Ванцелем у 1836 році.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було
знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом
Гермесом у 1894 році.
З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.
Застосування
Правильними многокутниками за
визначенням є грані правильних
многогранників.
Древньогрецькі математики (Антіфон,
Брісон, Архімед та ін.) використовували
правильні многокутники для обчислення
числа .Вони обчислювали площі
вписаних в коло і описаних навколо нього
многокутників, поступово збільшуючи
число їх сторін і отримуючи таким чином
оцінку площі кола.
Додекагон
Додекагон (грец. δώδεκα - дванадцять та грец. γωνία - кут ) - багатокутник кутами з 12
кутами і 12 сторонами. Як правило, додекагоном називають правильний багатокутник,
тобто такий, у якого всі сторони і всі кути рівні (у випадку додекагона кути рівні 150 °).
Правильний додекагон використовується в деяких країнах як форма монет.
Площа правильного додекагона зі стороною a
вираховується за формулою:
Або при радіусі описанного кола R:
Або при радіусі вписаного кола r:
Десятикутник
Десятикутник (правильний десятикутник —
декагон) — багатокутник з десятьма кутами.
Площа правильного десятикутника
обчислюється таким чином:
Правильний восьмикутник
Восьмикутник — багатокутник з вісьмома кутами.
Сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника дорівнює 1080 °.
Шестикутник
Правильний шестикутник — це правильний багатокутник з шістьма сторонами.
Особливість правильного шестикутника — рівність його сторони і радіуса описаного навколо нього кола,
оскільки
Радіус вписаного кола дорівнює:
Радіус описаного кола дорівнює:
Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:
Периметр правильного шестикутника дорівнює
Найдовша діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.
Slide 3
Морозов Влад 11-А
Многокутники
Види многокутників
плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині.
опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з
умов:
— многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить
довільну його сторону;
— всі внутрішні кути многокутника менші 180°;
— будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника
перетинає границю многокутника у двох точках.
правильні многокутники, коли вони є плоскими, опуклими і з
рівними сторонами та кутами.
Правильний многокутник
Історія
Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова
ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна
отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15.
Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в
«Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже
побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми
будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі
Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то
можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні
математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число, — числа 3 та 5, а
приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося
довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться
17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що
правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює , де — ціле невід'ємне число, приймають
значення 0 або 1, а — прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном
Ванцелем у 1836 році.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було
знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом
Гермесом у 1894 році.
З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.
Застосування
Правильними многокутниками за
визначенням є грані правильних
многогранників.
Древньогрецькі математики (Антіфон,
Брісон, Архімед та ін.) використовували
правильні многокутники для обчислення
числа .Вони обчислювали площі
вписаних в коло і описаних навколо нього
многокутників, поступово збільшуючи
число їх сторін і отримуючи таким чином
оцінку площі кола.
Додекагон
Додекагон (грец. δώδεκα - дванадцять та грец. γωνία - кут ) - багатокутник кутами з 12
кутами і 12 сторонами. Як правило, додекагоном називають правильний багатокутник,
тобто такий, у якого всі сторони і всі кути рівні (у випадку додекагона кути рівні 150 °).
Правильний додекагон використовується в деяких країнах як форма монет.
Площа правильного додекагона зі стороною a
вираховується за формулою:
Або при радіусі описанного кола R:
Або при радіусі вписаного кола r:
Десятикутник
Десятикутник (правильний десятикутник —
декагон) — багатокутник з десятьма кутами.
Площа правильного десятикутника
обчислюється таким чином:
Правильний восьмикутник
Восьмикутник — багатокутник з вісьмома кутами.
Сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника дорівнює 1080 °.
Шестикутник
Правильний шестикутник — це правильний багатокутник з шістьма сторонами.
Особливість правильного шестикутника — рівність його сторони і радіуса описаного навколо нього кола,
оскільки
Радіус вписаного кола дорівнює:
Радіус описаного кола дорівнює:
Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:
Периметр правильного шестикутника дорівнює
Найдовша діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.
Slide 4
Морозов Влад 11-А
Многокутники
Види многокутників
плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині.
опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з
умов:
— многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить
довільну його сторону;
— всі внутрішні кути многокутника менші 180°;
— будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника
перетинає границю многокутника у двох точках.
правильні многокутники, коли вони є плоскими, опуклими і з
рівними сторонами та кутами.
Правильний многокутник
Історія
Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова
ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна
отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15.
Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в
«Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже
побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми
будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі
Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то
можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні
математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число, — числа 3 та 5, а
приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося
довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться
17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що
правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює , де — ціле невід'ємне число, приймають
значення 0 або 1, а — прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном
Ванцелем у 1836 році.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було
знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом
Гермесом у 1894 році.
З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.
Застосування
Правильними многокутниками за
визначенням є грані правильних
многогранників.
Древньогрецькі математики (Антіфон,
Брісон, Архімед та ін.) використовували
правильні многокутники для обчислення
числа .Вони обчислювали площі
вписаних в коло і описаних навколо нього
многокутників, поступово збільшуючи
число їх сторін і отримуючи таким чином
оцінку площі кола.
Додекагон
Додекагон (грец. δώδεκα - дванадцять та грец. γωνία - кут ) - багатокутник кутами з 12
кутами і 12 сторонами. Як правило, додекагоном називають правильний багатокутник,
тобто такий, у якого всі сторони і всі кути рівні (у випадку додекагона кути рівні 150 °).
Правильний додекагон використовується в деяких країнах як форма монет.
Площа правильного додекагона зі стороною a
вираховується за формулою:
Або при радіусі описанного кола R:
Або при радіусі вписаного кола r:
Десятикутник
Десятикутник (правильний десятикутник —
декагон) — багатокутник з десятьма кутами.
Площа правильного десятикутника
обчислюється таким чином:
Правильний восьмикутник
Восьмикутник — багатокутник з вісьмома кутами.
Сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника дорівнює 1080 °.
Шестикутник
Правильний шестикутник — це правильний багатокутник з шістьма сторонами.
Особливість правильного шестикутника — рівність його сторони і радіуса описаного навколо нього кола,
оскільки
Радіус вписаного кола дорівнює:
Радіус описаного кола дорівнює:
Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:
Периметр правильного шестикутника дорівнює
Найдовша діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.
Slide 5
Морозов Влад 11-А
Многокутники
Види многокутників
плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині.
опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з
умов:
— многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить
довільну його сторону;
— всі внутрішні кути многокутника менші 180°;
— будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника
перетинає границю многокутника у двох точках.
правильні многокутники, коли вони є плоскими, опуклими і з
рівними сторонами та кутами.
Правильний многокутник
Історія
Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова
ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна
отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15.
Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в
«Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже
побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми
будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі
Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то
можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні
математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число, — числа 3 та 5, а
приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося
довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться
17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що
правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює , де — ціле невід'ємне число, приймають
значення 0 або 1, а — прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном
Ванцелем у 1836 році.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було
знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом
Гермесом у 1894 році.
З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.
Застосування
Правильними многокутниками за
визначенням є грані правильних
многогранників.
Древньогрецькі математики (Антіфон,
Брісон, Архімед та ін.) використовували
правильні многокутники для обчислення
числа .Вони обчислювали площі
вписаних в коло і описаних навколо нього
многокутників, поступово збільшуючи
число їх сторін і отримуючи таким чином
оцінку площі кола.
Додекагон
Додекагон (грец. δώδεκα - дванадцять та грец. γωνία - кут ) - багатокутник кутами з 12
кутами і 12 сторонами. Як правило, додекагоном називають правильний багатокутник,
тобто такий, у якого всі сторони і всі кути рівні (у випадку додекагона кути рівні 150 °).
Правильний додекагон використовується в деяких країнах як форма монет.
Площа правильного додекагона зі стороною a
вираховується за формулою:
Або при радіусі описанного кола R:
Або при радіусі вписаного кола r:
Десятикутник
Десятикутник (правильний десятикутник —
декагон) — багатокутник з десятьма кутами.
Площа правильного десятикутника
обчислюється таким чином:
Правильний восьмикутник
Восьмикутник — багатокутник з вісьмома кутами.
Сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника дорівнює 1080 °.
Шестикутник
Правильний шестикутник — це правильний багатокутник з шістьма сторонами.
Особливість правильного шестикутника — рівність його сторони і радіуса описаного навколо нього кола,
оскільки
Радіус вписаного кола дорівнює:
Радіус описаного кола дорівнює:
Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:
Периметр правильного шестикутника дорівнює
Найдовша діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.
Slide 6
Морозов Влад 11-А
Многокутники
Види многокутників
плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині.
опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з
умов:
— многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить
довільну його сторону;
— всі внутрішні кути многокутника менші 180°;
— будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника
перетинає границю многокутника у двох точках.
правильні многокутники, коли вони є плоскими, опуклими і з
рівними сторонами та кутами.
Правильний многокутник
Історія
Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова
ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна
отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15.
Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в
«Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже
побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми
будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі
Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то
можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні
математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число, — числа 3 та 5, а
приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося
довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться
17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що
правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює , де — ціле невід'ємне число, приймають
значення 0 або 1, а — прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном
Ванцелем у 1836 році.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було
знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом
Гермесом у 1894 році.
З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.
Застосування
Правильними многокутниками за
визначенням є грані правильних
многогранників.
Древньогрецькі математики (Антіфон,
Брісон, Архімед та ін.) використовували
правильні многокутники для обчислення
числа .Вони обчислювали площі
вписаних в коло і описаних навколо нього
многокутників, поступово збільшуючи
число їх сторін і отримуючи таким чином
оцінку площі кола.
Додекагон
Додекагон (грец. δώδεκα - дванадцять та грец. γωνία - кут ) - багатокутник кутами з 12
кутами і 12 сторонами. Як правило, додекагоном називають правильний багатокутник,
тобто такий, у якого всі сторони і всі кути рівні (у випадку додекагона кути рівні 150 °).
Правильний додекагон використовується в деяких країнах як форма монет.
Площа правильного додекагона зі стороною a
вираховується за формулою:
Або при радіусі описанного кола R:
Або при радіусі вписаного кола r:
Десятикутник
Десятикутник (правильний десятикутник —
декагон) — багатокутник з десятьма кутами.
Площа правильного десятикутника
обчислюється таким чином:
Правильний восьмикутник
Восьмикутник — багатокутник з вісьмома кутами.
Сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника дорівнює 1080 °.
Шестикутник
Правильний шестикутник — це правильний багатокутник з шістьма сторонами.
Особливість правильного шестикутника — рівність його сторони і радіуса описаного навколо нього кола,
оскільки
Радіус вписаного кола дорівнює:
Радіус описаного кола дорівнює:
Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:
Периметр правильного шестикутника дорівнює
Найдовша діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.
Slide 7
Морозов Влад 11-А
Многокутники
Види многокутників
плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині.
опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з
умов:
— многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить
довільну його сторону;
— всі внутрішні кути многокутника менші 180°;
— будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника
перетинає границю многокутника у двох точках.
правильні многокутники, коли вони є плоскими, опуклими і з
рівними сторонами та кутами.
Правильний многокутник
Історія
Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова
ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна
отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15.
Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в
«Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже
побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми
будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі
Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то
можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні
математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число, — числа 3 та 5, а
приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося
довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться
17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що
правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює , де — ціле невід'ємне число, приймають
значення 0 або 1, а — прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном
Ванцелем у 1836 році.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було
знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом
Гермесом у 1894 році.
З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.
Застосування
Правильними многокутниками за
визначенням є грані правильних
многогранників.
Древньогрецькі математики (Антіфон,
Брісон, Архімед та ін.) використовували
правильні многокутники для обчислення
числа .Вони обчислювали площі
вписаних в коло і описаних навколо нього
многокутників, поступово збільшуючи
число їх сторін і отримуючи таким чином
оцінку площі кола.
Додекагон
Додекагон (грец. δώδεκα - дванадцять та грец. γωνία - кут ) - багатокутник кутами з 12
кутами і 12 сторонами. Як правило, додекагоном називають правильний багатокутник,
тобто такий, у якого всі сторони і всі кути рівні (у випадку додекагона кути рівні 150 °).
Правильний додекагон використовується в деяких країнах як форма монет.
Площа правильного додекагона зі стороною a
вираховується за формулою:
Або при радіусі описанного кола R:
Або при радіусі вписаного кола r:
Десятикутник
Десятикутник (правильний десятикутник —
декагон) — багатокутник з десятьма кутами.
Площа правильного десятикутника
обчислюється таким чином:
Правильний восьмикутник
Восьмикутник — багатокутник з вісьмома кутами.
Сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника дорівнює 1080 °.
Шестикутник
Правильний шестикутник — це правильний багатокутник з шістьма сторонами.
Особливість правильного шестикутника — рівність його сторони і радіуса описаного навколо нього кола,
оскільки
Радіус вписаного кола дорівнює:
Радіус описаного кола дорівнює:
Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:
Периметр правильного шестикутника дорівнює
Найдовша діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.
Slide 8
Морозов Влад 11-А
Многокутники
Види многокутників
плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині.
опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з
умов:
— многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить
довільну його сторону;
— всі внутрішні кути многокутника менші 180°;
— будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника
перетинає границю многокутника у двох точках.
правильні многокутники, коли вони є плоскими, опуклими і з
рівними сторонами та кутами.
Правильний многокутник
Історія
Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова
ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна
отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15.
Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в
«Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже
побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми
будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі
Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то
можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні
математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число, — числа 3 та 5, а
приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося
довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться
17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що
правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює , де — ціле невід'ємне число, приймають
значення 0 або 1, а — прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном
Ванцелем у 1836 році.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було
знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом
Гермесом у 1894 році.
З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.
Застосування
Правильними многокутниками за
визначенням є грані правильних
многогранників.
Древньогрецькі математики (Антіфон,
Брісон, Архімед та ін.) використовували
правильні многокутники для обчислення
числа .Вони обчислювали площі
вписаних в коло і описаних навколо нього
многокутників, поступово збільшуючи
число їх сторін і отримуючи таким чином
оцінку площі кола.
Додекагон
Додекагон (грец. δώδεκα - дванадцять та грец. γωνία - кут ) - багатокутник кутами з 12
кутами і 12 сторонами. Як правило, додекагоном називають правильний багатокутник,
тобто такий, у якого всі сторони і всі кути рівні (у випадку додекагона кути рівні 150 °).
Правильний додекагон використовується в деяких країнах як форма монет.
Площа правильного додекагона зі стороною a
вираховується за формулою:
Або при радіусі описанного кола R:
Або при радіусі вписаного кола r:
Десятикутник
Десятикутник (правильний десятикутник —
декагон) — багатокутник з десятьма кутами.
Площа правильного десятикутника
обчислюється таким чином:
Правильний восьмикутник
Восьмикутник — багатокутник з вісьмома кутами.
Сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника дорівнює 1080 °.
Шестикутник
Правильний шестикутник — це правильний багатокутник з шістьма сторонами.
Особливість правильного шестикутника — рівність його сторони і радіуса описаного навколо нього кола,
оскільки
Радіус вписаного кола дорівнює:
Радіус описаного кола дорівнює:
Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:
Периметр правильного шестикутника дорівнює
Найдовша діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.
Морозов Влад 11-А
Многокутники
Види многокутників
плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині.
опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з
умов:
— многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить
довільну його сторону;
— всі внутрішні кути многокутника менші 180°;
— будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника
перетинає границю многокутника у двох точках.
правильні многокутники, коли вони є плоскими, опуклими і з
рівними сторонами та кутами.
Правильний многокутник
Історія
Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова
ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна
отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15.
Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в
«Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже
побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми
будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі
Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то
можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні
математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число, — числа 3 та 5, а
приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося
довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться
17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що
правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює , де — ціле невід'ємне число, приймають
значення 0 або 1, а — прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном
Ванцелем у 1836 році.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було
знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом
Гермесом у 1894 році.
З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.
Застосування
Правильними многокутниками за
визначенням є грані правильних
многогранників.
Древньогрецькі математики (Антіфон,
Брісон, Архімед та ін.) використовували
правильні многокутники для обчислення
числа .Вони обчислювали площі
вписаних в коло і описаних навколо нього
многокутників, поступово збільшуючи
число їх сторін і отримуючи таким чином
оцінку площі кола.
Додекагон
Додекагон (грец. δώδεκα - дванадцять та грец. γωνία - кут ) - багатокутник кутами з 12
кутами і 12 сторонами. Як правило, додекагоном називають правильний багатокутник,
тобто такий, у якого всі сторони і всі кути рівні (у випадку додекагона кути рівні 150 °).
Правильний додекагон використовується в деяких країнах як форма монет.
Площа правильного додекагона зі стороною a
вираховується за формулою:
Або при радіусі описанного кола R:
Або при радіусі вписаного кола r:
Десятикутник
Десятикутник (правильний десятикутник —
декагон) — багатокутник з десятьма кутами.
Площа правильного десятикутника
обчислюється таким чином:
Правильний восьмикутник
Восьмикутник — багатокутник з вісьмома кутами.
Сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника дорівнює 1080 °.
Шестикутник
Правильний шестикутник — це правильний багатокутник з шістьма сторонами.
Особливість правильного шестикутника — рівність його сторони і радіуса описаного навколо нього кола,
оскільки
Радіус вписаного кола дорівнює:
Радіус описаного кола дорівнює:
Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:
Периметр правильного шестикутника дорівнює
Найдовша діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.
Slide 2
Морозов Влад 11-А
Многокутники
Види многокутників
плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині.
опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з
умов:
— многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить
довільну його сторону;
— всі внутрішні кути многокутника менші 180°;
— будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника
перетинає границю многокутника у двох точках.
правильні многокутники, коли вони є плоскими, опуклими і з
рівними сторонами та кутами.
Правильний многокутник
Історія
Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова
ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна
отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15.
Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в
«Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже
побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми
будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі
Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то
можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні
математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число, — числа 3 та 5, а
приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося
довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться
17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що
правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює , де — ціле невід'ємне число, приймають
значення 0 або 1, а — прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном
Ванцелем у 1836 році.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було
знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом
Гермесом у 1894 році.
З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.
Застосування
Правильними многокутниками за
визначенням є грані правильних
многогранників.
Древньогрецькі математики (Антіфон,
Брісон, Архімед та ін.) використовували
правильні многокутники для обчислення
числа .Вони обчислювали площі
вписаних в коло і описаних навколо нього
многокутників, поступово збільшуючи
число їх сторін і отримуючи таким чином
оцінку площі кола.
Додекагон
Додекагон (грец. δώδεκα - дванадцять та грец. γωνία - кут ) - багатокутник кутами з 12
кутами і 12 сторонами. Як правило, додекагоном називають правильний багатокутник,
тобто такий, у якого всі сторони і всі кути рівні (у випадку додекагона кути рівні 150 °).
Правильний додекагон використовується в деяких країнах як форма монет.
Площа правильного додекагона зі стороною a
вираховується за формулою:
Або при радіусі описанного кола R:
Або при радіусі вписаного кола r:
Десятикутник
Десятикутник (правильний десятикутник —
декагон) — багатокутник з десятьма кутами.
Площа правильного десятикутника
обчислюється таким чином:
Правильний восьмикутник
Восьмикутник — багатокутник з вісьмома кутами.
Сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника дорівнює 1080 °.
Шестикутник
Правильний шестикутник — це правильний багатокутник з шістьма сторонами.
Особливість правильного шестикутника — рівність його сторони і радіуса описаного навколо нього кола,
оскільки
Радіус вписаного кола дорівнює:
Радіус описаного кола дорівнює:
Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:
Периметр правильного шестикутника дорівнює
Найдовша діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.
Slide 3
Морозов Влад 11-А
Многокутники
Види многокутників
плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині.
опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з
умов:
— многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить
довільну його сторону;
— всі внутрішні кути многокутника менші 180°;
— будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника
перетинає границю многокутника у двох точках.
правильні многокутники, коли вони є плоскими, опуклими і з
рівними сторонами та кутами.
Правильний многокутник
Історія
Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова
ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна
отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15.
Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в
«Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже
побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми
будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі
Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то
можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні
математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число, — числа 3 та 5, а
приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося
довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться
17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що
правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює , де — ціле невід'ємне число, приймають
значення 0 або 1, а — прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном
Ванцелем у 1836 році.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було
знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом
Гермесом у 1894 році.
З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.
Застосування
Правильними многокутниками за
визначенням є грані правильних
многогранників.
Древньогрецькі математики (Антіфон,
Брісон, Архімед та ін.) використовували
правильні многокутники для обчислення
числа .Вони обчислювали площі
вписаних в коло і описаних навколо нього
многокутників, поступово збільшуючи
число їх сторін і отримуючи таким чином
оцінку площі кола.
Додекагон
Додекагон (грец. δώδεκα - дванадцять та грец. γωνία - кут ) - багатокутник кутами з 12
кутами і 12 сторонами. Як правило, додекагоном називають правильний багатокутник,
тобто такий, у якого всі сторони і всі кути рівні (у випадку додекагона кути рівні 150 °).
Правильний додекагон використовується в деяких країнах як форма монет.
Площа правильного додекагона зі стороною a
вираховується за формулою:
Або при радіусі описанного кола R:
Або при радіусі вписаного кола r:
Десятикутник
Десятикутник (правильний десятикутник —
декагон) — багатокутник з десятьма кутами.
Площа правильного десятикутника
обчислюється таким чином:
Правильний восьмикутник
Восьмикутник — багатокутник з вісьмома кутами.
Сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника дорівнює 1080 °.
Шестикутник
Правильний шестикутник — це правильний багатокутник з шістьма сторонами.
Особливість правильного шестикутника — рівність його сторони і радіуса описаного навколо нього кола,
оскільки
Радіус вписаного кола дорівнює:
Радіус описаного кола дорівнює:
Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:
Периметр правильного шестикутника дорівнює
Найдовша діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.
Slide 4
Морозов Влад 11-А
Многокутники
Види многокутників
плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині.
опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з
умов:
— многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить
довільну його сторону;
— всі внутрішні кути многокутника менші 180°;
— будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника
перетинає границю многокутника у двох точках.
правильні многокутники, коли вони є плоскими, опуклими і з
рівними сторонами та кутами.
Правильний многокутник
Історія
Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова
ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна
отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15.
Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в
«Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже
побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми
будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі
Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то
можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні
математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число, — числа 3 та 5, а
приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося
довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться
17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що
правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює , де — ціле невід'ємне число, приймають
значення 0 або 1, а — прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном
Ванцелем у 1836 році.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було
знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом
Гермесом у 1894 році.
З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.
Застосування
Правильними многокутниками за
визначенням є грані правильних
многогранників.
Древньогрецькі математики (Антіфон,
Брісон, Архімед та ін.) використовували
правильні многокутники для обчислення
числа .Вони обчислювали площі
вписаних в коло і описаних навколо нього
многокутників, поступово збільшуючи
число їх сторін і отримуючи таким чином
оцінку площі кола.
Додекагон
Додекагон (грец. δώδεκα - дванадцять та грец. γωνία - кут ) - багатокутник кутами з 12
кутами і 12 сторонами. Як правило, додекагоном називають правильний багатокутник,
тобто такий, у якого всі сторони і всі кути рівні (у випадку додекагона кути рівні 150 °).
Правильний додекагон використовується в деяких країнах як форма монет.
Площа правильного додекагона зі стороною a
вираховується за формулою:
Або при радіусі описанного кола R:
Або при радіусі вписаного кола r:
Десятикутник
Десятикутник (правильний десятикутник —
декагон) — багатокутник з десятьма кутами.
Площа правильного десятикутника
обчислюється таким чином:
Правильний восьмикутник
Восьмикутник — багатокутник з вісьмома кутами.
Сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника дорівнює 1080 °.
Шестикутник
Правильний шестикутник — це правильний багатокутник з шістьма сторонами.
Особливість правильного шестикутника — рівність його сторони і радіуса описаного навколо нього кола,
оскільки
Радіус вписаного кола дорівнює:
Радіус описаного кола дорівнює:
Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:
Периметр правильного шестикутника дорівнює
Найдовша діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.
Slide 5
Морозов Влад 11-А
Многокутники
Види многокутників
плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині.
опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з
умов:
— многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить
довільну його сторону;
— всі внутрішні кути многокутника менші 180°;
— будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника
перетинає границю многокутника у двох точках.
правильні многокутники, коли вони є плоскими, опуклими і з
рівними сторонами та кутами.
Правильний многокутник
Історія
Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова
ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна
отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15.
Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в
«Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже
побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми
будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі
Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то
можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні
математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число, — числа 3 та 5, а
приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося
довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться
17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що
правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює , де — ціле невід'ємне число, приймають
значення 0 або 1, а — прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном
Ванцелем у 1836 році.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було
знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом
Гермесом у 1894 році.
З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.
Застосування
Правильними многокутниками за
визначенням є грані правильних
многогранників.
Древньогрецькі математики (Антіфон,
Брісон, Архімед та ін.) використовували
правильні многокутники для обчислення
числа .Вони обчислювали площі
вписаних в коло і описаних навколо нього
многокутників, поступово збільшуючи
число їх сторін і отримуючи таким чином
оцінку площі кола.
Додекагон
Додекагон (грец. δώδεκα - дванадцять та грец. γωνία - кут ) - багатокутник кутами з 12
кутами і 12 сторонами. Як правило, додекагоном називають правильний багатокутник,
тобто такий, у якого всі сторони і всі кути рівні (у випадку додекагона кути рівні 150 °).
Правильний додекагон використовується в деяких країнах як форма монет.
Площа правильного додекагона зі стороною a
вираховується за формулою:
Або при радіусі описанного кола R:
Або при радіусі вписаного кола r:
Десятикутник
Десятикутник (правильний десятикутник —
декагон) — багатокутник з десятьма кутами.
Площа правильного десятикутника
обчислюється таким чином:
Правильний восьмикутник
Восьмикутник — багатокутник з вісьмома кутами.
Сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника дорівнює 1080 °.
Шестикутник
Правильний шестикутник — це правильний багатокутник з шістьма сторонами.
Особливість правильного шестикутника — рівність його сторони і радіуса описаного навколо нього кола,
оскільки
Радіус вписаного кола дорівнює:
Радіус описаного кола дорівнює:
Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:
Периметр правильного шестикутника дорівнює
Найдовша діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.
Slide 6
Морозов Влад 11-А
Многокутники
Види многокутників
плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині.
опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з
умов:
— многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить
довільну його сторону;
— всі внутрішні кути многокутника менші 180°;
— будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника
перетинає границю многокутника у двох точках.
правильні многокутники, коли вони є плоскими, опуклими і з
рівними сторонами та кутами.
Правильний многокутник
Історія
Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова
ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна
отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15.
Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в
«Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже
побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми
будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі
Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то
можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні
математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число, — числа 3 та 5, а
приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося
довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться
17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що
правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює , де — ціле невід'ємне число, приймають
значення 0 або 1, а — прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном
Ванцелем у 1836 році.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було
знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом
Гермесом у 1894 році.
З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.
Застосування
Правильними многокутниками за
визначенням є грані правильних
многогранників.
Древньогрецькі математики (Антіфон,
Брісон, Архімед та ін.) використовували
правильні многокутники для обчислення
числа .Вони обчислювали площі
вписаних в коло і описаних навколо нього
многокутників, поступово збільшуючи
число їх сторін і отримуючи таким чином
оцінку площі кола.
Додекагон
Додекагон (грец. δώδεκα - дванадцять та грец. γωνία - кут ) - багатокутник кутами з 12
кутами і 12 сторонами. Як правило, додекагоном називають правильний багатокутник,
тобто такий, у якого всі сторони і всі кути рівні (у випадку додекагона кути рівні 150 °).
Правильний додекагон використовується в деяких країнах як форма монет.
Площа правильного додекагона зі стороною a
вираховується за формулою:
Або при радіусі описанного кола R:
Або при радіусі вписаного кола r:
Десятикутник
Десятикутник (правильний десятикутник —
декагон) — багатокутник з десятьма кутами.
Площа правильного десятикутника
обчислюється таким чином:
Правильний восьмикутник
Восьмикутник — багатокутник з вісьмома кутами.
Сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника дорівнює 1080 °.
Шестикутник
Правильний шестикутник — це правильний багатокутник з шістьма сторонами.
Особливість правильного шестикутника — рівність його сторони і радіуса описаного навколо нього кола,
оскільки
Радіус вписаного кола дорівнює:
Радіус описаного кола дорівнює:
Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:
Периметр правильного шестикутника дорівнює
Найдовша діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.
Slide 7
Морозов Влад 11-А
Многокутники
Види многокутників
плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині.
опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з
умов:
— многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить
довільну його сторону;
— всі внутрішні кути многокутника менші 180°;
— будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника
перетинає границю многокутника у двох точках.
правильні многокутники, коли вони є плоскими, опуклими і з
рівними сторонами та кутами.
Правильний многокутник
Історія
Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова
ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна
отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15.
Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в
«Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже
побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми
будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі
Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то
можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні
математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число, — числа 3 та 5, а
приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося
довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться
17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що
правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює , де — ціле невід'ємне число, приймають
значення 0 або 1, а — прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном
Ванцелем у 1836 році.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було
знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом
Гермесом у 1894 році.
З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.
Застосування
Правильними многокутниками за
визначенням є грані правильних
многогранників.
Древньогрецькі математики (Антіфон,
Брісон, Архімед та ін.) використовували
правильні многокутники для обчислення
числа .Вони обчислювали площі
вписаних в коло і описаних навколо нього
многокутників, поступово збільшуючи
число їх сторін і отримуючи таким чином
оцінку площі кола.
Додекагон
Додекагон (грец. δώδεκα - дванадцять та грец. γωνία - кут ) - багатокутник кутами з 12
кутами і 12 сторонами. Як правило, додекагоном називають правильний багатокутник,
тобто такий, у якого всі сторони і всі кути рівні (у випадку додекагона кути рівні 150 °).
Правильний додекагон використовується в деяких країнах як форма монет.
Площа правильного додекагона зі стороною a
вираховується за формулою:
Або при радіусі описанного кола R:
Або при радіусі вписаного кола r:
Десятикутник
Десятикутник (правильний десятикутник —
декагон) — багатокутник з десятьма кутами.
Площа правильного десятикутника
обчислюється таким чином:
Правильний восьмикутник
Восьмикутник — багатокутник з вісьмома кутами.
Сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника дорівнює 1080 °.
Шестикутник
Правильний шестикутник — це правильний багатокутник з шістьма сторонами.
Особливість правильного шестикутника — рівність його сторони і радіуса описаного навколо нього кола,
оскільки
Радіус вписаного кола дорівнює:
Радіус описаного кола дорівнює:
Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:
Периметр правильного шестикутника дорівнює
Найдовша діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.
Slide 8
Морозов Влад 11-А
Многокутники
Види многокутників
плоскі многокутники, в яких всі сторони лежать в одній площині.
опуклі многокутники — многокутники, що задовольняють одну з
умов:
— многокутник знаходиться по одну сторону від прямої, що містить
довільну його сторону;
— всі внутрішні кути многокутника менші 180°;
— будь-яка пряма, що не містить вершин і сторін многокутника
перетинає границю многокутника у двох точках.
правильні многокутники, коли вони є плоскими, опуклими і з
рівними сторонами та кутами.
Правильний многокутник
Історія
Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова
ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна
отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15.
Окрім цього, він вже визначив певний критерій побудовності многокутників: хоча цей критерій і не було озвучено в
«Началах», древньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже
побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми
будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі
Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то
можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що древні
математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число, — числа 3 та 5, а
приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише у 1796 році Карлу Фрідріху Гаусу вдалося
довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться
17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що
правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює , де — ціле невід'ємне число, приймають
значення 0 або 1, а — прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено Пьєром-Лораном
Ванцелем у 1836 році.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було
знайдено Йоханесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Іоганом Густавом
Гермесом у 1894 році.
З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.
Застосування
Правильними многокутниками за
визначенням є грані правильних
многогранників.
Древньогрецькі математики (Антіфон,
Брісон, Архімед та ін.) використовували
правильні многокутники для обчислення
числа .Вони обчислювали площі
вписаних в коло і описаних навколо нього
многокутників, поступово збільшуючи
число їх сторін і отримуючи таким чином
оцінку площі кола.
Додекагон
Додекагон (грец. δώδεκα - дванадцять та грец. γωνία - кут ) - багатокутник кутами з 12
кутами і 12 сторонами. Як правило, додекагоном називають правильний багатокутник,
тобто такий, у якого всі сторони і всі кути рівні (у випадку додекагона кути рівні 150 °).
Правильний додекагон використовується в деяких країнах як форма монет.
Площа правильного додекагона зі стороною a
вираховується за формулою:
Або при радіусі описанного кола R:
Або при радіусі вписаного кола r:
Десятикутник
Десятикутник (правильний десятикутник —
декагон) — багатокутник з десятьма кутами.
Площа правильного десятикутника
обчислюється таким чином:
Правильний восьмикутник
Восьмикутник — багатокутник з вісьмома кутами.
Сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника дорівнює 1080 °.
Шестикутник
Правильний шестикутник — це правильний багатокутник з шістьма сторонами.
Особливість правильного шестикутника — рівність його сторони і радіуса описаного навколо нього кола,
оскільки
Радіус вписаного кола дорівнює:
Радіус описаного кола дорівнює:
Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:
Периметр правильного шестикутника дорівнює
Найдовша діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.