Chương 2: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN PHỨC Z 2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN.
Download ReportTranscript Chương 2: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN PHỨC Z 2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN.
Slide 1
Chương 2:
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRONG MIỀN PHỨC Z
2.1 BIẾN ĐỔI Z
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN Z
Slide 2
2.1 BIẾN ĐỔI Z
2.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z:
• Biến đổi Z của dãy x(n):
X (z)
x(n)z
n
(*)
n
Trong đó Z – biến số phức
Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía
Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):
X (z)
x(n)z
n0
• Nếu x(n) nhân quả thì : (*)
• Ký hiệu:
Z
x(n)
1
Z
X(z)
X(z)
x(n)
(**)
hay X(z) = Z{x(n)}
hay x(n) = Z-1{X(z)}
n
(**)
Slide 3
2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)
• Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence)
là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho
X(z) hội tụ.
Im(Z)
Rx+
• Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng
tiêu chuẩn Cauchy
Rx-
Re(z)
0
0
• Tiêu chuẩn Cauchy:
Một chuỗi có dạng:
x(n)
x ( 0 ) x (1) x ( 2 )
n0
hội tụ nếu:
1
lim x ( n )
n
n
1
Slide 4
Ví dụ 2.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=anu(n)
X(z)
x( n ) z
n
a
n
n
u( n ) z
n
n
n0
n
a .z
n
n
az
1
n0
Theo tiêu chuẩn Cauchy,
X(z) sẽ hội tụ:
X(z)
1
1 az
Nếu:
1
lim az
n
Vậy:
X(z)
n
ROC
/a/
1
0
1 n
1 z a
1
1 az
Im(z)
1
; ROC : Z a
Re(z)
Slide 5
Ví dụ 2.1.2: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=-anu(-n-1)
X(z)
x( n ) z
n
n
1
m 1
n
u( n 1 ) z
n
a .z
n
m
a z
1
1
Im(z)
m 0
/a/
Theo tiêu chuẩn Cauchy,
X(z) sẽ hội tụ:
n
n
n
m
a z
a
1
n
X( z ) a z
1
1
m 0
Re(z)
0
ROC
1
1 az
1
1 n
1 n
Nếu: lim a z
n
1 z a
Slide 6
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.2.1 Tuyến tính
x1 ( n ) X 1 ( z ) : ROC R 1
Z
• Nếu:
• Thì:
x2 ( n ) X 2 ( z ) : ROC R 2
Z
a1 x1 ( n ) a 2 x 2 ( n ) a1 X 1 ( z ) a 2 X 2 ( z )
Z
ROC chứa R1 R2
Ví dụ 2.2.1: Tìm biến đổi Z & ROC của
x(n)=anu(n) - bnu(-n-1) với /a/
Slide 7
Im(z)
Theo ví dụ 2.1.1 và 2.1.2, ta có:
a u ( n )
Z
n
/a/
1
1 az
ROC
R1 : z a
1
Re(z)
0
Im(z)
b u ( n 1 )
1
Z
n
1 bz
R2 : z b
1
Z
a u ( n ) b u ( n 1 )
n
n
1 az
1
Re(z)
0
ROC
Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:
1
/b/
Im(z)
1
1 bz
1
ROC /b/
Re(z)
R R1 R 2 : a z b
0
/a/
Slide 8
2.2.2 Dịch theo thời gian
Nếu:
x ( n ) X ( z ) :
Thì:
x ( n n 0 ) z
Với:
ROC R
Z
Z
n0
X ( z ): R O C R '
R trừ giá trị z=0, khi n0>0
R'
R trừ giá trị z=∞, khi n0<0
Ví dụ 2.2.2: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=anu(n-1)
Theo ví dụ 2.1.1:
a u ( n )
n
Z
1
1 az
1
; ROC : z a
az
1
Z
nu(n-1)=a.an-1u(n-1)
x(n)=a
: z a
Vậy
1
1 az
:
Slide 9
2.2.3 Nhân với hàm mũ an
Nếu: x ( n ) Z X ( z ) : ROC R
Z
n
1
Thì: a x ( n ) X ( a z ) : ROC a R
Ví dụ 2.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của
x1(n)=u(n) và x2(n)=anu(n)
Z
x ( n ) u ( n ) X ( z )
u ( n )z
1
n
Z
a x ( n ) a u ( n ) X ( az
n
n
1
)
1
1 z
1
1
1 az
1
;R : z 1
; R' : z a
Slide 10
2.2.4 Đạo hàm X(z) theo z
Z
Nếu: x ( n ) X ( z ) : ROC R
Thì:
n x ( n ) z
Z
dX(z)
: ROC R
dz
Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của g(n)=nanu(n)
x ( n ) a u ( n ) X ( z )
n
1
Z
Z
1 az
g ( n ) nx ( n ) G ( z ) z
1
; ROC : z a
dX ( z )
dz
az
1
(1 az
1 2
)
: z a
Slide 11
2.2.5 Đảo biến số
Nếu:
x ( n ) X ( z ) : ROC R
Thì:
x ( n ) X (z ) : ROC 1 R
Z
Z
-1
Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của y(n)=(1/a)nu(-n)
1
x ( n ) a u ( n ) X ( z )
Z
n
1 az
1
; ROC : z a
y ( n ) 1 a u ( n ) a u ( n ) x ( n )
n
n
Áp dụng tính chất đảo biến số:
1
Y (z) X (z )
1
1 a z
1 1
1
1 az
; ROC : z 1 / a
Slide 12
2.2.6 Liên hiệp phức
Nếu:
x ( n ) X ( z ) : ROC R
Thì:
x * ( n ) X * (z*) : ROC R
Z
Z
2.2.7 Tích 2 dãy
x1 ( n ) X 1 ( z ) : ROC R 1
Z
Nếu:
x2 ( n ) X 2 ( z ) : ROC R 2
Z
Thì:
x1 ( n ) x 2 ( n )
Z
1
2
c
z
X 1 ( ) X 1
1
d : ROC R 1 R 2
2.2.8 Định lý giá trị đầu
Nếu x(n) nhân quả thì: x ( 0 ) Lim X(z)
Z
Slide 13
Ví dụ 2.2.6: Tìm x(0), biết X(z)=e1/z và x(n) nhân quả
Theo định lý giá trị đầu:
x ( 0 ) lim X(z) lim e 1/z 1
Z
Z
2.2.9 Tổng chập 2 dãy
x1 ( n ) X 1 ( z ) : ROC R 1
Z
Nếu:
x2 ( n ) X 2 ( z ) : ROC R 2
Z
Z
Thì: x1 ( n ) * x 2 ( n )
X 1 ( z ) X 2 ( z ) :ROC có chứa R1 R2
Slide 14
Ví dụ 2.2.7: Tìm y(n) = x(n)*h(n), biết
x(n)=(0.5)nu(n) và h(n)=-2nu(-n-1)
1
Z
x ( n ) ( 0 . 5 ) u ( n ) X ( z )
n
1 0 .5 z
h ( n ) 2 u ( n 1 ) H ( z )
Y ( z ) X ( z )H ( z )
Z-1
1
.
1
( 1 0 .5 z
1
3 ( 1 0 .5 z
1
y (n) x(n) * h(n)
1
3
)
4
1
.
1 2z
1
1
.
) (1 2z
1
1
3 (1 2z
( 0 .5 ) u ( n )
n
; ROC : z 0 . 5
1
Z
n
1
1
4
3
; ROC : z 2
; ROC : 0 ,5 z 2
)
; ROC : 0 ,5 z 2
)
2 u ( n 1)
n
Slide 15
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
x(n)
a1x1(n)+a2x2(n)
X(z)
a1X1(z)+a2X2(z)
Chứa R1 R2
x(n-n0)
an x(n)
nx(n)
Z-n0 X(z)
X(a-1z)
-z dX(z)/dz
R’
R
R
x(-n)
X(z -1)
1/R
x*(n)
X*(z*)
R
x1(n)x2(n)
1
2 j C
z 1
X 1 ( v ) X 2 v dv
v
x(n) nhân quả
x(0)=lim X(z ->∞)
x1(n)*x2(n)
X1(z)X2(z)
R
R1 R2
Chứa R1 R2
Slide 16
BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
x(n)
X(z)
ROC
(n)
1
z
u(n)
1
/z/ >1
-u(-n-1)
1 z
an u(n)
1
-an u(-n-1)
nan u(n)
-nan u(-n-1)
1
/z/ > /a/
1 az
az
/z/ <1
1
/z/ > /a/
1
(1 az
/z/ < /a/
1 2
)
/z/ < /a/
cos(on)u(n)
(1-z-1coso)/(1-2z-1coso+z-2)
/z/ >1
sin(on)u(n)
(z-1sino)/(1-2z-1coso+z-2)
/z/ >1
Slide 17
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.3.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
x( n )
1
2 j
X ( z )z
n 1
dz
(*)
C
Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong
mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo
chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ
Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất
phức tạp của phép lấy tích phân vòng
• Các phương pháp biến đổi Z ngược:
Thặng dư
Khai triển thành chuỗi luỹ thừa
Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
Slide 18
2.3.2 PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ
a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực:
• Thặng dư tại điểm cực Zci bội r của F(z) được định nghĩa:
Re s F ( z ) Z Z
ci
1
d
( r 1)! dz
( r 1 )
( r 1 )
F ( z )( z z
ci )
r
Z Z ci
• Thặng dư tại điểm cực đơn Zci của F(z) được định nghĩa:
Re s F ( z ) Z Z
ci
F ( z )( z z ci ) Z Z
ci
b) Phương pháp:
• Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo tích
phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư tại tất cả
các điểm cực của hàm X(z)zn-1 :
Slide 19
x(n)
1
2 j
X (z)z
n 1
dz
Re s X ( z ) z
n 1
Z Z ci
(*)
i
C
Trong đó:
• Zci – các điểm cực của X(z)zn-1 nằm trong đường cong C
• Res[X(z)zn-1]z=zci - thặng dư của X(z)zn-1 tại điểm cực zci
Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta
được x(n)
Ví dụ 2.3.1: Tìm biến đổi Z ngược của X ( z )
z
( z 2)
Thay X(z) vào (*), ta được
x(n)
1
2 j
C
X (z)z
n 1
dz
1
z
2 j ( z 2 )
C
z
n 1
dz
n
z
Res
( z 2
)
Slide 20
Chọn C là đường cong khép kín nằm bên ngoài vòng
tròn có bán kính là 2
• n0: X ( z ) z
n 1
z
n
( z 2)
có 1 điểm cực đơn Zc1=2
Im(z)
Thặng dư tại Zc1=2:
z
Res
( z 2) Z 2
n
• n<0: X ( z ) z
n 1
ROC
2
z
n
2
(
z
2
)
(
z
2
)
Z 2
n
1
( z 2) z
n
0
C
1
( z 2) z
Re(z)
m
Zc1=2 đơn,
Zc2=0 bội m
1
1
1
(
z
2
)
Với: Zc1=2 Res
m
m
m
Z 2
2
( z 2) z Z 2 ( z 2) z
Slide 21
Với: Zc2=0 bội m:
m 1
1
1
d
Res
m
m 1
(
m
1
)!
(
z
2
)
z
dz
Z 0
1
m
z
m
( z 2) z
Z 0
( m 1)! ( 1) m 1
1
m
m
( m 1)!
(2)
2
1
Vậy, với n<0:
suy ra
zn
1
1
Res
m m 0
2
( z 2) 2
x(n) 2 : n 0
n
hay
x(n) 2 u (n)
n
Slide 22
2.3.3 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN CHUỖI LUỸ THỪA
Giả thiết X(z) có thể khai triển: X ( z )
an z
n
(*)
n
Theo định nghĩa biến đổi Z
X (z)
x(n) z
n
n
Đồng nhất (*) & (**), rút ra:
(**)
x(n) an
Ví dụ: 2.3.2: Tìm x(n) biết X(z) = z2 + 2z + 3 - 4z-1 - 5z-2
ROC: 02
X(z)
x( n ) z
n
x( 2 ) z x( 1 ) z x( 0 ) z x( 1 ) z
2
n 2
Suy ra: x ( n ) {1,2, 3 ,-4,-5}
1
0
1
x( 2 ) z
2
Slide 23
Ví dụ: 2.3.3: Tìm x(n) biết: X ( z )
1
1 2z
1
: z 2
Do ROC của X(z) là /z/>2, nên x(n) sẽ là dãy nhân quả
và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:
X(z)
n
an z
a 0 a1 z
1
a2 z
2
(*)
n0
Để có dạng (*), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:
1
1 - 2z
1 2z
2z
2z
1
-1
1 2 z 1 2 2 z 2
1
X (z)
1
2
-2
2
-2
-2 z
2 z
.......... ....
n
2 z
n
n0
x(n) 2 : n 0 2 u (n)
n
n
Slide 24
1
Ví dụ: 2.3.4: Tìm x(n) biết: X ( z )
1 2z
1
: z 2
Do ROC của X(z) là /z/<2, nên x(n) sẽ là dãy phản nhân
quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:
X(z)
an z
n
(**)
a 1 z a 2 z a 3 z
1
2
3
n 1
Để có dạng (**), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:
1
1
-2 z
1 2
2
2
1
1
1
z
1
z
1
2
1
-1
1
z 2
2
z 2
2
X (z)
1
1
-2
2
-2
2
z -2 z
2 z
.......... ....
2 z
n
3
3
z
n
n 1
x ( n ) 2 : n 0 2 u ( n 1)
n
n
Slide 25
2.3.4
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
CÁC PHÂN THỨC TỐI GIẢN
THÀNH
TỔNG
Xét X(z) là phân thức hữu tỉ có dạng:
X (z)
D(z)
B(z)
dK z
K
bN z
N
d K 1 z
K 1
b N 1 z
N 1
... d 1 z d 0
... b1 z b0
với: K, N >0
• Nếu K>N, thực hiện phép chia đa thức:
X (z)
D(z)
B(z)
C (z)
A( z )
B(z)
C (z)
aM z
bN z
M
N
a M 1 z
b N 1 z
M 1
N 1
... a1 z a 0
... b1 z b0
Ta được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) có bậc MN
• Nếu KN, thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z)
Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn đề
phức tạp là tìm biến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc MN
Slide 26
Xét X(z)/z là phân thức hữu tỉ có bậc MN :
X (z)
z
A( z )
B(z)
aM z
bN z
M
N
a M 1 z
b N 1 z
M 1
N 1
... a1 z a 0
... b1 z b0
Xét đến các điểm cực của X(z)/z, hay nghiệm của B(z) là
đơn, bội và phức liên hiệp
a) Xét X(z)/z có các điểm cực đơn: Zc1, Zc2, Zc3,…. ZcN,
X (z)
A( z )
z
B(z)
A( z )
b N ( z z c 1 )( z z c 2 ) ( z z cN )
Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, X(z)/z phân tích thành:
X (z)
z
A( z )
B(z)
K1
( z z c1 )
K2
( z zc 2 )
KN
( z z cN )
Với hệ số Ki xác định bởi:
Ki
X (z)
z
( z z ci )
hay
Z Z ci
Ki
A( z )
B'(z)
Z Z ci
N
i 1
Ki
( z z ci )
Slide 27
Suy ra X(z) có biểu thức:
X (z)
Xét:
K1
1
(1 z c 1 z )
X i (z)
K2
1
(1 z c 2 z )
N
KN
1
(1 z cN z )
i 1
Ki
Ki
1
(1 z ci z )
•
Nếu ROC: /z/ > /zci/
x i ( n ) K i ( z ci ) u ( n )
•
Nếu ROC: /z/ < /zci/
x i ( n ) K i ( z ci ) u ( n 1)
N
• Vậy: x ( n )
xi ( n )
i 1
n
n
1
(1 z ci z )
Slide 28
2z 5z
2
Ví dụ: 2.3.5: Tìm x(n) biết
X (z)
z 5z 6
2
ROC : a) /z/>3, b) /z/<2, c) 2X (z)
2z 5
z 5z 6
2
z
2z 5
( z 2 )( z 3 )
K1
( z 2)
K2
( z 3)
Với các hệ số được tính bởi:
K1
K2
X (z)
z
X (z)
( z 2)
z
Z 2
X (z)
( z 3)
z
Z 3
1
( z 2)
2z 5
( z 3)
1
Z 2
2z 5
( z 2)
1
( z 3)
1
Z 3
X (z)
1
1
(1 2 z )
1
1
(1 3 z )
Slide 29
X (z)
1
1
(1 2 z )
1
1
(1 3 z )
Với các miền hội tụ:
n
n
a) /z/ > 3 :
x (n ) 2 u (n ) 3 u (n )
b) /z/ < 2 :
x ( n ) 2 u ( n 1) 3 u ( n 1)
n
n
n
n
c) 2
Slide 30
b) Xét X(z)/z có điểm cực Zc1 bội r và các điểm cực đơn:
Zc(r+1),…,ZcN,
X (z)
z
A( z )
B(z)
A( z )
b N ( z z c 1 ) ( z z c ( r 1 ) ) ( z z cN )
r
Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, X(z)/z phân tích thành:
X (z)
z
K1
( z z c1 )
K2
( z z c1 )
K r 1
( z z c ( r 1 ) )
2
Kr
( z z c1 )
KN
( z z cN )
r
i 1
r
N
Ki
( z z1 )
i
Kl
l r 1
( z z cl )
Với hệ số Ki xác định bởi:
Ki
1
d
( r i )! dz
( r i)
( ri)
X (z)
r
z ( z z c1 )
Kl
Z Z c1
X (z)
z
( z z cl )
Z Z cl
Slide 31
Với giả thiết ROC của X(z): /z/ > max{ /zci/ }: i=1N,
biến đổi Z ngược của thành phần Ki/(z-zci)r sẽ là:
z
1
Z
z a
i
n ( n 1)...( n i 2 ) a
n i 1
u (n)
( i 1)!
Vậy ta có biểu thức biến đổi Z ngược là:
r
x(n)
Ki
n ( n 1)...( n i 2 ) a
n i 1
Ví dụ: 2.3.6: Tìm x(n) biết X ( z )
z
2z 5z 4
2
( z 2 ) ( z 1)
2
K1
( z 2)
n
K l ( z cl ) u ( n )
l r 1
2z 5z 4z
3
X (z)
u (n)
( i 1)!
i 1
N
2
( z 2 ) ( z 1)
2
K2
( z 2)
2
, ROC : z 2
K3
( z 1)
Slide 32
Với các hệ số được tính bởi:
K1
1
( 2 1 )
d
( 2 1 )
( 2 1)! dz
K2
K3
1
d
(22)
( 2 2 )! dz
X (z)
X (z)
2
(
z
2
)
z
(22)
Z 2
X (z)
2
z ( z 2)
2
d 2z 5z 4
dz
( z 1)
2z 5z 4
1
Z 2
2
Z 2
2z 5z 4
( z 1)
2
Z 2
2
( z 1)
z
( z 2)
Z 1
1
2
Z 1
Vậy X(z)/z có biểu thức là:
X (z)
z
1
( z 2)
X (z)
2
( z 2)
1
1
(1 2 z )
2
2z
1
( z 1)
1
1 2
(1 2 z )
1
1
(1 z )
x(n) 2 u (n) n 2 u (n) u (n)
n
n
ROC : z 2
Slide 33
c) Xét X(z)/z có cặp điểm cực Zc1 và Z*c1 phức liên hiệp,
các điểm cực còn lại đơn: Zc3,…,ZcN,
X (z)
A( z )
z
B(z)
A( z )
b N ( z z c 1 )( z z c 1 )( z z c 3 ) ( z z cN )
*
X(z)/z được phân tích thành:
X (z)
K1
z
( z z c1 )
X (z)
K1
z
( z z c1 )
K2
(z z )
*
c1
K3
( z zc3 )
N
K2
(z z )
*
c1
i3
KN
( z z cN )
Ki
( z z ci )
Với các hệ số K1, Ki được tính giống điểm cực đơn:
Ki
X(z)
z
( z z ci )
:i 1 N
Z Z ci
Slide 34
Do các hệ số A(z), B(z) là thực, nên K2=K1*
Xét :
X 1( z )
z
X 1( z )
K1
( z z c1 )
K1
( 1 z c1 z
1
)
K1 *
( z z c1 )
*
K1 *
(1
*
1
z c1 z
Nếu gọi:
)
K1 K1 e
j
z c1 z c1 e
j
Và giả thiết ROC: /z/>max{/zci/}:
x1 n K 1 z c 1 K
n
*
1
z
* n
c1
u ( n )
n
2 K 1 z c 1 cos( n )u ( n )
n
Vậy: x ( n ) 2 K 1 z c 1 cos( n )
N
K i z ci
i3
n
u ( n )
Slide 35
Ví dụ: 2.3.7: Tìm x(n) biết:
X (z)
z
1
( z 2 z 2 )( z 1)
K1
z (1
K1
j)
z (1
j)
1
z (1 j ) ( z 1) Z 1 j
X (z)
1/ 2
1 (1
x(n) (
n
j) z
1
2 ) cos( n
4
2
K3
( z 1)
1
K3
2
1/ 2
1 (1
: z
z (1 j ) z (1 j ) ( z 1)
*
K1
( z 2 z 2 )( z 1)
2
1
2
z
X (z)
j) z
1
1
( z 2 z 2)
1
2
)u ( n ) u ( n )
1
1
(1 z )
Z 1
z
2
Slide 36
2.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN Z
2.4.1 ĐỊNH NGHĨA HÀM TRUYỀN ĐẠT
Miền n:
x(n)
h(n)
y(n)=x(n)*h(n)
Z
Miền Z:
h(n)
Z
X(z)
H(z)
Y(z)=X(z)H(z)
H(z): gọi là hàm truyền đạt
H(z)=Y(z)/X(z)
Trong miền phức Z, H(z) đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống
Slide 37
2.4.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT ĐƯỢC BIỂU DIỄN THEO
CÁC HỆ SỐ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
• Phương trình sai phân TTHSH có dạng:
N
M
k 0
r 0
a k y ( n k ) bk x ( n r )
• Lấy biến đổi Z 2 vế PTSP & áp dụng tính chất dịch theo t/g:
N
Y ( z ) ak z
k 0
k
M
X ( z ) bk z
r 0
M
H( z )
r
Y( z )
X(z)
br z
r
k
r 0
N
k 0
ak z
Slide 38
Ví dụ: 2.4.1: Tìm H(z) và h(n) của hệ thống nhân quả cho bởi:
y(n) - 5y(n-1) + 6y(n-2) = 2x(n) - 5x(n-1)
Lấy biến đổi Z hai vế PTSP và áp dụng tính chất dịch theo t/g:
Y (z) 1 5z
H (z)
1
6z
Y (z)
X (z)
H (z)
z
K1
2
X ( z ) 2 5 z
1
2 5z
1 5z
2z 5
( z 2 )( z 3 )
2z 5
( z 3) z 2
H (z)
1
1
1
(1 2 z )
1
1
2
6z
2
K1
( z 2)
K2
2z 5z
z 5z 6
2
K2
( z 3)
2z 5
( z 2) z 3
1
1
1
(1 3 z )
Do hệ thống nhân quả nên: h(n) = ( 2n + 3n ) u(n)
Slide 39
2.4.3 HÀM TRUYỀN ĐẠT CÁC HỆ THỐNG GHÉP NỐI
a. Ghép nối tiếp
h1(n)
h2(n)
x(n)
h(n)=h1(n)*h2(n)
y(n)
x(n)
Miền n:
Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n)
Z
y(n)
H1(z)H2(z)
X(z)
H1(z)
H2(z)
Y(z)
X(z)
H(z)=H1(z)H2(z)
Y(z)
Miền Z:
Slide 40
b. Ghép song song
h1(n)
x(n)
+
y(n)
h2(n)
Miền n:
x(n)
h1(n)+h2(n)
H1(z)
X(z)
+
y(n)
Y(z)
H2(z)
Miền Z:
X(z)
H1(z)+H2(z)
Y(z)
Slide 41
Ví dụ: 2.4.2: Tìm H(z) của hệ thống, biết h1, h2, h3, h4
x(n)
h1(n)
H1(z)
Giải:
h2(n)
+
h3(n)
h4(n)
H2(z) + H3(z)H4(z)
H(z)=H1(z)[ H2(z) + H3(z)H4(z) ]
y(n)
Slide 42
2.4.4 TÍNH NHÂN QUẢ & ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG
a. Tính nhân quả
Miền n: Hệ thống TTBB là nhân quả
Miền Z:
H (z)
h(n) = 0 : n<0
A( z )
b N ( z z c 1 )( z z c 2 ) ( z z cN )
Do h(n) là tín hiệu nhân quả, nên miền hội tụ H(z) sẽ là:
z zc
max
max
z c1 , z c 2 , , z cN
Hệ thống TTBB
là nhân quả
Im(z)
ROC
/zc/max
0
ROC của H(z) là:
z zc
max
max z c 1 , z c 2 , , z cN
Re(z)
Slide 43
b. Tính ổn định
Miền n: Hệ thống TTBB là ổn định
n
Miền Z:
H (z)
h ( n ) (*)
h(n) z
n
h(n) z
h(n) z
n
n
n
n
n
H (z)
h(n)
: khi z 1
n
Theo đ/k ổn định (*), nhận thấy H(z) cũng sẽ hội tụ với /z/=1
Hệ thống TTBB
là ổn định
ROC của H(z)
có chứa /z/=1
Slide 44
c. Tính nhân quả và ổn định
ROC của H(z) là:
Hệ thống TTBB
là nhân quả
z zc
Hệ thống TTBB
là ổn định
max
max z c 1 , z c 2 , , z cN
ROC của H(z) có chứa /z/=1
Im(z)
Hệ thống TTBB
là nhân quả
và ổn định
ROC
/zc/max
/z/=1
ROC của H(z) là:
z zc
max
và
zc
max
1
0
Re(z)
Slide 45
4z 5z
2
Ví dụ: 2.4.3: Tìm h(n) của hệ thống, biết H ( z ) 2
2z 5z 2
a. Để hệ thống là nhân quả
b. Để hệ thống là ổn định
c. Để hệ thống là nhân quả và ổn định
H (z)
z
4z 5
2 ( z 1 / 2 )( z 2 )
H (z)
1
1 (1 / 2 ) z
1
K1
( z 1 / 2)
K2
( z 2)
1
( z 1 / 2)
1
( z 2)
1
1
(1 2 z )
a. Hệ thống nhân quả (/z/>2):
b. Hệ thống ổn định (1/2
h(n)=[(1/2)n + 2n] u(n)
h(n)=(1/2)n u(n) - 2n u(-n-1)
c. Hệ thống nhân quả và ổn định:
ROC: /z/>2 không thể chứa /z/=1 không tồn tại h(n)
Slide 46
2.4.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA
y ( n 1)
z
1 phía
y ( n 1) z
n
n0
y ( 1) z
1
y ( 1) y ( 0 ) z
y ( 0 ) y (1) z
1
1
y (1) z
2
2
1
y ( 1) z Y ( z )
y (n 2)
z
1 phía
y (n k )
Z
1 phía
y ( n 2 )z
n
y ( 2 ) y ( 1) z
n0
1
z
y ( 2 ) y ( 1) z
1
z Y (z)
k
z Y (z)
r 1
y ( r ) z
2
rk
y (0) z
y ( 0 ) y (1) z
y ( 2 ) y ( 1) z
k
2
1
1
Slide 47
Ví dụ 2.4.4: Hãy giải PTSP dùng biến đổi Z 1 phía
y(n) – 3y(n–1) +2 y(n-2) = x(n) : n0
biết: x(n)=3n-2u(n) và y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9
Lấy biến đổi Z 1 phía hai vế PTSP:
Y(z) - 3[y(-1)+z-1Y(z)] + 2[y(-2)+y(-1)z-1+z-2Y(z)] = X(z) (*)
Thay y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9 và X(z)=3-2/(1-3z-1) vào (*), rút ra:
Y (z)
z
1
( z 1)( z 3 )
Y (z)
y (n)
1
2
1
.
1
1
2 (1 z )
3
n
1 u (n)
1
1
.
2 ( z 1)
1
.
1
.
1
2 ( z 3)
1
1
2 (1 3 z )
Chương 2:
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRONG MIỀN PHỨC Z
2.1 BIẾN ĐỔI Z
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN Z
Slide 2
2.1 BIẾN ĐỔI Z
2.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z:
• Biến đổi Z của dãy x(n):
X (z)
x(n)z
n
(*)
n
Trong đó Z – biến số phức
Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía
Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):
X (z)
x(n)z
n0
• Nếu x(n) nhân quả thì : (*)
• Ký hiệu:
Z
x(n)
1
Z
X(z)
X(z)
x(n)
(**)
hay X(z) = Z{x(n)}
hay x(n) = Z-1{X(z)}
n
(**)
Slide 3
2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)
• Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence)
là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho
X(z) hội tụ.
Im(Z)
Rx+
• Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng
tiêu chuẩn Cauchy
Rx-
Re(z)
0
0
• Tiêu chuẩn Cauchy:
Một chuỗi có dạng:
x(n)
x ( 0 ) x (1) x ( 2 )
n0
hội tụ nếu:
1
lim x ( n )
n
n
1
Slide 4
Ví dụ 2.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=anu(n)
X(z)
x( n ) z
n
a
n
n
u( n ) z
n
n
n0
n
a .z
n
n
az
1
n0
Theo tiêu chuẩn Cauchy,
X(z) sẽ hội tụ:
X(z)
1
1 az
Nếu:
1
lim az
n
Vậy:
X(z)
n
ROC
/a/
1
0
1 n
1 z a
1
1 az
Im(z)
1
; ROC : Z a
Re(z)
Slide 5
Ví dụ 2.1.2: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=-anu(-n-1)
X(z)
x( n ) z
n
n
1
m 1
n
u( n 1 ) z
n
a .z
n
m
a z
1
1
Im(z)
m 0
/a/
Theo tiêu chuẩn Cauchy,
X(z) sẽ hội tụ:
n
n
n
m
a z
a
1
n
X( z ) a z
1
1
m 0
Re(z)
0
ROC
1
1 az
1
1 n
1 n
Nếu: lim a z
n
1 z a
Slide 6
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.2.1 Tuyến tính
x1 ( n ) X 1 ( z ) : ROC R 1
Z
• Nếu:
• Thì:
x2 ( n ) X 2 ( z ) : ROC R 2
Z
a1 x1 ( n ) a 2 x 2 ( n ) a1 X 1 ( z ) a 2 X 2 ( z )
Z
ROC chứa R1 R2
Ví dụ 2.2.1: Tìm biến đổi Z & ROC của
x(n)=anu(n) - bnu(-n-1) với /a/
Slide 7
Im(z)
Theo ví dụ 2.1.1 và 2.1.2, ta có:
a u ( n )
Z
n
/a/
1
1 az
ROC
R1 : z a
1
Re(z)
0
Im(z)
b u ( n 1 )
1
Z
n
1 bz
R2 : z b
1
Z
a u ( n ) b u ( n 1 )
n
n
1 az
1
Re(z)
0
ROC
Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:
1
/b/
Im(z)
1
1 bz
1
ROC /b/
Re(z)
R R1 R 2 : a z b
0
/a/
Slide 8
2.2.2 Dịch theo thời gian
Nếu:
x ( n ) X ( z ) :
Thì:
x ( n n 0 ) z
Với:
ROC R
Z
Z
n0
X ( z ): R O C R '
R trừ giá trị z=0, khi n0>0
R'
R trừ giá trị z=∞, khi n0<0
Ví dụ 2.2.2: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=anu(n-1)
Theo ví dụ 2.1.1:
a u ( n )
n
Z
1
1 az
1
; ROC : z a
az
1
Z
nu(n-1)=a.an-1u(n-1)
x(n)=a
: z a
Vậy
1
1 az
:
Slide 9
2.2.3 Nhân với hàm mũ an
Nếu: x ( n ) Z X ( z ) : ROC R
Z
n
1
Thì: a x ( n ) X ( a z ) : ROC a R
Ví dụ 2.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của
x1(n)=u(n) và x2(n)=anu(n)
Z
x ( n ) u ( n ) X ( z )
u ( n )z
1
n
Z
a x ( n ) a u ( n ) X ( az
n
n
1
)
1
1 z
1
1
1 az
1
;R : z 1
; R' : z a
Slide 10
2.2.4 Đạo hàm X(z) theo z
Z
Nếu: x ( n ) X ( z ) : ROC R
Thì:
n x ( n ) z
Z
dX(z)
: ROC R
dz
Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của g(n)=nanu(n)
x ( n ) a u ( n ) X ( z )
n
1
Z
Z
1 az
g ( n ) nx ( n ) G ( z ) z
1
; ROC : z a
dX ( z )
dz
az
1
(1 az
1 2
)
: z a
Slide 11
2.2.5 Đảo biến số
Nếu:
x ( n ) X ( z ) : ROC R
Thì:
x ( n ) X (z ) : ROC 1 R
Z
Z
-1
Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của y(n)=(1/a)nu(-n)
1
x ( n ) a u ( n ) X ( z )
Z
n
1 az
1
; ROC : z a
y ( n ) 1 a u ( n ) a u ( n ) x ( n )
n
n
Áp dụng tính chất đảo biến số:
1
Y (z) X (z )
1
1 a z
1 1
1
1 az
; ROC : z 1 / a
Slide 12
2.2.6 Liên hiệp phức
Nếu:
x ( n ) X ( z ) : ROC R
Thì:
x * ( n ) X * (z*) : ROC R
Z
Z
2.2.7 Tích 2 dãy
x1 ( n ) X 1 ( z ) : ROC R 1
Z
Nếu:
x2 ( n ) X 2 ( z ) : ROC R 2
Z
Thì:
x1 ( n ) x 2 ( n )
Z
1
2
c
z
X 1 ( ) X 1
1
d : ROC R 1 R 2
2.2.8 Định lý giá trị đầu
Nếu x(n) nhân quả thì: x ( 0 ) Lim X(z)
Z
Slide 13
Ví dụ 2.2.6: Tìm x(0), biết X(z)=e1/z và x(n) nhân quả
Theo định lý giá trị đầu:
x ( 0 ) lim X(z) lim e 1/z 1
Z
Z
2.2.9 Tổng chập 2 dãy
x1 ( n ) X 1 ( z ) : ROC R 1
Z
Nếu:
x2 ( n ) X 2 ( z ) : ROC R 2
Z
Z
Thì: x1 ( n ) * x 2 ( n )
X 1 ( z ) X 2 ( z ) :ROC có chứa R1 R2
Slide 14
Ví dụ 2.2.7: Tìm y(n) = x(n)*h(n), biết
x(n)=(0.5)nu(n) và h(n)=-2nu(-n-1)
1
Z
x ( n ) ( 0 . 5 ) u ( n ) X ( z )
n
1 0 .5 z
h ( n ) 2 u ( n 1 ) H ( z )
Y ( z ) X ( z )H ( z )
Z-1
1
.
1
( 1 0 .5 z
1
3 ( 1 0 .5 z
1
y (n) x(n) * h(n)
1
3
)
4
1
.
1 2z
1
1
.
) (1 2z
1
1
3 (1 2z
( 0 .5 ) u ( n )
n
; ROC : z 0 . 5
1
Z
n
1
1
4
3
; ROC : z 2
; ROC : 0 ,5 z 2
)
; ROC : 0 ,5 z 2
)
2 u ( n 1)
n
Slide 15
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
x(n)
a1x1(n)+a2x2(n)
X(z)
a1X1(z)+a2X2(z)
Chứa R1 R2
x(n-n0)
an x(n)
nx(n)
Z-n0 X(z)
X(a-1z)
-z dX(z)/dz
R’
R
R
x(-n)
X(z -1)
1/R
x*(n)
X*(z*)
R
x1(n)x2(n)
1
2 j C
z 1
X 1 ( v ) X 2 v dv
v
x(n) nhân quả
x(0)=lim X(z ->∞)
x1(n)*x2(n)
X1(z)X2(z)
R
R1 R2
Chứa R1 R2
Slide 16
BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
x(n)
X(z)
ROC
(n)
1
z
u(n)
1
/z/ >1
-u(-n-1)
1 z
an u(n)
1
-an u(-n-1)
nan u(n)
-nan u(-n-1)
1
/z/ > /a/
1 az
az
/z/ <1
1
/z/ > /a/
1
(1 az
/z/ < /a/
1 2
)
/z/ < /a/
cos(on)u(n)
(1-z-1coso)/(1-2z-1coso+z-2)
/z/ >1
sin(on)u(n)
(z-1sino)/(1-2z-1coso+z-2)
/z/ >1
Slide 17
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.3.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
x( n )
1
2 j
X ( z )z
n 1
dz
(*)
C
Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong
mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo
chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ
Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất
phức tạp của phép lấy tích phân vòng
• Các phương pháp biến đổi Z ngược:
Thặng dư
Khai triển thành chuỗi luỹ thừa
Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
Slide 18
2.3.2 PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ
a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực:
• Thặng dư tại điểm cực Zci bội r của F(z) được định nghĩa:
Re s F ( z ) Z Z
ci
1
d
( r 1)! dz
( r 1 )
( r 1 )
F ( z )( z z
ci )
r
Z Z ci
• Thặng dư tại điểm cực đơn Zci của F(z) được định nghĩa:
Re s F ( z ) Z Z
ci
F ( z )( z z ci ) Z Z
ci
b) Phương pháp:
• Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo tích
phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư tại tất cả
các điểm cực của hàm X(z)zn-1 :
Slide 19
x(n)
1
2 j
X (z)z
n 1
dz
Re s X ( z ) z
n 1
Z Z ci
(*)
i
C
Trong đó:
• Zci – các điểm cực của X(z)zn-1 nằm trong đường cong C
• Res[X(z)zn-1]z=zci - thặng dư của X(z)zn-1 tại điểm cực zci
Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta
được x(n)
Ví dụ 2.3.1: Tìm biến đổi Z ngược của X ( z )
z
( z 2)
Thay X(z) vào (*), ta được
x(n)
1
2 j
C
X (z)z
n 1
dz
1
z
2 j ( z 2 )
C
z
n 1
dz
n
z
Res
( z 2
)
Slide 20
Chọn C là đường cong khép kín nằm bên ngoài vòng
tròn có bán kính là 2
• n0: X ( z ) z
n 1
z
n
( z 2)
có 1 điểm cực đơn Zc1=2
Im(z)
Thặng dư tại Zc1=2:
z
Res
( z 2) Z 2
n
• n<0: X ( z ) z
n 1
ROC
2
z
n
2
(
z
2
)
(
z
2
)
Z 2
n
1
( z 2) z
n
0
C
1
( z 2) z
Re(z)
m
Zc1=2 đơn,
Zc2=0 bội m
1
1
1
(
z
2
)
Với: Zc1=2 Res
m
m
m
Z 2
2
( z 2) z Z 2 ( z 2) z
Slide 21
Với: Zc2=0 bội m:
m 1
1
1
d
Res
m
m 1
(
m
1
)!
(
z
2
)
z
dz
Z 0
1
m
z
m
( z 2) z
Z 0
( m 1)! ( 1) m 1
1
m
m
( m 1)!
(2)
2
1
Vậy, với n<0:
suy ra
zn
1
1
Res
m m 0
2
( z 2) 2
x(n) 2 : n 0
n
hay
x(n) 2 u (n)
n
Slide 22
2.3.3 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN CHUỖI LUỸ THỪA
Giả thiết X(z) có thể khai triển: X ( z )
an z
n
(*)
n
Theo định nghĩa biến đổi Z
X (z)
x(n) z
n
n
Đồng nhất (*) & (**), rút ra:
(**)
x(n) an
Ví dụ: 2.3.2: Tìm x(n) biết X(z) = z2 + 2z + 3 - 4z-1 - 5z-2
ROC: 02
X(z)
x( n ) z
n
x( 2 ) z x( 1 ) z x( 0 ) z x( 1 ) z
2
n 2
Suy ra: x ( n ) {1,2, 3 ,-4,-5}
1
0
1
x( 2 ) z
2
Slide 23
Ví dụ: 2.3.3: Tìm x(n) biết: X ( z )
1
1 2z
1
: z 2
Do ROC của X(z) là /z/>2, nên x(n) sẽ là dãy nhân quả
và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:
X(z)
n
an z
a 0 a1 z
1
a2 z
2
(*)
n0
Để có dạng (*), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:
1
1 - 2z
1 2z
2z
2z
1
-1
1 2 z 1 2 2 z 2
1
X (z)
1
2
-2
2
-2
-2 z
2 z
.......... ....
n
2 z
n
n0
x(n) 2 : n 0 2 u (n)
n
n
Slide 24
1
Ví dụ: 2.3.4: Tìm x(n) biết: X ( z )
1 2z
1
: z 2
Do ROC của X(z) là /z/<2, nên x(n) sẽ là dãy phản nhân
quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:
X(z)
an z
n
(**)
a 1 z a 2 z a 3 z
1
2
3
n 1
Để có dạng (**), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:
1
1
-2 z
1 2
2
2
1
1
1
z
1
z
1
2
1
-1
1
z 2
2
z 2
2
X (z)
1
1
-2
2
-2
2
z -2 z
2 z
.......... ....
2 z
n
3
3
z
n
n 1
x ( n ) 2 : n 0 2 u ( n 1)
n
n
Slide 25
2.3.4
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
CÁC PHÂN THỨC TỐI GIẢN
THÀNH
TỔNG
Xét X(z) là phân thức hữu tỉ có dạng:
X (z)
D(z)
B(z)
dK z
K
bN z
N
d K 1 z
K 1
b N 1 z
N 1
... d 1 z d 0
... b1 z b0
với: K, N >0
• Nếu K>N, thực hiện phép chia đa thức:
X (z)
D(z)
B(z)
C (z)
A( z )
B(z)
C (z)
aM z
bN z
M
N
a M 1 z
b N 1 z
M 1
N 1
... a1 z a 0
... b1 z b0
Ta được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) có bậc MN
• Nếu KN, thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z)
Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn đề
phức tạp là tìm biến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc MN
Slide 26
Xét X(z)/z là phân thức hữu tỉ có bậc MN :
X (z)
z
A( z )
B(z)
aM z
bN z
M
N
a M 1 z
b N 1 z
M 1
N 1
... a1 z a 0
... b1 z b0
Xét đến các điểm cực của X(z)/z, hay nghiệm của B(z) là
đơn, bội và phức liên hiệp
a) Xét X(z)/z có các điểm cực đơn: Zc1, Zc2, Zc3,…. ZcN,
X (z)
A( z )
z
B(z)
A( z )
b N ( z z c 1 )( z z c 2 ) ( z z cN )
Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, X(z)/z phân tích thành:
X (z)
z
A( z )
B(z)
K1
( z z c1 )
K2
( z zc 2 )
KN
( z z cN )
Với hệ số Ki xác định bởi:
Ki
X (z)
z
( z z ci )
hay
Z Z ci
Ki
A( z )
B'(z)
Z Z ci
N
i 1
Ki
( z z ci )
Slide 27
Suy ra X(z) có biểu thức:
X (z)
Xét:
K1
1
(1 z c 1 z )
X i (z)
K2
1
(1 z c 2 z )
N
KN
1
(1 z cN z )
i 1
Ki
Ki
1
(1 z ci z )
•
Nếu ROC: /z/ > /zci/
x i ( n ) K i ( z ci ) u ( n )
•
Nếu ROC: /z/ < /zci/
x i ( n ) K i ( z ci ) u ( n 1)
N
• Vậy: x ( n )
xi ( n )
i 1
n
n
1
(1 z ci z )
Slide 28
2z 5z
2
Ví dụ: 2.3.5: Tìm x(n) biết
X (z)
z 5z 6
2
ROC : a) /z/>3, b) /z/<2, c) 2X (z)
2z 5
z 5z 6
2
z
2z 5
( z 2 )( z 3 )
K1
( z 2)
K2
( z 3)
Với các hệ số được tính bởi:
K1
K2
X (z)
z
X (z)
( z 2)
z
Z 2
X (z)
( z 3)
z
Z 3
1
( z 2)
2z 5
( z 3)
1
Z 2
2z 5
( z 2)
1
( z 3)
1
Z 3
X (z)
1
1
(1 2 z )
1
1
(1 3 z )
Slide 29
X (z)
1
1
(1 2 z )
1
1
(1 3 z )
Với các miền hội tụ:
n
n
a) /z/ > 3 :
x (n ) 2 u (n ) 3 u (n )
b) /z/ < 2 :
x ( n ) 2 u ( n 1) 3 u ( n 1)
n
n
n
n
c) 2
Slide 30
b) Xét X(z)/z có điểm cực Zc1 bội r và các điểm cực đơn:
Zc(r+1),…,ZcN,
X (z)
z
A( z )
B(z)
A( z )
b N ( z z c 1 ) ( z z c ( r 1 ) ) ( z z cN )
r
Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, X(z)/z phân tích thành:
X (z)
z
K1
( z z c1 )
K2
( z z c1 )
K r 1
( z z c ( r 1 ) )
2
Kr
( z z c1 )
KN
( z z cN )
r
i 1
r
N
Ki
( z z1 )
i
Kl
l r 1
( z z cl )
Với hệ số Ki xác định bởi:
Ki
1
d
( r i )! dz
( r i)
( ri)
X (z)
r
z ( z z c1 )
Kl
Z Z c1
X (z)
z
( z z cl )
Z Z cl
Slide 31
Với giả thiết ROC của X(z): /z/ > max{ /zci/ }: i=1N,
biến đổi Z ngược của thành phần Ki/(z-zci)r sẽ là:
z
1
Z
z a
i
n ( n 1)...( n i 2 ) a
n i 1
u (n)
( i 1)!
Vậy ta có biểu thức biến đổi Z ngược là:
r
x(n)
Ki
n ( n 1)...( n i 2 ) a
n i 1
Ví dụ: 2.3.6: Tìm x(n) biết X ( z )
z
2z 5z 4
2
( z 2 ) ( z 1)
2
K1
( z 2)
n
K l ( z cl ) u ( n )
l r 1
2z 5z 4z
3
X (z)
u (n)
( i 1)!
i 1
N
2
( z 2 ) ( z 1)
2
K2
( z 2)
2
, ROC : z 2
K3
( z 1)
Slide 32
Với các hệ số được tính bởi:
K1
1
( 2 1 )
d
( 2 1 )
( 2 1)! dz
K2
K3
1
d
(22)
( 2 2 )! dz
X (z)
X (z)
2
(
z
2
)
z
(22)
Z 2
X (z)
2
z ( z 2)
2
d 2z 5z 4
dz
( z 1)
2z 5z 4
1
Z 2
2
Z 2
2z 5z 4
( z 1)
2
Z 2
2
( z 1)
z
( z 2)
Z 1
1
2
Z 1
Vậy X(z)/z có biểu thức là:
X (z)
z
1
( z 2)
X (z)
2
( z 2)
1
1
(1 2 z )
2
2z
1
( z 1)
1
1 2
(1 2 z )
1
1
(1 z )
x(n) 2 u (n) n 2 u (n) u (n)
n
n
ROC : z 2
Slide 33
c) Xét X(z)/z có cặp điểm cực Zc1 và Z*c1 phức liên hiệp,
các điểm cực còn lại đơn: Zc3,…,ZcN,
X (z)
A( z )
z
B(z)
A( z )
b N ( z z c 1 )( z z c 1 )( z z c 3 ) ( z z cN )
*
X(z)/z được phân tích thành:
X (z)
K1
z
( z z c1 )
X (z)
K1
z
( z z c1 )
K2
(z z )
*
c1
K3
( z zc3 )
N
K2
(z z )
*
c1
i3
KN
( z z cN )
Ki
( z z ci )
Với các hệ số K1, Ki được tính giống điểm cực đơn:
Ki
X(z)
z
( z z ci )
:i 1 N
Z Z ci
Slide 34
Do các hệ số A(z), B(z) là thực, nên K2=K1*
Xét :
X 1( z )
z
X 1( z )
K1
( z z c1 )
K1
( 1 z c1 z
1
)
K1 *
( z z c1 )
*
K1 *
(1
*
1
z c1 z
Nếu gọi:
)
K1 K1 e
j
z c1 z c1 e
j
Và giả thiết ROC: /z/>max{/zci/}:
x1 n K 1 z c 1 K
n
*
1
z
* n
c1
u ( n )
n
2 K 1 z c 1 cos( n )u ( n )
n
Vậy: x ( n ) 2 K 1 z c 1 cos( n )
N
K i z ci
i3
n
u ( n )
Slide 35
Ví dụ: 2.3.7: Tìm x(n) biết:
X (z)
z
1
( z 2 z 2 )( z 1)
K1
z (1
K1
j)
z (1
j)
1
z (1 j ) ( z 1) Z 1 j
X (z)
1/ 2
1 (1
x(n) (
n
j) z
1
2 ) cos( n
4
2
K3
( z 1)
1
K3
2
1/ 2
1 (1
: z
z (1 j ) z (1 j ) ( z 1)
*
K1
( z 2 z 2 )( z 1)
2
1
2
z
X (z)
j) z
1
1
( z 2 z 2)
1
2
)u ( n ) u ( n )
1
1
(1 z )
Z 1
z
2
Slide 36
2.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN Z
2.4.1 ĐỊNH NGHĨA HÀM TRUYỀN ĐẠT
Miền n:
x(n)
h(n)
y(n)=x(n)*h(n)
Z
Miền Z:
h(n)
Z
X(z)
H(z)
Y(z)=X(z)H(z)
H(z): gọi là hàm truyền đạt
H(z)=Y(z)/X(z)
Trong miền phức Z, H(z) đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống
Slide 37
2.4.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT ĐƯỢC BIỂU DIỄN THEO
CÁC HỆ SỐ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
• Phương trình sai phân TTHSH có dạng:
N
M
k 0
r 0
a k y ( n k ) bk x ( n r )
• Lấy biến đổi Z 2 vế PTSP & áp dụng tính chất dịch theo t/g:
N
Y ( z ) ak z
k 0
k
M
X ( z ) bk z
r 0
M
H( z )
r
Y( z )
X(z)
br z
r
k
r 0
N
k 0
ak z
Slide 38
Ví dụ: 2.4.1: Tìm H(z) và h(n) của hệ thống nhân quả cho bởi:
y(n) - 5y(n-1) + 6y(n-2) = 2x(n) - 5x(n-1)
Lấy biến đổi Z hai vế PTSP và áp dụng tính chất dịch theo t/g:
Y (z) 1 5z
H (z)
1
6z
Y (z)
X (z)
H (z)
z
K1
2
X ( z ) 2 5 z
1
2 5z
1 5z
2z 5
( z 2 )( z 3 )
2z 5
( z 3) z 2
H (z)
1
1
1
(1 2 z )
1
1
2
6z
2
K1
( z 2)
K2
2z 5z
z 5z 6
2
K2
( z 3)
2z 5
( z 2) z 3
1
1
1
(1 3 z )
Do hệ thống nhân quả nên: h(n) = ( 2n + 3n ) u(n)
Slide 39
2.4.3 HÀM TRUYỀN ĐẠT CÁC HỆ THỐNG GHÉP NỐI
a. Ghép nối tiếp
h1(n)
h2(n)
x(n)
h(n)=h1(n)*h2(n)
y(n)
x(n)
Miền n:
Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n)
Z
y(n)
H1(z)H2(z)
X(z)
H1(z)
H2(z)
Y(z)
X(z)
H(z)=H1(z)H2(z)
Y(z)
Miền Z:
Slide 40
b. Ghép song song
h1(n)
x(n)
+
y(n)
h2(n)
Miền n:
x(n)
h1(n)+h2(n)
H1(z)
X(z)
+
y(n)
Y(z)
H2(z)
Miền Z:
X(z)
H1(z)+H2(z)
Y(z)
Slide 41
Ví dụ: 2.4.2: Tìm H(z) của hệ thống, biết h1, h2, h3, h4
x(n)
h1(n)
H1(z)
Giải:
h2(n)
+
h3(n)
h4(n)
H2(z) + H3(z)H4(z)
H(z)=H1(z)[ H2(z) + H3(z)H4(z) ]
y(n)
Slide 42
2.4.4 TÍNH NHÂN QUẢ & ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG
a. Tính nhân quả
Miền n: Hệ thống TTBB là nhân quả
Miền Z:
H (z)
h(n) = 0 : n<0
A( z )
b N ( z z c 1 )( z z c 2 ) ( z z cN )
Do h(n) là tín hiệu nhân quả, nên miền hội tụ H(z) sẽ là:
z zc
max
max
z c1 , z c 2 , , z cN
Hệ thống TTBB
là nhân quả
Im(z)
ROC
/zc/max
0
ROC của H(z) là:
z zc
max
max z c 1 , z c 2 , , z cN
Re(z)
Slide 43
b. Tính ổn định
Miền n: Hệ thống TTBB là ổn định
n
Miền Z:
H (z)
h ( n ) (*)
h(n) z
n
h(n) z
h(n) z
n
n
n
n
n
H (z)
h(n)
: khi z 1
n
Theo đ/k ổn định (*), nhận thấy H(z) cũng sẽ hội tụ với /z/=1
Hệ thống TTBB
là ổn định
ROC của H(z)
có chứa /z/=1
Slide 44
c. Tính nhân quả và ổn định
ROC của H(z) là:
Hệ thống TTBB
là nhân quả
z zc
Hệ thống TTBB
là ổn định
max
max z c 1 , z c 2 , , z cN
ROC của H(z) có chứa /z/=1
Im(z)
Hệ thống TTBB
là nhân quả
và ổn định
ROC
/zc/max
/z/=1
ROC của H(z) là:
z zc
max
và
zc
max
1
0
Re(z)
Slide 45
4z 5z
2
Ví dụ: 2.4.3: Tìm h(n) của hệ thống, biết H ( z ) 2
2z 5z 2
a. Để hệ thống là nhân quả
b. Để hệ thống là ổn định
c. Để hệ thống là nhân quả và ổn định
H (z)
z
4z 5
2 ( z 1 / 2 )( z 2 )
H (z)
1
1 (1 / 2 ) z
1
K1
( z 1 / 2)
K2
( z 2)
1
( z 1 / 2)
1
( z 2)
1
1
(1 2 z )
a. Hệ thống nhân quả (/z/>2):
b. Hệ thống ổn định (1/2
h(n)=[(1/2)n + 2n] u(n)
h(n)=(1/2)n u(n) - 2n u(-n-1)
c. Hệ thống nhân quả và ổn định:
ROC: /z/>2 không thể chứa /z/=1 không tồn tại h(n)
Slide 46
2.4.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA
y ( n 1)
z
1 phía
y ( n 1) z
n
n0
y ( 1) z
1
y ( 1) y ( 0 ) z
y ( 0 ) y (1) z
1
1
y (1) z
2
2
1
y ( 1) z Y ( z )
y (n 2)
z
1 phía
y (n k )
Z
1 phía
y ( n 2 )z
n
y ( 2 ) y ( 1) z
n0
1
z
y ( 2 ) y ( 1) z
1
z Y (z)
k
z Y (z)
r 1
y ( r ) z
2
rk
y (0) z
y ( 0 ) y (1) z
y ( 2 ) y ( 1) z
k
2
1
1
Slide 47
Ví dụ 2.4.4: Hãy giải PTSP dùng biến đổi Z 1 phía
y(n) – 3y(n–1) +2 y(n-2) = x(n) : n0
biết: x(n)=3n-2u(n) và y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9
Lấy biến đổi Z 1 phía hai vế PTSP:
Y(z) - 3[y(-1)+z-1Y(z)] + 2[y(-2)+y(-1)z-1+z-2Y(z)] = X(z) (*)
Thay y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9 và X(z)=3-2/(1-3z-1) vào (*), rút ra:
Y (z)
z
1
( z 1)( z 3 )
Y (z)
y (n)
1
2
1
.
1
1
2 (1 z )
3
n
1 u (n)
1
1
.
2 ( z 1)
1
.
1
.
1
2 ( z 3)
1
1
2 (1 3 z )