Slide 1

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 2

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 3

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 4

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 5

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 6

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 7

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 8

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 9

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 10

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 11

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 12

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 13

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 14

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 15

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 16

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 17

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 18

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 19

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 20

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.


Slide 21

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

Вейвлеты
и банки фильтров

План


Вейвлеты и их связь с банками фильтров
► Непрерывное вейвлет-преобразование
► Дискретное вейвлет-преобразование
► Квадратурные зеркальные фильтры
► Пирамидальное представление данных
► Банки фильтров: DFT, MDCT



Применения банков фильтров
► Аудиоэффекты
► Шумоподавление
► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета


Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)

 a ,b ( t ) 



1
a

tb

a





Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов

Понятие вейвлета


Обычно накладываемые условия на ψ(t):


► Интегрируемость   ( t ) dt







► Нулевое среднее, нормировка

2

  ( t ) dt  







  ( t ) dt  0

  ( t ) dt  1

2







► Нулевые моменты (vanishing moments)

t



 ( t ) dt  0

m

Понятие вейвлета


Примеры вейвлетов

Mortlet

Meyer

Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)


Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)


W { x }( a , b )  x ,

a ,b



 x ( t )



a ,b

( t ) dt

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)






Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h 2 [ m ]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек


h

2

[ m ]h 2 [ m  2 k ]  0 ,  k  Z , k  0

m  

3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету


 h [ m ]h
1

m  

2

[m ]  0

Преобразование Хаара


Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1 [ n ] 
*

x [ n ]  x [ n  1]

x2[n] 
*

2

x [ n ]  x [ n  1]
2

Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
*

*

Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две

Преобразование Хаара


Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1 [ n ]  x1 [ 2 n ]

x2 [n]  x2 [2n]

*

*

Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
,
y i [ n ]   i  2 
 0,


n  четное

i  1, 2

(интерполяция нулями)

n  нечетное

x1 [ n ]  y1 [ n ]  y1 [ n  1]
**

x 2 [ n ]  y 2 [ n ]  y 2 [ n  1]
**

x[ n ]  x1 [ n ]  x 2 [ n ]
**

**

(фильтрация)
(суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование


Обобщение преобразования Хаара
x[n]

H2

H1

↓2

↑2

+

Коэффициенты

↓2

Декомпозиция

G2

↑2

x’[n]

G1

Реконструкция

Свойство точного восстановления (PR): x[ n ]  x [ n ]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование


Прореживание
↓2



Интерполяция
↑2

Дискретное вейвлетпреобразование


Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики

импульсные
характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование


QMF: базис Хаара

Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация

Дискретное вейвлетпреобразование


Условия точного восстановления:
► Рассмотрим случай

 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
g 1 [ m ]  h1 [ m ], g 2 [ m ]   h 2 [  m ],
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

► h1[m] – симметричный, четной длины

► В этом случае требуется, чтобы


2

2

H 1 [ ]  H 2 [ ]  2

Построение PR-вейвлетов:
► Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».

Дискретное вейвлетпреобразование


Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1 [ m ]  2
m

3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
 h1 [ m ],
h2 [ m ]  
  h1 [ m ],

m  четное
m  нечетное

4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное
представление


Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай

x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы

H2

↓2

H1

↓2

H2

↓2

H1

↓2

Коэффициенты

Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)

Банки фильтров


Банки фильтров (гребенки фильтров) –
преобразования, разбивающие сигнал на
несколько частотных полос
► С точным восстановлением?
► С увеличением количества информации?
► С перекрытием между временными окнами?




Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров


Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f

f

t

Оконное ДПФ

t

Вейвлеты

Банки фильтров: STFT


Без окон, без перекрытия
► Плохое разделение по частотам
► Разрывы на границах блоков
► Нет избыточности



С окнами, с перекрытием
► Хорошее разделение по частотам
► Нет разрывов на границах блоков (при двукратном
применении окон)
► Избыточность

Банки фильтров: MDCT





Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга (нестыковок между блоками)
Без избыточности!

Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]  w[n  N ]  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
2

2

Банки фильтров:
достоинства и недостатки


STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.

+
–



Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.

DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

+
–

Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.