Transcript Лектор: Лукин Алексей Сергеевич Вейвлеты и банки фильтров План  Вейвлеты и их связь с банками фильтров – – – – –  Непрерывное вейвлет-преобразование Дискретное вейвлет-преобразование Квадратурные зеркальные фильтры Пирамидальное представление данных Банки фильтров: DFT,

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич
Вейвлеты
и банки фильтров
План

Вейвлеты и их связь с банками фильтров
–
–
–
–
–

Непрерывное вейвлет-преобразование
Дискретное вейвлет-преобразование
Квадратурные зеркальные фильтры
Пирамидальное представление данных
Банки фильтров: DFT, MDCT
Применения банков фильтров
– Аудиоэффекты
– Шумоподавление
– Компрессия звука и изображений
Понятие вейвлета

Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)
 a ,b (t ) 

1 t b 


a  a 
Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов
Понятие вейвлета

Обычно накладываемые условия на ψ(t):

► Интегрируемость
  (t) dt  

► Нулевое среднее, нормировка

  (t ) dt  
2



 (t )dt  0
  (t ) dt  1
2



► Нулевые моменты (vanishing moments)
 t  (t )dt  0
m

Понятие вейвлета

Примеры вейвлетов
Mortlet
Meyer
Mexican hat
Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)

Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)
W {x}(a, b)  x, a,b 

 x(t )

a ,b
(t )dt
Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)



Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h2[m]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек

 h [m]h [m  2k ]  0,
m  
2
2
k  Z , k  0
3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету

 h [m]h [m]  0
m  
1
2
Преобразование Хаара

Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1*[n] 
x[n]  x[n  1]
2
x2*[n] 
x[n]  x[n  1]
2
Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[n]  x1*[n]  x2*[n]
Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две
Преобразование Хаара

Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1[n]  x1*[2n]
x2 [n]  x2*[2n]
Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
 n
x
, n  чет ное
yi [n]   i  2 
i  1, 2

n  нечет ное
 0,
x1**[n]  y1[n]  y1[n 1]
(интерполяция нулями)
x2**[n]  y2[n]  y2[n 1]
x[n]  x1**[n]  x2**[n]
(фильтрация)
(суммирование)
Дискретное вейвлетпреобразование

Обобщение преобразования Хаара
x[n]
H2
H1
↓2
↑2
+
Коэффициенты
↓2
Декомпозиция
G2
↑2
x’[n]
G1
Реконструкция
Свойство точного восстановления (PR): x[n]  x[n]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.
Дискретное вейвлетпреобразование

Прореживание
↓2

Интерполяция
↑2
Дискретное вейвлетпреобразование

Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики
импульсные
характеристики
Дискретное вейвлетпреобразование

QMF: базис Хаара
Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация
Дискретное вейвлетпреобразование

Условия точного восстановления:
– Рассмотрим случай
m  чет ное
 h [m],
h2 [m]   1
g1[m]  h1[m], g 2 [m]  h2 [m],
 h1[m], m  нечет ное
h1[m] – симметричный, четной длины
– В этом случае требуется, чтобы

H1[ ]  H 2 [ ]  2
2
2
Построение PR-вейвлетов:
– Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
– Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».
Дискретное вейвлетпреобразование

Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
 h1[m]  2
m
3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
m  чет ное
 h [m],
h2 [m]   1
 h1[m], m  нечет ное
4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.
Пирамидальное
представление

Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай
x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы
H2
↓2
H1
↓2
H2
↓2
H1
↓2
Коэффициенты
Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)
Банки фильтров

Банки фильтров – преобразования, разбивающие
сигнал на несколько частотных полос.
– С точным восстановлением?
– С увеличением количества информации?
– С перекрытием между временными окнами?


Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)
Банки фильтров

Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f
f
t
Оконное ДПФ
t
Вейвлеты
Банки фильтров: STFT

Без окон, без перекрытия
– Плохое разделение по частотам
– Временной алиасинг
– Нет избыточности

С окнами, с перекрытием
– Хорошее разделение по частотам
– Нет временного алиасинга (при двукратном применении
окон)
– Избыточность
Банки фильтров: MDCT



Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга
Без избыточности!
Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]2  w[n  N ]2  const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
Банки фильтров:
достоинства и недостатки

STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.
+
–

Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.
DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.
+
–
Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.