Лектор: Лукин Алексей Сергеевич Вейвлеты и банки фильтров План Вейвлеты и их связь с банками фильтров – – – – – Непрерывное вейвлет-преобразование Дискретное вейвлет-преобразование Квадратурные зеркальные фильтры Пирамидальное представление данных Банки фильтров: DFT,
Download
Report
Transcript Лектор: Лукин Алексей Сергеевич Вейвлеты и банки фильтров План Вейвлеты и их связь с банками фильтров – – – – – Непрерывное вейвлет-преобразование Дискретное вейвлет-преобразование Квадратурные зеркальные фильтры Пирамидальное представление данных Банки фильтров: DFT,
Лектор: Лукин Алексей Сергеевич
Вейвлеты
и банки фильтров
План
Вейвлеты и их связь с банками фильтров
–
–
–
–
–
Непрерывное вейвлет-преобразование
Дискретное вейвлет-преобразование
Квадратурные зеркальные фильтры
Пирамидальное представление данных
Банки фильтров: DFT, MDCT
Применения банков фильтров
– Аудиоэффекты
– Шумоподавление
– Компрессия звука и изображений
Понятие вейвлета
Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные
копии ψa,b(t) («дочерние вейвлеты») некоторой быстро
затухающей осциллирующей функции ψ(t)
(«материнского вейвлета»)
a ,b (t )
1 t b
a a
Используются для изучения частотного состава
функций в различных масштабах и для
разложения/синтеза функций в компрессии и
обработке сигналов
Понятие вейвлета
Обычно накладываемые условия на ψ(t):
► Интегрируемость
(t) dt
► Нулевое среднее, нормировка
(t ) dt
2
(t )dt 0
(t ) dt 1
2
► Нулевые моменты (vanishing moments)
t (t )dt 0
m
Понятие вейвлета
Примеры вейвлетов
Mortlet
Meyer
Mexican hat
Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT)
Скалярные произведения исследуемой функции
f(t) с вейвлетами ψa,b(t)
W {x}(a, b) x, a,b
x(t )
a ,b
(t )dt
Дискретное вейвлетпреобразование (DWT)
Используются лишь целочисленные сдвиги
вейвлета и масштабирование в 2 раза
Возможность построения ортогонального
преобразования
Дискретный вейвлет
1. Последовательность чисел h2[m]
2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек
h [m]h [m 2k ] 0,
m
2
2
k Z , k 0
3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр),
ортогональная вейвлету
h [m]h [m] 0
m
1
2
Преобразование Хаара
Простейший случай вейвлет-преобразования
Дан входной сигнал x[n]
Образуем от него последовательности полусумм и
полуразностей:
x1*[n]
x[n] x[n 1]
2
x2*[n]
x[n] x[n 1]
2
Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить:
x[n] x1*[n] x2*[n]
Такое кодирование избыточно: из одной
последовательности получаем две
Преобразование Хаара
Устранение избыточности
Проредим полученные последовательности в 2 раза:
x1[n] x1*[2n]
x2 [n] x2*[2n]
Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:
n
x
, n чет ное
yi [n] i 2
i 1, 2
n нечет ное
0,
x1**[n] y1[n] y1[n 1]
(интерполяция нулями)
x2**[n] y2[n] y2[n 1]
x[n] x1**[n] x2**[n]
(фильтрация)
(суммирование)
Дискретное вейвлетпреобразование
Обобщение преобразования Хаара
x[n]
H2
H1
↓2
↑2
+
Коэффициенты
↓2
Декомпозиция
G2
↑2
x’[n]
G1
Реконструкция
Свойство точного восстановления (PR): x[n] x[n]
Количество информации не изменяется.
Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное
восстановление.
Дискретное вейвлетпреобразование
Прореживание
↓2
Интерполяция
↑2
Дискретное вейвлетпреобразование
Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)
частотные
характеристики
импульсные
характеристики
Дискретное вейвлетпреобразование
QMF: базис Хаара
Плохое частотное
разделение, но хорошая
временная
(пространственная)
локализация
Дискретное вейвлетпреобразование
Условия точного восстановления:
– Рассмотрим случай
m чет ное
h [m],
h2 [m] 1
g1[m] h1[m], g 2 [m] h2 [m],
h1[m], m нечет ное
h1[m] – симметричный, четной длины
– В этом случае требуется, чтобы
H1[ ] H 2 [ ] 2
2
2
Построение PR-вейвлетов:
– Нужна хорошая пространственная локализация –
берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты
Добеши).
– Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR
удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со
свойством «почти PR».
Дискретное вейвлетпреобразование
Построение «почти PR»-фильтров большого
размера с хорошим частотным разделением:
1. Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом
оконного взвешивания.
2. Нормируем его коэффициенты:
h1[m] 2
m
3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]:
m чет ное
h [m],
h2 [m] 1
h1[m], m нечет ное
4. Проверяем величину искажений по суммарной
частотной характеристике и пробуем изменить частоту
среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.
Пирамидальное
представление
Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов
Одномерный случай
x[n]
Частотный диапазон
делится на октавы
H2
↓2
H1
↓2
H2
↓2
H1
↓2
Коэффициенты
Двумерное вейвлетпреобразование
на каждом шаге получаем
4 набора коэффициентов:
НЧ («основные»)
и ВЧ («детализирующие»)
Банки фильтров
Банки фильтров – преобразования, разбивающие
сигнал на несколько частотных полос.
– С точным восстановлением?
– С увеличением количества информации?
– С перекрытием между временными окнами?
Пример: дискретные вейвлеты
Еще пример: кратковременное преобразование
Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)
Банки фильтров
Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость?
f
f
t
Оконное ДПФ
t
Вейвлеты
Банки фильтров: STFT
Без окон, без перекрытия
– Плохое разделение по частотам
– Временной алиасинг
– Нет избыточности
С окнами, с перекрытием
– Хорошее разделение по частотам
– Нет временного алиасинга (при двукратном применении
окон)
– Избыточность
Банки фильтров: MDCT
Хорошее разделение по частотам
С перекрытием и уничтожением временного
алиасинга
Без избыточности!
Каждое окно длины 2N захватывает N новых
отсчетов и выдает N коэффициентов
Требование к окнам: w[n]2 w[n N ]2 const
Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)
Банки фильтров:
достоинства и недостатки
STFT
Очень быстрая реализация для большого числа полос.
+
–
Слишком различающееся число осцилляций
базисных функций, эффект Гиббса.
DWT
Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.
+
–
Малое число частотных полос.
Плохое частотное разделение между полосами.