Oppervlakten berekenen een mogelijke ontstaansgeschiedenis voor integralen... Pedro Tytgat – Sint-Pieterscollege Leuven Vraagstelling • We zoeken de oppervlakte tussen de grafiek van f(x) = x²,
Download ReportTranscript Oppervlakten berekenen een mogelijke ontstaansgeschiedenis voor integralen... Pedro Tytgat – Sint-Pieterscollege Leuven Vraagstelling • We zoeken de oppervlakte tussen de grafiek van f(x) = x²,
Slide 1
Oppervlakten berekenen
een mogelijke ontstaansgeschiedenis voor
integralen...
Pedro Tytgat – Sint-Pieterscollege Leuven
Slide 2
Vraagstelling
• We zoeken de oppervlakte tussen
de grafiek van f(x) = x², de x-as en
de verticale rechte met vergelijking
x = 3.
• Hiervoor is er echter geen
bestaande formule...
• We benaderen m.b.v. oppervlakten
die we wel kennen: rechthoeken.
opp = hoogte breedte
2
Slide 3
Een eerste benadering
• We verdelen [0, 3] in 3 deelintervallen.
• De breedte van elk rechthoekje
noemen we x.
Bij 3 deelintervallen is x = 1.
• De hoogte van elk rechthoekje
vinden we door het eindpunt van
elk interval in te vullen in de
functie:
x1
x2
x3
x1 = 1 = 1. x f(x1) = 1
x2 = 2 = 2. x f(x1) = 4
x3 = 3 = 3. x f(x3) = 9
3
Slide 4
Waarde van de eerste benadering
• Totale benaderde oppervlakte:
f(x1) x = 1 1 = 1
f(x2) x = 4 1 = 4
f(x3) x = 9 1 = 9
3
opp(3) =
f ( xi ) x
i 1
waarbij xi = i.x
x
x
x1
opp(3) = 14
x
x2
x3
4
Slide 5
Een betere benadering
• Verdelen we [0, 3] in 6 deelintervallen, dan wordt de
benadering al iets beter.
• Elk rechthoekje is nu half zo breed:
x = 0,5.
• De hoogte van elk rechthoekje:
x1 x 2 x3 x 4 x5 x 6
x1 = 0,5 = 1.x :
x2 = 1 = 2.x :
x3 = 1,5 = 3.x :
...
x6 = 3 = 6.x :
f(x1) = 0,25
f(x2) = 1
f(x3) = 2,25
f(x6) = 9
5
Slide 6
Een betere benadering: waarde
x
x
x
x
x
x
• De totale benaderde oppervlakte is
nu:
f(x1) x =
f(x2) x =
f(x3) x =
f(x4) x =
f(x5) x =
f(x6) x =
0,25
1
2,25
4
6,25
9
0,5 = 0,125
0,5 = 0,5
0,5 = 1,125
0,5 = 2
0,5 = 3,125
0,5 = 4,5
6
opp(6) =
f ( xi ) x
i 1
waarbij xi = i. x
opp(6) = 11,375
x1 x 2 x3 x 4 x5 x 6
6
Slide 7
Nog meer deelintervallen
• Nemen we 12 deelintervallen, dan
is x = 0,25 en moeten we 12
hoogtes f(xi) berekenen, waarbij
i = 1, 2, 3, ..., 12.
• We krijgen nu een som met 12
termen van de vorm: f(xi) x.
12
• Beknopt:
f ( xi ) x
i 1
waarbij xi = i. x
• Waarde: opp(12) = 10,15625
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10x11x12
7
Slide 8
n deelintervallen!
• Verder bouwend op het stramien
van de vorige slides, zouden we
kunnen onderzoeken of er een
formule bestaat voor n
deelintervallen (een willekeurig
aantal).
3
n
• n rechthoekjes met
3
f(xi)
vaste breedte: x =
en
n
hoogte: f(xi), met i = 1, 2, ..., n.
n
• Formule: opp(n) =
met xi = i. x
xi
f ( xi ) x
i 1
8
Slide 9
n deelintervallen: waarde
• De benaderende oppervlakte
opp(n) kan algebraïsch berekend
worden; wij maken gebruik van
een computerprogramma.
• We vinden:
n
i 1
f ( xi ) x
9( n 1)(2 n 1)
2n
2
• Zo berekenen we gemakkelijk:
opp(12) = 10,15625
opp(60) = 9,22625
opp(100 000) = 9,00013500045
...
9
Slide 10
Oneindig veel deelintervallen
• Hoe groter n, hoe beter de
benadering. Als n nadert tot +,
nadert opp(n) tot de exacte
oppervlakte S.
• Vertalen we deze laatste zin in het
‘wiskundigs’, dan krijgen we:
lim opp ( n ) S
n
• We vinden:
S=9
lim
n
9( n 1)(2 n 1)
2n
2
9
10
Slide 11
En nu voor het interval [0, 4]
• Het hele verhaal in een notedop:
x =
4
n
De waarden xi zijn nog altijd
veelvouden van x: xi = i. x
De som blijft dezelfde:
n
f ( xi ) x
i 1
De computer vindt:
S=?
Opp[0,4](n) =
32( n 1)(2 n 1)
3n
2
11
Slide 12
Exacte oppervlakte op [0, 4]
• We laten het aantal deelintervallen
oplopen tot + en vinden:
lim
n
S
32( n 1)(2 n 1)
3n
2
64
3
64
3
12
Slide 13
Op het interval [0, b]
• We bouwen opnieuw verder op het
voorgaande en vervangen in de
computerformule voor de som de 4
door een b.
• We verkrijgen:
b ( n 1)(2 n 1)
3
n
f ( xi ) x
6n
i 1
2
• De exacte oppervlakte is dus:
S
b
3
b ( n 1)(2 n 1)
3
3
lim
n
6n
2
b
3
3
b
13
Slide 14
De bepaalde integraal
• Strikt genomen zou je kunnen
zeggen dat de exacte oppervlakte S
op het interval [0, b] te schrijven is
als:
n
S lim f ( x i ) x
n
i 1
b
0
x dx
2
b
3
• Men noemt een aldus verkregen
oppervlak de bepaalde integraal
van de functie f(x) van 0 tot b en
noteert dit verkort als:
3
b
S
0
f ( x ) dx
14
Slide 15
Oppervlakte op een interval [a, b]
• Uit de basisformule op het interval
[0, b], kunnen we nu de
oppervlakte afleiden voor alle
andere intervallen.
• Beschouw het interval [a, b],
waarbij 0 < a < b:
a
b
S=
x dx x dx
2
2
x
2
dx
a
b
3
3
a
b
a
3
3
3
b
3
Of dus:
a
3
3
0
0
b
b
a
x dx
2
b
3
3
a
3
3
15
Slide 16
Algemene uitdrukking
• Meer algemeen kan men gemakkelijk aantonen dat deze
formule ook geldt voor intervallen [a, b] met
a < b < 0 (het interval ligt volledig links van de y-as) of
a < 0 < b (het interval begint links en eindigt rechts van de
y -as).
• Besluit:
b
3
3
2
a
x dx
b
3
a
3
Oppervlakten berekenen
een mogelijke ontstaansgeschiedenis voor
integralen...
Pedro Tytgat – Sint-Pieterscollege Leuven
Slide 2
Vraagstelling
• We zoeken de oppervlakte tussen
de grafiek van f(x) = x², de x-as en
de verticale rechte met vergelijking
x = 3.
• Hiervoor is er echter geen
bestaande formule...
• We benaderen m.b.v. oppervlakten
die we wel kennen: rechthoeken.
opp = hoogte breedte
2
Slide 3
Een eerste benadering
• We verdelen [0, 3] in 3 deelintervallen.
• De breedte van elk rechthoekje
noemen we x.
Bij 3 deelintervallen is x = 1.
• De hoogte van elk rechthoekje
vinden we door het eindpunt van
elk interval in te vullen in de
functie:
x1
x2
x3
x1 = 1 = 1. x f(x1) = 1
x2 = 2 = 2. x f(x1) = 4
x3 = 3 = 3. x f(x3) = 9
3
Slide 4
Waarde van de eerste benadering
• Totale benaderde oppervlakte:
f(x1) x = 1 1 = 1
f(x2) x = 4 1 = 4
f(x3) x = 9 1 = 9
3
opp(3) =
f ( xi ) x
i 1
waarbij xi = i.x
x
x
x1
opp(3) = 14
x
x2
x3
4
Slide 5
Een betere benadering
• Verdelen we [0, 3] in 6 deelintervallen, dan wordt de
benadering al iets beter.
• Elk rechthoekje is nu half zo breed:
x = 0,5.
• De hoogte van elk rechthoekje:
x1 x 2 x3 x 4 x5 x 6
x1 = 0,5 = 1.x :
x2 = 1 = 2.x :
x3 = 1,5 = 3.x :
...
x6 = 3 = 6.x :
f(x1) = 0,25
f(x2) = 1
f(x3) = 2,25
f(x6) = 9
5
Slide 6
Een betere benadering: waarde
x
x
x
x
x
x
• De totale benaderde oppervlakte is
nu:
f(x1) x =
f(x2) x =
f(x3) x =
f(x4) x =
f(x5) x =
f(x6) x =
0,25
1
2,25
4
6,25
9
0,5 = 0,125
0,5 = 0,5
0,5 = 1,125
0,5 = 2
0,5 = 3,125
0,5 = 4,5
6
opp(6) =
f ( xi ) x
i 1
waarbij xi = i. x
opp(6) = 11,375
x1 x 2 x3 x 4 x5 x 6
6
Slide 7
Nog meer deelintervallen
• Nemen we 12 deelintervallen, dan
is x = 0,25 en moeten we 12
hoogtes f(xi) berekenen, waarbij
i = 1, 2, 3, ..., 12.
• We krijgen nu een som met 12
termen van de vorm: f(xi) x.
12
• Beknopt:
f ( xi ) x
i 1
waarbij xi = i. x
• Waarde: opp(12) = 10,15625
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10x11x12
7
Slide 8
n deelintervallen!
• Verder bouwend op het stramien
van de vorige slides, zouden we
kunnen onderzoeken of er een
formule bestaat voor n
deelintervallen (een willekeurig
aantal).
3
n
• n rechthoekjes met
3
f(xi)
vaste breedte: x =
en
n
hoogte: f(xi), met i = 1, 2, ..., n.
n
• Formule: opp(n) =
met xi = i. x
xi
f ( xi ) x
i 1
8
Slide 9
n deelintervallen: waarde
• De benaderende oppervlakte
opp(n) kan algebraïsch berekend
worden; wij maken gebruik van
een computerprogramma.
• We vinden:
n
i 1
f ( xi ) x
9( n 1)(2 n 1)
2n
2
• Zo berekenen we gemakkelijk:
opp(12) = 10,15625
opp(60) = 9,22625
opp(100 000) = 9,00013500045
...
9
Slide 10
Oneindig veel deelintervallen
• Hoe groter n, hoe beter de
benadering. Als n nadert tot +,
nadert opp(n) tot de exacte
oppervlakte S.
• Vertalen we deze laatste zin in het
‘wiskundigs’, dan krijgen we:
lim opp ( n ) S
n
• We vinden:
S=9
lim
n
9( n 1)(2 n 1)
2n
2
9
10
Slide 11
En nu voor het interval [0, 4]
• Het hele verhaal in een notedop:
x =
4
n
De waarden xi zijn nog altijd
veelvouden van x: xi = i. x
De som blijft dezelfde:
n
f ( xi ) x
i 1
De computer vindt:
S=?
Opp[0,4](n) =
32( n 1)(2 n 1)
3n
2
11
Slide 12
Exacte oppervlakte op [0, 4]
• We laten het aantal deelintervallen
oplopen tot + en vinden:
lim
n
S
32( n 1)(2 n 1)
3n
2
64
3
64
3
12
Slide 13
Op het interval [0, b]
• We bouwen opnieuw verder op het
voorgaande en vervangen in de
computerformule voor de som de 4
door een b.
• We verkrijgen:
b ( n 1)(2 n 1)
3
n
f ( xi ) x
6n
i 1
2
• De exacte oppervlakte is dus:
S
b
3
b ( n 1)(2 n 1)
3
3
lim
n
6n
2
b
3
3
b
13
Slide 14
De bepaalde integraal
• Strikt genomen zou je kunnen
zeggen dat de exacte oppervlakte S
op het interval [0, b] te schrijven is
als:
n
S lim f ( x i ) x
n
i 1
b
0
x dx
2
b
3
• Men noemt een aldus verkregen
oppervlak de bepaalde integraal
van de functie f(x) van 0 tot b en
noteert dit verkort als:
3
b
S
0
f ( x ) dx
14
Slide 15
Oppervlakte op een interval [a, b]
• Uit de basisformule op het interval
[0, b], kunnen we nu de
oppervlakte afleiden voor alle
andere intervallen.
• Beschouw het interval [a, b],
waarbij 0 < a < b:
a
b
S=
x dx x dx
2
2
x
2
dx
a
b
3
3
a
b
a
3
3
3
b
3
Of dus:
a
3
3
0
0
b
b
a
x dx
2
b
3
3
a
3
3
15
Slide 16
Algemene uitdrukking
• Meer algemeen kan men gemakkelijk aantonen dat deze
formule ook geldt voor intervallen [a, b] met
a < b < 0 (het interval ligt volledig links van de y-as) of
a < 0 < b (het interval begint links en eindigt rechts van de
y -as).
• Besluit:
b
3
3
2
a
x dx
b
3
a
3