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数字测图原理及方法
Principle and Methods of Digital Mapping

武汉大学测绘学院


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第五章误差理论与数据处理

5.1 误差理论
5.2 误差传播定律及应用
5.3 权及权倒数传播定律
5.4 数据处理理论基础

数字测图原理及方法


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5.2误差传播定律及应用

数字测图原理及方法


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一、误差传播定律

问题的提出：

在上节讨论了如何根据同精度的观测值的真误差来评
定观测值精度的问题。许多未知量是不能直接观测得到的。
这些未知量是观测值的函数，那么如何根据观测值的中误
差而去求观测值函数的中误差呢？

阐述观测值中误差和观测值函数的中误差之间
的关系的定律称为误差传播定律。

数字测图原理及方法


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1、倍数的函数
设有函数z=kx z:观测值的函数，x为观测值，k为常数
已知m x  m z  ?
(1)真误差的关系式为：

 z  k x

若对x观测了n次则：  zi  k xi ( i  1,2 n)
(2)将上式平方得：
2z  k 2 2x (i  1,2 n)

2z   k 2 2x (i  1,2 n)
i

(3)求和，并除以n

n

i

n

2
2
2
即
m

k
m
(4)转换为中误差关系式
z
x , mz  kmx

观测值与常数乘积的中误差，等
于观测值中误差乘以常数
数字测图原理及方法


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2、和或差的函数
设有函数z=xy z:观测值的函数，x、y为独立观测值
已知m x、m y  m z  ?
(1)真误差的关系式为：  z   x   y

若对x、y观测了n次则：  zi   xi   yi ( i  1,2 n)
(2)将上式平方得： 2z  2x  2y  2 x  y (i  1,2 n)

2z   2x   2y   2  x  y (i  1,2n)
i

(3)求和，并除以n

n

i

n

i

i

n

i

n

由于x , y为独立观测值，因此n趋近无穷时，[ΔxΔy] / n = 0

(4 )转换为中误差关系式

2
m z2  m 2
x  my

两观测值代数和的中误差，等于两观测值中误差的平方和。
数字测图原理及方法


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2、和或差的函数
当z是一组观测值x1、x 2、
 x n的代数和时
z  x1  x 2    x n
2
2
m z2  m 2

m




m
x1
x2
xn

n个观测值代数和的中误差，等于n个观测值中误差的平方和。

当x1、x 2、
 x n为同精度观测值时
设其中误差为m
mz  m n
n个同精度观测值代数和的中误差，与观测值个数n的平方根
成正比。
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2、和或差的函数
例：在水准测量中设每测站的观测高差
的中误差相等为m站，A、B两点观测了

n站。求观测高差hAB的中误差？ m hAB 

n  m站

水准测量中观测高差的中误差，与测站数n的平方根成正比。

例：在水准测量中设每公里的观测高差
的中误差相等为m km，A、B两点观测了
m hAB 
S公里。求观测高差hAB的中误差？

S  m km

水准测量中观测高差的中误差，与距离S的平方根成正比。
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3、线性函数

设有线性函数：
z  k1 x1  k 2 x 2    k n x n
式中x1、x 2、
 x n为独立观测值
k1、k 2、
 k n为常数
应用倍数函数、和差函数的误差传播定律可得

2
2 2
2 2
2 2
m z  k1 m1  k2 m2    kn mn
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4、一般函数（非线性函数）

设有函数z=f( x1, x 2,  x n ) x i 为独立观测值

已知m xi  m z  ?
(1)求偏导真误差的关系式为：

f
f
f
z 
 x1 
 x2  
 xn
x1
x 2
x n

(2 )转换为中误差关系式：

f 2 2
f 2 2
f 2 2
2
m z  ( ) m x  ( ) m x  ( ) m x
1
2
n
x1
x 2
x n
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4、一般函数（非线性函数）
例一：设有函数z=S•sin

已知 : S  150.11m
m S  0.05m

  119  45 00
'

m  20.6
求m z  ?
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''

''

解：

z
z
 z   s  
s

 sin    s  S cos   
''
m
m z2  (sin 2  )m s2  ( S cos  ) 2 (  ) 2
 ''
 4.4cm

注意单位的统一


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4、一般函数（非线性函数）
例二：设有函数：Z=X+Y ， Y=3X

已知m x  m z  ?

解：m  3m
Y
X
2
2
2
m Z  m X  mY
2
 10m X

m Z  10m X

mY  3m X
2
2
2
m Z  m X  mY

Z  X  Y  4X
m Z  4m X

注：由于X和Y不是独立观测值
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总结
应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，
可归纳以下几步：
1、列出函数式
2、对函数式全微分，得出函数的真误差和观测值真
误差的关系式
3、独立性的判断
4、写出函数的中误差观测值中误差之间的的关系式
注意单位的统一
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误差传播定的几个主要公式：
函数名称

函数式

倍数函数

z  kx

和差函数
线性函数
一般函数

z  x1  x2    xn

z  k1x1  k2 x2    kn xn
Z  f ( x1 , x2 ,  xn )

函数的中误差
mz  kmx
mz   m12  m22    mn2

mz   k12 m12  k 22 m22    k n2 mn2
mZ   (

f 2 2 f 2 2
f
) m1  ( ) m2        ( ) 2 mn2
x1
x2
xn

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二、误差传播定律及应用
1、算术平均值及其中误差

设未知量的真值为X，观测值的真误差为  i  Li  X (i  1,2,n)
将上式相加
 L
令x 

n

n  时，
lim

 
n

0

x X

称为算术平均值，是
未知量的最或然值
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1   2     n  ( L1  L2    Ln )  nX
 L  
   L  nX
X

n
n
L1
L2
Ln
因为 x 
… n
n
n
m
mx 

n

算术平均值的中误差为
1
观测值的中误差的 n 倍


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二、误差传播定律及应用
1、算术平均值及其中误差

观测值改正数为：

同精度观测值中误差公式：
m

   , 
n

i

vi  x  Li

 Li  X

 i  vi  ( x  X )

   vv   2v ( x 

X )  n( x  X ) 2

n

令x  x  X

v   nx   L  n  L   L  0
n
L    x  
X
n
n
n

x  x  X  x  ( x 
m2 

vv 
n

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

m
n



 

 

n

n

2

x

)

2

  vv 



 
n2



n

 x 2

 2
n2
2

1 2  1 3    1 n  
n2

m2

 m2
x
n

m

vv 
n 1

mx  

vv 
n(n  1)


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二、误差传播定律及应用
1、算术平均值及其中误差
m

vv 
n 1

mx  

vv 
n( n  1)

例：对某段距离同精度测量了4次
L1  25.066m
L2  25.068m
L3  25.056m
L4  25.062m

解：
L
x
 25.063m
n

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试求该段距离的最或然值及其中误差
v xL
v1  3mm
v 2  5mm
v3  7 mm
v 4  1mm

mx  

vv 
n( n  1)

  7mm


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二、误差传播定律及应用
2、双观测值及其中误差

对同一个量所进行的两次观测称为双观测对。
有一组量x1，x2，。。。。Xn，对该量各观测两次，
L1‘，L2’，。。。。Ln‘
L1’’，L2’’，。。。。Ln’’
di= 0-（Li‘-Li”）

md  

dd 

n
d i  Li ' Li ' '
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二、误差传播定律及应用

2、双观测值及其中误差

d i  Li ' Li ' '
m

dd 
2n

xi  ( Li ' Li ' ' ) / 2
M 
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dd 
4n


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