Slide 1

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 2

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 3

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 4

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 5

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 6

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 7

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 8

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 9

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 10

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 11

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 12

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 13

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 14

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 15

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 16

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 17

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 18

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 19

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 20

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 21

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 22

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 23

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 24

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 25

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 26

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 27

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 28

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 29

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 30

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 31

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 32

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica


Slide 33

Stranica: VIII - 1

Metode rješavanja
izmjeničnih krugova







Metoda konturnih struja.
Metoda napona čvorova.
Thevenin-ov teorem.
Norton-ov teorem.
Millman-ov teorem.
Metoda superpozicije.

u ,i
u (t)
i(t)

s t.
k on .
=
)
t
(
st
u= f
kon
t)=
(
f
i=

t

Stranica: VIII - 2

1. zadatak
Zadana je mreža prema slici. Nadomjestite spoj prema Theveninu u
odnosu na stezaljke A i B.





R1 = 5 []
R2 = 10 []
R3 = 5 []
XL1 = XL2 = 5 []

R2
A
R1

R3

.
I=5Ð30o [A]
XL1

XL2
B

Početna stranica

Stranica: VIII - 3


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim naponskim
izvorom, čiji unutarnji napon ET (Theveninov napon) i
unutarnju impedanciju ZT (Thevenin-ovu impedanciju)
određujemo iz zadane mreže:

 Theveninov
napon
ET
određujemo tako da izračunamo
napon Uab0 na otvorenim
stezaljkama a-b linearne mreže.

 Theveninovu impedanciju ZT
odredimo tako da kratko spojimo
sve naponske izvore i isključimo
sve strujne izvore te onda
izračunamo ukupnu impedanciju
između a i b.

a

a

ZT

ET

+

+

+

+

+

+
b

b
Početna stranica

Stranica: VIII - 4

Rješenje zadatka


Za određivanje Thevenin-ove impedancije mreža poprima
R2
sljedeći oblik.
A
R1

XL1

R3

XL2
B



Strujni izvor odspojen je iz mreže, a impedancija iznosi:
5  10  j 5   5  j 5 
Z T   R1  R 2  jX L 1   R 3  jX L 2  
5  10  j 5  5  j 5

75  j 75  j 25  25
50  j100
5  j10 2  j 10  j 20  j 5  10
Z T 




20  j1 0
20  j1 0
2 j 2 j
4 1
Z T  4  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 5


Ako strujni izvor pretvorimo u naponski možemo lakše
odrediti Thevenin-ov napon.
XL1

R1

R2
A
R3

+

.

U
XL2
B


Napon nadomjesnog naponskog izvora jednak je:
U  I   R1  jX L1 



Thevenin-ov napon jednak je:
E T 

U
R1  jX L 1  R 2  R 3  jX L 2

  R 3  jX L 2 

Početna stranica

Stranica: VIII - 6



Uvrštenjem
iznosi:
E T 

poznatih

5 Ð 30   5  j 5 
5  j5  10  5  j5

vrijednosti

 5  j 5  

Thevenin-ov

5 Ð 30    5



napon

2 Ð 45   5 2 Ð 45 

10

5 Ð 26 . 36 





E T  1 1 . 2 Ð 93 . 44  V 



Nadomjesni Thevenin-ov spoj:

.
ZT=4+j3 []
A

+

.

ET = 11.2Ð93.44o[V]

B

Početna stranica

Stranica: VIII - 7



Za mrežu sličnu onoj u zadatku vrijedi sljedeće.

.

.

.

Z1

I

XL2

U1
A

.

+

+

XM
XL1

U1

.

Z2
B




U mreži struja I teče kroz impedanciju Z1 i zavojnicu XL1.
Kroz zavojnicu XL2 i impedanciju Z2 ne teče struja.
Thevenin-ov napon iznosi:
E T  0  Z 2  I  jX L1  I  jX M  U 1

Kroz Z2 ne teče struja
Napon samoindukcije
na zavojnici XL1

Napon međuindukcije
na zavojnici XL2
Početna stranica

Stranica: VIII - 8

2. zadatak
Odredite Thevenin-ovu impedanciju Zab.




XL1 = 4 []
XL2 = 4 []
XM = 2 []

a

.
U

XM

+
XL1

XL2

b

Početna stranica

Stranica: VIII - 9

Uvodni pojmovi


Dvije međuinduktivno vezane
transformirati na sljedeći način:

1

1

XM
XL2



mogu

se

2

XL2

XL1

2

XL1

zavojnice


X
 M


X
 M
0

3


X
 M
3

Gornji predznaci vrijede za:
1

2

1

XM
XL1

2

1

XM
XL2 XL1

3

Donji predznaci vrijede za:
1

XM
XL2

3

2

XL1

XM
XL2

3

2

XL1
3
Početna stranica

XL2

Stranica: VIII - 10

Rješenje zadatka


Zadatak se može riješiti na dva načina.



Mrežu možemo transformirati na sljedeći način:
a

a

XL1

XL2

XM



XL2

XL1

XM

XM

b

XM
b

Z ab 

Z ab 

 jX L 1 
jX

L1

 jX L 1 

jX M   jX M

 jX M  jX M

jX

M

 jX


L2

jX

M

 jX

L2

 jX

M

 jX M  j  j 4  j 2  j 3  
Početna stranica

Stranica: VIII - 11


Drugi način rješavanja. Na stezaljke a-b spoji se “poznati”
naponski izvor. Impedancija se onda određuje kao omjer
napona i struje koja teče u pasivnoj mreži.

.

a

.

I1

XM
XL1

I

+

.

XL2

Uab

U ab

Z ab 
I

b




Kroz zavojnicu XL1 teče struja I1 smjera prikazanog na
slici.
Za prvu i drugu konturu vrijedi:
I1  jX L1  I  jX M  0
I  jX



L2

 I1  jX M  U ab

Impedancija Zab jednaka je:
U ab
X
2

Z ab 
 jX L 2  jX M  M  j 4  j 2   j 3  
I
X L1
4

Početna stranica

Stranica: VIII - 12

3. zadatak
Trošilo nepoznate impedancije priključeno je na generator unutarnje
impedancije Żg. Odredite:
a) impedanciju trošila tako da snaga na trošilu bude maksimalna
b) snagu u tom slučaju i faktor snage
c) stupanj iskorištenja generatora
Zadano:



U = 20 [V]
Zg = 2+j4 []

.

Zg

.
U

+

.

Ztrošila

Početna stranica

Stranica: VIII - 13

Uvodni pojmovi
Prilagođenje na maksimalnu snagu


Maksimalna snaga na promjenjivoj impedanciji.

.

Zg

.

+

.

U

Ztrošila

*
Z trošila  Z g


P  Pmax



Maksimalna snaga na promjenjivom otporu.

.

Zg

.
U

R trošila  Z g

+
Rtrošila


P  Pmax
Početna stranica

Stranica: VIII - 14

Rješenje zadatka
Na trošilu će biti maksimalna snaga ako impedancija
trošila ima vrijednost:
*
Z trošila  Z g  R g  jX g  2  j 4  



Maksimalna snaga na trošilu će biti jednaka:



.

Zg

I 

+

.

U
U

Z g  Z trošila
R g  jX g  R g  jX

.

U

I 

Ztrošila

Pmax 


4

U
2  Rg

2
2
Rg

 R trošila 

20

2

42

2

 2  50 W 

Faktor snage:
cos  

R trošila


Z
trošila



U

Rg
2
Rg

 X

2



2 4

2
g

2

 0 . 447
2

Faktor iskorištenja:
 

Ptrošila
Pizvora

I  R trošila
2



I  R g  I  R trošila
2

2



Rg
Rg  Rg

g

 0 . 5  50 %
Početna stranica

Stranica: VIII - 15

4. zadatak
Zadanu shemu prema slici nadomjestite po Thevenin-u obzirom na
priključnice a-b. Koju bi impedanciju trebalo na njih priključiti da bi se na
njoj trošila maksimalna snaga? Kolika je ta snaga?
Zadano:

.











Ú1 =30 - j60 [V]
Ú2 = j30 [V]
Ż1 = 10 - j20 []
Ż2 = 10 + j10 []
Ż3 = 5 -j10 []
XL1 = 15 []
+
.
XL2 = 10 []
U1
XM = 5 []

.

Z1

Z2
a

XM

XL1

XL2

.

Z3

.
+

U2
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 16

Rješenje zadatka


Thevenin-ova impedancija određuje se U-I metodom.

.

.

Z1

Z2

a

XM

.
I

.
I1

XL1

XL2

.

+

U ab

Z ab 
I

Uab

.

Z3
b



Za mrežu vrijedi:
I1   Z1  Z 3  jX
I  Z 2  jX

L2

L1

  I  Z 3  I  jX M

0

 Z 3   I1  Z 3  I1  jX M  U ab
Početna stranica

Stranica: VIII - 17



Uvrštenjem poznatih vrijednosti:
I1  10  j 20  5  j10  j15   I  5  j10   I  j 5  0
I  10  j10  j10  5  j10   I1  5  j10   I1  j 5  U ab

I1  15  j15   I  5  j 5   0
 I1  5  j 5   I  15  j10   U ab


I  I  5  j 5   I  1
1
15  j15 
3
1
 I  5  j 5   I  15  j10   U ab
3

U ab
1
40  j 35

 
Z ab 
 15  j10   5  j 5  
I
3
3

Početna stranica

Stranica: VIII - 18


Thevenin-ov napon:

.

.

Z1

Z2
a

XM

.
I
XL1

XL2

I 

.

+

U 1  U 2
Z 1  Z 3  jX L 1

.

U1

Z3

.
+

U2
b

E T  U 2 
E T   j 30 

U 1  U 2
 Z 3  jX M


Z 1  Z 3  jX L 1

30  j 60  j 30
10  j 20  5  j10  j15



 5  j10  j 5   10  j 40 V 
Početna stranica

Stranica: VIII - 19


Ukoliko se na stezaljke a-b priključi trošilo mreža poprima
sljedeći oblik:

.

ZT

.

Da bi se na trošilu disipirala
maksimalna snaga mora biti
zadovoljeno:

+

.

ET



Ztrošila

40  j 35
*
 
Z trošila  Z T 
3

Maksimalna snaga je jednaka:
I 

E T
E T

Z T  Z trošila
2  RT

Pmax  I  R trošila  I  R T
2

2

Pmax 

4  RT

10  40
2

2

ET

 ET
 
 2  RT



4

40
3

2

2

2

ET
  RT 

4  RT


 32 W 
Početna stranica

Stranica: VIII - 20

5. zadatak
Za mrežu prema slici odredite pomoću Norton-ovog teorema veličinu
struje kroz svitak. Zadano:





.

Ú = 1Ð0 [V]
Í = 1Ð0 [A]
R1 = X1 = R2 = X2 = 1 []
XL = 0.5 []

I

R1

.

+

X1

XL

E
X2

R2

Početna stranica

Stranica: VIII - 21


Bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti
s obzirom na dvije stezaljke (a i b) realnim strujnim
izvorom, čiju struju IN (Norton-ovu struju) i unutarnju
impedanciju ZN (Norton-ovu impedanciju) određujemo iz
zadane mreže:

 Norton-ovu struju IN određujemo
tako da izračunamo struju koja
teče od a prema b kada su
stezaljke a-b kratko spojene.

 Norton-ovu impedanciju ZN
odredimo tako da kratko
spojimo sve naponske izvore i
isključimo sve strujne izvore te
onda
izračunamo
ukupnu
impedanciju između a i b.
a

a

ZN

IN

+

+

+
+

+
b

+
b
Početna stranica

Stranica: VIII - 22

Rješenje zadatka




Da bi se odredila struja kroz zavojnicu korištenjem
Norton-ovog teorema potrebno je zavojnicu odspojiti iz
mreže, a ostatak mreže nadomjestiti pomoću realnog
strujnog izvora.
Određivanje ZN.
Z N  Z ab   R1  jX 1   R 2  jX 2 

R1
a

X1
b

X2

R2

 R1  jX 1    R 2  jX 2 
Z N 
R1  jX 1  R 2  jX 2

1  j   1  j 
Z N 
 0 . 5  j 0 . 5  
2  j2

Početna stranica

Stranica: VIII - 23





Određivanje IN.
Ako realni strujni izvor pretvorimo u naponski realni izvor
dobivamo sljedeću mrežu:
E 1  I  R1

.

I1

.

R1

E1

.

+

.

X1

IN

a

+

X2

.

I2

I N  I1  I2

b

E

Struja IN je struja koja teče od a
prema b kada su stezaljke a i b
kratko spojene.
U mreži teku prikazane struje, a
struja IN iznosi:

R2

Budući da su potencijali točaka a i
b isti, za struje koje teku u mreži
vrijedi:
I1 

E 1
R1  jX 1
I2 



I  R1
R1  jX 1
E

R 2  jX 2
Početna stranica

Stranica: VIII - 24

I N  I1  I2 
1Ð 0   1 1Ð 0 
I N 


1 j
1 j



I  R1



R1  jX 1
1Ð 0 

R 2  jX 2
1Ð 0 



2 Ð  45 

Mreža sada ima oblik:

E

2 Ð  45 



2 Ð 45  A 

.
IN

ZN
a


XL

b

Struja kroz zavojnicu iznosi:
2
2 Ð 45  
I L 

I N  Z N jX
jX

L

L





2
2

Ð  45   0 .5 Ð 90 
Ð  45   0 .5 Ð 90 

2
j 0 .5

 2 Ð 0  A 
Početna stranica

Stranica: VIII - 25

6. zadatak
U spoju prema slici odredite iznos struja kroz grane. Zadano:




Ú1 = 50Ð90 [V]
Ú2 = 50Ð-30 [V]





.

Z1



Ú3 = 50Ð-150 [V]
Í = 2Ð0 [A]
Ż1 = Ż2 = Ż3 = Ż4 = Ż5 = 5Ð30 []

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

+

U2

.
.

Z3

U3

+

.

Z5

Početna stranica

Stranica: VIII - 26

Uvodni pojmovi
Millman-ov teorem


Za mreže u kojima postoje samo dva čvora razlika
potencijala ta dva čvora određuje se kao:
n

U ab 

 E l  Yl
l 1

n

 Yl
l 1

gdje je,
Uab - razlika potencijala čvora a i b
Yl - suma admitancija u pojedinoj grani
El - suma unutarnjih napona u pojedinoj grani


Pomoću ovako određenog napona moguće je izračunati
ostale veličine u krugu.

Početna stranica

Stranica: VIII - 27

Rješenje zadatka


Korištenjem Millman-ovog teorema moguće je odrediti
napon Uab:
.
.
.
a .
.
I
ID
I
B
C
I
Z1

A

.

Z2

.

.

.

I

Z4

+

U1

.

.

+

.

U2

Z3

U3

+

.

Z5

b

U ab 

 U i  Yi


i

 Yi
i

U 1 U 2 U 3


 I
Z 1
Z 2
Z 4
1
1
1


Z 1 Z 2 Z 4
Početna stranica

Stranica: VIII - 28


Uvrštenjem vrijednosti napon Uab iznosi:
50 Ð 90 
U ab  5 Ð 30 

50 Ð  30 



5 Ð 30 



50 Ð  150 

5 Ð 30 
1
1
1


5 Ð 30  5 Ð 30  5 Ð 30 

 2Ð 0

10 Ð 60   10 Ð  60   10 Ð  180   2 Ð 0 
U ab 
3
5 Ð 30 
10 
U ab 



1
2

 j10 

3
2

 10 

1

 j10 

2
0 . 6 Ð  30 

3
2

 10  2

 30 Ð  30  V 

Struje u granama se onda mogu odrediti na sljedeći
način:
U ab  U 1  IA  Z 1



I  U 1  U ab  50 Ð 90   30 Ð 30   8 . 7 Ð 97  A 
A
Z 1
5 Ð 30 
Početna stranica

Stranica: VIII - 29

U ab  U 2  IB  Z 2



I  U 2  U ab  50 Ð  30   30 Ð 30   8 . 7 Ð  97  A 
B
Z 2
5 Ð 30 
U ab  U 3  IC  Z 4



I   U 3  U ab   50 Ð  150   30 Ð 30   4 Ð 0  A 
C
Z 4
5 Ð 30 

ID   I  2 Ð180  A 


Zbroj svih struja u mreži jednak je 0 (1. Kircchhoff-ov
zakon):
IA  IB  IC  ID  8 . 7 Ð 97   8 . 7 Ð  97   4 Ð 0   2 Ð180   0

Početna stranica

Stranica: VIII - 30

7. zadatak
Odredite pokazivanje watmetra u mreži prema slici. Zadano:






U = 120 [V]
R1 = 10 []
R2 = 20 []
X1 = 40 []
X2 = 20 []

R1

R2

W
.
U

+
X1

X2

Početna stranica

Stranica: VIII - 31

Rješenje zadatka


Uz pretpostavljene smjerove struja u krugu watmetar mjeri
snagu koja se može odrediti pomoću izraza:

1

R1

.
U

I

.

2

I1

X2

X1



*
PW  Re U 12  I2



R2

W
.

+

.

I2



Da bi se odredila snaga potrebno je odrediti struju I2 i
napon U12.
Početna stranica

Stranica: VIII - 32



Budući da mreža ima dva čvora struju I2 možemo odrediti
korištenjem Millman-ovog teorema.
.
R1

1

.

.

R2

2

.

I

+

I2

3

I1

X2

X1

U

4

U
U 34 

120

R1
1
R1



1



jX 1

U 34  I2   R 2  jX 2 



1
R 2  jX 2


I2 

10
1



10

1



j40

U 34
R 2  jX 2



1

 96 Ð 0  V 

20  j 20
96
20  j 20

 2 . 4 2 Ð 45  A 

Početna stranica

Stranica: VIII - 33



Da bi se odredio napon U12 potrebno je odrediti struju I:

96
I  I  I  U 34  I 
 2 . 4 2 Ð 45   2 . 4 Ð 0  A 
1
2
2
jX 1
40 Ð 90 
U 12  I  R1  I2  R 2  2 . 4 Ð 0   10  2 . 4 2 Ð 45   20  72  j 48 V 



Snaga koju mjeri watmetar iznosi:



*
PW  Re U 12  I2



*
I2  2.4  j 2.4 A   I2  2.4  j 2.4 A 

PW  Re 72  j 48    2 . 4  j 2 . 4   72  2 . 4   j 48    j 2 . 4 
PW  72  2 . 4  48  2 . 4
PW  288 W 

Početna stranica