TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.1 – Clasificación de los números reales Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 1.1.1 – TIPOS DE NÚMEROS •
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.1 – Clasificación de los números reales
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.
1.1.1 – TIPOS DE NÚMEROS
• Los Números naturales (N) son: 0, 1, 2, 3, ..., 10, 11,....
• Los Números enteros (Z) son: ..., -11, - 10, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...,10, 11,....
• Los Números fraccionarios (a/b) donde a no es múltiplo de b
• Decimales exactos: a,bc
• Decimales periódicos puros: a,bcbcbc.....
• Decimales periódicos mixtos: a,bcccc....
• Los Números racionales (Q) : incluyen los enteros y los fraccionarios
• Los Números irracionales (I) : son aquellos que no son racionales: Decimales
, 2
, 7
,...
no periódicos
3
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.1 – Clasificación de los números reales
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.1.2 – ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.
1.2.1 – PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL
Se efectúa la división:
8
2
Natural
4
9
2
,
25
Decimal
exacto
4
4
1
,
3333
...
1
,
3
Decimal
periódico
puro
3
7
1
,
16666
...
1
,
1
6̂
Decimal
periódic
mixto
6
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Matemáticas
Matemáticas
Bach.
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa4º ESO 4ºy 1ºE.S.O.
1.2.1 – PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN
• Números decimales exactos
N = 2,38
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero
100N = 238
Despejar N
N
238
100
Simplificar la fracción, si es posible
N
119
50
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Matemáticas
Matemáticas
Bach.
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa4º ESO 4ºy 1ºE.S.O.
Números decimales periódicos puros
N = 2,383838...
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el
mismo periodo
100N = 238,3838...Restarlos
99N = 236
N
236
99
Despejar N
Simplificar la fracción, si es posible
N
236
99
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Matemáticas
Matemáticas
Bach.
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa4º ESO 4ºy 1ºE.S.O.
Números decimales periódicos mixtos
N = 2,3888...
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada un número periódico puro
10N = 23,888...
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para obtener un número con
el mismo periodo.
100N = 238,888...
Restarlos
90N = 215
N
215
90
Despejar N
Simplificar la fracción, si es posible
N
215
90
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.3 – Números aproximados
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.3.1 – EXPRESIÓN APROXIMADA DE UN NÚMERO. CIFRAS
SIGNIFICATIVAS
Al expresar números decimales para mediciones concretas, se deben dar con
una cantidad adecuada de cifras significativas.
Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número
aproximado. Sólo deben utilizarse aquellas cuya exactitud nos conste.
Para expresar una cantidad con un número determinado de cifras
significativas recurrimos al redondeo, si la primera cifra que despreciamos
es mayor o igual que 5 aumentamos en una unidad la última cifra
significativa y si es menor que cinco la dejamos con está.
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.3 – Números aproximados
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.3.2 – CONTROL DEL ERROR COMETIDO
Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error.
El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de medición
Error Absoluto = |Valor Real – Valor Medición|
El Error Relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real
Error
absoluto
Error
relativo
Valor
Real
Llamamos cotas de los errores a cantidades mayores o iguales que los
errores con menor o igual número de cifras significativas.
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.4 – Notación científica
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.4.1 – DEFINICIÓN
Un número puesto en notación científica consta de:
• Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero (la de las unidades).
• El resto de cifras significativas puestas como parte decimal.
• Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número.
N
a
,
bcd
......
x
10
n
Si n es positivo, el número N es “grande”.
Si n es negativo, el número N es “pequeño”.
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.4 – Notación científica
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.4.2– OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
• Sumas y restas: Todos los sumandos deben tener la misma potencia de 10 para
poder sacarla factor común (si aumenta uno, disminuye el otro).
• Productos y cocientes: Se multiplican (dividen) los números, por un lado y las
potencias de 10 por otro, teniendo en cuenta las reglas de las potencias:
a
b
10
.10
10
a
b
a
b
10
:10
10
a
b
• Potencias: Se eleva por un lado el número y por otro la potencia de 10,
teniendo en cuenta las reglas de las potencias:
10
10
a b
a
.b
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.4 – Notación científica
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.4.3– CALCULADORA PARA NOTACIÓN CIENTÍFICA
- Notación científica con 3 cifras significativas:
MODE + 8 + 3
- Quitar la notación científica
MODE + 9
Parte entera
Parte decimal
Exponente de
base 10
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.4 – Notación científica
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.4.4– ÓRDENES DE MAGNITUD
Para designar órdenes de magnitud (grandes o pequeños),
existen algunos prefijos:
Giga
10
9
Mega
10
6
Micro 10
10
3
Mili
10
Hecto 10
2
Centi
10
Deca
1
Deci
10
Kilo
10
Nano
10
9
6
3
2
1
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.5 – Números no racionales
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
Los números no racionales se llaman irracionales y son aquellos que no se
pueden poner como cociente de dos números enteros:
2
es
irracional
p
es
irracion
,
si
p
no
es
un
cuad
per
p
es
irracion
,
si
p
no
es
una
pote
n
ési
n
es
irracional
Los
número
decim
no
perió
son
irr
es
En cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitos
números irracionales.
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.6 – Los números reales
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.6.1 - DEFINICIÓN
El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se le llama
conjunto de números reales y se designa por R
1.6.2 – LA RECTA REAL
Cada punto de la recta corresponde a un número racional o a un número
irracional. Por eso a la recta numérica la llamaremos recta real.
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.7 – Representación de números sobre la recta real
1.7.1 – NÚMEROS NATURALES O ENTEROS
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
1.7.2 – NÚMEROS DECIMALES EXACTOS
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,6
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
2,66
2,67 2,68
2
3
2,8
4
5
2,9
3
2,69
2,7
6
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.7 – Representación de números sobre la recta real
1.7.3 – NÚMEROS FRACCIONARIOS
Se divide cada unidad en tantas
partes
como
tenga
el
denominador y se toman tantas
como tenga el numerador.
O
1/5
2/5
3/5
4/5
5/5
U
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.7 – Representación de números sobre la recta real
1.7.4 – NÚMEROS IRRACIONALES CUADRÁTICOS
Se utiliza el teorema de
Pitágoras, donde la hipotenusa
es lo que queremos dibujar.
2
1
1
2
2
2
2
2
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.7 – Representación de números sobre la recta real
1.7.5 – NÚMEROS DECIMALES NO EXACTOS
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,6
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
2,66
2,67 2,68
2
3
2,8
4
5
2,9
3
2,69
2,7
6
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.8 – Intervalos y semirrectas
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.8.1 – INTERVALOS ABIERTOS Y CERRADOS
• Intervalo abierto: (a, b) = {xR / a < x < b}
a
b
Números comprendidos entre a y b
• Intervalo cerrado: [a, b] = {xR / a x b}
a
b
Números comprendidos entre a y b, incluidos a y b
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.8 – Intervalos y semirrectas
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.8.2 – INTERVALOS SEMIABIERTOS
• [a, b) = {xR / a x < b}
a
b
Números comprendidos entre a y b, incluido a
• (a, b] = {xR / a < x b}
a
b
Números comprendidos entre a y b, incluido b
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.8 – Intervalos y semirrectas
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.8.3 – SEMIRRECTAS
• (, a) = {xR / x < a} Números menores que a
a
• (, a] = {xR / x a} Números menores o iguales que a
a
• (a, ) = {xR / a < x} Números mayores que a
a
• [a, ) = {xR / a x} Números mayores o iguales que a
a
Slide 22
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.8 – Entornos
Matemáticas
1º Bach. CN
1.8.4 – Entornos
• E(a,r) : Entorno de centro a y radio r = (a-r,a+r)
a-r
a+r
• E*(a,r) : Entorno reducido de centro a y radio r = (a-r,a+r) –{a}
a-r
a
a+r
E(a,r): Entorno por la izquierda de centro a y radio r = (a-r,a)
a-r
a
E(a,r): Entorno por la derecha de centro a y radio r = (a,a+r)
a
a+r
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.9 – Valor absoluto de un número real
Matemáticas
Matemáticas
1º 4º
Bach.
E.S.O.
1.9.1 – DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real, a, es el propio
número, a, si es positivo, o su opuesto, -a, si es negativo.
a si
a0
a
-a si
a0
1.9.2 – ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Se
iguala lo de dentro del valor absoluto a más menos lo de fuera.
x
a
b
x
a
b
|
x
a
|
b
x
a
b
,
a
b
x
a
b
x
a
b
x
a
b
x
a
b
|
x
a
|
b
x
a
b
,
a
b
x
a
b
x
a
b
x
a
b
x
a
b
|
x
a
|
b
x
(
,
a
b
]
[
a
b
,
)
x
a
b
x
a
b
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.10 – Potencias
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON POTENCIAS
a.b
(
a
.b
)
n
n
n
a:b
a
:b
n
a 1
1
a a
0
m
n
a .a a
m n
m
n
a :a
a
m
n
a a
mn
m
.n
a
1
n
n
1
a
n
a
a
n
1
n
n
a b
b
n
b
a a
n
Slide 25
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.11 – Raíces
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.11.1 – DEFINICIÓN
b=
n
a b = a
Índice
n
radical
radicando
1.11.2 – PECULIARIDADES
n
Si
a
0
a
existe
cualquiera
que
sea
n.
n
Si
a
0
a
sólo
existe
si
n
es
impar.
1.11.3 – FORMA EXPONENCIAL DE LAS RAÍCES
1
n
a a
n
m
n
a an
m
Slide 26
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.11 – Raíces
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.11.4 – POTENCIAS Y RAÍCES CON CALCULADORA
Raíces
cuadradas
:"
"
180
"
"
"180"
"
"
13,4164
6
y
Potencias
:
"
x
"
2
"2"
"
x
"
"64"
"
"
1,8446
7
1,84
7.1
64
y
19
19
y
Raíces
con
la
tecla
:
"
x
"
2
483
483
"483"
"
("
"2"
"
:"
"5"
"
)"
"
"
11,8
2
2
5
5
y
x
Tecla
"
x
"
o
"
"
1
1
5
350
350
"
350
"
"
x
"
"
5
"
"
"
3,2271
9
5
y
Slide 27
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.12 – Propiedades y operaciones con raíces
1.12.1 – PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
np
a n a (Sepuedesimplifica
r)
n
a .n b n ab
n
a
n
p
n
b
b
a
n
m n
a
p
n a
p
a m.n a
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.
Slide 28
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.12 – Propiedades y operaciones con raíces
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.
1.11.2 – OPERACIONES CON RAÍCES
Suma o diferencia de radicales: Tienen que ser los radicales
iguales. (Habrá que sacar términos de las raíces y simplificarlas)
Producto o cociente de radicales: Tienen que tener el mismo
índice. (Si no los tienen primero habrá que reducir a índice común)
Racionalizar : Quitar las raíces del denominador
• Si no hay sumas: Multiplicar y dividir por la raíz adecuada, para
que se vaya la raíz del denominador.
• Si hay sumas: Multiplicar y dividir por el conjugado.
Slide 29
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.13 – Logaritmos
Matemáticas
1º Bach.
1.13.1 – DEFINICIÓN DE LOGARITMO
Si a, P > 0 y a distinto de 1, se llama logaritmo en base a de P,
al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.
log
P
x
a
P
a
x
1.13.2 – PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
log
a1
a
log
(
P
)
n
.
log
P
a
a
log
10
a
n
log
P
b
log
P
a
log
(
P
.
Q
)
log
P
log
Q
log
a
a
a
a
b
log
(
P
/
Q
)
log
P
log
Q
a
a
a
Slide 30
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.13 – Logaritmos
1.13.3 – PRINCIPALES LOGARITMOS
Logaritmo decimal o en base 10 :
log
P
log
P
10
Logaritmo neperiano o en base e :
log
P
ln
P
e
Matemáticas
1º Bach.
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.1 – Clasificación de los números reales
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.
1.1.1 – TIPOS DE NÚMEROS
• Los Números naturales (N) son: 0, 1, 2, 3, ..., 10, 11,....
• Los Números enteros (Z) son: ..., -11, - 10, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...,10, 11,....
• Los Números fraccionarios (a/b) donde a no es múltiplo de b
• Decimales exactos: a,bc
• Decimales periódicos puros: a,bcbcbc.....
• Decimales periódicos mixtos: a,bcccc....
• Los Números racionales (Q) : incluyen los enteros y los fraccionarios
• Los Números irracionales (I) : son aquellos que no son racionales: Decimales
, 2
, 7
,...
no periódicos
3
Slide 2
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.1 – Clasificación de los números reales
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.1.2 – ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Slide 3
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.
1.2.1 – PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL
Se efectúa la división:
8
2
Natural
4
9
2
,
25
Decimal
exacto
4
4
1
,
3333
...
1
,
3
Decimal
periódico
puro
3
7
1
,
16666
...
1
,
1
6̂
Decimal
periódic
mixto
6
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Matemáticas
Matemáticas
Bach.
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa4º ESO 4ºy 1ºE.S.O.
1.2.1 – PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN
• Números decimales exactos
N = 2,38
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero
100N = 238
Despejar N
N
238
100
Simplificar la fracción, si es posible
N
119
50
Slide 5
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Matemáticas
Matemáticas
Bach.
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa4º ESO 4ºy 1ºE.S.O.
Números decimales periódicos puros
N = 2,383838...
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el
mismo periodo
100N = 238,3838...Restarlos
99N = 236
N
236
99
Despejar N
Simplificar la fracción, si es posible
N
236
99
Slide 6
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Matemáticas
Matemáticas
Bach.
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa4º ESO 4ºy 1ºE.S.O.
Números decimales periódicos mixtos
N = 2,3888...
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada un número periódico puro
10N = 23,888...
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para obtener un número con
el mismo periodo.
100N = 238,888...
Restarlos
90N = 215
N
215
90
Despejar N
Simplificar la fracción, si es posible
N
215
90
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.3 – Números aproximados
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.3.1 – EXPRESIÓN APROXIMADA DE UN NÚMERO. CIFRAS
SIGNIFICATIVAS
Al expresar números decimales para mediciones concretas, se deben dar con
una cantidad adecuada de cifras significativas.
Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número
aproximado. Sólo deben utilizarse aquellas cuya exactitud nos conste.
Para expresar una cantidad con un número determinado de cifras
significativas recurrimos al redondeo, si la primera cifra que despreciamos
es mayor o igual que 5 aumentamos en una unidad la última cifra
significativa y si es menor que cinco la dejamos con está.
Slide 8
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.3 – Números aproximados
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.3.2 – CONTROL DEL ERROR COMETIDO
Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error.
El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de medición
Error Absoluto = |Valor Real – Valor Medición|
El Error Relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real
Error
absoluto
Error
relativo
Valor
Real
Llamamos cotas de los errores a cantidades mayores o iguales que los
errores con menor o igual número de cifras significativas.
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.4 – Notación científica
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.4.1 – DEFINICIÓN
Un número puesto en notación científica consta de:
• Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero (la de las unidades).
• El resto de cifras significativas puestas como parte decimal.
• Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número.
N
a
,
bcd
......
x
10
n
Si n es positivo, el número N es “grande”.
Si n es negativo, el número N es “pequeño”.
Slide 10
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.4 – Notación científica
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.4.2– OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
• Sumas y restas: Todos los sumandos deben tener la misma potencia de 10 para
poder sacarla factor común (si aumenta uno, disminuye el otro).
• Productos y cocientes: Se multiplican (dividen) los números, por un lado y las
potencias de 10 por otro, teniendo en cuenta las reglas de las potencias:
a
b
10
.10
10
a
b
a
b
10
:10
10
a
b
• Potencias: Se eleva por un lado el número y por otro la potencia de 10,
teniendo en cuenta las reglas de las potencias:
10
10
a b
a
.b
Slide 11
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.4 – Notación científica
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.4.3– CALCULADORA PARA NOTACIÓN CIENTÍFICA
- Notación científica con 3 cifras significativas:
MODE + 8 + 3
- Quitar la notación científica
MODE + 9
Parte entera
Parte decimal
Exponente de
base 10
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.4 – Notación científica
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.4.4– ÓRDENES DE MAGNITUD
Para designar órdenes de magnitud (grandes o pequeños),
existen algunos prefijos:
Giga
10
9
Mega
10
6
Micro 10
10
3
Mili
10
Hecto 10
2
Centi
10
Deca
1
Deci
10
Kilo
10
Nano
10
9
6
3
2
1
Slide 13
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.5 – Números no racionales
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
Los números no racionales se llaman irracionales y son aquellos que no se
pueden poner como cociente de dos números enteros:
2
es
irracional
p
es
irracion
,
si
p
no
es
un
cuad
per
p
es
irracion
,
si
p
no
es
una
pote
n
ési
n
es
irracional
Los
número
decim
no
perió
son
irr
es
En cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitos
números irracionales.
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.6 – Los números reales
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.6.1 - DEFINICIÓN
El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se le llama
conjunto de números reales y se designa por R
1.6.2 – LA RECTA REAL
Cada punto de la recta corresponde a un número racional o a un número
irracional. Por eso a la recta numérica la llamaremos recta real.
Slide 15
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.7 – Representación de números sobre la recta real
1.7.1 – NÚMEROS NATURALES O ENTEROS
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
1.7.2 – NÚMEROS DECIMALES EXACTOS
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,6
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
2,66
2,67 2,68
2
3
2,8
4
5
2,9
3
2,69
2,7
6
Slide 16
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.7 – Representación de números sobre la recta real
1.7.3 – NÚMEROS FRACCIONARIOS
Se divide cada unidad en tantas
partes
como
tenga
el
denominador y se toman tantas
como tenga el numerador.
O
1/5
2/5
3/5
4/5
5/5
U
Slide 17
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.7 – Representación de números sobre la recta real
1.7.4 – NÚMEROS IRRACIONALES CUADRÁTICOS
Se utiliza el teorema de
Pitágoras, donde la hipotenusa
es lo que queremos dibujar.
2
1
1
2
2
2
2
2
Slide 18
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.7 – Representación de números sobre la recta real
1.7.5 – NÚMEROS DECIMALES NO EXACTOS
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,6
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
2,66
2,67 2,68
2
3
2,8
4
5
2,9
3
2,69
2,7
6
Slide 19
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.8 – Intervalos y semirrectas
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.8.1 – INTERVALOS ABIERTOS Y CERRADOS
• Intervalo abierto: (a, b) = {xR / a < x < b}
a
b
Números comprendidos entre a y b
• Intervalo cerrado: [a, b] = {xR / a x b}
a
b
Números comprendidos entre a y b, incluidos a y b
Slide 20
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.8 – Intervalos y semirrectas
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.8.2 – INTERVALOS SEMIABIERTOS
• [a, b) = {xR / a x < b}
a
b
Números comprendidos entre a y b, incluido a
• (a, b] = {xR / a < x b}
a
b
Números comprendidos entre a y b, incluido b
Slide 21
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.8 – Intervalos y semirrectas
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.8.3 – SEMIRRECTAS
• (, a) = {xR / x < a} Números menores que a
a
• (, a] = {xR / x a} Números menores o iguales que a
a
• (a, ) = {xR / a < x} Números mayores que a
a
• [a, ) = {xR / a x} Números mayores o iguales que a
a
Slide 22
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.8 – Entornos
Matemáticas
1º Bach. CN
1.8.4 – Entornos
• E(a,r) : Entorno de centro a y radio r = (a-r,a+r)
a-r
a+r
• E*(a,r) : Entorno reducido de centro a y radio r = (a-r,a+r) –{a}
a-r
a
a+r
E(a,r): Entorno por la izquierda de centro a y radio r = (a-r,a)
a-r
a
E(a,r): Entorno por la derecha de centro a y radio r = (a,a+r)
a
a+r
Slide 23
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.9 – Valor absoluto de un número real
Matemáticas
Matemáticas
1º 4º
Bach.
E.S.O.
1.9.1 – DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real, a, es el propio
número, a, si es positivo, o su opuesto, -a, si es negativo.
a si
a0
a
-a si
a0
1.9.2 – ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Se
iguala lo de dentro del valor absoluto a más menos lo de fuera.
x
a
b
x
a
b
|
x
a
|
b
x
a
b
,
a
b
x
a
b
x
a
b
x
a
b
x
a
b
|
x
a
|
b
x
a
b
,
a
b
x
a
b
x
a
b
x
a
b
x
a
b
|
x
a
|
b
x
(
,
a
b
]
[
a
b
,
)
x
a
b
x
a
b
Slide 24
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.10 – Potencias
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON POTENCIAS
a.b
(
a
.b
)
n
n
n
a:b
a
:b
n
a 1
1
a a
0
m
n
a .a a
m n
m
n
a :a
a
m
n
a a
mn
m
.n
a
1
n
n
1
a
n
a
a
n
1
n
n
a b
b
n
b
a a
n
Slide 25
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.11 – Raíces
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.11.1 – DEFINICIÓN
b=
n
a b = a
Índice
n
radical
radicando
1.11.2 – PECULIARIDADES
n
Si
a
0
a
existe
cualquiera
que
sea
n.
n
Si
a
0
a
sólo
existe
si
n
es
impar.
1.11.3 – FORMA EXPONENCIAL DE LAS RAÍCES
1
n
a a
n
m
n
a an
m
Slide 26
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.11 – Raíces
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
E.S.O.
Bach.
1.11.4 – POTENCIAS Y RAÍCES CON CALCULADORA
Raíces
cuadradas
:"
"
180
"
"
"180"
"
"
13,4164
6
y
Potencias
:
"
x
"
2
"2"
"
x
"
"64"
"
"
1,8446
7
1,84
7.1
64
y
19
19
y
Raíces
con
la
tecla
:
"
x
"
2
483
483
"483"
"
("
"2"
"
:"
"5"
"
)"
"
"
11,8
2
2
5
5
y
x
Tecla
"
x
"
o
"
"
1
1
5
350
350
"
350
"
"
x
"
"
5
"
"
"
3,2271
9
5
y
Slide 27
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.12 – Propiedades y operaciones con raíces
1.12.1 – PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
np
a n a (Sepuedesimplifica
r)
n
a .n b n ab
n
a
n
p
n
b
b
a
n
m n
a
p
n a
p
a m.n a
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.
Slide 28
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.12 – Propiedades y operaciones con raíces
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.
1.11.2 – OPERACIONES CON RAÍCES
Suma o diferencia de radicales: Tienen que ser los radicales
iguales. (Habrá que sacar términos de las raíces y simplificarlas)
Producto o cociente de radicales: Tienen que tener el mismo
índice. (Si no los tienen primero habrá que reducir a índice común)
Racionalizar : Quitar las raíces del denominador
• Si no hay sumas: Multiplicar y dividir por la raíz adecuada, para
que se vaya la raíz del denominador.
• Si hay sumas: Multiplicar y dividir por el conjugado.
Slide 29
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.13 – Logaritmos
Matemáticas
1º Bach.
1.13.1 – DEFINICIÓN DE LOGARITMO
Si a, P > 0 y a distinto de 1, se llama logaritmo en base a de P,
al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.
log
P
x
a
P
a
x
1.13.2 – PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
log
a1
a
log
(
P
)
n
.
log
P
a
a
log
10
a
n
log
P
b
log
P
a
log
(
P
.
Q
)
log
P
log
Q
log
a
a
a
a
b
log
(
P
/
Q
)
log
P
log
Q
a
a
a
Slide 30
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.13 – Logaritmos
1.13.3 – PRINCIPALES LOGARITMOS
Logaritmo decimal o en base 10 :
log
P
log
P
10
Logaritmo neperiano o en base e :
log
P
ln
P
e
Matemáticas
1º Bach.