Welkom Klik linksonder op de xx knop om te beginnen. Samengestelde interest Klik op de groene knop om verder te gaan. Woord vooraf. Deze presentatie gaat.
Download ReportTranscript Welkom Klik linksonder op de xx knop om te beginnen. Samengestelde interest Klik op de groene knop om verder te gaan. Woord vooraf. Deze presentatie gaat.
Slide 1
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 2
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 3
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 4
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 5
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 6
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 7
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 8
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 9
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 10
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 11
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 12
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 13
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 14
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 15
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 16
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 17
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 18
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 19
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 20
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 21
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 22
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 23
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 24
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 25
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 26
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 27
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 28
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 29
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 30
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 31
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 32
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 33
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 34
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 35
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 36
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 37
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 38
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 39
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 40
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 41
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 42
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 43
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 44
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 45
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 46
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 47
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 48
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 49
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 50
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 51
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 52
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 53
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 54
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 55
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 56
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 57
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 58
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 59
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 60
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 61
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 62
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 63
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 64
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 65
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 66
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 67
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 68
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 69
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 70
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 71
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 72
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 73
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 74
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 75
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 76
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 77
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 78
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 79
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 80
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 81
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 82
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 83
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 84
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 85
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 86
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 87
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 88
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 89
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 90
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 91
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 92
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 93
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 94
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 2
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 3
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 4
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 5
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 6
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 7
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 8
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 9
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 10
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 11
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 12
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 13
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 14
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 15
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 16
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 17
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 18
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 19
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 20
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 21
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 22
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 23
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 24
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 25
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 26
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 27
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 28
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 29
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 30
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 31
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 32
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 33
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 34
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 35
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 36
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 37
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 38
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 39
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 40
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 41
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 42
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 43
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 44
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 45
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 46
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 47
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 48
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 49
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 50
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 51
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 52
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 53
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 54
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 55
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 56
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 57
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 58
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 59
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 60
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 61
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 62
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 63
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 64
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 65
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 66
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 67
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 68
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 69
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 70
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 71
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 72
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 73
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 74
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 75
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 76
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 77
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 78
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 79
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 80
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 81
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 82
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 83
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 84
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 85
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 86
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 87
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 88
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 89
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 90
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 91
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 92
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 93
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.
Slide 94
Welkom
Klik linksonder op de
xx knop om te beginnen.
Samengestelde interest
Klik op de groene knop om verder te gaan.
Woord vooraf.
Deze presentatie gaat over samengestelde interest. Er wordt kennis
verondersteld van enkelvoudige interest en enige basiskennis van
het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te
bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze
presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen
gekoppeld:
Oefenen met eindwaarde
Oefenen met samengestelde interest
Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.
Inhoudsopgave
Eindwaarde bij samengestelde interest
Interestfactor
Berekening interestbedrag
Rekenen met datums
1
4
7
10
Contante waarde bij samengestelde interest
16
Interest over delen van een periode en berekening
wvovereenkomstig interestpercentage
23
Overzicht belangrijkste regels
32
Extra onderwerp: berekeningen met behulp van Excel
34
Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de
oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet
je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.
1
Net als bij enkelvoudige interest is bij samengestelde interest
(afgekort SI) de hoogte van het interestbedrag afhankelijk van:
het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal)
het interestpercentage
de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld
Zodra het interestbedrag berekend is, wordt dit bij samengestelde
interest vanzelf aan het kapitaal toegevoegd en krijg je dus ook
“rente over rente”. Daarom loopt de eindwaarde (= bedrag plus
interest) bij samengestelde interest sneller op dan bij
enkelvoudige interest, waarbij alleen over het oorspronkelijke
kapitaal interest berekend wordt.
Klik op de gele
terug wilt naar de
homeknop als je
inhoudsopgave.
2
We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat
drie jaar lang wordt uitgezet en waarbij het interestbedrag op het
eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.
ENKELVOUDIGE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
€ 100.000
€ 105.000
€ 110.000
€ 115.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
5% x € 100.000
= € 5.000
= € 5.000
= € 5.000
SAMENGESTELDE INTEREST
kapitaal
interest
1e jaar
eindwaarde
na 1 jaar
interest
2e jaar
eindwaarde
na 2 jaar
€ 100.000
× 5% =
€ 5.000
€ 105.000
× 5% =
€ 5.250
€ 110.250
interest
3e jaar
eindwaarde
na 3 jaar
× 5% = € 115.762,50
€ 5.512,50
3
Zoals je ziet is er bij enkelvoudige interest sprake van maar één
beginwaarde: het oorspronkelijke kapitaal. Alleen over dit bedrag
wordt interest vergoed. In de praktijk komt dit alleen voor als het
interestbedrag iedere keer direct wordt uitgekeerd of als de
interest pas op het eind in één keer wordt berekend. Bij
samengestelde interest kun je bij elke periode spreken van een
nieuwe beginwaarde. Maar in zijn algemeenheid bedoelen we
met de beginwaarde toch steeds het oorspronkelijke kapitaal.
Een ander verschil is, dat bij enkelvoudige interest het interestpercentage normaal gesproken altijd per jaar luidt. Is dat niet het
geval dan kun je het enkelvoudige interestpercentage gemakkelijk
omrekenen naar een interestpercentage per jaar. Bij samengestelde
interest kan het interestpercentage in allerlei perioden zijn
uitgedrukt en kun je niet zo gemakkelijk het interestpercentage
omrekenen naar een interestpercentage per jaar.
4
Hoe je bij samengestelde interest het ene interestpercentage kunt
omrekenen naar een ander, zogenaamd “overeenkomstig
interestpercentage”, zal nog aan bod komen.
We gaan er in het navolgende steeds van uit dat bij samengestelde
interest de (oorspronkelijke) beginwaarde alleen door
bijschrijving van de interest verandert. In de voorbeelden zal
gewerkt worden met geld dat gespaard wordt. Degene die het geld
in ontvangst neemt, kun je als lener van dit geld beschouwen.
Tussen de beginwaarde en elke willekeurige eindwaarde bestaat
bij samengestelde interest een samenhang die is vastgelegd in de
zogenaamde interestfactor (of oprentingsfactor): het getal
waarmee je de beginwaarde moet vermenigvuldigen om de
eindwaarde te krijgen.
5
Met behulp van de interestfactor gaat het berekenen van de
eindwaarde een stuk sneller dan wanneer je telkens het
interestbedrag bij de vorige eindwaarde moet optellen. Eens
kijken of je al weet hoe je deze interestfactor kunt berekenen.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde interest
per maand. Met welk getal moet je € 2.000 vermenigvuldigen om
de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
C. 1,4307..
B. 1,4049..
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Klik op het goede antwoord.
Je zet voor drie jaar € 2.000 weg tegen 1% samengestelde
interest per maand. Met welk getal moet je € 2.000
vermenigvuldigen om de eindwaarde te krijgen?
A. 1,36
B. 1,4049..
C. 1,4307..
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Bij samengestelde interest mag je 1% per maand niet
gelijk stellen aan 12% per jaar. Je ziet dan de
maandelijkse interestbijschrijving over het hoofd.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
periode 2
100.000
Klik hier.
periode 3
De vraag is met welk getal je € 2.000 moet vermenigvuldigen om
bij 1% SI per maand de eindwaarde na drie jaar te krijgen. Op de
volgende tijdbalk is een beginkapitaal van € 100.000 ingetekend.
Kijk eens goed hoe de eindwaarde van elke periode tot stand komt
bij een looptijd van drie jaar en 5% SI per jaar.
periode 1
100.000
100.000
100.000
periode 2
periode 3
+ 5% =
+ 5% =
+ 5% =
105.000
110.250
x 1,051
x 1,051
x 1,051
110.250
x 1,052 (= x 1,1025)
x 1,053 (= x 1,157625)
115.762,50
115.762,50
Zoals je ziet komt het aantal perioden dat tussen de begin- en
eindwaarde zit, terug in de macht van de interestfactor.
Gebruik je “i” voor het interestperunage en “n” voor het
aantal perioden tussen begin- en eindwaarde, dan luidt
de algemene formule voor de interestfactor: (1 + i)n.
Klik op het plaatje als je meer wilt weten over machtsrekenen.
Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.
6
Goed
De interestfactor waarmee je bij samengestelde interest
een bedrag moet vermenigvuldigen om de eindwaarde
van dit bedrag te krijgen, kun je berekenen als (1 + i)n,
waarbij “n” staat voor het aantal interestperioden.
Klik op de groene knop om door te gaan.
7
Om de eindwaarde van een eenmalig bedrag bij samengestelde
interest te berekenen, kun je gebruik maken van de formule:
EWn = K × (1 + i)n
Hierin staat “EW” voor de eindwaarde, “n” voor het aantal
interestperioden tussen begin- en eindwaarde, “K” voor de
beginwaarde en “i” voor het interestperunage (en “EWn” voor
de eindwaarde na “n” perioden).
Bij de TI-83 kun je gebruik maken van de functie
“TVM Solver“ (TVM = Time Value Money) onder
“Finance” om de eindwaarde te berekenen. Wil je
aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze
functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.
Hiernaast zie je een afbeelding van de
TI-83. We laten nu stap voor stap zien
hoe je de functie TVM Solver in
werking stelt. Klik op de groene knop.
Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op
de x-1-knop om het menu Finance op te
roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op
om de volgende stap te zien. Dat geldt
ook voor het vervolg.)
N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe
APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie
aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze
functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83.
Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.
Zoals je ziet kun je bij het menu Finance
kiezen voor “CALC” (= calculation) of
“VARS” (variables). Het submenu dat je ziet,
hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat
de TVM Solver als eerste functie in het rijtje.
Druk nu op ENTER om deze functie te
activeren.
Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste
keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere
opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar
toe gaan.
CALC VARS
1: TVM Solver
2: tvm_Pmt
3:tvm_I%
4:tvm_PV
5:tvm_N
6:tvm_FV
7npv(
De functie is nu geactiveerd. In principe staat
de vorige invoer nog op het scherm. De “N”
staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de
beginwaarde en “FV” (= Future Value) voor de
eindwaarde. “PMT” (= PayMenT of
termijnbedrag) moet standaard op 0 staan.
“P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y”
(= Calculation/Year) moeten beide op 1 staan.
Van “PMT: END BEGIN” hoef je je bij
samengestelde interest niets aan te trekken.
Klik op de groene knop.
N=
I%=
PV=
PMT=
FV=
P/Y=
C/Y=
PMT: END BEGIN
Om bijvoorbeeld de eindwaarde van een kapitaal
van € 200 dat acht perioden staat tegen 5%
interest per periode uit te rekenen, moet je met
behulp van de pijltjestoetsen bij N 8 invullen, bij
I% 5 (zonder procentteken) en bij PV 200 (en
PMT op 0 en P/Y en C/Y op 1 stellen). Zoals je
ziet is dat hier al gebeurd. Vervolgens moet je
met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan
staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en
dan op ENTER (= SOLVE).
Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan
moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op
“Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via
2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat
je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen
meer staan.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV=
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
Zoals je ziet, krijg je als eindwaarde –295,49
uit. Die – staat daar omdat je bij PV (+) 200
hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PV als
geleend bedrag en de FV als terugbetaling.
De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent.
Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij
PV – 200 invullen, waarbij je de (–) toets
moet gebruiken om de min aan te geven.
Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE
(= QUIT).
Klik op de groene knop.
N= 8
I%= 5
PV= 200
PMT= 0
FV= -295,49
P/Y= 1
C/Y= 1
PMT: END BEGIN
8
Omdat bij samengestelde interest met een eenmalige storting
zonder tussentijdse opname de eindwaarde alleen aangroeit door
interestbijschrijving, kun je het interestbedrag dat in een
bepaalde periode ontvangen is, berekenen door simpelweg de
waarde aan het begin af te trekken van de waarde aan het eind
van de betreffende periode. Eens kijken of je dat lukt.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar
weggezet. De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde
en vijfde jaar samen is.
A. € 464,16
C. € 214,36
B. € 458,99
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Een kapitaal van € 5.000 wordt tegen 2% SI per halfjaar weggezet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is.
A. € 464,16
B. € 458,99
C. € 214,36
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Bij enkelvoudige interest mag je 2% per
halfjaar gelijk stellen aan 4% per jaar. Bij
samengestelde interest mag dat niet. Je mist
dan per jaar één keer rente over rente.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
Fout!
Je hebt niet gezien dat het om interest per
half jaar ging en niet om interest per jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe
het wel moet.
De vraag is hoe groot het interestbedrag in het vierde en vijfde jaar
samen is als € 5.000 tegen 2% SI per halfjaar wordt weggezet.
Stel dat je een kapitaal van € 8.000 tegen 1,5% samengestelde
interest per kwartaal wegzet en gevraagd wordt hoe groot het
interestbedrag in het tweede jaar is.
De waarde aan het begin van het tweede jaar is gelijk aan de
eindwaarde van het eerste jaar. Omdat de interest per kwartaal is,
is dat de eindwaarde na vier perioden. Die is € 8.000 × 1,0154 =
€ 8.490,91 (of via N = 4, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
De waarde aan het eind van het tweede jaar is de eindwaarde na
acht perioden. Die is € 8.000 × 1,0158 = € 9.011,94 (of via N =
8, I% = 1,5 en PV = 8000 de FV zoeken).
Het gevraagde bedrag is dus € 9.011,94 - € 8.490,91 = € 521,03.
9
Klik op de groene knop om door te gaan.
10
De looptijd wordt vaak met behulp van datums aangegeven.
Omdat bij samengestelde interest eigenlijk uitsluitend met hele
perioden wordt gewerkt en het jaar steeds op 360 dagen wordt
gesteld (dus een maand op dertig dagen; maar een week blijft
zeven dagen), is het vrij eenvoudig om de looptijd met behulp
van een tijdbalk te bepalen. Daarbij moet je wel zorgvuldig te
werk gaan en er goed op letten dat je perioden telt en niet
tijdstippen.
11
Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je al bent.
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Je stort op 31-3-2004 eenmalig een bedrag tegen 1% SI per
maand. Je wilt de eindwaarde op 1-6-2008 weten. Bij welke
tijdbalk is deze begindatum goed aangegeven en klopt het aantal
perioden? De blauwe pijl geeft de looptijd aan.
1-1-2004
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
A.
49 perioden
x
1-1-2004
B.
D.
50 perioden
x
1-1-2004
C.
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
x
1-1-2004
x
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
50 perioden
1-1-2005 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008
51 perioden
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes).
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
De begindatum is verkeerd ingetekend. Lees voor
31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt tijdstippen geteld (de dwarsstreepjes) in
plaats van perioden (de lijnstukjes tussen twee
dwarsstreepjes) en de begindatum verkeerd
ingetekend. Lees voor 31-3 maar eens 1-4.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
12
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
13
Je kunt ook de begindatum van de einddatum aftrekken. Omdat
elke maand op 30 dagen is gesteld, moet je voor de 31ste van de
maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een
schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van
maken (want februari is ten einde).
Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van
de maand, dan is het echter veel handiger om alles gewoon één
dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste
van de volgende maand te gebruiken.
Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden
kunt berekenen, klik dan op het plaatje hiernaast.
Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een
bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de
laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005
wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest.
Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest
en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest.
tot
van
(+ 12 =) 14 wi2004
30 2 2005
30 5 2000
9 maanden 4 jaren
tot
van
1
1
(+12 =) 15wi2004
3 2005
6 2000
9 maanden 4 jaren
Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links
28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er
zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de
hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven.
14
Eens kijken of in staat bent de eindwaarde van een bedrag te
berekenen als de looptijd met behulp van datums wordt gegeven.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de eindwaarde van een bedrag van € 500 dat
van 1-10-2001 tot en met 30-4-2005 tegen 0,25% SI per
maand heeft uitgestaan?
A. € 553,75
B. € 555,28
C. € 556,67
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je hebt met enkelvoudige interest gerekend.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
Fout!
Je hebt een maand te weinig gerekend. Omdat
het tot en met is, telt april 2005 helemaal mee.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel de eindwaarde bedraagt als je van 1-10-2001
tot en met 30-4-2005 € 500 tegen 0,25% SI per maand wegzet.
Stel dat je op 1-8-1999 € 2.000 stort tegen 0,4% samengestelde
interest per maand en dat de interest op het eind van de maand
wordt bijgeschreven. Op 31-5-2002 wil je na bijschrijving van
de interest het hele tegoed opnemen. Hoeveel bedraagt je tegoed
als het bij deze ene storting gebleven is?
Zet je de datums onder elkaar (waarbij je tot en met 31-5-2002
veranderd hebt in tot 1-6-2002), dan krijg je dit:
van
tot
tot
van
1
1
(+12 =) 18
6
8
-
wi2001
2002
1999
10 maanden
2 jaren
Zo kom je op 10 + 2 × 12 = 34 perioden. De eindwaarde is dus
€ 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
Je kunt natuurlijk ook weer gebruik maken van een tijdbalk.
Hieronder is de tijdbalk in jaren al getekend.
1-1-1999
1-8-1999
1-1-2000
1-1-2001
1-1-2002
31-5-2002
1-1-2003
Om de begin- en eindtijd aan te geven moeten de maanden nog
worden ingetekend. Hier gebeurt dat bij alle jaren. Zoals je bij
de vorige vraag hebt gezien, hoeft dat voor de tussenliggende
jaren eigenlijk niet.
De looptijd wordt weer aangegeven met behulp van een pijl.
Omdat het interestpercentage per maand is gegeven, moet je om
het aantal perioden te weten, de maanden tellen: 5 (in 1999) +
12 (in 2000) + 12 (in 2001) + 5 (in 2002) = 34. Zo kom je dus
ook op een eindwaarde van € 2.000 × 1,00434 = € 2.290,74.
15
Goed
Denk er aan altijd van … tot … te nemen en bij een
tijdbalk geen tijdstippen maar perioden te tellen.
Klik op de groene knop om door te gaan.
16
Klik op het vliegtuigje om het berekenen van eindwaarden en
interestbedragen met rente over rente te oefenen met open vragen.
Omdat je de eindwaarde via een vermenigvuldiging uit een
bepaalde beginwaarde kunt afleiden, kun je de beginwaarde via
een deling uit de eindwaarde afleiden. We noemen deze
beginwaarde de contante waarde. Met deze contante waarde kun
je dezelfde berekeningen uitvoeren als met de eindwaarde.
Gebruik je de TVM Solver op de TI-83, dan is nu de FV gegeven
en moet je de PV uitrekenen.
17
Eens kijken of je al weet hoe je de contante waarde op
15-10-1998 kunt berekenen van een eindsaldo van € 173 dat op
15-7-2002 na bijschrijving van de interest op een rekening staat.
Er is nooit bijgestort of opgenomen en de interest is steeds 1,5%
SI per kwartaal geweest.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Hoeveel bedraagt de contante waarde op 15-10-1998 van een
eindsaldo van € 173 dat op 15-7-2002 na bijschrijving van de
interest op een rekening staat. Er nooit bijgestort of opgenomen
en de interest is steeds 1,5% SI per kwartaal geweest. Rond het
bedrag af op hele euro’s.
A. 130
B. 138
C. 141
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel bij 1,5% SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
x
1,051
periode 2
105.000
x
1,051
periode 3
110.250
x
1,051
Klik hier voor de contante waarde.
115.762,50
De vraag is hoeveel bij 1,5 % SI per kwartaal op 15-10-1998 de
contante waarde bedraagt van € 173 die op 15-7-2002 na
bijschrijving van de interest op een rekening staat.
We laten het verband tussen eindwaarde en contante waarde zien
aan de hand van een tijdbalk. We gaan uit van gegevens die al aan
bod zijn gekomen bij de berekening van de eindwaarde.
periode 1
100.000
100.000
100.000
x :1,05
1,051 1
periode 2
105.000
x :1,05
1,051 1
periode 3
110.250
110.250
: 1,052 (= : 1,1025)
: 1,053 (= : 1,157625)
x :1,05
1,051 1
115.762,50
115.762,50
Omdat delen door een bepaald getal hetzelfde oplevert als
vermenigvuldigen met de inverse (= omgekeerde) van dat getal,
kun je in plaats van € 105.000 : 1,051 ook € 105.000 × 1 1 nemen.
1
1, 05
is hetzelfde als 1,05-1, dus kun je de contante waarde
ook als € 105.000 × 1,05-1 uitrekenen.
1, 05 1
Het mooie van de notatie 1,05-1 is dat de ‘-’ zo duidelijk aangeeft
dat er bij de berekening van de contante waarde interest vanaf gaat.
Voor de formule voor de contante waarde kun je dus kiezen uit
CW = EW n , CW = EW × 1 n en CW = EW × (1 + i)-n.
(1 + i)
(1 + i)
De berekening van de contante waarde van € 115.762,50 bij een
looptijd van drie jaar tegen 5% SI per jaar is dus te berekenen als:
115.762,50 of 115.762,50 × 1 of 115.762,50 × 1,05-3
1,053
1,053
Bij gebruik van de TVM Solver voer je in dat N = 3, I% = 5 en
FV = 115762,50 (en PMT = 0 en P/Y en C/Y = 1). Vervolgens ga
je op PV staan en druk je op ALPHA en dan op ENTER.
18
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
19
Eens kijken of het volgende ook lukt.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Van de telefoonmaatschappij krijg je bericht dat de rekening die
je negen maanden geleden al had moeten betalen, is uitgegroeid
tot een bedrag van € 259,94. De telefoonmaatschappij rekent
0,5% SI per week (!). Hoeveel euro interest heeft de telefoonmaatschappij in totaal berekend?
A. € 45,95
B. € 43,10
C. € 42,72
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Het is toch beter dat je eerst even naar de uitleg
kijkt.
Klik op de knop.
Fout!
Een maand is geen vier weken. Je mag wel
twaalf maanden gelijk stellen aan 52 weken.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel euro interest de telefoonmaatschappij in
totaal heeft berekend als een rekening in negen maanden is
uitgegroeid tot een bedrag van € 259,94 en de telefoonmaatschappij 0,5% SI per week rekent.
Het bedrag is alleen gegroeid door interest. Dat oorspronkelijke
bedrag is de contante waarde van de gegeven eindwaarde.
Omdat het interestpercentage in weken is gegeven, moet je om
de contante waarde te vinden de negen maanden omzetten in
weken. Daarbij moet je gebruik maken van de regel dat 1 jaar =
4 kwartalen = 12 maanden = 52 weken. Met behulp van een
kruistabel kun je dit probleem als volgt weergeven:
12 maanden
52 weken
9 maanden
? weken
Nu nog even kruislings
vermenigvuldigen …
20
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
21
En nu nog een lastige.
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Op 1-6-2008 krijg je van je ouders € 1.000 uitgekeerd als je tot
die tijd niet gerookt hebt. Je ouders hebben voor dit doel op
1-12-2002 € 800 op de bank vastgezet tegen 1% SI per kwartaal.
Hoeveel euro hebben je ouders te veel of te weinig gestort?
A. € 36,21 te veel
B. € 27,95 te veel
C. € 4,23 te weinig
D. € 3,40 te weinig
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Bovendien heb je een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt een jaar te weinig gerekend.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
Fout!
Je hebt de eindwaarde op 1-6-2008 berekend,
terwijl je had moeten berekenen hoeveel op
1-12-2002 had moeten worden gestort.
Klik op de knop om het opnieuw te proberen.
22
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
23
Tot nu toe is steeds gewerkt met het berekenen van
samengestelde interest over hele interestperioden. In
principe kun je ook over delen van een interestperiode met
samengestelde interest rekenen, maar in de praktijk wordt
daarvoor meestal met enkelvoudige interest gerekend. Zou
je over delen van een periode ook samengestelde interest
rekenen, dan zie je dat bij samengestelde interest al vanaf
het begin sprake is van een ander verloop van de
eindwaarde dan bij enkelvoudige interest.
24
Ter illustratie volgen hier wat eindwaarden van een kapitaal van
€ 100 bij een interestpercentage van 8% per jaar:
Enkelvoudige interest
Samengestelde interest
6 maanden (0,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 0,5) = 104
100 x 1,080,5 = 103,92
12 maanden (1 jaar)
100 x (1 + 8% x 1) = 108
100 x 1,081 = 108
18 maanden (1,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 1,5) = 112
100 x 1,081,5 = 112,24
24 maanden (2 jaar)
100 x (1 + 8% x 2) = 116
100 x 1,082 = 116,64
30 maanden (2,5 jaar)
100 x (1 + 8% x 2,5) = 120
100 x 1,082,5 = 121,22
36 maanden (3 jaar)
100 x (1 + 8% x 3) = 124
100 x 1,083 = 125,97
We geven het verschil in verloop van de eindwaarde bij eenzelfde
enkelvoudig en samengesteld interestpercentage ook nog eens
weer in een grafiek.
25
samengestelde interest
enkelvoudige interest
eindwaarde na 1 periode
kapitaal
< 1 periode
> 1 periode
Aan de hand van deze grafiek kun je zien dat de eindwaarde bij
samengestelde interest pas boven die bij enkelvoudige interest
uitstijgt als de eerste periode helemaal achter de rug is. Voor
banken is het bij sparen dus eigenlijk voordeliger om over delen
van een periode met samengestelde interest te blijven rekenen.
26
Verder kun je uit het verschil in verloop van de eindwaarde
afleiden dat je voor een enkelvoudig interestpercentage geen
overeenkomstig samengesteld interestpercentage kunt vinden. Met
zo’n overeenkomstig interestpercentage (ook wel gelijkwaardig
interestpercentage genoemd) wordt een interestpercentage bedoeld
dat steeds dezelfde eindwaarde oplevert.
Dat houdt in dat als je de opbrengst van een spaarvorm of kosten
van een lening op basis van enkelvoudige interest wilt vergelijken
met die op basis van samengestelde interest, je altijd van een
bepaalde looptijd moet uitgaan. Door vervolgens voor beide
interestvormen de eindwaarde van een bepaald bedrag uit te
rekenen, kun je gemakkelijk bepalen welke interestvorm bij die
bepaalde looptijd het beste resultaat oplevert.
27
Eens kijken of je met de volgende variant uit de voeten kunt.
Je overweegt om je spaargeld voor vier jaar vast te zetten. Op de
site van een internetbank heb je gelezen dat deze bank je dan 0,5%
samengestelde interest per maand biedt. Een andere bank biedt
een spaarvorm aan op basis van enkelvoudige interest. Hoeveel
procent enkelvoudige interest moet deze bank je minimaal bieden
om aantrekkelijk te zijn? Ga ervan uit dat beide interestpercentages voor vier jaar vaststaan. Rond het interestpercentage
naar boven af op één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
C. 6,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Welk enkelvoudig interestpercentage levert bij een looptijd van
vier jaar evenveel op als een samengesteld interestpercentage van
0,5% per maand? Rond het interestpercentage naar boven af op
één cijfer achter de komma.
A. 31,8% per jaar
B. 27,1% per jaar
C. 6,8% per jaar
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Dit is het enkelvoudige interestpercentage
per vier jaar.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is welk enkelvoudig interestpercentage bij een looptijd
van vier jaar evenveel oplevert als 0,5% samengestelde interest per
maand.
Het probleem is in eerste instantie dat er geen bedrag gegeven is.
Dat kun je stellen. Bij procenten is het meestal het gemakkelijkste
om te werken met € 100.
Stel eens dat het samengestelde interestpercentage 1% per
kwartaal was geweest en de looptijd drie jaar. € 100 groeit dan
aan tot € 100 × 1,0112 = € 112,68. Dat is dus € 12,68 interest in
drie jaar tijd. Op basis van enkelvoudige interest betekent dat xxx
€ 12,68 / 3 = € 4,22 interest per jaar. Omdat het kapitaal € 100 is,
is dat 4,22% per jaar. Nu is het alleen nog even oppassen met
afronden. Omdat € 112,68 en € 4,22 naar beneden zijn afgerond,
is 4,22% eigenlijk net iets te weinig.
28
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
29
Zijn de te vergelijken spaarvormen of leningen allemaal op
basis van samengestelde interest en verschillen ze alleen in de
definitie van de tijd (bijvoorbeeld de een in % per maand en de
ander in % per kwartaal), dan kun je altijd een vergelijking
maken op basis van een overeenkomstig interestpercentage.
Zo komt een samengesteld interestpercentage van 5,83% per half
jaar bijna volledig overeen met een samengesteld interestpercentage van 12% per jaar. Met behulp van de TVM Solver is
dat eenvoudig te controleren door uit te gaan van een kapitaal
van € 100 en daarvan de eindwaarde na één jaar uit te rekenen
tegen 12% per jaar. Vervolgens kijk je hoeveel perioden bij het te
vinden overeenkomstige interestpercentage in één jaar gaan. Dat
aantal vul je in bij “N”. De “PV” en de gevonden “FV” laat je
gewoon staan en je rekent nu “I%” uit.
30
Eens kijken of je ook zelf een overeenkomstig interestpercentage
kunt berekenen.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Ik wil eerst meer uitleg.
Bij een bank kun je een lening afsluiten tegen 15% samengestelde
interest per jaar. Hoeveel is het overeenkomstige samengestelde
interestpercentage per maand (afgerond op twee decimalen)?
A. 1,01%
B. 1,17%
C. 1,25%
D. Nog eens de uitleg.
Fout!
Je kunt toch beter eerst eens naar de uitleg kijken.
Klik op de knop.
Fout!
Het is geen enkelvoudige interest.
Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het
wel moet.
De vraag is hoeveel het overeenkomstige samengestelde interestpercentage per maand is van 15% samengestelde interest per jaar.
Stel, je wilt weten welk percentage per maand overeenkomt met
een percentage van 1% per kwartaal. Je vult bij de TVM Solver nu
in “N” = 4, “I%” = 1 en “PV” = 100 (“PMT” laat je op 0 staan en
“P/Y” en “C/Y” op 1) en je rekent “FV” uit. Dat blijkt –104,06 te
zijn. Nu vul je voor “N” 12 in en reken je “I%” uit. Dat blijkt
0,33% te zijn (afgerond op twee decimalen).
Het kan ook zonder TVM Solver. In dat geval moet je beredeneren
dat één maand gelijk is aan 1/3 kwartaal. Als je € 100 één maand
laat staan, krijg je als eindwaarde € 100 × 1,011/3 = € 100,33
(afgerond). Een interestbedrag van € 0,33 in één maand tijd bij een
kapitaal van € 100 houdt in dat het interestpercentage 0,33% per
maand is.
31
Goed
Klik op de groene knop om door te gaan.
32
Voordat je de gelegenheid krijgt om te oefenen met samengestelde
interest, zetten we de belangrijkste regels nog eens op rij.
Bij berekeningen met samengestelde interest kijken we alleen
naar hele perioden. Je kunt:
- de eindwaarde uitrekenen als EW = K × (1 + i)n (of als FV via
de TVM Solver) en de contante waarde als CW = EW / (1 + i)n
of EW × (1 + i)-n (of als PV via de TVM Solver).
- het totale interestbedrag uitrekenen door de beginwaarde af
te trekken van de eindwaarde.
Bij beide berekeningen moeten i en n dezelfde tijdseenheid
hebben, waarbij geldt: 1 jaar = 4 kwartalen = 12 maanden = 360
dagen = 52 weken (ook al is dit laatste niet geheel correct). Door
de tijd te stellen op van … tot … kun je door de datums van elkaar
af te trekken de looptijd vinden.
33
Met behulp van de eindwaarde na één jaar van een kapitaal van
€ 100 kun je uitvinden welk interestpercentage met een andere
looptijd hetzelfde resultaat oplevert. Je hoeft de “N” maar aan
te passen en de “I%” als onbekende te nemen.
Klik op het vliegtuigje om het rekenen met
samengestelde interest te oefenen met open vragen.
Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen
gekomen. Wil je weten hoe je in Excel de eindwaarde of de
contante waarde kunt berekenen, klik dan op de groene knop.
Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt
herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het
toetsenbord) om af te sluiten.
Wiskundigen spreken van exponenten in plaats van machten. Je
hebt al gezien dat 1,051 × 1,051 = 1,052 en dat 1,051 × 1,051 ×
1,051 = 1,053. In de dagelijkse praktijk wordt de toevoeging “tot
de macht 1” meestal weggelaten.
Als je dezelfde (grond)getallen met elkaar vermenigvuldigt,
hoef je de exponenten maar bij elkaar op te tellen. 1,055 × 1,052
is dus 1,057 (= 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05 × 1,05).
Is er sprake van een deling, dan moet je de exponenten van
elkaar aftrekken. 1,055 / 1,052 is dus 1,053.
In plaats van te delen door 1,052 had je ook kunnen
vermenigvuldigen met 1 2 . Dit kun je schrijven als 1,05-2.
1, 05
Dus 1,055 / 1,052 = 1,055 ×
1
1, 05
2
= 1,055 × 1,05-2 = 1,053.
De knop voor machtsverheffen is op de TI-83 aangegeven met
een ^. Om bijvoorbeeld 1,053 in te voeren, typ je eerst 1.05, dan
druk je op de ^ -knop, dan typ je 3 en vervolgens druk je op
ENTER.
Als de exponent negatief is, moet je, nadat je op de ^ -knop hebt
gedrukt, de min intypen door op de (-) knop te drukken. Kijk nu
eens of je 1,06-2 kunt invoeren. Je moet 0,8899… uitkrijgen.
Met behulp van de negatieve macht kun je ook gemakkelijk
aantonen dat een getal tot de macht 0 altijd 1 is:
1
a
1
-1
0
a × a = a en a × =
= 1.
a
a
De enige uitzondering is het getal 0. Net zo min als je mag
delen door 0, mag je 00 gebruiken.
Worteltrekken is de inverse (= omgekeerde) bewerking van
machtsverheffen: 32 = 9 en 2 9 = 3.
1
Omdat a de inverse is van a, is afgesproken dat je worteltrekken
kunt aangeven door het grondgetal te voorzien van een exponent
in de vorm van 1 , dus 2 9 = 9½ .
a
Om op je rekenmachine de goede uitkomst te krijgen voor 9½ ,
moet je de breuk tussen haakjes zetten (want anders denkt de
rekenmachine dat je 91 : 2 bedoelt). Je kunt natuurlijk ook 0,5 in
plaats van ½ gebruiken.
Door te combineren zijn zelfs de meest exotische vormen van een
grondgetal te herleiden tot het grondgetal met maar één exponent.
1
Zo is
3
9
hetzelfde als
9-2/3
(want - = 1/.. en
/3
=
3
.. ).
2
Onthoud goed dat je bij het vermenigvuldigen de exponenten bij
elkaar mag optellen als het grondgetal hetzelfde is.
Zo geldt dat 1,065 × 1,060,7 × 1,06-3 = 1,065+0,7-3 = 1,062,7 = 1,17..
Klik op de blauwe knop om de opgave nog eens te proberen.
34
In Excel kun je de eindwaarde berekenen met behulp van de
financiële functie TW (= Toekomstige Waarde) en de contante
waarde met behulp van de functie HW (= Huidige Waarde).
Beide functies zijn eigenlijk bedoeld om te rekenen met een
zogenaamde “rente” (waarbij sprake is van periodieke
betalingen). Daarom hoef je niet alle velden in te vullen.
Omdat je bij beide functies op dezelfde manier te werk moet
gaan, laten we aan de hand van een simulatie alleen zien hoe
de functie TW werkt.
35
. C7
Voorbeeldberekening
interestpercentage
aantal perioden
kapitaal
eindwaarde
5%
. 20
30
0
Om een overzichtelijk geheel te
maken, voeren we eerst de
benodigde gegevens in.
Je moet nu op cel C7 gaan staan.
Klik nu op de functie-knop
in het menu.
36
. C7
Nu verschijnt een
keuzemenu. Op dit
menu moet je kiezen
voor Financieel en
vervolgens voor TW.
Klik nu op OK.
37
Je krijgt nu een dialoogvenster te
zien. Bij Rente moet het interestpercentage worden ingevuld. Het
aantal termijnen spreekt voor zich.
Bij Bet hoef je niets in te vullen
(dan maakt Excel er zelf 0 van). Bij
HW (= huidige waarde) vul je het
kapitaal in. Het Type_getal doet
alleen ter zake als je bij Bet iets
hebt ingevuld. Omdat dat niet het
geval is, hoef je bij Type_getal ook
niets in te vullen.
Klik nu op de groene knop.
38
Omdat het dialoogvenster in de weg stond, hebben we het met de
muisknop ingedrukt naar een andere plaats versleept.
Je kunt, zoals hier gebeurd is, de cel invoeren waar de gegevens te
vinden zijn. Je kunt ook direct de gewenste getallen in de balk
noteren. Dan maak je er echter een eenmalige berekening van. Nu
past alles zich vanzelf aan als je de waarden in de cellen verandert.
Klik nu op OK.
39
De uitkomst komt nu te staan op
de aangewezen plaats (cel C7).
Zoals je ziet is de uitkomst
negatief. Dat komt omdat het
kapitaal als een positief getal is
ingevoerd. Excel ziet het
kapitaal dan als een ontvangst
en de eindwaarde als een
terugbetaling.
Klik op de groene knop om
door te gaan.
40
Je kunt natuurlijk ook zelf de formule K × (1+i)n invoeren om
de eindwaarde te berekenen met behulp van het kapitaal, het
interestperunage en het aantal perioden. Voor de contante
waarde kun je gebruik maken van de formule EW / (1+i)n.
Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie
gekomen. Wil je oefenen met de functies TW en HW in Excel,
klik dan op het uiltje. Klik op de home-knop als je een eerder
onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op
het toetsenbord) om af te sluiten.