Le recours à l’informatique sur un problème d’Euler et de Lucas Christian Boyer Conférence du 31 mars 2005, à Amiens ASSOCIATION pour le DEVELOPPEMENT de la CULTURE SCIENTIFIQUE Jules Verne, le.
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Le recours à l’informatique
sur un problème d’Euler et
de Lucas
Christian Boyer
Conférence du 31 mars 2005, à Amiens
ASSOCIATION
pour le
DEVELOPPEMENT
de la
CULTURE
SCIENTIFIQUE
Jules Verne, le Centenaire (1905 – 2005)
Union Régionale
des Ingénieurs
et Scientifiques
de Picardie
Slide 2
Jules Verne - Edouard Lucas
(Nantes 1828 – Amiens 1905)
31 mars 2005
(Amiens 1842 – Paris 1891)
© Christian Boyer
2
Slide 3
31 mars 2005
© Christian Boyer
Le Crotoy / Amiens
Paris
Paris
Nantes
J. Verne
1842 : Naissance à Amiens, et études au lycée impérial
d’Amiens (actuel lycée Louis Thuillier)
1859 : Bac scientifique à Amiens,
puis math sup au lycée de Douai
1861 : Est reçu à Polytechnique et à Normale Sup,
choisit Normale Sup, et quitte Amiens
1864 : Observatoire de Paris
1870 : Lieutenant d’artillerie, participe aux combats
de la Loire (Orléans, Blois, Le Mans, …)
1872 : Prof de math spé au lycée de Mougins
1876 : Prof de math élém/spé au lycée Charlemagne
et au lycée Saint-Louis, à Paris
1891 : Mort accidentelle suite à un banquet
Amiens
E. Lucas
Edouard Lucas
3
Slide 4
Problème non résolu
de Martin Gardner
Est-il possible de construire un carré magique 3x3
composé de 9 entiers carrés distincts ?
A²
B²
C²
D²
E²
F²
G²
H²
I²
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Gardner pose cette question dans Quantum, 1996
puis à nouveau dans Scientific American, 1998
Il attribue le problème initial à Martin LaBar,
Southern Wesleyan University, USA
• problème n°270 paru sur 2 lignes
dans The College Mathematics Journal, 1984
Il offre 100$ depuis 1996
31 mars 2005
© Christian Boyer
4
Slide 5
Deux façons de voir le problème
1)
2)
Imposer qu’il y ait
les 8 sommes magiques
(3 lignes, 3 colonnes, et 2
diagonales ► sommes = 3∙a)
•
Et essayer d’utiliser le
maximum d’entiers carrés sur
les 9 entiers distincts utilisés
Imposer qu’il y ait
les 9 entiers carrés distincts
•
Et essayer d’obtenir le
maximum de sommes
magiques sur les 8 possibles
31 mars 2005
© Christian Boyer
a – b
a + b + c
a – c
a + b – c
a
a – b + c
a + c
a – b – c
a + b
A²
B²
C²
D²
E²
F²
G²
H²
I²
5
Slide 6
Solution proche avec les 9 carrés
127²
2²
74²
46²
113²
82²
58²
94²
97²
OK pour les 9 entiers carrés,
mais… 7 sommes correctes sur 8
• S2 = 21 609 = 147² pour 3 lignes, 3 colonnes, 1 diagonale
• Hélas S2 = 38 307 pour l’autre diagonale
Par informatique, et indépendamment
• 1996 : Lee Sallows, Université de Nijmegen, Pays-Bas
• 1996 : Michaël Schweitzer, Göttingen, Allemagne
Beaucoup d’autres solutions connues de ce type
• S2 est souvent un carré, comme dans cette solution
31 mars 2005
© Christian Boyer
6
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Solution proche avec les 8 sommes
373²
360721
205²
289²
425²
527²
565²
23²
222121
OK pour les 8 sommes (3 lignes, 3 colonnes, 2 diagonales),
mais… 7 entiers carrés sur 9
• S2 = 3 ∙ Centre = 3 ∙ 425² = 541 875
Par informatique, et indépendamment
• 1997 : Lee Sallows, Université de Nijmegen, Pays-Bas
• 1997 : Andrew Bremner, Arizona State University, USA
Seule solution connue de ce type
31 mars 2005
© Christian Boyer
7
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Lien avec 3 autres
problèmes mathématiques
John Robertson, USA, Mathematics Magazine :
• Progressions arithmétiques
• Triangles rectangles de même aire
• Nombres congruents
et courbes elliptiques y2 = x3 – n2x
31 mars 2005
© Christian Boyer
8
Slide 9
Aucune solution possible
pour puissances ≥ 3
Dans tout carré magique 3x3, on doit avoir xn + yn = 2zn
• Car
xn
+
zn
+
yn
= Somme magique
= 3 ∙ Centre = 3zn
x
n
z
n
y
x2 + y2 = 2z2 possible
n
(ex: 12 + 72 = 2 ∙ 52)
• On ne peut rien conclure
x3 + y3 = 2z3 impossible avec x≠y≠z (Euler)
• Donc aucun carré magique 3x3 composé de cubes
x4 + y4 = 2z2 impossible (Legendre) ► a fortiori 2z4 impossible
• Donc aucun carré magique 3x3 composé de puissances 4
xn + yn = 2zn impossible pour n ≥ 3 (Noam Elkies, grâce à la
preuve d’Andrew Wiles du dernier théorème de Fermat)
• Donc aucun carré magique 3x3 composé de puissances ≥3
31 mars 2005
© Christian Boyer
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Slide 10
Recherches informatiques
a – b
a + b + c
a – c
a
a + c
a – b – c
a + b
Duncan Buell
• Department of Computer Science and Engineering,
University of South Carolina, USA
Programme en tâche de fond pendant toute l’année 1998
• Ordinateur multi-processeurs SGI Challenge de son université
Résultat…
• Aucun « sablier magique » ayant 7 entiers carrés
pour tout a < 2,5 ∙ 1025
31 mars 2005
© Christian Boyer
10
Slide 11
Recherches informatiques
Andrew Bremner, Acta Arithmetica, 2001
Remarque simple
• Pour qu’un carré magique 3x3 puisse avoir 9 entiers carrés, il faut que
toutes les combinaisons possibles de 6 entiers carrés, parmi 9, aient
des solutions
Résultat…
• Nombreuses solutions pour chacune de ces 16 combinaisons possibles
• Il n’y a donc aucun « blocage » à ce niveau
31 mars 2005
© Christian Boyer
11
Slide 12
Solution 4x4
37²
1²
38²
3²
23²
18²
11²
43²
21²
47²
13²
2²
22²
17²
33²
31²
Andrew Bremner, 2001
S2 = 2823 pour les 4 lignes, 4 colonnes et 2 diagonales
31 mars 2005
© Christian Boyer
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Slide 13
De nombreuses recherches et
publications de 1996 à 2004
Andrew Bremner
• Acta Arithmetica (2 articles)
Duncan Buell
Martin Gardner
• Quantum puis Scientific American
Richard Guy, problème D15
• Unsolved Problems in Number Theory, 3ème édition
• American Math Monthly
Landon Rabern
• Rose-Hulman Institute Math Journal
John Robertson
• Mathematics Magazine
Lee Sallows
• The Mathematical Intelligencer
Tous citent Martin LaBar comme l’auteur initial du problème
31 mars 2005
© Christian Boyer
13
Slide 14
Mes propres recherches
de 2004 - 2005
Cas 3x3 : hélas aucune avancée
Cas 4x4 : premières solutions paramétriques simples
Cas 5x5 : première solution connue
Premières solutions avec des nombres premiers (^²)
Premières solutions avec des cubes
Découverte que Euler, puis Lucas avaient déjà travaillé
sur le sujet (donc bien avant LaBar et Gardner)
∑ = Publication en 2005 d’un article dans
The Mathematical Intelligencer
31 mars 2005
© Christian Boyer
14
Slide 15
Cas 3x3 : hélas aucune avancée
Parmi les 8 configurations possibles de 7 entiers carrés, seule une
configuration a permis de construire un exemple (mais déjà connu)
(Sablier
magique)
Très nombreux essais avec des centres allant jusqu’à 1020 ou 1030
(mais toutefois non exhaustifs) pour rien…
Et donc encore très loin d’une éventuel exemple de 8 entiers carrés
31 mars 2005
© Christian Boyer
15
Slide 16
Cas 4x4 : premières solutions
paramétriques simples
S2 = 85(k² + 29)
(2 k + 4 2 )²
(k – 2 4 )²
(4 k – 1 1 )²
(8 k – 2 )²
Avec k = 3
(8 k – 1 8 )²
(4 k + 2 1 )²
(k – 1 6 )²
(2 k + 3 8 )²
(k + 1 6 )²
(2 k – 3 8 )²
(8 k + 1 8 )²
(4 k – 2 1 )²
S2 = 85(3² + 29) = 3230
48²
21²
1²
22²
31 mars 2005
(4 k + 1 1 )²
(8 k + 2 )²
(2 k – 4 2 )²
(k + 2 4 )²
23²
26²
36²
27²
6²
33²
13²
44²
© Christian Boyer
19²
32²
42²
9²
16
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Cas 5x5 : première solution connue
1²
22²
11²
12²
25²
31 mars 2005
2²
16²
23²
15²
19²
31²
13²
10²
9²
8²
3²
5²
24²
27²
6²
20²
21²
7²
14²
17²
S2 = 1375
Entiers distincts de 1 à 31
(seulement 4, 18, 26, 28, 29, 30 manquent)
© Christian Boyer
17
Slide 18
Premières solutions avec uniquement
des nombres premiers (^²)
Pourquoi ? Seulement pour corser la difficulté…
3x3 : impossible
4x4 : OK !
S2 = 509 020
5x5 : OK !
S2 = 34 229
Voir
31 mars 2005
29²
71²
277²
653²
191²
647²
211²
97²
673²
139²
163²
101²
137²
257²
601²
251²
11²
13²
71²
113²
127²
23²
103²
137²
59²
29²
53²
149²
47²
41²
73²
139²
31²
67²
97²
7²
107²
17²
61²
83²
109²
www.primepuzzles.net
© Christian Boyer
18
Slide 19
Premières solutions
avec des cubes
3x3 prouvé impossible (Rappel : x3 + y3 = 2z3 impossible avec x≠y≠z)
4x4 première solution… hmmm… S3 = 0…
19
3
(-4 2 )
42
3
3
(-1 9 )
3
(-3 )
21
3
3
3
3
28
3
(-2 1 )
3
(-1 0 )
3
35
3
(-2 8 )
3
10
(-1 8 )
x est « distinct » de –x,
et x3 + (-x)3 = 0
3
(-3 5 )
18
3
3
3
5x5 première solution… hmmm… S3 = 0…
11
3
(-15)
(-5)
17
3
3
3
(-14)
31 mars 2005
(-20)
21
(-4)
10
3
3
3
3
3
3
(-13)
3
12
0
3
3
(-10)
3
(-3)
3
13
4
3
(-12)
3
3
3
(-21)
20
14
(-17)
5
3
3
© Christian Boyer
3
15
3
3
3
(-11)
3
19
Slide 20
Edouard Lucas a été le premier à
proposer le problème 3x3 !
Edouard Lucas en 1876, dans la rarissime revue Nouvelle
Correspondance Mathématique du mathématicien belge
Eugène Catalan, donc plus d’un siècle avant Martin LaBar
• Jules Verne à Amiens : 1872 Le Tour du Monde en 80 Jours,
1874 L’Ile Mystérieuse, 1876 Michel Strogoff
Solution paramétrique d’un carré semi-magique
• 6 sommes correctes S2 = (p²+q²+r²+s²)²
(p² + q² – r² – s²)²
[2(qr + ps)]²
[2(qs – pr)]²
[2(qr – ps)]²
(p² – q² + r² – s²)²
[2(rs + pq)]²
[2(qs + pr)]²
[2(rs – pq)]²
(p² – q² – r² + s²)²
Exemple avec (p, q, r, s) = (6, 5, 4, 2) donc S2 = 812 = 38
• puis déplacement lignes et colonnes
31 mars 2005
© Christian Boyer
1²
76²
28²
68²
16²
41²
44²
23²
64²
20
Slide 21
Plus petit carré possible
avec la méthode de Lucas
Avec 6 sommes
• (p, q, r, s) = (1, 2, 4, 6)
• S2 = (1²+2²+4²+6²)² = 57²
47²
4²
32²
28²
23²
44²
16²
52²
17²
Avec 8 sommes, Lucas prouve mathématiquement que sa
méthode ne le permet pas
Mais avec 7 sommes, Lucas n’avait pas vu que sa
méthode le permettait
• (p, q, r, s) = (1, 3, 4, 11), on retrouve exactement le carré
de Sallows et Schweitzer !
127²
2²
74²
46²
113²
82²
58²
94²
97²
• Et cela explique pourquoi S2 y était un carré
S2 = (1²+3²+4²+11²)² = 147²
31 mars 2005
© Christian Boyer
21
Slide 22
Leonhard Euler a été le premier à
construire un carré de carrés !
Lettre envoyée à Lagrange
en 1770, sans la méthode
« Permettez-moi, Monsieur,
que je vous parle d’un
problème fort curieux et
digne de toute attention »
68²
17²
59²
11²
29²
31²
28²
77²
41²
79²
23²
8²
37²
32²
61²
49²
S2 = 8515
31 mars 2005
© Christian Boyer
22
Slide 23
Lettre d’Euler à Lagrange de 1770
Original retrouvé à la Bibliothèque de l’Institut de France,
dans la correspondance de Lagrange
Bibliothèque de l’Institut de France
Photo C. Boyer
31 mars 2005
© Christian Boyer
23
Slide 24
Méthode 4x4 d’Euler
Publiée en 1770
Méthode liée à ses travaux pour tenter de démontrer que
• tout entier positif est la somme d’au plus 4 entiers carrés
• vieille conjecture de Diophante, puis Bachet et Fermat
• conjecture qui sera complètement démontrée par Lagrange
à partir des résultats partiaux d’Euler
Précurseur de la théorie des quaternions de Hamilton
(+ ap+ bq+ cr+ ds)² (+ ar–bs–cp+ dq)²
(–as-br+ cq+ dp)²
(+ aq–bp+ cs–dr)²
(–aq+ bp+ cs–dr)² (+ as+ br+ cq+ dp)²
(+ ar–bs+ cp-dq)²
(+ ap+ bq–cr–ds)²
(+ ar+ bs–cp–dq)² (–ap+ bq–cr+ ds)² (+ aq+ bp+ cs+ dr)² (+ as–br–cq+ dp)²
(–as+ br–cq+ dp)² (–aq–bp+ cs+ dr)² (–ap+ bq+ cr–ds)² (+ ar+ bs+ cp+ dq)²
S2 = (a²+b²+c²+d²)(p²+q²+r²+s²)
Carré envoyé à Lagrange
• (a, b, c, d, p, q, r, s) = (5, 5, 9, 0, 6, 4, 2, -3)
• S2 = 131∙65 = 8515
31 mars 2005
© Christian Boyer
24
Slide 25
Carrés semi-magiques 3x3 d’Euler
Etudie aussi en 1770 les carrés semi-magiques de carrés 3x3
Méthode liée à ses travaux de physique et mécanique
• Rotation d’un corps solide autour d’un point fixe
Seulement le cas des 6 sommes magiques
• 3 lignes, 3 colonnes
+ 47/57
+ 4/57
+ 32/57
+ 28/57
+ 23/57
-44/57
-16/57
+ 52/57
+ 17/57
Ne parle pas du problème des 8 sommes magiques
• 3 lignes, 3 colonnes, ET 2 diagonales
Lucas sera le premier à soumettre complètement le problème
31 mars 2005
© Christian Boyer
25
Slide 26
Publication d’Euler de 1770
Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg
Bibliothèque de l’École Polytechnique
Photos C. Boyer
31 mars 2005
© Christian Boyer
26
Slide 27
Plus petit carré possible
avec la méthode d’Euler
En 1770 : S2 = 8515
• Minimum trouvé par Euler
En 1942 : S2 = 7150
• Minimum trouvé par Gaston Benneton, Acad. des Sciences et SMF
En 2004 : S2 = 3230
• Minimum absolu avec (a, b, c, d, p, q, r, s) = (2, 3, 5, 0, 1, 2, 8, -4)
• Génère même carré que celui déjà vu à paramètre unique k = 3
48²
21²
1²
22²
31 mars 2005
23²
26²
36²
27²
6²
33²
13²
44²
© Christian Boyer
19²
32²
42²
9²
27
Slide 28
Quelques problèmes non résolus
Carrés magiques de carrés
Carrés magiques de cubes
(d’entiers positifs)
31 mars 2005
3x3
Qui ?
4x4
Euler, 1770
5x5
Boyer, 2004
6x6
Qui ?
7x7
Qui ?
8x8 et +
Bimagiques
connus
3x3
Impossible
4x4 … 11x11
Qui ?
12x12 et +
Trimagiques
connus
© Christian Boyer
28
Slide 29
Problèmes non résolus (suite)
Carré magique 3x3 avec 9 entiers carrés distincts
ou preuve de son impossibilité
• Proposé par Lucas en 1876
• 100$ offerts par Gardner depuis 1996 !
• Si solution, son centre est > 2,5 ∙ 1025
Ou problème « plus simple » :
Autre carré magique 3x3 avec 7 entiers carrés distincts
(différent du carré déjà connu de Sallows et Bremner,
et de ses rotations, symétries, et k² multiples)
ou carré magique 3x3 avec 8 entiers carrés distincts
• 100€ offerts par Christian Boyer
• + une bouteille de Champagne !
31 mars 2005
© Christian Boyer
29
Slide 30
FIN
A suivre…
Dans
(Springer, New York)
Dans
31 mars 2005
www.multimagie.com
© Christian Boyer
30
Le recours à l’informatique
sur un problème d’Euler et
de Lucas
Christian Boyer
Conférence du 31 mars 2005, à Amiens
ASSOCIATION
pour le
DEVELOPPEMENT
de la
CULTURE
SCIENTIFIQUE
Jules Verne, le Centenaire (1905 – 2005)
Union Régionale
des Ingénieurs
et Scientifiques
de Picardie
Slide 2
Jules Verne - Edouard Lucas
(Nantes 1828 – Amiens 1905)
31 mars 2005
(Amiens 1842 – Paris 1891)
© Christian Boyer
2
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31 mars 2005
© Christian Boyer
Le Crotoy / Amiens
Paris
Paris
Nantes
J. Verne
1842 : Naissance à Amiens, et études au lycée impérial
d’Amiens (actuel lycée Louis Thuillier)
1859 : Bac scientifique à Amiens,
puis math sup au lycée de Douai
1861 : Est reçu à Polytechnique et à Normale Sup,
choisit Normale Sup, et quitte Amiens
1864 : Observatoire de Paris
1870 : Lieutenant d’artillerie, participe aux combats
de la Loire (Orléans, Blois, Le Mans, …)
1872 : Prof de math spé au lycée de Mougins
1876 : Prof de math élém/spé au lycée Charlemagne
et au lycée Saint-Louis, à Paris
1891 : Mort accidentelle suite à un banquet
Amiens
E. Lucas
Edouard Lucas
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Slide 4
Problème non résolu
de Martin Gardner
Est-il possible de construire un carré magique 3x3
composé de 9 entiers carrés distincts ?
A²
B²
C²
D²
E²
F²
G²
H²
I²
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Gardner pose cette question dans Quantum, 1996
puis à nouveau dans Scientific American, 1998
Il attribue le problème initial à Martin LaBar,
Southern Wesleyan University, USA
• problème n°270 paru sur 2 lignes
dans The College Mathematics Journal, 1984
Il offre 100$ depuis 1996
31 mars 2005
© Christian Boyer
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Deux façons de voir le problème
1)
2)
Imposer qu’il y ait
les 8 sommes magiques
(3 lignes, 3 colonnes, et 2
diagonales ► sommes = 3∙a)
•
Et essayer d’utiliser le
maximum d’entiers carrés sur
les 9 entiers distincts utilisés
Imposer qu’il y ait
les 9 entiers carrés distincts
•
Et essayer d’obtenir le
maximum de sommes
magiques sur les 8 possibles
31 mars 2005
© Christian Boyer
a – b
a + b + c
a – c
a + b – c
a
a – b + c
a + c
a – b – c
a + b
A²
B²
C²
D²
E²
F²
G²
H²
I²
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Solution proche avec les 9 carrés
127²
2²
74²
46²
113²
82²
58²
94²
97²
OK pour les 9 entiers carrés,
mais… 7 sommes correctes sur 8
• S2 = 21 609 = 147² pour 3 lignes, 3 colonnes, 1 diagonale
• Hélas S2 = 38 307 pour l’autre diagonale
Par informatique, et indépendamment
• 1996 : Lee Sallows, Université de Nijmegen, Pays-Bas
• 1996 : Michaël Schweitzer, Göttingen, Allemagne
Beaucoup d’autres solutions connues de ce type
• S2 est souvent un carré, comme dans cette solution
31 mars 2005
© Christian Boyer
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Solution proche avec les 8 sommes
373²
360721
205²
289²
425²
527²
565²
23²
222121
OK pour les 8 sommes (3 lignes, 3 colonnes, 2 diagonales),
mais… 7 entiers carrés sur 9
• S2 = 3 ∙ Centre = 3 ∙ 425² = 541 875
Par informatique, et indépendamment
• 1997 : Lee Sallows, Université de Nijmegen, Pays-Bas
• 1997 : Andrew Bremner, Arizona State University, USA
Seule solution connue de ce type
31 mars 2005
© Christian Boyer
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Lien avec 3 autres
problèmes mathématiques
John Robertson, USA, Mathematics Magazine :
• Progressions arithmétiques
• Triangles rectangles de même aire
• Nombres congruents
et courbes elliptiques y2 = x3 – n2x
31 mars 2005
© Christian Boyer
8
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Aucune solution possible
pour puissances ≥ 3
Dans tout carré magique 3x3, on doit avoir xn + yn = 2zn
• Car
xn
+
zn
+
yn
= Somme magique
= 3 ∙ Centre = 3zn
x
n
z
n
y
x2 + y2 = 2z2 possible
n
(ex: 12 + 72 = 2 ∙ 52)
• On ne peut rien conclure
x3 + y3 = 2z3 impossible avec x≠y≠z (Euler)
• Donc aucun carré magique 3x3 composé de cubes
x4 + y4 = 2z2 impossible (Legendre) ► a fortiori 2z4 impossible
• Donc aucun carré magique 3x3 composé de puissances 4
xn + yn = 2zn impossible pour n ≥ 3 (Noam Elkies, grâce à la
preuve d’Andrew Wiles du dernier théorème de Fermat)
• Donc aucun carré magique 3x3 composé de puissances ≥3
31 mars 2005
© Christian Boyer
9
Slide 10
Recherches informatiques
a – b
a + b + c
a – c
a
a + c
a – b – c
a + b
Duncan Buell
• Department of Computer Science and Engineering,
University of South Carolina, USA
Programme en tâche de fond pendant toute l’année 1998
• Ordinateur multi-processeurs SGI Challenge de son université
Résultat…
• Aucun « sablier magique » ayant 7 entiers carrés
pour tout a < 2,5 ∙ 1025
31 mars 2005
© Christian Boyer
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Recherches informatiques
Andrew Bremner, Acta Arithmetica, 2001
Remarque simple
• Pour qu’un carré magique 3x3 puisse avoir 9 entiers carrés, il faut que
toutes les combinaisons possibles de 6 entiers carrés, parmi 9, aient
des solutions
Résultat…
• Nombreuses solutions pour chacune de ces 16 combinaisons possibles
• Il n’y a donc aucun « blocage » à ce niveau
31 mars 2005
© Christian Boyer
11
Slide 12
Solution 4x4
37²
1²
38²
3²
23²
18²
11²
43²
21²
47²
13²
2²
22²
17²
33²
31²
Andrew Bremner, 2001
S2 = 2823 pour les 4 lignes, 4 colonnes et 2 diagonales
31 mars 2005
© Christian Boyer
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Slide 13
De nombreuses recherches et
publications de 1996 à 2004
Andrew Bremner
• Acta Arithmetica (2 articles)
Duncan Buell
Martin Gardner
• Quantum puis Scientific American
Richard Guy, problème D15
• Unsolved Problems in Number Theory, 3ème édition
• American Math Monthly
Landon Rabern
• Rose-Hulman Institute Math Journal
John Robertson
• Mathematics Magazine
Lee Sallows
• The Mathematical Intelligencer
Tous citent Martin LaBar comme l’auteur initial du problème
31 mars 2005
© Christian Boyer
13
Slide 14
Mes propres recherches
de 2004 - 2005
Cas 3x3 : hélas aucune avancée
Cas 4x4 : premières solutions paramétriques simples
Cas 5x5 : première solution connue
Premières solutions avec des nombres premiers (^²)
Premières solutions avec des cubes
Découverte que Euler, puis Lucas avaient déjà travaillé
sur le sujet (donc bien avant LaBar et Gardner)
∑ = Publication en 2005 d’un article dans
The Mathematical Intelligencer
31 mars 2005
© Christian Boyer
14
Slide 15
Cas 3x3 : hélas aucune avancée
Parmi les 8 configurations possibles de 7 entiers carrés, seule une
configuration a permis de construire un exemple (mais déjà connu)
(Sablier
magique)
Très nombreux essais avec des centres allant jusqu’à 1020 ou 1030
(mais toutefois non exhaustifs) pour rien…
Et donc encore très loin d’une éventuel exemple de 8 entiers carrés
31 mars 2005
© Christian Boyer
15
Slide 16
Cas 4x4 : premières solutions
paramétriques simples
S2 = 85(k² + 29)
(2 k + 4 2 )²
(k – 2 4 )²
(4 k – 1 1 )²
(8 k – 2 )²
Avec k = 3
(8 k – 1 8 )²
(4 k + 2 1 )²
(k – 1 6 )²
(2 k + 3 8 )²
(k + 1 6 )²
(2 k – 3 8 )²
(8 k + 1 8 )²
(4 k – 2 1 )²
S2 = 85(3² + 29) = 3230
48²
21²
1²
22²
31 mars 2005
(4 k + 1 1 )²
(8 k + 2 )²
(2 k – 4 2 )²
(k + 2 4 )²
23²
26²
36²
27²
6²
33²
13²
44²
© Christian Boyer
19²
32²
42²
9²
16
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Cas 5x5 : première solution connue
1²
22²
11²
12²
25²
31 mars 2005
2²
16²
23²
15²
19²
31²
13²
10²
9²
8²
3²
5²
24²
27²
6²
20²
21²
7²
14²
17²
S2 = 1375
Entiers distincts de 1 à 31
(seulement 4, 18, 26, 28, 29, 30 manquent)
© Christian Boyer
17
Slide 18
Premières solutions avec uniquement
des nombres premiers (^²)
Pourquoi ? Seulement pour corser la difficulté…
3x3 : impossible
4x4 : OK !
S2 = 509 020
5x5 : OK !
S2 = 34 229
Voir
31 mars 2005
29²
71²
277²
653²
191²
647²
211²
97²
673²
139²
163²
101²
137²
257²
601²
251²
11²
13²
71²
113²
127²
23²
103²
137²
59²
29²
53²
149²
47²
41²
73²
139²
31²
67²
97²
7²
107²
17²
61²
83²
109²
www.primepuzzles.net
© Christian Boyer
18
Slide 19
Premières solutions
avec des cubes
3x3 prouvé impossible (Rappel : x3 + y3 = 2z3 impossible avec x≠y≠z)
4x4 première solution… hmmm… S3 = 0…
19
3
(-4 2 )
42
3
3
(-1 9 )
3
(-3 )
21
3
3
3
3
28
3
(-2 1 )
3
(-1 0 )
3
35
3
(-2 8 )
3
10
(-1 8 )
x est « distinct » de –x,
et x3 + (-x)3 = 0
3
(-3 5 )
18
3
3
3
5x5 première solution… hmmm… S3 = 0…
11
3
(-15)
(-5)
17
3
3
3
(-14)
31 mars 2005
(-20)
21
(-4)
10
3
3
3
3
3
3
(-13)
3
12
0
3
3
(-10)
3
(-3)
3
13
4
3
(-12)
3
3
3
(-21)
20
14
(-17)
5
3
3
© Christian Boyer
3
15
3
3
3
(-11)
3
19
Slide 20
Edouard Lucas a été le premier à
proposer le problème 3x3 !
Edouard Lucas en 1876, dans la rarissime revue Nouvelle
Correspondance Mathématique du mathématicien belge
Eugène Catalan, donc plus d’un siècle avant Martin LaBar
• Jules Verne à Amiens : 1872 Le Tour du Monde en 80 Jours,
1874 L’Ile Mystérieuse, 1876 Michel Strogoff
Solution paramétrique d’un carré semi-magique
• 6 sommes correctes S2 = (p²+q²+r²+s²)²
(p² + q² – r² – s²)²
[2(qr + ps)]²
[2(qs – pr)]²
[2(qr – ps)]²
(p² – q² + r² – s²)²
[2(rs + pq)]²
[2(qs + pr)]²
[2(rs – pq)]²
(p² – q² – r² + s²)²
Exemple avec (p, q, r, s) = (6, 5, 4, 2) donc S2 = 812 = 38
• puis déplacement lignes et colonnes
31 mars 2005
© Christian Boyer
1²
76²
28²
68²
16²
41²
44²
23²
64²
20
Slide 21
Plus petit carré possible
avec la méthode de Lucas
Avec 6 sommes
• (p, q, r, s) = (1, 2, 4, 6)
• S2 = (1²+2²+4²+6²)² = 57²
47²
4²
32²
28²
23²
44²
16²
52²
17²
Avec 8 sommes, Lucas prouve mathématiquement que sa
méthode ne le permet pas
Mais avec 7 sommes, Lucas n’avait pas vu que sa
méthode le permettait
• (p, q, r, s) = (1, 3, 4, 11), on retrouve exactement le carré
de Sallows et Schweitzer !
127²
2²
74²
46²
113²
82²
58²
94²
97²
• Et cela explique pourquoi S2 y était un carré
S2 = (1²+3²+4²+11²)² = 147²
31 mars 2005
© Christian Boyer
21
Slide 22
Leonhard Euler a été le premier à
construire un carré de carrés !
Lettre envoyée à Lagrange
en 1770, sans la méthode
« Permettez-moi, Monsieur,
que je vous parle d’un
problème fort curieux et
digne de toute attention »
68²
17²
59²
11²
29²
31²
28²
77²
41²
79²
23²
8²
37²
32²
61²
49²
S2 = 8515
31 mars 2005
© Christian Boyer
22
Slide 23
Lettre d’Euler à Lagrange de 1770
Original retrouvé à la Bibliothèque de l’Institut de France,
dans la correspondance de Lagrange
Bibliothèque de l’Institut de France
Photo C. Boyer
31 mars 2005
© Christian Boyer
23
Slide 24
Méthode 4x4 d’Euler
Publiée en 1770
Méthode liée à ses travaux pour tenter de démontrer que
• tout entier positif est la somme d’au plus 4 entiers carrés
• vieille conjecture de Diophante, puis Bachet et Fermat
• conjecture qui sera complètement démontrée par Lagrange
à partir des résultats partiaux d’Euler
Précurseur de la théorie des quaternions de Hamilton
(+ ap+ bq+ cr+ ds)² (+ ar–bs–cp+ dq)²
(–as-br+ cq+ dp)²
(+ aq–bp+ cs–dr)²
(–aq+ bp+ cs–dr)² (+ as+ br+ cq+ dp)²
(+ ar–bs+ cp-dq)²
(+ ap+ bq–cr–ds)²
(+ ar+ bs–cp–dq)² (–ap+ bq–cr+ ds)² (+ aq+ bp+ cs+ dr)² (+ as–br–cq+ dp)²
(–as+ br–cq+ dp)² (–aq–bp+ cs+ dr)² (–ap+ bq+ cr–ds)² (+ ar+ bs+ cp+ dq)²
S2 = (a²+b²+c²+d²)(p²+q²+r²+s²)
Carré envoyé à Lagrange
• (a, b, c, d, p, q, r, s) = (5, 5, 9, 0, 6, 4, 2, -3)
• S2 = 131∙65 = 8515
31 mars 2005
© Christian Boyer
24
Slide 25
Carrés semi-magiques 3x3 d’Euler
Etudie aussi en 1770 les carrés semi-magiques de carrés 3x3
Méthode liée à ses travaux de physique et mécanique
• Rotation d’un corps solide autour d’un point fixe
Seulement le cas des 6 sommes magiques
• 3 lignes, 3 colonnes
+ 47/57
+ 4/57
+ 32/57
+ 28/57
+ 23/57
-44/57
-16/57
+ 52/57
+ 17/57
Ne parle pas du problème des 8 sommes magiques
• 3 lignes, 3 colonnes, ET 2 diagonales
Lucas sera le premier à soumettre complètement le problème
31 mars 2005
© Christian Boyer
25
Slide 26
Publication d’Euler de 1770
Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg
Bibliothèque de l’École Polytechnique
Photos C. Boyer
31 mars 2005
© Christian Boyer
26
Slide 27
Plus petit carré possible
avec la méthode d’Euler
En 1770 : S2 = 8515
• Minimum trouvé par Euler
En 1942 : S2 = 7150
• Minimum trouvé par Gaston Benneton, Acad. des Sciences et SMF
En 2004 : S2 = 3230
• Minimum absolu avec (a, b, c, d, p, q, r, s) = (2, 3, 5, 0, 1, 2, 8, -4)
• Génère même carré que celui déjà vu à paramètre unique k = 3
48²
21²
1²
22²
31 mars 2005
23²
26²
36²
27²
6²
33²
13²
44²
© Christian Boyer
19²
32²
42²
9²
27
Slide 28
Quelques problèmes non résolus
Carrés magiques de carrés
Carrés magiques de cubes
(d’entiers positifs)
31 mars 2005
3x3
Qui ?
4x4
Euler, 1770
5x5
Boyer, 2004
6x6
Qui ?
7x7
Qui ?
8x8 et +
Bimagiques
connus
3x3
Impossible
4x4 … 11x11
Qui ?
12x12 et +
Trimagiques
connus
© Christian Boyer
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Problèmes non résolus (suite)
Carré magique 3x3 avec 9 entiers carrés distincts
ou preuve de son impossibilité
• Proposé par Lucas en 1876
• 100$ offerts par Gardner depuis 1996 !
• Si solution, son centre est > 2,5 ∙ 1025
Ou problème « plus simple » :
Autre carré magique 3x3 avec 7 entiers carrés distincts
(différent du carré déjà connu de Sallows et Bremner,
et de ses rotations, symétries, et k² multiples)
ou carré magique 3x3 avec 8 entiers carrés distincts
• 100€ offerts par Christian Boyer
• + une bouteille de Champagne !
31 mars 2005
© Christian Boyer
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Slide 30
FIN
A suivre…
Dans
(Springer, New York)
Dans
31 mars 2005
www.multimagie.com
© Christian Boyer
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