Slide 1

VÕRRANDID JA
VÕRRATUSED 2
Koostas: Sirje Trahv
Rakvere Gümnaasium

LIIGID
• LOGARITMVÕRRAND JA -VÕRRATUS
• EKSPONENTVÕRRAND
JA -VÕRRATUS

ARVU LOGARITM
Definitsioon : loga b  c  a c  b, a  0  a  1
Omadused :
c loga b  loga b c
log

loga b  loga c  loga bc
b
loga b  loga c  loga
c
logc b
loga b 
logc a

NB! log10 b  logb,

loge b  ln b

LOGARITMVÕRRAND
log2 ( x 2  6 x)  4

Definitsiooni rakendamine

x  6x  2
2

4

x 2  6 x  16  0
Logaritmi omaduste kasutamine

log3 x  log3 ( x  2)  1
log3 x( x  2)  1
x( x  2)  3

NB! Enne vastuse kirjutamist kontrolli, kas (näiteks ruutvõrrandi)
lahendid sobivad algse logaritmvõrrandi lahendiks

LOGARITMVÕRRAND
Teisendamine ruutvõrrandiks

2 log2 x  5 log x  3  0
y  log x
2 y2  5y  3  0
Üleminek ühelt logaritmi aluselt teisele
log16 x  log4 x  log2 x  7

log2 x log2 x

 log2 x  7
log2 16 log2 4
log2 x log2 x

 log2 x  7
4
2

LOGARITMVÕRRATUS
Lahendamisel tuleb
silmas pidada
logaritmfunktsiooni
graafikut

log2 x  1
log2 x  log2 2
x2

y

log1 x  1
2

1
log1 x  log1
2
2
2
1
x
2

y = logax
x

TEHTED ASTMETEGA
a a  a
n

m

n m

a 

n m

ab

n

a

n

 a b
n

n

a :a  a
n

a

m

nm

nm

a : b 

n

 a :b
n

m
1
m
n
n
 n , kui a  0
a  a 
a
0
a  1 a  R  a  0

n

 a
n

m

EKSPONENTVÕRRAND 1
Logaritmimisvõte

log3
2  3  x  log2 3 
log 2
x

Võrrandi teisendamine kujule, kus võrrandi mõlemad
pooled on ühe ja sama arvu astmed

2

3 x 1

 32  2

3 x 1

4
 2  3x  1  5  x 
3
5

EKSPONENTVÕRRAND 2
10  8  5

Teguriteks lahutamise võte

x

2 5 85  0
x

x

x

5 x (2 x  8)  0
Võrrandi taandamine ruutvõrrandiks

2

4x

2 

x 2

 52  4  0
x

 5 2x  4  0

x

EKSPONENTVÕRRATUS
2  64
x

2 2
x

Lahendamisel tuleb
silmas pidada
eksponentfunktsiooni
graafikut

6

x6
x

1
   64
2
x

1
1
   
2
2
x  6

y
6

x

y=a

x

EDUKAT LAHENDAMIST!


Slide 2

VÕRRANDID JA
VÕRRATUSED 2
Koostas: Sirje Trahv
Rakvere Gümnaasium

LIIGID
• LOGARITMVÕRRAND JA -VÕRRATUS
• EKSPONENTVÕRRAND
JA -VÕRRATUS

ARVU LOGARITM
Definitsioon : loga b  c  a c  b, a  0  a  1
Omadused :
c loga b  loga b c
log

loga b  loga c  loga bc
b
loga b  loga c  loga
c
logc b
loga b 
logc a

NB! log10 b  logb,

loge b  ln b

LOGARITMVÕRRAND
log2 ( x 2  6 x)  4

Definitsiooni rakendamine

x  6x  2
2

4

x 2  6 x  16  0
Logaritmi omaduste kasutamine

log3 x  log3 ( x  2)  1
log3 x( x  2)  1
x( x  2)  3

NB! Enne vastuse kirjutamist kontrolli, kas (näiteks ruutvõrrandi)
lahendid sobivad algse logaritmvõrrandi lahendiks

LOGARITMVÕRRAND
Teisendamine ruutvõrrandiks

2 log2 x  5 log x  3  0
y  log x
2 y2  5y  3  0
Üleminek ühelt logaritmi aluselt teisele
log16 x  log4 x  log2 x  7

log2 x log2 x

 log2 x  7
log2 16 log2 4
log2 x log2 x

 log2 x  7
4
2

LOGARITMVÕRRATUS
Lahendamisel tuleb
silmas pidada
logaritmfunktsiooni
graafikut

log2 x  1
log2 x  log2 2
x2

y

log1 x  1
2

1
log1 x  log1
2
2
2
1
x
2

y = logax
x

TEHTED ASTMETEGA
a a  a
n

m

n m

a 

n m

ab

n

a

n

 a b
n

n

a :a  a
n

a

m

nm

nm

a : b 

n

 a :b
n

m
1
m
n
n
 n , kui a  0
a  a 
a
0
a  1 a  R  a  0

n

 a
n

m

EKSPONENTVÕRRAND 1
Logaritmimisvõte

log3
2  3  x  log2 3 
log 2
x

Võrrandi teisendamine kujule, kus võrrandi mõlemad
pooled on ühe ja sama arvu astmed

2

3 x 1

 32  2

3 x 1

4
 2  3x  1  5  x 
3
5

EKSPONENTVÕRRAND 2
10  8  5

Teguriteks lahutamise võte

x

2 5 85  0
x

x

x

5 x (2 x  8)  0
Võrrandi taandamine ruutvõrrandiks

2

4x

2 

x 2

 52  4  0
x

 5 2x  4  0

x

EKSPONENTVÕRRATUS
2  64
x

2 2
x

Lahendamisel tuleb
silmas pidada
eksponentfunktsiooni
graafikut

6

x6
x

1
   64
2
x

1
1
   
2
2
x  6

y
6

x

y=a

x

EDUKAT LAHENDAMIST!


Slide 3

VÕRRANDID JA
VÕRRATUSED 2
Koostas: Sirje Trahv
Rakvere Gümnaasium

LIIGID
• LOGARITMVÕRRAND JA -VÕRRATUS
• EKSPONENTVÕRRAND
JA -VÕRRATUS

ARVU LOGARITM
Definitsioon : loga b  c  a c  b, a  0  a  1
Omadused :
c loga b  loga b c
log

loga b  loga c  loga bc
b
loga b  loga c  loga
c
logc b
loga b 
logc a

NB! log10 b  logb,

loge b  ln b

LOGARITMVÕRRAND
log2 ( x 2  6 x)  4

Definitsiooni rakendamine

x  6x  2
2

4

x 2  6 x  16  0
Logaritmi omaduste kasutamine

log3 x  log3 ( x  2)  1
log3 x( x  2)  1
x( x  2)  3

NB! Enne vastuse kirjutamist kontrolli, kas (näiteks ruutvõrrandi)
lahendid sobivad algse logaritmvõrrandi lahendiks

LOGARITMVÕRRAND
Teisendamine ruutvõrrandiks

2 log2 x  5 log x  3  0
y  log x
2 y2  5y  3  0
Üleminek ühelt logaritmi aluselt teisele
log16 x  log4 x  log2 x  7

log2 x log2 x

 log2 x  7
log2 16 log2 4
log2 x log2 x

 log2 x  7
4
2

LOGARITMVÕRRATUS
Lahendamisel tuleb
silmas pidada
logaritmfunktsiooni
graafikut

log2 x  1
log2 x  log2 2
x2

y

log1 x  1
2

1
log1 x  log1
2
2
2
1
x
2

y = logax
x

TEHTED ASTMETEGA
a a  a
n

m

n m

a 

n m

ab

n

a

n

 a b
n

n

a :a  a
n

a

m

nm

nm

a : b 

n

 a :b
n

m
1
m
n
n
 n , kui a  0
a  a 
a
0
a  1 a  R  a  0

n

 a
n

m

EKSPONENTVÕRRAND 1
Logaritmimisvõte

log3
2  3  x  log2 3 
log 2
x

Võrrandi teisendamine kujule, kus võrrandi mõlemad
pooled on ühe ja sama arvu astmed

2

3 x 1

 32  2

3 x 1

4
 2  3x  1  5  x 
3
5

EKSPONENTVÕRRAND 2
10  8  5

Teguriteks lahutamise võte

x

2 5 85  0
x

x

x

5 x (2 x  8)  0
Võrrandi taandamine ruutvõrrandiks

2

4x

2 

x 2

 52  4  0
x

 5 2x  4  0

x

EKSPONENTVÕRRATUS
2  64
x

2 2
x

Lahendamisel tuleb
silmas pidada
eksponentfunktsiooni
graafikut

6

x6
x

1
   64
2
x

1
1
   
2
2
x  6

y
6

x

y=a

x

EDUKAT LAHENDAMIST!


Slide 4

VÕRRANDID JA
VÕRRATUSED 2
Koostas: Sirje Trahv
Rakvere Gümnaasium

LIIGID
• LOGARITMVÕRRAND JA -VÕRRATUS
• EKSPONENTVÕRRAND
JA -VÕRRATUS

ARVU LOGARITM
Definitsioon : loga b  c  a c  b, a  0  a  1
Omadused :
c loga b  loga b c
log

loga b  loga c  loga bc
b
loga b  loga c  loga
c
logc b
loga b 
logc a

NB! log10 b  logb,

loge b  ln b

LOGARITMVÕRRAND
log2 ( x 2  6 x)  4

Definitsiooni rakendamine

x  6x  2
2

4

x 2  6 x  16  0
Logaritmi omaduste kasutamine

log3 x  log3 ( x  2)  1
log3 x( x  2)  1
x( x  2)  3

NB! Enne vastuse kirjutamist kontrolli, kas (näiteks ruutvõrrandi)
lahendid sobivad algse logaritmvõrrandi lahendiks

LOGARITMVÕRRAND
Teisendamine ruutvõrrandiks

2 log2 x  5 log x  3  0
y  log x
2 y2  5y  3  0
Üleminek ühelt logaritmi aluselt teisele
log16 x  log4 x  log2 x  7

log2 x log2 x

 log2 x  7
log2 16 log2 4
log2 x log2 x

 log2 x  7
4
2

LOGARITMVÕRRATUS
Lahendamisel tuleb
silmas pidada
logaritmfunktsiooni
graafikut

log2 x  1
log2 x  log2 2
x2

y

log1 x  1
2

1
log1 x  log1
2
2
2
1
x
2

y = logax
x

TEHTED ASTMETEGA
a a  a
n

m

n m

a 

n m

ab

n

a

n

 a b
n

n

a :a  a
n

a

m

nm

nm

a : b 

n

 a :b
n

m
1
m
n
n
 n , kui a  0
a  a 
a
0
a  1 a  R  a  0

n

 a
n

m

EKSPONENTVÕRRAND 1
Logaritmimisvõte

log3
2  3  x  log2 3 
log 2
x

Võrrandi teisendamine kujule, kus võrrandi mõlemad
pooled on ühe ja sama arvu astmed

2

3 x 1

 32  2

3 x 1

4
 2  3x  1  5  x 
3
5

EKSPONENTVÕRRAND 2
10  8  5

Teguriteks lahutamise võte

x

2 5 85  0
x

x

x

5 x (2 x  8)  0
Võrrandi taandamine ruutvõrrandiks

2

4x

2 

x 2

 52  4  0
x

 5 2x  4  0

x

EKSPONENTVÕRRATUS
2  64
x

2 2
x

Lahendamisel tuleb
silmas pidada
eksponentfunktsiooni
graafikut

6

x6
x

1
   64
2
x

1
1
   
2
2
x  6

y
6

x

y=a

x

EDUKAT LAHENDAMIST!


Slide 5

VÕRRANDID JA
VÕRRATUSED 2
Koostas: Sirje Trahv
Rakvere Gümnaasium

LIIGID
• LOGARITMVÕRRAND JA -VÕRRATUS
• EKSPONENTVÕRRAND
JA -VÕRRATUS

ARVU LOGARITM
Definitsioon : loga b  c  a c  b, a  0  a  1
Omadused :
c loga b  loga b c
log

loga b  loga c  loga bc
b
loga b  loga c  loga
c
logc b
loga b 
logc a

NB! log10 b  logb,

loge b  ln b

LOGARITMVÕRRAND
log2 ( x 2  6 x)  4

Definitsiooni rakendamine

x  6x  2
2

4

x 2  6 x  16  0
Logaritmi omaduste kasutamine

log3 x  log3 ( x  2)  1
log3 x( x  2)  1
x( x  2)  3

NB! Enne vastuse kirjutamist kontrolli, kas (näiteks ruutvõrrandi)
lahendid sobivad algse logaritmvõrrandi lahendiks

LOGARITMVÕRRAND
Teisendamine ruutvõrrandiks

2 log2 x  5 log x  3  0
y  log x
2 y2  5y  3  0
Üleminek ühelt logaritmi aluselt teisele
log16 x  log4 x  log2 x  7

log2 x log2 x

 log2 x  7
log2 16 log2 4
log2 x log2 x

 log2 x  7
4
2

LOGARITMVÕRRATUS
Lahendamisel tuleb
silmas pidada
logaritmfunktsiooni
graafikut

log2 x  1
log2 x  log2 2
x2

y

log1 x  1
2

1
log1 x  log1
2
2
2
1
x
2

y = logax
x

TEHTED ASTMETEGA
a a  a
n

m

n m

a 

n m

ab

n

a

n

 a b
n

n

a :a  a
n

a

m

nm

nm

a : b 

n

 a :b
n

m
1
m
n
n
 n , kui a  0
a  a 
a
0
a  1 a  R  a  0

n

 a
n

m

EKSPONENTVÕRRAND 1
Logaritmimisvõte

log3
2  3  x  log2 3 
log 2
x

Võrrandi teisendamine kujule, kus võrrandi mõlemad
pooled on ühe ja sama arvu astmed

2

3 x 1

 32  2

3 x 1

4
 2  3x  1  5  x 
3
5

EKSPONENTVÕRRAND 2
10  8  5

Teguriteks lahutamise võte

x

2 5 85  0
x

x

x

5 x (2 x  8)  0
Võrrandi taandamine ruutvõrrandiks

2

4x

2 

x 2

 52  4  0
x

 5 2x  4  0

x

EKSPONENTVÕRRATUS
2  64
x

2 2
x

Lahendamisel tuleb
silmas pidada
eksponentfunktsiooni
graafikut

6

x6
x

1
   64
2
x

1
1
   
2
2
x  6

y
6

x

y=a

x

EDUKAT LAHENDAMIST!


Slide 6

VÕRRANDID JA
VÕRRATUSED 2
Koostas: Sirje Trahv
Rakvere Gümnaasium

LIIGID
• LOGARITMVÕRRAND JA -VÕRRATUS
• EKSPONENTVÕRRAND
JA -VÕRRATUS

ARVU LOGARITM
Definitsioon : loga b  c  a c  b, a  0  a  1
Omadused :
c loga b  loga b c
log

loga b  loga c  loga bc
b
loga b  loga c  loga
c
logc b
loga b 
logc a

NB! log10 b  logb,

loge b  ln b

LOGARITMVÕRRAND
log2 ( x 2  6 x)  4

Definitsiooni rakendamine

x  6x  2
2

4

x 2  6 x  16  0
Logaritmi omaduste kasutamine

log3 x  log3 ( x  2)  1
log3 x( x  2)  1
x( x  2)  3

NB! Enne vastuse kirjutamist kontrolli, kas (näiteks ruutvõrrandi)
lahendid sobivad algse logaritmvõrrandi lahendiks

LOGARITMVÕRRAND
Teisendamine ruutvõrrandiks

2 log2 x  5 log x  3  0
y  log x
2 y2  5y  3  0
Üleminek ühelt logaritmi aluselt teisele
log16 x  log4 x  log2 x  7

log2 x log2 x

 log2 x  7
log2 16 log2 4
log2 x log2 x

 log2 x  7
4
2

LOGARITMVÕRRATUS
Lahendamisel tuleb
silmas pidada
logaritmfunktsiooni
graafikut

log2 x  1
log2 x  log2 2
x2

y

log1 x  1
2

1
log1 x  log1
2
2
2
1
x
2

y = logax
x

TEHTED ASTMETEGA
a a  a
n

m

n m

a 

n m

ab

n

a

n

 a b
n

n

a :a  a
n

a

m

nm

nm

a : b 

n

 a :b
n

m
1
m
n
n
 n , kui a  0
a  a 
a
0
a  1 a  R  a  0

n

 a
n

m

EKSPONENTVÕRRAND 1
Logaritmimisvõte

log3
2  3  x  log2 3 
log 2
x

Võrrandi teisendamine kujule, kus võrrandi mõlemad
pooled on ühe ja sama arvu astmed

2

3 x 1

 32  2

3 x 1

4
 2  3x  1  5  x 
3
5

EKSPONENTVÕRRAND 2
10  8  5

Teguriteks lahutamise võte

x

2 5 85  0
x

x

x

5 x (2 x  8)  0
Võrrandi taandamine ruutvõrrandiks

2

4x

2 

x 2

 52  4  0
x

 5 2x  4  0

x

EKSPONENTVÕRRATUS
2  64
x

2 2
x

Lahendamisel tuleb
silmas pidada
eksponentfunktsiooni
graafikut

6

x6
x

1
   64
2
x

1
1
   
2
2
x  6

y
6

x

y=a

x

EDUKAT LAHENDAMIST!


Slide 7

VÕRRANDID JA
VÕRRATUSED 2
Koostas: Sirje Trahv
Rakvere Gümnaasium

LIIGID
• LOGARITMVÕRRAND JA -VÕRRATUS
• EKSPONENTVÕRRAND
JA -VÕRRATUS

ARVU LOGARITM
Definitsioon : loga b  c  a c  b, a  0  a  1
Omadused :
c loga b  loga b c
log

loga b  loga c  loga bc
b
loga b  loga c  loga
c
logc b
loga b 
logc a

NB! log10 b  logb,

loge b  ln b

LOGARITMVÕRRAND
log2 ( x 2  6 x)  4

Definitsiooni rakendamine

x  6x  2
2

4

x 2  6 x  16  0
Logaritmi omaduste kasutamine

log3 x  log3 ( x  2)  1
log3 x( x  2)  1
x( x  2)  3

NB! Enne vastuse kirjutamist kontrolli, kas (näiteks ruutvõrrandi)
lahendid sobivad algse logaritmvõrrandi lahendiks

LOGARITMVÕRRAND
Teisendamine ruutvõrrandiks

2 log2 x  5 log x  3  0
y  log x
2 y2  5y  3  0
Üleminek ühelt logaritmi aluselt teisele
log16 x  log4 x  log2 x  7

log2 x log2 x

 log2 x  7
log2 16 log2 4
log2 x log2 x

 log2 x  7
4
2

LOGARITMVÕRRATUS
Lahendamisel tuleb
silmas pidada
logaritmfunktsiooni
graafikut

log2 x  1
log2 x  log2 2
x2

y

log1 x  1
2

1
log1 x  log1
2
2
2
1
x
2

y = logax
x

TEHTED ASTMETEGA
a a  a
n

m

n m

a 

n m

ab

n

a

n

 a b
n

n

a :a  a
n

a

m

nm

nm

a : b 

n

 a :b
n

m
1
m
n
n
 n , kui a  0
a  a 
a
0
a  1 a  R  a  0

n

 a
n

m

EKSPONENTVÕRRAND 1
Logaritmimisvõte

log3
2  3  x  log2 3 
log 2
x

Võrrandi teisendamine kujule, kus võrrandi mõlemad
pooled on ühe ja sama arvu astmed

2

3 x 1

 32  2

3 x 1

4
 2  3x  1  5  x 
3
5

EKSPONENTVÕRRAND 2
10  8  5

Teguriteks lahutamise võte

x

2 5 85  0
x

x

x

5 x (2 x  8)  0
Võrrandi taandamine ruutvõrrandiks

2

4x

2 

x 2

 52  4  0
x

 5 2x  4  0

x

EKSPONENTVÕRRATUS
2  64
x

2 2
x

Lahendamisel tuleb
silmas pidada
eksponentfunktsiooni
graafikut

6

x6
x

1
   64
2
x

1
1
   
2
2
x  6

y
6

x

y=a

x

EDUKAT LAHENDAMIST!


Slide 8

VÕRRANDID JA
VÕRRATUSED 2
Koostas: Sirje Trahv
Rakvere Gümnaasium

LIIGID
• LOGARITMVÕRRAND JA -VÕRRATUS
• EKSPONENTVÕRRAND
JA -VÕRRATUS

ARVU LOGARITM
Definitsioon : loga b  c  a c  b, a  0  a  1
Omadused :
c loga b  loga b c
log

loga b  loga c  loga bc
b
loga b  loga c  loga
c
logc b
loga b 
logc a

NB! log10 b  logb,

loge b  ln b

LOGARITMVÕRRAND
log2 ( x 2  6 x)  4

Definitsiooni rakendamine

x  6x  2
2

4

x 2  6 x  16  0
Logaritmi omaduste kasutamine

log3 x  log3 ( x  2)  1
log3 x( x  2)  1
x( x  2)  3

NB! Enne vastuse kirjutamist kontrolli, kas (näiteks ruutvõrrandi)
lahendid sobivad algse logaritmvõrrandi lahendiks

LOGARITMVÕRRAND
Teisendamine ruutvõrrandiks

2 log2 x  5 log x  3  0
y  log x
2 y2  5y  3  0
Üleminek ühelt logaritmi aluselt teisele
log16 x  log4 x  log2 x  7

log2 x log2 x

 log2 x  7
log2 16 log2 4
log2 x log2 x

 log2 x  7
4
2

LOGARITMVÕRRATUS
Lahendamisel tuleb
silmas pidada
logaritmfunktsiooni
graafikut

log2 x  1
log2 x  log2 2
x2

y

log1 x  1
2

1
log1 x  log1
2
2
2
1
x
2

y = logax
x

TEHTED ASTMETEGA
a a  a
n

m

n m

a 

n m

ab

n

a

n

 a b
n

n

a :a  a
n

a

m

nm

nm

a : b 

n

 a :b
n

m
1
m
n
n
 n , kui a  0
a  a 
a
0
a  1 a  R  a  0

n

 a
n

m

EKSPONENTVÕRRAND 1
Logaritmimisvõte

log3
2  3  x  log2 3 
log 2
x

Võrrandi teisendamine kujule, kus võrrandi mõlemad
pooled on ühe ja sama arvu astmed

2

3 x 1

 32  2

3 x 1

4
 2  3x  1  5  x 
3
5

EKSPONENTVÕRRAND 2
10  8  5

Teguriteks lahutamise võte

x

2 5 85  0
x

x

x

5 x (2 x  8)  0
Võrrandi taandamine ruutvõrrandiks

2

4x

2 

x 2

 52  4  0
x

 5 2x  4  0

x

EKSPONENTVÕRRATUS
2  64
x

2 2
x

Lahendamisel tuleb
silmas pidada
eksponentfunktsiooni
graafikut

6

x6
x

1
   64
2
x

1
1
   
2
2
x  6

y
6

x

y=a

x

EDUKAT LAHENDAMIST!


Slide 9

VÕRRANDID JA
VÕRRATUSED 2
Koostas: Sirje Trahv
Rakvere Gümnaasium

LIIGID
• LOGARITMVÕRRAND JA -VÕRRATUS
• EKSPONENTVÕRRAND
JA -VÕRRATUS

ARVU LOGARITM
Definitsioon : loga b  c  a c  b, a  0  a  1
Omadused :
c loga b  loga b c
log

loga b  loga c  loga bc
b
loga b  loga c  loga
c
logc b
loga b 
logc a

NB! log10 b  logb,

loge b  ln b

LOGARITMVÕRRAND
log2 ( x 2  6 x)  4

Definitsiooni rakendamine

x  6x  2
2

4

x 2  6 x  16  0
Logaritmi omaduste kasutamine

log3 x  log3 ( x  2)  1
log3 x( x  2)  1
x( x  2)  3

NB! Enne vastuse kirjutamist kontrolli, kas (näiteks ruutvõrrandi)
lahendid sobivad algse logaritmvõrrandi lahendiks

LOGARITMVÕRRAND
Teisendamine ruutvõrrandiks

2 log2 x  5 log x  3  0
y  log x
2 y2  5y  3  0
Üleminek ühelt logaritmi aluselt teisele
log16 x  log4 x  log2 x  7

log2 x log2 x

 log2 x  7
log2 16 log2 4
log2 x log2 x

 log2 x  7
4
2

LOGARITMVÕRRATUS
Lahendamisel tuleb
silmas pidada
logaritmfunktsiooni
graafikut

log2 x  1
log2 x  log2 2
x2

y

log1 x  1
2

1
log1 x  log1
2
2
2
1
x
2

y = logax
x

TEHTED ASTMETEGA
a a  a
n

m

n m

a 

n m

ab

n

a

n

 a b
n

n

a :a  a
n

a

m

nm

nm

a : b 

n

 a :b
n

m
1
m
n
n
 n , kui a  0
a  a 
a
0
a  1 a  R  a  0

n

 a
n

m

EKSPONENTVÕRRAND 1
Logaritmimisvõte

log3
2  3  x  log2 3 
log 2
x

Võrrandi teisendamine kujule, kus võrrandi mõlemad
pooled on ühe ja sama arvu astmed

2

3 x 1

 32  2

3 x 1

4
 2  3x  1  5  x 
3
5

EKSPONENTVÕRRAND 2
10  8  5

Teguriteks lahutamise võte

x

2 5 85  0
x

x

x

5 x (2 x  8)  0
Võrrandi taandamine ruutvõrrandiks

2

4x

2 

x 2

 52  4  0
x

 5 2x  4  0

x

EKSPONENTVÕRRATUS
2  64
x

2 2
x

Lahendamisel tuleb
silmas pidada
eksponentfunktsiooni
graafikut

6

x6
x

1
   64
2
x

1
1
   
2
2
x  6

y
6

x

y=a

x

EDUKAT LAHENDAMIST!


Slide 10

VÕRRANDID JA
VÕRRATUSED 2
Koostas: Sirje Trahv
Rakvere Gümnaasium

LIIGID
• LOGARITMVÕRRAND JA -VÕRRATUS
• EKSPONENTVÕRRAND
JA -VÕRRATUS

ARVU LOGARITM
Definitsioon : loga b  c  a c  b, a  0  a  1
Omadused :
c loga b  loga b c
log

loga b  loga c  loga bc
b
loga b  loga c  loga
c
logc b
loga b 
logc a

NB! log10 b  logb,

loge b  ln b

LOGARITMVÕRRAND
log2 ( x 2  6 x)  4

Definitsiooni rakendamine

x  6x  2
2

4

x 2  6 x  16  0
Logaritmi omaduste kasutamine

log3 x  log3 ( x  2)  1
log3 x( x  2)  1
x( x  2)  3

NB! Enne vastuse kirjutamist kontrolli, kas (näiteks ruutvõrrandi)
lahendid sobivad algse logaritmvõrrandi lahendiks

LOGARITMVÕRRAND
Teisendamine ruutvõrrandiks

2 log2 x  5 log x  3  0
y  log x
2 y2  5y  3  0
Üleminek ühelt logaritmi aluselt teisele
log16 x  log4 x  log2 x  7

log2 x log2 x

 log2 x  7
log2 16 log2 4
log2 x log2 x

 log2 x  7
4
2

LOGARITMVÕRRATUS
Lahendamisel tuleb
silmas pidada
logaritmfunktsiooni
graafikut

log2 x  1
log2 x  log2 2
x2

y

log1 x  1
2

1
log1 x  log1
2
2
2
1
x
2

y = logax
x

TEHTED ASTMETEGA
a a  a
n

m

n m

a 

n m

ab

n

a

n

 a b
n

n

a :a  a
n

a

m

nm

nm

a : b 

n

 a :b
n

m
1
m
n
n
 n , kui a  0
a  a 
a
0
a  1 a  R  a  0

n

 a
n

m

EKSPONENTVÕRRAND 1
Logaritmimisvõte

log3
2  3  x  log2 3 
log 2
x

Võrrandi teisendamine kujule, kus võrrandi mõlemad
pooled on ühe ja sama arvu astmed

2

3 x 1

 32  2

3 x 1

4
 2  3x  1  5  x 
3
5

EKSPONENTVÕRRAND 2
10  8  5

Teguriteks lahutamise võte

x

2 5 85  0
x

x

x

5 x (2 x  8)  0
Võrrandi taandamine ruutvõrrandiks

2

4x

2 

x 2

 52  4  0
x

 5 2x  4  0

x

EKSPONENTVÕRRATUS
2  64
x

2 2
x

Lahendamisel tuleb
silmas pidada
eksponentfunktsiooni
graafikut

6

x6
x

1
   64
2
x

1
1
   
2
2
x  6

y
6

x

y=a

x

EDUKAT LAHENDAMIST!


Slide 11

VÕRRANDID JA
VÕRRATUSED 2
Koostas: Sirje Trahv
Rakvere Gümnaasium

LIIGID
• LOGARITMVÕRRAND JA -VÕRRATUS
• EKSPONENTVÕRRAND
JA -VÕRRATUS

ARVU LOGARITM
Definitsioon : loga b  c  a c  b, a  0  a  1
Omadused :
c loga b  loga b c
log

loga b  loga c  loga bc
b
loga b  loga c  loga
c
logc b
loga b 
logc a

NB! log10 b  logb,

loge b  ln b

LOGARITMVÕRRAND
log2 ( x 2  6 x)  4

Definitsiooni rakendamine

x  6x  2
2

4

x 2  6 x  16  0
Logaritmi omaduste kasutamine

log3 x  log3 ( x  2)  1
log3 x( x  2)  1
x( x  2)  3

NB! Enne vastuse kirjutamist kontrolli, kas (näiteks ruutvõrrandi)
lahendid sobivad algse logaritmvõrrandi lahendiks

LOGARITMVÕRRAND
Teisendamine ruutvõrrandiks

2 log2 x  5 log x  3  0
y  log x
2 y2  5y  3  0
Üleminek ühelt logaritmi aluselt teisele
log16 x  log4 x  log2 x  7

log2 x log2 x

 log2 x  7
log2 16 log2 4
log2 x log2 x

 log2 x  7
4
2

LOGARITMVÕRRATUS
Lahendamisel tuleb
silmas pidada
logaritmfunktsiooni
graafikut

log2 x  1
log2 x  log2 2
x2

y

log1 x  1
2

1
log1 x  log1
2
2
2
1
x
2

y = logax
x

TEHTED ASTMETEGA
a a  a
n

m

n m

a 

n m

ab

n

a

n

 a b
n

n

a :a  a
n

a

m

nm

nm

a : b 

n

 a :b
n

m
1
m
n
n
 n , kui a  0
a  a 
a
0
a  1 a  R  a  0

n

 a
n

m

EKSPONENTVÕRRAND 1
Logaritmimisvõte

log3
2  3  x  log2 3 
log 2
x

Võrrandi teisendamine kujule, kus võrrandi mõlemad
pooled on ühe ja sama arvu astmed

2

3 x 1

 32  2

3 x 1

4
 2  3x  1  5  x 
3
5

EKSPONENTVÕRRAND 2
10  8  5

Teguriteks lahutamise võte

x

2 5 85  0
x

x

x

5 x (2 x  8)  0
Võrrandi taandamine ruutvõrrandiks

2

4x

2 

x 2

 52  4  0
x

 5 2x  4  0

x

EKSPONENTVÕRRATUS
2  64
x

2 2
x

Lahendamisel tuleb
silmas pidada
eksponentfunktsiooni
graafikut

6

x6
x

1
   64
2
x

1
1
   
2
2
x  6

y
6

x

y=a

x

EDUKAT LAHENDAMIST!