Slide 1

Automatyka
Wykład 20
Regulacja dyskretna.

1


Slide 2

Rozwój i powszechność zastosowań regulacji cyfrowej można podzielić na okresy:
- okres pionierski ok.1955r.,
- okres bezpośredniego sterowania cyfrowego ok. 1962r.,
- okres minikomputerów ok. 1972r.,
- okres mikrokomputerów oraz powszechne zastosowanie sterowania cyfrowego ok. 1980r.,
- sterowanie rozproszone ok. 1990r. (distributed control).

2


Slide 3

Sygnały dyskretne
W układach regulacji analogowej (ciągłej) sygnał sterujący u(t) obiektem jest
sygnałem analogowym opisanym funkcją ciągłą, która może przyjmować dowolną
wartość z ciągłego przedziału (nieskończonego lub ograniczonego zakresem
zmienności).
W układach regulacji dyskretnej sygnał sterujący u(t) jest sygnałem dyskretnym,
który nie jest funkcją zdefiniowaną dla ciągłego przedziału argumentów, lecz jest
ciągiem liczbowym. Każda wartość ciągu nazywa się próbką (ang. sample).

w(t)

e(t)

u(t)

Regulator

Obiekt
regulacji

y(t)

–y

Rys. 1. Ogólny schemat blokowy układu regulacji automatycznej
3


Slide 4

Rozróżnia się trzy rodzaje sygnałów dyskretnych:
• sygnały dyskretne w czasie ( sygnały spróbkowane),
• sygnały dyskretne w poziomie ( sygnały skwantowane),
• sygnały dyskretne w czasie i w poziomie (sygnały cyfrowe).
Sygnał dyskretny w czasie powstaje w procesie próbkowania sygnału ciągłego.
Próbkowanie (dyskretyzacja, kwantowanie w czasie) oznacza proces tworzenia
sygnału dyskretnego, reprezentującego sygnał ciągły za pomocą ciągu wartości
nazywanych próbkami. W realizacji praktycznej próbki są iloczynem mierzonych w
równych odstępach czasu wartości chwilowych sygnału ciągłego oraz powtarzających
się impulsów najczęściej prostokątnych (rys. 2).
u

0

Tp 2Tp 3Tp 4Tp

t

Rys. 2.
4


Slide 5

Proces regulacji, w którym sygnał sterujący u(t) ma postać impulsów (rys. 3a)
powstałych w procesie próbkowania sygnału ciągłego nazywa się regulacją
impulsową (regulacją dyskretną w czasie). Jeżeli amplituda impulsów sterujących
jest równa lub proporcjonalna do wartości ciągłego sygnału błędu regulacji, to układ
regulacji nazywa się układem regulacji impulsowej z modulacją amplitudy
impulsów (ang. amplitude modulation) (rys. 3a). W praktyce spotyka się
najczęściej układy regulacji impulsowej z modulacją szerokości impulsów (ang.
pulse width modulation), w których amplituda impulsów sterujących u(t) jest stała
wewnątrz okresu impulsowania, a ich szerokość jest proporcjonalna do wartości
błędu regulacji e(t) w chwilach impulsowania (rys. 3b). Regulacja impulsowa z
modulacją szerokości impulsów sterujących jest stosowana między innymi w
przetwornicach impulsowych napięcia, stanowiących zasadniczą część zasilacza
impulsowego.
u

u

a)

b)

u(0)
u(Tp)
u(2Tp)
0

Tp

u(3Tp)

2Tp 3Tp

t

0

Tp

2Tp 3Tp

t

Rys. 3. Impulsy sterujące: z modulacją amplitudy impulsów (a),
z modulacją szerokości impulsów (b)

5


Slide 6

Sygnał dyskretny w poziomie powstaje w procesie kwantowania sygnału
ciągłego i przyjmuje dwie lub więcej wartości (rys. 4). Sygnał dyskretny w
poziomie nazywa się również sygnałem skwantowanym. Proces regulacji, w
którym sygnał sterujący jest sygnałem skwantowanym nazywa się regulacją
dyskretną w poziomie. Przykładem regulacji dyskretnej w poziomie jest
regulacja dwupołożeniowa (dwuwartościowa, przekaźnikowa). Sygnał
sterujący u(t) w układzie regulacji dwupołożeniowej przyjmuje tylko dwie
wartości (dwa poziomy kwantowania). Regulator dwupołożeniowy jest
regulatorem nieliniowym.
u

poziomy
kwantowania
0

t

Rys.4. Sygnał dyskretny w poziomie (skwantowany)

6


Slide 7

Sygnał spróbkowany i skwantowany, nazywany również sygnałem
cyfrowym, jest to sygnał, którego dziedzina i zbiór wartości są dyskretne
(rys. 5).

e(t)

Poziomy
kwantowania

0

Tp 2Tp 3Tp 4Tp 5Tp 6Tp

t

Rys. 5. Skwantowany i spróbkowany błąd regulacji

7


Slide 8

Układ regulacji, w którym sygnał nastawiający uzyskany z ciągu sterującego
reprezentującego sygnał cyfrowy ma postać sygnału schodkowego (rys. 6)
nazywa się układem regulacji cyfrowej.

Rys. 6. Schodkowy sygnał sterujący w układzie regulacji cyfrowej

8


Slide 9

Układ regulacji cyfrowej
Układ regulacji cyfrowej składa się z regulatora cyfrowego, zawierającego
przetwornik analogowo-cyfrowy, jednostkę liczącą i przetwornik cyfrowoanalogowy oraz obiektu regulacji (rys. 7.).
Zegar

w0

sygnał
analogowy
e(t)

e(nTp) Cyfrowy

A/C
-y

algorytm
regulacji

Sygnał schodkowy
u(nTp)

u(t)

C/A

Obiekt
regulacji

Regulator cyfrowy

Rys. 7. Schemat blokowy układu regulacji cyfrowej

Regulator cyfrowy przetwarza spróbkowany i skwantowany sygnał błędu regulacji
e(nTp) w ciąg sterujący u(nTp). Obliczanie wartości ciągu sterującego u(nTp) odbywa
się zgodnie z algorytmem określającym działanie regulatora (algorytm P, PI, PD, PID).
Ograniczona liczba bitów w strukturze regulatora cyfrowego, na których zapisywane są
zakodowane wartości błędu regulacji w chwilach próbkowania, oznacza ograniczoną
liczbę poziomów określających możliwe wartości ciągu sterującego. Przetwornik C/A
przetwarza ciąg sterujący u(nTp) w schodkowy sygnał sterujący.
9


Slide 10

Przekształcenie Z
Przekształceniem Z funkcji dyskretnej f(nTp) nazywa się przekształcenie
określone wzorem

def

F ( z) 

 f (nT

p )z

n

n 0

przyporządkowujące funkcji dyskretnej f(nTp) funkcję zmiennej zespolonej F(z).
Funkcję
f(nTp) nazywa się oryginałem, a funkcję F(z) – transformatą Z funkcji
f(nTp). Przekształcenie Z (przekształcenie Laurenta) oznacza się za pomocą
operatora Z następująco:

F ( z )  Z [ f (nTp )]
Przekształcenie

f (nTp )  Z 1[ F ( z)]

oznacza odwrotne przekształcenie Z.

10


Slide 11

Podstawowe własności przekształcenia Z.
Dyskretny skok jednostkowy:

1 dla n  0,
1(nTp )  
0 dla n  0.
Transformata Z dyskretnego skoku jednostkowego:
Z [1(nTp )] 





1(nTp )z

n



n 0





z k 

k 0

1
z

1  z 1 z  1

Dyskretna funkcja wykładnicza

e

anTp

anT

e p
1(nTp )  

0

dla n  0,
dla n  0.

Transformata Z funkcji wykładniczej:

Z [e

anTp

1(nT p )] 




n 0

e

anTp

z n 

1
1 e

aTp

z 1



z
ze

aTp

11


Slide 12

Transformaty Z funkcji przesuniętych.
Transformata Z funkcji dyskretnej f [(n  k )T p ]
przesuniętej w lewo o k okresów próbkowania względem funkcji f (nTp ) :

Z { f [(n  k )T p ]}  z F ( z ) 
k

k 1



f (mT p ) z k  m

m 0

W szczególnym przypadku, gdy f (0)  f (Tp )    f [(k  1)Tp ]  0

Z{ f [(n  k )Tp ]}  z k F ( z)
Transformata Z funkcji dyskretnej przesuniętej w prawo:
k

Z { f [(n  k )T p ]}  z F ( z ) 

k

 f (mT

p )z

( m  k )

m  1

W szcególności, gdy

f (T p )  f (2T p )    f (kTp )  0

Z{ f [(n  k )T p ]}  z k F ( z)
12


Slide 13

Transformaty Z różnic funkcji dyskretnych
Różnica pierwszego rzędu:

f (nTp )  f [(n  1)T p ]  f (nTp )
Transformata Z różnicy pierwszego rzędu:

Z [f (nTp )]  ( z  1) F ( z )  zf (0)
Dla f(0) = 0

Z [f (nTp )]  ( z  1) F ( z )

Różnica wsteczna pierwszego rzędu:

f (nTp )  f (nTp )  f [(n  1)Tp ]
Transformata Z różnicy wstecznej pierwszego rzędu:

Z[f (nTp )]  (1  z-1 ) F ( z)  zf (-1)
Gdy f(-1) = 0

Z[f (nTp )]  (1  z -1 ) F ( z)
13


Slide 14

Różnica drugiego rzędu:

2 f (nTp )  f [(n  1)Tp ]  f (nTp )
Transformata Z różnicy drugiego rzędu przy zerowych warunkach
początkowych:

Z[2 f (nTp )]  ( z  1) 2 F ( z)
Różnica wsteczna drugiego rzędu:

2 f (nTp )  f (nTp )  f [(n  1)Tp ]
Transformata Z różnicy wstecznej drugiego rzędu przy zerowych
warunkach początkowych:

Z[2 f (nTp )]  (1  z -1 ) 2 F ( z)
Transformaty Z różnic k-tego rzędu przy zerowych warunkach
początkowych:

Z[k f (nTp )]  ( z  1) k F ( z)
Z[k f (nTp )]  (1  z -1 ) k F ( z)
14


Slide 15

Transformata Z sumy funkcji dyskretnej.
Suma funkcji dyskretnej f (nTp ) :
def m 1

 (mT p ) 

 f (iT

p)

(m  1, 2, )

i 0

Transformata Z sumy funkcji dyskretnej.

( z ) 

F ( z)
z 1

Transformata Z k – krotnej sumy funkcji dyskretnej.



 n 1 n 1

U ( z)
Z   u (mT p ) 
k
(
z

1
)
m

0
m  0 
 k

razy

 

15


Slide 16

Twierdzenia o wartościach granicznych.
Twierdzenie o wartości początkowej funkcji dyskretnej:

f (0)  lim f (nTp )  lim F ( z )
n 0

z 

Twierdzenie o wartości końcowej funkcji dyskretnej:

f ()  lim f (nTp )  lim ( z  1) F ( z )
n

z 1

f ()  lim f (nTp )  lim (1  z -1 ) F ( z)
n

z 1

16