Математика в изобразительном искусстве. Тесселяция и анаморфные изображения. Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В» класса школы №7 города Качканар. Руководитель: учитель математики Дьякова.
Download ReportTranscript Математика в изобразительном искусстве. Тесселяция и анаморфные изображения. Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В» класса школы №7 города Качканар. Руководитель: учитель математики Дьякова.
Slide 1
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 2
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 3
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 4
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 5
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 6
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 7
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 8
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 9
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 10
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 11
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 12
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 13
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 14
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 15
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 16
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 17
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 18
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 19
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 20
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 21
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 22
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 23
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 2
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 3
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 4
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 5
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 6
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 7
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 8
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 9
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 10
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 11
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 12
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 13
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 14
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 15
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 16
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 17
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 18
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 19
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 20
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 21
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 22
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]
Slide 23
Математика в изобразительном искусстве.
Тесселяция и анаморфные изображения.
Автор: Михелёва Злата Владимировна, ученица 10 «В»
класса школы №7 города Качканар.
Руководитель: учитель математики Дьякова Надежда
Анатольевна
Вступление.
Вопрос о роли математики в искусстве волновал великих
людей еще с давних пор. Есть много художников, у которых
математика находится в центре внимания. Эти художники
работают в различных направлениях, включая скульптуру,
рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и
компьютерную графику.
Выбор мной этой темы связан с тем, что мне хотелось узнать
об интересном, необычном и нестандартном применении
математики, с которым я в школьной жизни раньше не
сталкивалась. Кроме того, я человек творческий и мне было
интересно, как можно подходить к «нематематическому» процессу
создания изображений художниками, в том числе великими и
очень известными, с точки зрения законов и правил математики.
Наиболее часто сочетание геометрии как точной науки и
искусства мы можем наблюдать в невозможных фигурах с
нарушенной логикой пространства, фракталах и искаженных
перспективах, тесселяциях, лентах Мебиуса, а также в
использовании многогранников. Проявляя интерес к заявленной
теме, я решила овладеть ею и написать исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить и проанализировать различные сферы
применения математических знаний в изобразительном
искусстве.
Задачи:
1. Изучив материалы научной литературы и ресурсы Интернета,
систематизировать их и сделать выводы о том, в каких сферах
изобразительного искусства широко используется математика;
2. С математической точки зрения рассмотреть подробно
некоторые из видов изобразительного искусства, определённых
в п.1, а именно анаморфные изображения и тесселяция;
3. Используя математические навыки, самостоятельно создать
тесселяционное изображение;
4. Сформировать алгоритм получения тесселяционных
изображений;
5. Опираясь на полученные знания, создать анаморфное
изображение;
6. Сделать выводы о своеобразии создания произведений
изобразительного искусства с применением математических
знаний.
Тесселяция – это
покрытие всей
математической
плоскости плитками,
коллекциями
повторяющихся фигур,
которые совмещаются
друг с другом без
наложений и пробелов.
Для создания
тесселяции к базовым
образцам мозаик
применяют
трансформации. Причём
в качестве исходной
плитки используют
только три правильных
многоугольника.
Анаморфные изображения – это умышленно искажённые
изображения, которое представляются правильными только при
рассмотрении их с определённого ракурса или под определённым
углом.
Для искажения используют анаморфную сетку. А для того
чтобы получить правильное изображение, его рассматривают с
помощью специального зеркала – анаморфоскопа.
Исследование тесселяции.
Цель:
определить закономерности расположения фигур в
тесселяции, а также вывести алгоритм её создания.
Оборудование: линейка, циркуль, карандаши.
Ход работы:
1. Изучить изображения с тесселяциями;
2. Определить закономерности распределения фигур
на плоскости;
3. Используя установленное, самостоятельно создать
тесселяцию;
4. Вывести алгоритм получения данных изображений;
5. Сделать вывод о проделанной работе.
По картине "Эволюция" проследим развитие искажения
квадратной мозаики.
• Четырёхугольная мозаика
искажается в центральную
фигуру из четырех ящериц.
• Преобразование происходит в 4
стадии. При разбиении
правильного n-угольника
формируется n одинаковых
фигур.
• Так как исходный n-угольник –
квадрат, то мозаика со стороной
квадрата в 2 фигуры будет иметь
площадь равную 4 фигурам, со
стороной в 4 фигуры будет иметь
площадь равную 16 фигурам, а
каждый новый ряд мозаики
увеличивает сторону квадрата на
2 фигуры.
Тесселяция из рыб, птиц и черепах.
• Плоскость разбита фигурами,
образованными из треугольной мозаики.
Центральное изображение получается из трёх
фигур.
• Мозаика со стороной треугольника в 1
фигуру будет иметь площадь, равную 3
фигурам (рыба и птица вместе - одна фигурка
на одной стороне треугольника, но число
фигур будем считать по количеству рыб).
• Мозаика со стороной в 2 фигуры имеет
площадь в 9 фигур, со стороной в 3 фигуры –
площадь в 21 фигуру и так далее, а каждый
новый ряд увеличивает сторону треугольника
на 1 фигуру.
• Полученные фигуры имеют общую точку
в центре исходного треугольника (на рисунке
- цифра 1). Назовем это «фрагментом», он на
протяжении всей тесселяции будет
периодически повторяться.
Изображение "Рептилии", созданное М.К. Эшером.
• Крокодилы получены из
шестиугольной мозаики.
• Сумма площадей всех частей
фигуры, которые выходят за грани
многоугольника, равна сумме
площадей всех частей, заходящих в
него.
• Рассмотрев несколько изображений,
в основе которых лежат правильные
шестиугольники, выведем
закономерность. Мозаика со
стороной в 1 фигуру будет иметь
площадь в 6 фигур, со стороной в 2
фигуры – площадь, равную 12
фигурам, в следующем ряду, со
стороной в 3 фигуры будет иметь
площадь, равную 24 фигурам и т.д.
• В каждом новом ряду длина
стороны многоугольника
увеличивается на одну фигуру.
Создание тесселяции.
1. Используя установленные выше закономерности,
создадим тесселяцию в виде бабочек из шестиугольной
мозаики. На 2-ом рисунке, представьте, что 6 крыльев
бабочек, совмещенных в одной точке шестиугольника. Это
и есть первый фрагмент, с которого начинается
построение.
2. Смещением, поворотом, симметрией фигуры
подгоняются вплотную друг к другу.
На рисунке ниже начерчено формирование первого ряда
бабочек, одна из которых выделена яркой линией.
3. Далее вы видите формирование второго ряда тесселяции.
А на рисунке справа видно как достраивается первый ряд
бабочек.
4. Все последующие ряды формируются по принципу
мозаики. Справа видно, как достраивается второй ряд
и образуется третий тесселяции.
5. В сформировавшемся третьем ряду видно, как начинают
образовываться и повторяться новые фрагменты. фрагмент в
любой тесселяции формируется из 3-го ряда.
Составим алгоритм создания тесселяции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Выбрать основу для тесселяции (треугольную,
шестиугольную или четырёхугольную плитку);
Выбрать фигуру, которой будет разбиваться плоскость;
Разделить первый многоугольник на столько равных
частей, сколько в нём углов;
К полученному фрагменту применить трансформации
(разворачивать фигуры вокруг одной точки);
Согласно установленным закономерностям
распределить фигуры на соседних многоугольниках;
После третьего ряда смещать фигуры относительно
новых фрагментов;
Продолжать разворачивать тесселяцию до необходимого
размера.
Построение анаморфной сетки.
Цель:
Определить зависимость построения анаморфной сетки
от цилиндра и создать простое анаморфное изображение.
Оборудование: отражающие
цилиндрические приборы разного
диаметра, транспортир, циркуль,
линейка, карандаши.
Ход работы:
1. Начертить радиусную сетку для меньшего отражающего
прибора.
2. Проверить, подходит ли данная сетка к другим
цилиндрическим анаморфоскопам.
3. Перенести на радиусную сетку простой рисунок.
4. Зафиксировать полученный результат.
• Измерив диаметр маленького
цилиндра, проведём начальную
окружность.
• Определимся с примерным
размером правильного
изображения.
•
Построим несколько
окружностей, которые в
цилиндре являются
параллельными линиями,
находящимися на равном
расстоянии друг от друга.
•Далее под углом 24 градуса
(оптимально для данных
анаморфоскопов) проведены
прямые линии, которые на
поверхности цилиндра
параллельны.
• Установим зависимость
построения радиусной
сетки от диаметра
цилиндра. Сравним,
подходит ли данная сетка
к другим
анаморфоскопам.
• Подставив цилиндры
другого диаметра, мы
видим: те же самые
линии отображаются в
параллельные, образуя
такую же сетку.
•Значит, построение радиусной
сетки не зависит от диаметра
цилиндра. Но чтобы получить
полное
неискажённое
изображение, его необходимо
рисовать для каждого цилиндра
отдельно.
Построение анаморфного рисунка
1. Начертим исходную координатную сетку и
нарисуем в ней простую картинку – цветочек.
2.Затем перенесём его на анаморфную сетку.
3. На поверхности цилиндра изображение имеет правильную
форму. Но это изображение не подходит к другим
цилиндрам, так как из-за большего диаметра они будут
закрывать часть картинки.
Вывод о работе.
• На примере нескольких видов изображений я показала, как в
изобразительном искусстве используются математические
навыки. Ещё раз повторюсь о выводах, сделанных мной в ходе
выполнения практической работы. При изучении
тесселяционных изображений было установлено:
• построение тесселяции начинается с фрагмента, который
впоследствии повторяется; фрагмент в любой тесселяции
начинает формироваться из третьего ряда; тесселяция строится
по принципу мозаики; при разбиении правильного n-угольника
формируется n одинаковых фигур.
• Что касается анаморфных изображений, то было установлено,
что построение анаморфной сетки не зависит от диаметра
цилиндра и то, что прямые линии сетки исходят из центра
окружности под равными углами относительно друг друга,
разбивая плоскость на равные части.
Заключение.
Средствами изобразительного искусства можно
передать свое впечатление о мире, а благодаря
математике это представление становится ещё более
интересным и необычным. Данный проект позволил мне
узнать много нового о совершенно разных и, согласно
современным взглядам, удаленных друг от друга
дисциплинах. Благодаря этому я расширила свой кругозор
и убедилась в том, что математика – царица наук, которая
проникает повсюду, а мы ещё только узнаём её основы.
Надеюсь, что для вас вся эта информация так же, как и
для меня, была интересной и полезной.
Список использованной
литературы.
•
•
•
•
•
•
Роберт Фасайер «Математическое
изобразительное искусство»;
Гарри Абрам «Жизнь и творчество М.К. Эшера»
1982 г.; Статья Г. Фремана (1990г.) по записям М.К.
Эшера «Посещение симметрии» [www.impossible.info];
[worldltjnard.h1.ru];
[www.nvidia.ru], [www.thevista.ru];
Журнал мисс Сью «Удивительные картины»;
[www.mediamarkt.ru]