Тема 8. Элементы механики сплошной среды 8.1. Основные законы и уравнения гидростатики. Закон Паскаля. Закон Архимеда

Архимед (287 - 212 до н.э.) Б.Паскаль (1623 - 1662)

Закон Паскаля

Давление, оказываемое на жидкость или газ, передается по всем направлениям одинаково.

р 1 = р 2 = р 3

Зависимость давления от высоты столба жидкости

p = p 0 +p h p 0 = F/S p h = ρgh

Сообщающиеся сосуды

Одинаковый уровень жидкости в сообщающихся сосудах объясняется равенством давления на одной и той же глубине любого из колен вне зависимости от его формы.

Гидравлическая машина

Давление под поршнями в обоих цилиндрах одинаково:

p



F S



f s

f s

Откуда следует выигрыш в силе:

S

h

F f



S s FH



fh

F

H

Архимедова сила

Давление жидкости на верхнюю и нижнюю поверхности погружённого в жидкость тела равно, соответственно:

p 1 = ρgh 1 ; p 2 = ρgh 2 .

Поскольку глубина

h 2 > h 1

, то

p 2 > p 1 .

Разность сил составляет выталкивающую силу – силу Архимеда:

F 2 - F 1 = F A

V

F F A = S(p 2 – p 1 ) = Sρg(h 2 – h 1 ) = ρShg = ρVg A = ρ ж V g

Ниже представлены летательные аппараты, принцип действия которых основан на законе Архимеда.

Тема 8. Элементы механики сплошной среды

8.2

. Модель сплошной среды. Уравнение неразрывности Лагранж Жозеф Луи (1736 - 1813)

французский математик и механик

Эйлер Леонард (1707 - 1783)

математик, механик, физик, астроном.

32 года жил и работал в России.

Введём основные определения и параметры, соответствующие модели сплошной среды.

Линия тока – воображаемая линия внутри жидкости (или газа; далее везде будем говорить о жидкости, подразумевая под ней и газ тоже), в каждой точке которой скорость частиц жидкости касательна к этой линии.

v v v

Трубка тока – часть жидкости внутри поверхности, образованной линиями тока: Исходя из определения, частицы жидкости не могут войти и выйти за пределы трубки тока через её боковую поверхность. В противном случае, скорость частицы перестала бы быть касательной к линии тока.

Уравнение неразрывности

Рассмотрим течение жидкости внутри трубки тока разного сечения. Можно предположить, что и скорости жидкости в этих сечениях будут различными.

dV

2

v 2 v 1 S 1 S 2 dV

1 Ввиду неразрывности жидкости через любое сечение трубки тока за время

dt

протекать одинаковая её масса

:

должна

dm 1 = dm 2 ;

а поскольку масса равна произведению плотности на объём, то:

ρ 1 dV 1 = ρ 2 dV 2 .

Каждый из объёмов определяется произведением площади на длину, равную скорости жидкости в этом месте на время

dt

:

dV = S .

v dt ;

т.е.

ρ 1 S 1 v 1 dt = ρ 2 S 2 v 2 dt .

ρ v S = const

Для несжимаемой жидкости

(ρ=const):

уравнение неразрывности

v S = const

Тема 8. Элементы механики сплошной среды 8.3. Идеальная жидкость.

Уравнение Бернулли

Д.Бернулли (1700 - 1782)

Течение идеальной жидкости по трубе.

Уравнение Бернулли

Работа сил давления над элементом жидкости Δт идет на приращение его механической энергии:

A = ΔE мех

l l

A = ΔE мех

Работа над жидкостью определяется силами давления слева и справа рассматриваемого участка. При этом работа справа отрицательна поскольку давление перемещению:

р 2

направлено в сторону, противоположную

A



p

1

S

1

l

1 

p

2

S

2

l

2 .

А поскольку произведение площади сечения трубы на перемещение жидкости через соответствующее сечение равно величине протекшего объёма, то: где

ρ

плотность жидкости.

А



p

1 

m

 1 

p

2 

m

 2 , С другой стороны, изменение механической энергии жидкости на входе и выходе равно: 

E мех

 

m



v

2 2 2  

m



gh

2  ( 

m



v

1 2 2  

m



gh

1 )

A = ΔE мех

А



p

1 

m

 1 

p

2 

m

 2 , 

E мех

 

m



v

2 2 2  

m



gh

2  ( 

m



v

1 2 2  

m



gh

1 ) Подставляя выражения для работы и изменения энергии в первое равенство, при этом сократив всё на величину

Δm

, получим:

v

2 2 2 

gh

2 

p

2  2 

v

1 2 2 

gh

1 

p

1  1 Таким образом:

v

2 2 

gh



p

 Для несжимаемой жидкости

( ρ = const):



const

- уравнение Бернулли 

v

2  

gh



p



const

2

Течение жидкости по горизонтальной трубе переменного сечения

d 1 v 1 d 2 v 2 d 3 v 3



v

2  

gh



p



const

2

Если потенциальная энергия потока не меняется :



v

2 

p



const

2

p 1 > p 2 > p 3 ρ v S = const При ρ = const : vd 2 = const Если d 1 > d 2 > d 3 , то v 1 < v 2 < v 3

Тема 8. Элементы механики сплошной среды 8.4. Истечение жидкости из отверстия.

Формула Торричелли

Э.Торричелли (1608 - 1647)

Истечение жидкости из широкого сосуда Рассмотрим верхнее и нижнее сечения трубки тока.

1 По условию:

s

1 

s

2 Тогда в соответствии с уравнением неразрывности:

v s



v

1 

const v

2 2 Следовательно, скоростью жидкости в широкой части сосуда можно пренебречь.

Используем уравнение Бернулли: из которого: 

v

2 2  

gh



p



const

, 

gh

1 

p

0  

v

2 2 2 

p

0 .

v

 2

gh

формула Торричелли

Тема 8. Элементы механики сплошной среды 8.5. Измерение статического и динамического давления.

Трубка Пито. Трубка Прандтля

Измерение статического давления в потоке жидкости (газа) с помощью зонда 1 2

Н ст

Рассмотрим уравнение Бернулли 

v

2  

gh



p



const

2 v для сечений

1

и

2

:

p ст = ρgH ст + р 0

атмосферное давление Смысл термина «статическое давление» будет ясен из последующих рассуждений.

v Трубка Пито: измерение полного давления 1 2

Н полн

Уравнение Бернулли: 

v

2  

gh



p



const

2

p cm

 

v

2 2  

gН полн



p

0 динамическое давление 

v

2 

p дин

2

p cm

 

v

2 2 

p полн

полное давление

р полн

 

gН полн



p

0

v Трубка Прандтля Δ

Н

Применив оба зонда одновременно можно измерить скорость потока жидкости.

Верхний-левый зонд измеряет статическое давление:

p ст = ρgH ст + р 0

Нижний-правый зонд измеряет полное давление:

p cm

 

v

2 2  

gН полн



p

0 Вычитая из второго уравнения первое можно определить динамическое давление : 

v

2  

g

(

H полн



H ст

) 2 А затем – и скорость:

v

 2

g



H

Если теперь трубку Прандтля выставить в воду за борт корабля, то можно измерить его скорость относительно воды. Точно так же измеряется скорость летательного аппарата относительно воздуха, в котором он летит.

датчики полного давления

датчики полного давления

Тема 8. Элементы механики сплошной среды 8.6. Подъемная сила крыла

Жуковский Н.Е.

(1847 - 1921)

Возникновение подъемной силы при обтекании асимметричного тела Поместим разрезанный пополам цилиндр в поток жидкости (или газа).

р 1

v

1

р 2

v

2 Вследствие асимметричности тела верхние линии тока получаются длиннее нижних, а из-за неразрывности жидкости её частицы должны преодолевать эти расстояния за одно и то же время. Т.е. скорость течения жидкости над верхней поверхностью тела в этом случае будет выше, чем под нижней:

v 1 > v 2 .

Тогда из уравнения Бернулли: 

v

2 2 

p



const

следует, что давление в верхней части ниже, чем в нижней:

p 1 < p 2

; (разностью высот положения этих поверхностей пренебрегаем по сравнению, например, с расстоянием до земли).

Возникновение подъемной силы при обтекании асимметричного тела

р 1

F v

1

р 2

v

2

v 1 > v 2 , p 1 < p 2

.

Разность давлений создает подъёмную силу:

F = < p 2 – p 1 > . S,

где <

p 1 –p 2

> – средняя по всей площади «крыла» разность давлений, S – площадь «крыла» в плане, т.е. при виде сверху.

Крыло современного самолёта конечно же имеет более совершенный профиль и обеспечивает не только большую подъёмную силу, но и минимальное лобовое сопротивление потоку воздуха.

угол атаки скорость набегающего потока

Профиль Жуковского Крыло современного самолёта конечно же имеет более совершенный профиль и обеспечивает не только большую подъёмную силу, но и минимальное лобовое сопротивление набегающему потоку воздуха.

Превышение критического значения угла атаки приводит к срыву воздушного потока, обтекающего крыло и резкому падению подъёмной силы крыла.

X

– сила лобового сопротивления крыла;

Y

– подъёмная сила;

R

– равнодействующая этих сил; Ц.Д. (центр давления) – точка приложения равнодействующей всех сил, действующих на тело в потоке жидкости или газа.

Принято обозначать:

Y



C y



v

2

S

2

X



C x



v

2

S

2 

v

2 

динамическ ий напор

(

динамическ ое двление

); 2

S

– площадь крыла в плане;

С

у

– коэффициент подъемной силы крыла;

С

х

– коэффициент лобового сопротивления.

Конец темы