Тема 8. Элементы механики сплошной среды 8.1. Основные законы и уравнения гидростатики. Закон Паскаля. Закон Архимеда Архимед (287 - 212 до н.э.) Б.Паскаль (1623 - 1662) Закон Паскаля Давление, оказываемое на жидкость или газ, передается по всем направлениям одинаково. р1
Download ReportTranscript Тема 8. Элементы механики сплошной среды 8.1. Основные законы и уравнения гидростатики. Закон Паскаля. Закон Архимеда Архимед (287 - 212 до н.э.) Б.Паскаль (1623 - 1662) Закон Паскаля Давление, оказываемое на жидкость или газ, передается по всем направлениям одинаково. р1
Тема 8. Элементы механики сплошной среды 8.1. Основные законы и уравнения гидростатики. Закон Паскаля. Закон Архимеда
Архимед (287 - 212 до н.э.) Б.Паскаль (1623 - 1662)
Закон Паскаля
Давление, оказываемое на жидкость или газ, передается по всем направлениям одинаково.
р 1 = р 2 = р 3
Зависимость давления от высоты столба жидкости
p = p 0 +p h p 0 = F/S p h = ρgh
Сообщающиеся сосуды
Одинаковый уровень жидкости в сообщающихся сосудах объясняется равенством давления на одной и той же глубине любого из колен вне зависимости от его формы.
Гидравлическая машина
Давление под поршнями в обоих цилиндрах одинаково:
p
F S
f s
f s
Откуда следует выигрыш в силе:
S
h
F f
S s FH
fh
F
H
Архимедова сила
Давление жидкости на верхнюю и нижнюю поверхности погружённого в жидкость тела равно, соответственно:
p 1 = ρgh 1 ; p 2 = ρgh 2 .
Поскольку глубина
h 2 > h 1
, то
p 2 > p 1 .
Разность сил составляет выталкивающую силу – силу Архимеда:
F 2 - F 1 = F A
V
F F A = S(p 2 – p 1 ) = Sρg(h 2 – h 1 ) = ρShg = ρVg A = ρ ж V g
Ниже представлены летательные аппараты, принцип действия которых основан на законе Архимеда.
Тема 8. Элементы механики сплошной среды
8.2
. Модель сплошной среды. Уравнение неразрывности Лагранж Жозеф Луи (1736 - 1813)
французский математик и механик
Эйлер Леонард (1707 - 1783)
математик, механик, физик, астроном.
32 года жил и работал в России.
Введём основные определения и параметры, соответствующие модели сплошной среды.
Линия тока – воображаемая линия внутри жидкости (или газа; далее везде будем говорить о жидкости, подразумевая под ней и газ тоже), в каждой точке которой скорость частиц жидкости касательна к этой линии.
v v v
Трубка тока – часть жидкости внутри поверхности, образованной линиями тока: Исходя из определения, частицы жидкости не могут войти и выйти за пределы трубки тока через её боковую поверхность. В противном случае, скорость частицы перестала бы быть касательной к линии тока.
Уравнение неразрывности
Рассмотрим течение жидкости внутри трубки тока разного сечения. Можно предположить, что и скорости жидкости в этих сечениях будут различными.
dV
2
v 2 v 1 S 1 S 2 dV
1 Ввиду неразрывности жидкости через любое сечение трубки тока за время
dt
протекать одинаковая её масса
:
должна
dm 1 = dm 2 ;
а поскольку масса равна произведению плотности на объём, то:
ρ 1 dV 1 = ρ 2 dV 2 .
Каждый из объёмов определяется произведением площади на длину, равную скорости жидкости в этом месте на время
dt
:
dV = S .
v dt ;
т.е.
ρ 1 S 1 v 1 dt = ρ 2 S 2 v 2 dt .
ρ v S = const
Для несжимаемой жидкости
(ρ=const):
уравнение неразрывности
v S = const
Тема 8. Элементы механики сплошной среды 8.3. Идеальная жидкость.
Уравнение Бернулли
Д.Бернулли (1700 - 1782)
Течение идеальной жидкости по трубе.
Уравнение Бернулли
Работа сил давления над элементом жидкости Δт идет на приращение его механической энергии:
A = ΔE мех
l l
A = ΔE мех
Работа над жидкостью определяется силами давления слева и справа рассматриваемого участка. При этом работа справа отрицательна поскольку давление перемещению:
р 2
направлено в сторону, противоположную
A
p
1
S
1
l
1
p
2
S
2
l
2 .
А поскольку произведение площади сечения трубы на перемещение жидкости через соответствующее сечение равно величине протекшего объёма, то: где
ρ
плотность жидкости.
А
p
1
m
1
p
2
m
2 , С другой стороны, изменение механической энергии жидкости на входе и выходе равно:
E мех
m
v
2 2 2
m
gh
2 (
m
v
1 2 2
m
gh
1 )
A = ΔE мех
А
p
1
m
1
p
2
m
2 ,
E мех
m
v
2 2 2
m
gh
2 (
m
v
1 2 2
m
gh
1 ) Подставляя выражения для работы и изменения энергии в первое равенство, при этом сократив всё на величину
Δm
, получим:
v
2 2 2
gh
2
p
2 2
v
1 2 2
gh
1
p
1 1 Таким образом:
v
2 2
gh
p
Для несжимаемой жидкости
( ρ = const):
const
- уравнение Бернулли
v
2
gh
p
const
2
Течение жидкости по горизонтальной трубе переменного сечения
d 1 v 1 d 2 v 2 d 3 v 3
v
2
gh
p
const
2
Если потенциальная энергия потока не меняется :
v
2
p
const
2
p 1 > p 2 > p 3 ρ v S = const При ρ = const : vd 2 = const Если d 1 > d 2 > d 3 , то v 1 < v 2 < v 3
Тема 8. Элементы механики сплошной среды 8.4. Истечение жидкости из отверстия.
Формула Торричелли
Э.Торричелли (1608 - 1647)
Истечение жидкости из широкого сосуда Рассмотрим верхнее и нижнее сечения трубки тока.
1 По условию:
s
1
s
2 Тогда в соответствии с уравнением неразрывности:
v s
v
1
const v
2 2 Следовательно, скоростью жидкости в широкой части сосуда можно пренебречь.
Используем уравнение Бернулли: из которого:
v
2 2
gh
p
const
,
gh
1
p
0
v
2 2 2
p
0 .
v
2
gh
формула Торричелли
Тема 8. Элементы механики сплошной среды 8.5. Измерение статического и динамического давления.
Трубка Пито. Трубка Прандтля
Измерение статического давления в потоке жидкости (газа) с помощью зонда 1 2
Н ст
Рассмотрим уравнение Бернулли
v
2
gh
p
const
2 v для сечений
1
и
2
:
p ст = ρgH ст + р 0
атмосферное давление Смысл термина «статическое давление» будет ясен из последующих рассуждений.
v Трубка Пито: измерение полного давления 1 2
Н полн
Уравнение Бернулли:
v
2
gh
p
const
2
p cm
v
2 2
gН полн
p
0 динамическое давление
v
2
p дин
2
p cm
v
2 2
p полн
полное давление
р полн
gН полн
p
0
v Трубка Прандтля Δ
Н
Применив оба зонда одновременно можно измерить скорость потока жидкости.
Верхний-левый зонд измеряет статическое давление:
p ст = ρgH ст + р 0
Нижний-правый зонд измеряет полное давление:
p cm
v
2 2
gН полн
p
0 Вычитая из второго уравнения первое можно определить динамическое давление :
v
2
g
(
H полн
H ст
) 2 А затем – и скорость:
v
2
g
H
Если теперь трубку Прандтля выставить в воду за борт корабля, то можно измерить его скорость относительно воды. Точно так же измеряется скорость летательного аппарата относительно воздуха, в котором он летит.
датчики полного давления
датчики полного давления
Тема 8. Элементы механики сплошной среды 8.6. Подъемная сила крыла
Жуковский Н.Е.
(1847 - 1921)
Возникновение подъемной силы при обтекании асимметричного тела Поместим разрезанный пополам цилиндр в поток жидкости (или газа).
р 1
v
1
р 2
v
2 Вследствие асимметричности тела верхние линии тока получаются длиннее нижних, а из-за неразрывности жидкости её частицы должны преодолевать эти расстояния за одно и то же время. Т.е. скорость течения жидкости над верхней поверхностью тела в этом случае будет выше, чем под нижней:
v 1 > v 2 .
Тогда из уравнения Бернулли:
v
2 2
p
const
следует, что давление в верхней части ниже, чем в нижней:
p 1 < p 2
; (разностью высот положения этих поверхностей пренебрегаем по сравнению, например, с расстоянием до земли).
Возникновение подъемной силы при обтекании асимметричного тела
р 1
F v
1
р 2
v
2
v 1 > v 2 , p 1 < p 2
.
Разность давлений создает подъёмную силу:
F = < p 2 – p 1 > . S,
где <
p 1 –p 2
> – средняя по всей площади «крыла» разность давлений, S – площадь «крыла» в плане, т.е. при виде сверху.
Крыло современного самолёта конечно же имеет более совершенный профиль и обеспечивает не только большую подъёмную силу, но и минимальное лобовое сопротивление потоку воздуха.
угол атаки скорость набегающего потока
Профиль Жуковского Крыло современного самолёта конечно же имеет более совершенный профиль и обеспечивает не только большую подъёмную силу, но и минимальное лобовое сопротивление набегающему потоку воздуха.
Превышение критического значения угла атаки приводит к срыву воздушного потока, обтекающего крыло и резкому падению подъёмной силы крыла.
X
– сила лобового сопротивления крыла;
Y
– подъёмная сила;
R
– равнодействующая этих сил; Ц.Д. (центр давления) – точка приложения равнодействующей всех сил, действующих на тело в потоке жидкости или газа.
Принято обозначать:
Y
C y
v
2
S
2
X
C x
v
2
S
2
v
2
динамическ ий напор
(
динамическ ое двление
); 2
S
– площадь крыла в плане;
С
у
– коэффициент подъемной силы крыла;
С
х
– коэффициент лобового сопротивления.