Transcript ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Método dos Esforços Deslocamentos nas Estruturas Formulação do Método Método dos Deslocamentos Ações de Engastamento Perfeito Formulação do Método Universidade Federal do Espírito.

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Prof. Pedro Sá
Introdução
Método dos Esforços
Deslocamentos nas Estruturas
Formulação do Método
Método dos Deslocamentos
Ações de Engastamento Perfeito
Formulação do Método
Universidade Federal do Espírito Santo
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
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Bibliografia
Análise de Estruturas Reticuladas
Humberto Lima Soriano e Sílvio Lima
Análise de Estruturas Reticuladas
James Gere e William Weaver, Jr.
Curso de Análise Estrutural, Vols. 2 e 3
José Carlos Süssekind
Análise Matricial de Estruturas
Domício Falcão Moreira
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Introdução
Teoria das Estruturas
A Teoria das Estruturas estuda a distribuição, ao longo da extensão de
um corpo sólido, dos esforços e deslocamentos que surgem em suas
seções planas, provocados pelas cargas que ele recebe de agentes
externos.
Estrutura é o conjunto das partes do corpo destinadas a receber,
absorver e transmitir estas cargas.
As cargas são denominadas esforços externos ativos (previamente
conhecidos) e provocam os esforços externos reativos e os esforços
internos (ambos incógnitos).
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Introdução
Teoria das Estruturas
Este curso aborda a solução de Estruturas Reticuladas, isto é,
constituídas por um conjunto de barras retas.
viga
grelha
pórtico
espacial
pórtico plano
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treliça plana
treliça
espacial
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Introdução
Conceitos Básicos
Eixo: Lugar geométrico dos centróides das seções das barras que
compõem a estrutura.
Nós: Pontos discretos dos eixos das barras, onde se pretende
determinar os esforços e deslocamentos incógnitos.
São nós, obrigatoriamente, as extremidades das barras e
os pontos que representam os apoios da estrutura.
Membro ou Elemento: segmento entre dois nós consecutivos.
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Conceitos Básicos
Sistema Global (x,y,z) – SG: Sistema de eixos cartesianos ortogonais de
referência da estrutura como um todo.
Sistemas Locais (xM,yM,zM) – SL: Sistemas de eixos cartesianos ortogonais
de referência de cada membro ou elemento.
zM
z
xM
i
k
j: nó inicial
y
k: nó final
j
yM
i: membro ou elemento
x
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Conceitos Básicos
Tipos de Nós:
Nó Rígido
Nó Flexível ou Rotulado
Nó Rígido: Transmite forças e momentos
Nó Flexível: Transmite apenas forças
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Nó Rígido - Rotulado
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Conceitos Básicos
Tipos de Apoios:
No plano x-y:
a:
R x  0; R y  0; M
z
 0;  x  0;  y  0;  z  0
b:
R x  0; R y  0; M
z
 0;  x  0;  y  0;  z  0
c:
R x  0; R y  0; M
z
 0;  x  0;  y  0;  z  0
d:
R x  0; R y  0; M
z
 0;  x  0;  y  0;  z  0
e:
R x  0; R y  0; M
z
 0;  x  0;  y  0;  z  0
f:
R x  0; R y  0; M
z
 0;  x  0;  y  0;  z  0
g:
R x  0; R y  0; M
z
 0;  x  0;  y  0;  z  0
a
b
d
e
f
g
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c
y
x
z
SG
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Conceitos Básicos
Tipos de Elementos:
Elementos de pórtico espacial:
My,y
y
x
z
Mx,x
Vy,y Vx,x
N,z
T,z
F
F
F
Elementos de viga:
x
0
y
0
z
0
Elementos de pórtico plano:
y
x
z
Vy,y Mx,x
N,z
M
M
M
x
0
y
0
z
y
x
0
Vy,y Mx,x
z
F
M
0
y
x
0
Elementos de grelha:
F
F
M
y
0
z
0
x
0
y
x
z
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Vy,y Mx,x
T,z
F
M
M
0
y
x
0
z
0
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Conceitos Básicos
Tipos de Elementos:
Elementos de treliça espacial:
y
x
y
x
N, z
z
F
F
F
x
0
y
0
z
0
y
0
z
0
Elementos de treliça plana:
y
x
z
y
N, z
F
F
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Introdução
O Problema da Teoria das Estruturas
As incógnitas de um problema de Análise de Estruturas Reticuladas são
as reações de apoio e os esforços internos nos seus elementos, além
dos deslocamentos de suas seções transversais (ou pontos dos seus
eixos).
3
4
Reações de Apoio: R1 a R5
R3
2
R5
R4
1
R1
Deslocamentos: 1 a 4
Os esforços internos são
determinados pelo
Método das Seções
R2
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Introdução
Definição de Estrutura Hiperestática
As reações de apoio podem ser determinadas pelas equações de
equilíbrio da Estática, levando em conta todos os esforços externos
ativos e reativos da estrutura, e os esforços internos, pelo Método das
Seções, o qual também utiliza as equações de equilíbrio da Estática,
porém levando em conta os esforços internos numa determinada seção
transversal e os esforços externos em um dos lados desta seção.
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Definição de Estrutura Hiperestática
Em suma, o cálculo das reações de apoio e dos esforços internos pode
ser feito por meio das equações de equilíbrio da Estática, escritas com
base na aplicação do Método das Seções, isolando cada nó da estrutura.
Desta forma, as equações de equilíbrio dos esforços externos utilizadas
para a determinação das reações de apoio estarão implicitamente
consideradas.
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Definição de Estrutura Hiperestática
Equilíbrio do Nó 1:
Exemplo:
F
M
y
S1
1
S2
2
L1
z1
R1
z2
V1
1
R1
 0  R1  qz 1  V1  0
y
M1
M1
q
z
3
L2
M2
Incógnitas: R1, R2, V1, V2, M1, M2
 0  V1  q  z 2  z 1   R 2  V 2  0
y
V2
V2
 0  M 1  V1  L1  z 1   V 2  z 2  L1  
2
2  q  z 2  L1 
2
2M2 0
Equilíbrio do Nó 3:
M2
R2
x
 q  L1  z 1 
3
2
V1
Equilíbrio do Nó 2:
F
M
R2
 0  M 1  V1 z 1  qz 1 2  0
2
x
F
M
 0  V 2  q  L1  L 2  z 2   0
y
x
 0  M 2  V 2  L1  L 2  z 2  
 q  L1  L 2  z 2 
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2
20
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Introdução
Definição de Estrutura Hiperestática
Se a estrutura contém vínculos que oferecem um número de ações
externas reativas (reações apoio) superiores ao número de Equações de
Equilíbrio da Estática, relativas somente aos esforços externos, ela é dita
externamente hiperestática.
y
Equações de Equilíbrio:
F
q
z
R1
R2
R3
0
y
M
x
0
2 equações e 3 incógnitas
Incógnitas: R1, R2, R3
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Definição de Estrutura Hiperestática
Se a estrutura possui um número de elementos tal que o número de
esforços internos incógnitos seja superior ao número de Equações de
Equilíbrio da Estática oferecido pelo Método das Seções, ela é dita
internamente hiperestática.
y
P1
M1 V1 S1
S1
P3
N1
P2
P3
N2
M2
R3
R1
Equações de Equilíbrio:
x
R2
V2
R2
Incógnitas: N1, M1, V1 , N2,M2, V2
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F
F
M
x
0
y
0
z
0
3 equações e 6 incógnitas
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Definição de Estrutura Hiperestática
O Grau de Hiperestaticidade ou de indeterminação estática de uma
estrutura é a diferença entre o número de esforços incógnitos e o
número de equações de equilíbrio da Estática aplicáveis, isto é, o
número de equações complementares necessárias ao cálculo de todos
os esforços na estrutura.
De um modo geral, pode ser calculado pela diferença entre o número de
esforços incógnitos (o número de reações de apoio somado ao número
de esforços internos em todos os elementos da estrutura) e o número
de equações de equilíbrio da Estática, escritas com base na aplicação do
Método das Seções, isolando cada um dos seus nós.
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Definição de Estrutura Hiperestática
Grau de Hiperestaticidade (g):
g r
 im   en  n
r
número de incógnitas = r+Sim
número de equações = Sen+nr
onde
r é o número de reações de apoio,
i é o número esforços internos na seção do elemento,
m é o número de membros ou de elementos da estrutura,
e é o número equações de equilíbrio da Estática aplicáveis a cada nó da estrutura,
n é o número de nós da estrutura e
nr é o número de equações de equilíbrio adicionais, devidas às seções rotuladas.
Observação: Podem existir nós e elementos de natureza distinta na estrutura; nestes
casos, os produtos im e en da fórmula podem se desdobrar em mais de uma parcela.
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Definição de Estrutura Hipergeométrica
Se a estrutura contém vínculos suficientes para evitar deslocamentos
dos nós ou que, de alguma forma, se conheça todos os seus
deslocamentos de nós, ela é dita isogeométrica. Caso contrário, a
estrutura é hipergeométrica.
estrutura isogeométrica
estrutura hipergeométrica
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Definição de Estrutura Hipergeométrica
O Grau de Hipergeometria ou de indeterminação cinemática de uma
estrutura é o número de deslocamentos de nós incógnitos da estrutura,
isto é, o número de equações necessárias à determinação destes
deslocamentos.
O grau de hipergeometria de uma estrutura é facilmente determinado e
é também conhecido como o número de graus de liberdade da
estrutura, para deslocamentos de nós.
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Definição de Estrutura Hipergeométrica
Grau de Hipergeometria (d):
d 
d
L
n
onde
dL é o número de direções livres de cada nó e
n é o número de nós da estrutura.
Um nó de uma estrutura plana pode ter até três graus de liberdade.
Nó de pórtico plano: dL = 3, dois deslocamentos lineares e um angular;
Nó de grelha: dL = 3, dois angulares e um linear;
Nó de viga: dL = 2, um linear e um angular.
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Definição de Estrutura Hipergeométrica
Grau de Hipergeometria (d):
Um nó de uma estrutura espacial pode ter até seis graus de liberdade.
dL = 6, três deslocamentos lineares e três angulares.
Nó de pórtico espacial: dL = 6, três deslocamentos lineares e três
angulares.
Como os elementos de treliça não transmitem momento, seus nós não
estão sujeitos a deslocamentos angulares.
Nó de treliça plana: dL = 2, dois deslocamentos lineares;
Nó de treliça espacial: dL = 3, três deslocamentos lineares.
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Definição de Estrutura Hipergeométrica
Grau de Hipergeometria (d):
Apoios no plano x-y:
a,b: dL = 2,
c,d,e: dL = 1,
f,g: dL = 0
a
b
d
e
f
g
c
y
x
z
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SG
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Introdução
Métodos de Cálculo
Existem dois métodos de obtenção dos esforços e dos deslocamentos:
MÉTODO DOS ESFORÇOS ou MÉTODO DIRETO
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ou MÉTODO INDIRETO
O objeto da Teoria das Estruturas é a determinação de todos os esforços
(externos e internos) que atuam numa determinada estrutura e dos
deslocamentos de suas seções, isto é, da sua deformada.
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Métodos de Cálculo
O Método dos Esforços ou Método Direto, também conhecido por
Método da Flexibilidade, determina inicialmente os esforços e,
posteriormente, os deslocamentos.
O Método dos Deslocamentos ou Método Indireto, também conhecido
por Método da Rigidez, determina inicialmente os deslocamentos e,
posteriormente, os esforços.
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Métodos de Cálculo
As equações utilizadas são obtidas por meio de comparações entre a
estrutura dada e uma outra estrutura, denominada Sistema Principal
(SP), obtida da estrutura original por alterações nos seus vínculos.
No Método dos Esforços, o SP é uma estrutura isostática que, portanto,
pode ser resolvida a partir das Equações de Equilíbrio da Estática.
As equações utilizadas neste método são Equações de Compatibilidade
de Deslocamentos de Nós entre as duas estruturas.
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Métodos de Cálculo
As equações utilizadas são obtidas por meio de comparações entre a
estrutura dada e uma outra estrutura, denominada Sistema Principal
(SP), obtida da estrutura original por alterações nos seus vínculos.
No Método dos Deslocamentos, o SP é uma estrutura isogeométrica
que pode ser resolvida pelo Método Direto.
As equações utilizadas são Equações de Equilíbrio de Esforços nos Nós
correspondentes nas duas estruturas.
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Métodos de Cálculo
estrutura hiperestática
v
SP – Método Direto
M1
SP – Método Indireto
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M21
M22
M3
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Métodos de Cálculo
Equação Utilizada pelo Método Direto:
v=0
v
As alterações dos vínculos provocam o
desaparecimento de esforços incógnitos que, por sua
vez são aplicados ao SP. As equações utilizadas pelo
Método Direto refletem a compatibilização entre os
deslocamentos dos dois sistemas.
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Métodos de Cálculo
Equações Utilizadas pelo Método Indireto:
As alterações dos vínculos provocam o desaparecimento de
deslocamentos incógnitos que, por sua vez são impostos ao SP.
As equações utilizadas pelo Método Indireto refletem as
condições de equilíbrio dos esforços que atuam nos nós do SP,
comparados aos que atuam na estrutura original.
M1 = 0
M21 + M22 = 0
M3 = 0
M1
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M21
M22
M3
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Fim do Capítulo
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