Transcript Aulas 6-8 - Magnetostática  Fato experimental: fios com correntes elétricas podem se atrair ou repelir: F F + + - Convenção oposta ao caso eletrostático. F F + - Tópicos em Física Clássica.

Aulas 6-8 - Magnetostática

Fato experimental: fios com correntes elétricas podem se atrair ou repelir:
F
F
+
+
-
Convenção oposta ao caso
eletrostático.
F
F
+
-
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
Outro fato experimental: uma partícula em um sistema de referência no qual se move
com velocidade v experimenta uma força sobre ela se na região houver um campo
magnético. Esta força é dada pela Lei de Lorentz:
Campo Magnético
existente na
Força atuando na
região onde a
partícula
partícula está
F q v B
Velocidade da
partícula
Carga da partícula
B
F
v
B
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
Consequência da Lei de Lorentz: campos magnéticos não realizam trabalho e, portanto,
não podem modificar a energia cinética da partícula:
F  v  F dl  F vdt  0
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
Quando temos campos magnéticos e campos elétricos em certa região do espaço, então
a força que age em uma partícula é dada por:
F  q E  v  B 
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
Defina um sistema de referência. Se um dos campos é constante em direção e sentido ,
coloque um dos eixos ao longo desta direção. Explore a simetria do problema;

Escreva os campos elétrico e magnético e suas componentes na direção dos eixos
escolhidos para o sistema de referência;

Escreva a força de Lorentz;

Escreva a Segunda Lei de Newton, com a força de Lorentz como a resultante (caso não
haja outras forças):
d 2r
m 2  q E  v  B
dt
•Escreva as equações para cada uma das componentes da posição;
•Solucione cada uma das equações diferenciais de segunda ordem resultantes.
Estudar os exemplos 5.1 e 5.2 do Griffiths.
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
Considere um fio com uma densidade de cargas , as quais movem-se com velocidade v.
Então, certa quantidade de cargas atravessará a seção reta do fio em um intervalo de
tempo t.
l
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
Portanto, a corrente elétrica que passará pelo fio será dada por:
I = v

A força que atua nestas cargas, será a soma das forças que atua em cada uma delas. Na
hipótese de que temos um número muito grande de cargas, então podemos escrever:
F    v  B dq    v  B  dl     v  B dl
F    I  B dl
F    I  B dl   I  dl  B  I || dl 
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
Hipótese: a carga elétrica é conservada.

Sob esta hipótese, o fluxo de carga elétrica atravessando uma superfície S, fechada,
deve ser igual à variação da carga elétrica dentro do elemento de volume limitado pela
superfície S:
 3

3
d
r


J
da



.
J
d
r


.
J





t
V t
S
V
.J 

0
t
Equação da
continuidade.
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
Do mesmo modo que cargas estacionárias levam a campos eletrostáticos, correntes
estacionárias levam a campos magnéticos que não dependem do tempo.

A lei de Biot-Savart é um resultado experimental que nos permite calcular o campo
magnético criado por uma corrente estacionária:
0 I (r  r´)
I 0 dl´(r  r´)
B(r ) 
dl ´ 

3
4 | r  r´|
4  | r  r´|3
r -r´
P
dl´
I
r
r´
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 0  4  107 N/A 2 


N
 B   T 





A .m




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
Da mesma forma que fizemos para o campo eletrostático, vamos calcular o rotacional de
B. Por que precisamos fazer isto?
A álgebra vetorial nos ensina que somente conhecemos um
campo univocamente se conhecermos o seu divergente e o
seu rotacional!

Vamos partir da expressão para o campo criado por uma distribuição de correntes em
certo elemento de volume:
0 J(r´) (r  r´) 3
B(r ) 
d r´

3
4
| r  r´|
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Vamos tomar o divergente do campo criado na posição P localizado pelo vetor r:
 0 J(r´)  (r  r´) 3 
 B(r )   
d r ´

3
| r  r´|
 4

O operador divergente atua somente sobre o vetor r:

(r  r´)  (r  r´)
(r  r´)
  J(r´) 

.

J
(
r
´)

J
(
r
´).

3
3
3
|
r

r
´|
|
r

r
´|
|
r

r
´|


O primeiro termo é nulo (o operador divergente atua sobre as variáveis sem linha), assim como o
segundo. Portanto:
 B 0
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
Vamos agora calcular o rotacional do campo. Partimos, novamente, da Lei de BiotSavart:
 0 J(r´)  (r  r´) 3  0
J(r´)  (r  r´) 3
  B(r )    
d
r
´



d r´



3
3
| r  r´|
| r  r´|
 4
 4
Novamente, o operador rotacional atua somente sobre o vetor r:

(r  r´) 
(r  r´)
(r  r´)
  J(r´) 

J
(
r
´)


J
(
r
´).



3
3
| r  r´| 
| r  r´|
| r  r´|3

Termos que envolvem derivadas de J(r´)
foram desconsiderados.
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
Não vamos mostrar aqui, mas podemos escrever:

(r  r´)
3

4

r  r´ 

3
| r  r´|
Delta de Dirac
O segundo termo, quando integrado dá zero. Portanto, o rotacional do campo
magnético será dado por:
0
0
J(r´)  (r  r´) 3
3
 B(r ) 

d
r
´

J
(
r
´)4

r  r´ 



3
4
4
| r  r´|
 B(r )  0J(r )
Forma incompleta da
Lei de Ampére
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
Vamos usar o Teorema de Stokes para obter a forma integral da Lei de Ampère. O
Teorema de Stokes nos diz que, para um campo vetorial V qualquer é válido que::
S   V da  C V dl
S é uma
superfície
aberta.
Contorno de S
V
S
da
Importante: S é uma
superfície aberta!
dl
C
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Importante: O contorno
C limita infinitas
superfícies!
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
Vamos usar O Teorema de Stokes para reescrever a Lei de Ampère:
S   B da  C B dl    J da
0
C B dl   I
0
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Forma integral da Lei de
Ampère (C é chamada de
superfície amperiana).
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
Uma propriedade de campos vetoriais é a seguinte:
.   V   0 V
Logo, como o campo magnético tem divergente nulo, ele pode ser escrito como o
rotacional de um outro vetor, A, chamado potencial vetor:
B   A
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
Vejamos como fica a Lei de Ampère em função do potencial vetor:
 B(r )     A     .A   2A  0J(r )
Como dito anteriormente, um vetor somente fica completamente definido se
soubermos o seu rotacional e o seu divergente;
No momento, nada sabemos sobre o divergente do potencial vetor. Podemos então
escolher o valor que queremos para o potencial vetor. Esta escolha do valor para o
divergente do potencial vetor é chamada de calibre (gauge).
Uma escolha conveniente para o divergente do potencial vetor é zero.
Logo, com esta escolha de calibre, podemos escrever:
 . A 0
  .A   2 A  0 J(r ) 
2 A  0 J(r )
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