Matematika összefoglaló A középiskolai tananyag vázlatos áttekintése, gyakorló feladatok Összeállította: Deák Ottó mestertanár Általános- és Felsőgeodézia Tanszék Matematika konzultáció az I. évfolyamnak.
Download ReportTranscript Matematika összefoglaló A középiskolai tananyag vázlatos áttekintése, gyakorló feladatok Összeállította: Deák Ottó mestertanár Általános- és Felsőgeodézia Tanszék Matematika konzultáció az I. évfolyamnak.
Matematika összefoglaló A középiskolai tananyag vázlatos áttekintése, gyakorló feladatok Összeállította: Deák Ottó mestertanár Általános- és Felsőgeodézia Tanszék Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 1 A bemutató vázlata • Bemutatkozás, a konzultáció célja • Tapasztalatok a matematika középiskolai oktatásáról • A középiskolai tananyag vázlatos és gyors áttekintés • A Matematika Tanszék mintadolgozatának megoldása • További mintapéldák megoldása • Tanácsok a matematika tanulásához Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 2 Bemutatkozás • Deák Ottó mestertanár, BME Építőmérnöki Kar, Általános- és Felsőgeodézia Tanszék • ELTE TTK Matematikus diploma • 33 év egyetemi oktatói tapasztalat • Kb. 40 év matematika korrepetálás középiskolásoknak • Az I. évf. 7. tankör osztályfőnöke a 2010/2011. tanévben • Segítőim az évfolyam mentorai (diák patrónusai) • Letöltés: http://www.agt.bme.hu/staff_h/deak Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 3 Tapasztalatok I. • A BME-n a matematika kiemelt fontosságú alaptárgy – – – – A felvételin döntő jelentősége van Minden műszaki szaktárgy rá épül Alapkészségeket és gondolkodásmódot tanít Az egyik első szűrő a mérnökké válás folyamatában • Szerepe és súlya a középiskolában – Megnövekedett tananyag – Csökkenő követelmények – Az érettségi szerepe a tudás kontrolljában Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 4 Tapasztalatok II. • Az elmúlt évek tapasztalata az egyetemi oktatásban: – egyre alacsonyabb szintű matematika-ismeretekkel érkeznek a hallgatók az I. évre; – a lexikális ismeretek nagy része hiányzik („benne van a függvény-táblában”!); – gyenge számolási készség (számológépek használata); – a feladat-megoldási rutin hiánya (időhiány, más elfoglaltság miatt); – a felvételinél nem követelmény az emelt szintű matematika érettségi. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 5 Következmények • Az előbb felsorolt tényezők hatása az egyetemi oktatásra: – az alapozó tárgyakban magas bukási arány; – az egyetemen gyakran középiskolai anyagot is tanítani kell; – a nem kimondottan matek-alapú tárgyakban is nagy lemorzsolódás (pl. geodézia). • Védekezési mechanizmusok az egyetem részéről: – matematika-felmérő íratása; – felzárkóztató matematika-oktatás (középiskolás anyag megtanítása). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 6 Matematika összefoglaló • Tematikus összeállítás • A középiskolai tananyag fontos fejezetei • Alapfogalmak, definíciók, főbb képletek, fontos tételek • Nem pótolja a tankönyveket! • Szerepe: – gondolatébresztés, – hiány-feltárás, – figyelmeztetés Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 7 Matematikai jelölések az anyagban • Szimbolikus jelölések az anyagban: – – – – – – – – – – : a megadott értékek közelítően egyenlőek : minden olyan elem, amely… : létezik olyan elem, amely… : az előzőekből következik : eleme a magadott halmaznak : nem eleme a halmaznak : a megadott halmaz részhalmaza (valódi) : halmazok egyesítése (uniója) : halmazok közös része (metszete) : a megadott elemek összege Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 8 Algebrai kifejezések I. • Algebrai kifejezés fogalma, elemei – – – – – Számok Változók Paraméterek Műveleti jelek Zárójelek • Számok a kifejezésekben, számítási élesség – – – – Természetes számok Egész számok Racionális számok Valós számok (irracionális szám fogalmával) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 9 Algebrai kifejezések II. • Műveletek algebrai kifejezésekkel – – – – Zárójelek szerepe, felbontása Racionális kifejezések, műveletek törtekkel Kiemelés, összevonás, egynemű kifejezés fogalma Fontosabb algebrai azonosságok a b 2 a 2 2 a b b 2 a b 3 a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3 a b a b a 2 b 2 n n n 1 n2 n2 a b a b a a b a b n n n 1 n2 n2 a b a b a a b a b n n n 1 n2 n2 a b a b a a b a b Matematika konzultáció az I. évfolyamnak b n 1 b n 1 b n 1 , n N , n N , n , n N , n páros páratlan 10 Hatványozás • Ismételt szorzás, egyszerűbb jelölés • Azonosságok a definíció alapján, kiterjesztése a a a a n a a n a n a n a m m m a a nm a a 0 m n a n m a nm n n a n a 1 0n a 0 a n 1 a n p a a b n n a a b n q q a p n n a a n b b Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 11 Gyökvonás • Négyzetgyök, n-dik gyök fogalma n a x a x 2 a y a y n • Műveletek gyökös kifejezésekkel a b a a b b a n n m a b a a n m n a Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 12 Törtek gyöktelenítése • Azonos átalakítások, a tört értéke nem változik a a a b n b c b c a a b a b b b b n b c a n b n b c b c n n 1 b c n n 1 b n n 1 a b n b n2 n n a b c bc b b n2 n2 n c n c n c n c n 1 n n c c n 1 n 1 bc Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 13 Oszthatóság I. • Az egész számok körében értelmezzük: – Osztandó, osztó, hányados, maradék fogalma – Maradék nélküli és maradékos osztás – Összetett és prím szám • Az algebra alaptétele Minden egész szám (sorrendtől eltekintve) egyértelműen bontható fel prímszámok szorzatára • Prímfelbontás előállítása n p1 1 p 2 2 p r r , k k k p i prímszám • Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 14 Oszthatóság II. • Oszthatósági szabályok – – – – – – – – – – 2: páros számok 3: számjegyek összege osztható 3-mal 4: utolsó két jegy osztható 4-gyel 5: utolsó számjegy 0 vagy 5 6: páros és osztható 3-mal 7: 3-as csoportok váltakozó előjelű összege osztható 7-tel 8: utolsó három jegye osztható 8-cal 9: számjegyek összege osztható 9-cel 10: utolsó jegye 0 11: páros helyiérték összege – páratlan helyiérték összege osztható 11-gyel Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 15 Függvények I. • Kapcsolat 2 halmaz elemei között f : A B; y f ( x ), ahol x A, y B • Általában számhalmazok közötti művelet – Alaphalmaz, képhalmaz – Értelmezési tartomány • Df A, azon A-beli pontok halmaza, ahol az f értelmezhető – Értékkészlet • Rf B, azon B-beli pontok halmaza, amelyeket az f az Rf-beli pontokban felvesz értékként • Függvény inverze (megfordítása) f :A B f 1 :B A Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 16 Függvények II. • Függvények tulajdonságai – Monotonitás • Szigorúan monoton növő, monoton növő x1 , x 2 D f , x1 x 2 f ( x1 ) f ( x 2 ), illetve f ( x1 ) f ( x 2 ) • Szigorúan monoton fogyó, monoton fogyó x1 , x 2 D f , x1 x 2 f ( x1 ) f ( x 2 ), illetve f ( x1 ) f ( x 2 ) – Korlátosság • Felülről korlátos K1 , x D f f ( x ) K1 • Alulról korlátos K 2 , x D f f ( x ) K 2 • Korlátos K 1, K 2 , x D f K 1 f ( x ) K 2 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 17 Függvények III. • Függvények tulajdonságai – Paritás • Páros f : , x D f f x f x • Páratlan f : , x D f f x f x – Határérték lim f ( x ) A A , 0 0 , x D f , x x 0 f ( x ) A x x0 – Folytonosság • Az f : függvény folytonos az , lim f ( x ) f x 0 x0 D f pontban, ha x x0 – Periodikusság Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 18 Függvények IV. • Függvények megjelenítése, grafikonja f : , x D f y f ( x ) P ( x , f ( x )) • Függvények megadása – – – – táblázattal kifejezéssel egyenlettel grafikonnal Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 19 Függvények V. • Függvények transzformációja – f(λ·x) – f(x+a) – c·f(x) – f(x) + t - széthúzás λ-szorosra az X tengely irányába - eltolás balra a-val az X tengely irányába - széthúzás c-szeresre az Y tengely irányába - eltolás t-vel az Y tengely irányába Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 20 Elemi függvények • Tulajdonságok ismerete: a korábbi fogalmak értelmezése az adott függvényre • Fontosabb függvények: – – – – – – – – Konstans függvény; Lineáris függvény; Abszolutérték függvény; Másodfokú (parabola) függvény; Egészrész, törtrész függvény; Lineáris törtfüggvény; Logaritmikus, exponenciális függvények; Trigonometrikus függvények. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 21 Elsőfokú (lineáris) egyenletek • Olyan algebrai kifejezések, amelyeket = jel kapcsol össze, és benne betűvel jelzett mennyiségek is szerepelnek. • Ezek lehetnek paraméterek és ismeretlenek is. • Az egyenlet megoldása az ismeretlen(ek) azon értékének meghatározása, amelyeket az egyenletbe helyettesítve, az egyenlőség két oldala azonosságot fejez ki. • A megoldást a mérleg-elv segítségével kapjuk meg (mi az?). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 22 Lineáris egyenlőtlenségek • Megoldásuk: mint az egyenleteknél • Eltérés: ha negatív számmal osztunk vagy szorzunk, az egyenlőtlenség iránya megváltozik • A megoldás általában egy halmaz (intervallum) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 23 Többismeretlenes egyenletek • Megoldási módszerek: – kiküszöböléssel – helyettesítéssel • Lehetnek ellentmondásosak (nincs megoldásuk) vagy összefüggőek (végtelen sok megoldásuk van). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 24 Másodfokú egyenletek • Általános alakjuk: ax bxc 0 2 • Megoldásukhoz a mérleg-elv nem elegendő • Megoldóképlet: x1, 2 b b 4a c 2 2a • Összefüggések (Viéte-formulák, gyöktényező): x1 x 2 b a x1 x 2 c a x x1 x x 2 0 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 25 Exponenciális egyenletek • Az ismeretlen a kitevőben található • Azonosságok használatával: – átalakítás a kifejezés 1 a kifejezés 2 alakra, amiből az a fv szigorúan monoton tulajdonsága miatt kifejezés 1 kifejezés 2 következik, ami megoldható; – új ismeretlen bevezetésével visszavezetés másodfokú egyenletre, aminek megoldása után kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit. x a x Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 26 Logaritmikus egyenletek • Az ismeretlen a logaritmus alatt található • Azonosságok használatával: a x – átalakítás log a kifejezés 1 log a kifejezés 2 alakra, amiből a log a x fv szigorúan monoton tulajdonsága miatt kifejezés 1 kifejezés 2 következik, ami megoldható; – új ismeretlen bevezetésével visszavezetés első- vagy másodfokú egyenletre, aminek megoldása után kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 27 Szögfüggvények I. • Derékszögű háromszögekben értelmezzük sin a tg b c cos a b ctg b a c • Néhány elemi összefüggés: sin cos tg ctg tg sin cos sin 2 cos 1 2 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 28 Szögfüggvények II. • Addíciós azonosságok: sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tg • Kétszeres szögek: tg tg 1 tg tg sin 2 2 sin cos cos 2 cos sin 2 tg 2 2 2 tg 1 tg 2 • Egyszerű átalakítások: sin 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 2 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 29 Szögfüggvények III. • További összefüggések: sin sin 2 sin cos 2 sin sin 2 sin 2 cos 2 cos cos 2 cos 2 cos 2 cos cos 2 sin 2 2 sin s 2 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 30 Trigonometrikus egyenletek • Megoldásukhoz használni kell a trigonometrikus azonosságokat! • Az egyenletet átalakítjuk, hogy csak egy szögfüggvény szerepeljen benne. • A kapott egyenletet megoldjuk vagy visszavezetjük új ismeretlen bevezetésével másodfokú egyenletre. • A megoldás értelmezése: – periódikusság miatti additív konstansok alkalmazása; – a megoldás általában párban jelenik meg (két szögnegyedben is azonos a szögfüggvény értéke). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 31 Sorozatok I. • Számok rendezett (sorszámozott) halmaza, más szóval egy leképezés a természetes számok halmazáról a valós számok halmazára: a : N , a i , i 1,2 ,..., n • Jellemző mennyiségei: – – – a 1 : a sorozat első tagja a n : a sorozat n-dik tagja S n : az első n tag összege • Definiálása – explicit képlettel – implicit (rekurzióval) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 32 Sorozatok II. • Fontosabb számsorozatok: – Számtani • a szomszédos tagok különbsége állandó a n a1 n 1 d ; Sn a1 a n n 2 a1 n 1 d 2 – Mértani n 2 • a szomszédos tagok hányadosa állandó q 1 n a n a1 q n 1 S n a1 ; – Fibonacci q 1 • minden tag az előző kettő összege a1 1; a 2 1; a n a n 2 a n 1 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak ( n 3 ,4 ,...) 33 Vektorok • Irányított szakasz a síkban vagy a térben • Jellemzői: – állása (melyik egyenessel párhuzamos); – iránya (merre mutat); – hossza (távolság a kezdő- és a végpont között). • Nem jellemző: – kezdő- vagy támadási pontjának helye • Műveletek vektorokkal – – – – Számmal való szorzás Összeadás, kivonás Skaláris szorzás (két vektor szorzata egy szám) Vektoriális szorzás (két vektor szorzata egy újabb vektor) • Ábrázolása koordinátarendszerben – helyvektor (kezdőpontja az origóI Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 34 Geometria I. • Fontosabb geometriai témák és fogalmak: – Síkidomok osztályozása – Háromszögek tulajdonságai, fontosabb tételei: • Thalesz tétel, Pithagorasz tétel • Számítási módszerek: sinus- és cosinus tétel sin us tétel : cos inus tétel : a sin b sin c sin 2 c a b 2 a b cos 2 2 2 • Szögfelező tétel • Derékszögű háromszögben befogó- és magasság tétel • Súlypont, magasságpont, oldalfelező, szögfelező tulajdonságai Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 35 Geometria II. • A kör és fontosabb tulajdonságai: – A kör részei: középpont, sugár, átmérő, körív, körszelet, körcikk – Középponti- és kerületi szögek tétele – Külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok tétele – Húrnégyszög, érintőnégyszög tétele – Háromszögbe, háromszög köré írt kör Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 36 Geometria III. • További fontosabb fogalmak és tételek: – Párhuzamos szelők tételei és megfordításuk – Síkidomok, háromszögek hasonlósága és egybevágósága – Síkidomok, háromszögek kerülete, területe – Szabályos sokszögek tulajdonságai – Síkbeli transzformációk Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 37 Koordinátageometria I. • A geometria számszerűsítése, geometriai alakzatok egyenletekkel történő megadása • Alkalmazásával a geometriai feladatok analitikus megoldást nyernek (egyenletek használata, megoldása) • Egy geometriai objektum egyenlete egy olyan azonosság, amelyet csak az objektum pontjai elégítenek ki (a koordinátájukat az egyenletbe helyettesítve azonosságot kapunk) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 38 Koordinátageometria II. • Az egyenes egyenletei: – Irány vektoros egyenlet v v1 ; v 2 , P0 x 0 ; y 0 • Adott: • Egyenlet: v 2 x v1 y v 2 x 0 v1 y 0 – Normál vektoros egyenlet n A ; B , P0 x 0 ; y 0 • Adott: • Egyenlet: A x B y A x0 B y 0 – Két pontos átmenő egyenes egyenlete P1 x1 ; y1 , P2 x 2 ; y 2 • Adott: y 2 y 1 x x1 x 2 x1 y y 1 • Egyenlet: – Meredekségével adott egyenes egyenlete m , P0 x 0 ; y 0 • Adott: • Egyenlet: y y0 m x x0 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 39 Koordinátageometria III. • A kör egyenlete • Adott: • Egyenlete: C u ; v , r x u 2 y v 2 r 2 • A kör egyenletének általános alakja Ax A y Bx C y D 0 2 2 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 40 Polinomok I. • A polinom (vagy többtagú algebrai kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek. • A polinomban a számokkal szorzott hatványszorzatokat monomoknak (vagy egytagoknak) nevezzük. • A monomokban lévő számszorzókat a polinom együtthatóinak hívjuk. • A polinomokkal műveletek végezhetők – összeadás, kivonás, szorzás, osztás Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 41 Polinomok II. • Polinomok (maradékos) osztása: – Az osztandó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának és az osztó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának a hányadosát képezzük – Ezzel a hányadossal megszorozzuk az osztót és az eredményt levonjuk az osztandóból – A kapott új polinommal megismételjük az előbbi eljárást – A fenti lépéseket addig ismételjük, amíg az osztandó alacsonyabb fokszámú lesz, mint az osztó – Ha a megmaradó osztandó nem nulla, akkor maradékos osztásról beszélünk Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 42 Polinomok III. • Polinomok (maradékos) osztása: – Az osztandó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának és az osztó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának a hányadosát képezzük – Ezzel a hányadossal megszorozzuk az osztót és az eredményt levonjuk az osztandóból – A kapott új polinommal megismételjük az előbbi eljárást – A fenti lépéseket addig ismételjük, amíg az osztandó alacsonyabb fokszámú lesz, mint az osztó – Ha a megmaradó osztandó nem nulla, akkor maradékos osztásról beszélünk Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 43 Mintazárthelyi • A feladatlapon csak egy helyes választ lehet megadni • A feladat szövegét figyelmesen olvassák el! • Csak a biztos megoldásokat írják be, ne tippeljenek! • A részszámításokat minden esetben el kell végezni, de külön lapon. • A megoldás sorrendje nem feltétlenül a számsorrend. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 44 Mintazárthelyi feladatlap Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 45 1. feladat Megoldás: a 1 a a 1 1 a a 1 a a 1 1 a a a a 1 a Helyes válasz: B Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 46 2. feladat Megoldás: 10 4 lg 25 10 10 4 lg 25 10000 400 20 25 Helyes válasz: D Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 47 3. feladat Megoldás: Helyes válasz: C Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 48 4. feladat Megoldás: 1. 3. a a a b log c a bc a b a c 2. a a a b b bb a 2 b a b 2 b c log a b log a c log a b c Helyes válasz: D Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 49 5. feladat Megoldás: lg x x értelmezhe tő , ha 1 x 0 , ezért : 0 x x 1 / x , ha x 0 x 1 1 x / x , ha x 0 x 1 1 x 0 2 x x 1 2 x Helyes válasz: C Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 50 6. feladat Megoldás: sin 75 cos 75 1 2 sin 75 cos 75 2 1 1 2 sin 2 75 1 1 1 1 sin 150 sin 30 2 2 2 2 4 Helyes válasz: C Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 51 7. feladat Megoldás: f(x) g(x) h(x) Helyes válasz: C Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 52 8. feladat Megoldás: T 4 2 T1 T 2 1 T 2 T 4 2 T1 1 T1 T 4 4 4 2 1 20 T1 T4 1 2 2 5 2 2 1 5 T1 3 20 1 3 1 T 3 1 4 T1 4 T 2 1 4 4 20 20 5 Helyes válasz: B Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 53 1 20 9. feladat Megoldás: t1 s1 v1 46 km 100 km 46 t2 h 100 s2 v2 46 km 60 h v s t 100 h 46 h 60 h 92 km 46 km 46 h 60 92 km 138 230 h 92 300 km 368 h 75 km h 300 Helyes válasz: A Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 54 10. feladat Megoldás: 2 1 2 x 14 x 14 x x 1 x 2x 2 1 x x 2 2 1 x 2 1 x 2 196 196 x 2 1 x 2 194 Helyes válasz: B Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 55 11. feladat Megoldás: V össz c p c p q q c p darab össz q m c p q n m cn p m q n Helyes válasz: D Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 56 12. feladat Megoldás: sin( x ) Helyes válasz: A x sin 2 x sin 2 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak x sin 1 2 57 13. feladat Megoldás: x 8x y 4 y 4 0 2 x 4 2 2 16 y 2 4 4 0 2 x 4 2 y 2 2 16 x 4 2 y 2 2 4 O ( 4 , 2 ); r 4 2 Helyes válasz: E Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 58 14. feladat Megoldás: A( 5 ; 2 ) e: B ( 2 ;7 ) F( 7 5 ; ) 2 2 n ( 3 ;9 ) 7 5 3 x 9 y 3 9 2 2 3x 9 y 21 2 3 x 9 y 12 45 2 x 3 y 4 Helyes válasz: A Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 59 15. feladat Megoldás: Eredeti érték : x Évente 20 % csökkenés 0 ,8 x 2 év után : 0 ,64 x Ennek 3 4 e: 3 0 ,64 x 0 ,48 x 4 Helyes válasz: B Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 60 További mintapéldák • Az alábbi feladatok megoldását külön oldalon közöljük • A példák önálló megoldását javasoljuk, a kidolgozott megoldást ellenőrzésre használják • További feladatok megoldása segít a felkészülésben • Ajánlott segédlet: Egységes érettségi feladatgyűjtemény – Matematika (Konsept-H Könyvkiadó, 2002) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 61 Példák I. 1) Egy matematika versenyen két feladatot tűztek ki. Az elsőt az indulók 70 %-a, a másodikat pedig az indulók 60 %-a oldotta meg. Minden induló megoldott legalább egy feladatot, és kilencen mindkét feladatot megoldották. Hányan indultak a versenyen? 2) Számológép használata nélkül állapítsa meg, melyik nagyobb a következő számok közül: vagy 1 2 2 9 4 2 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 62 Példák II. 3) Fejezze ki c-vel az alábbi kifejezéseket, ha c log a b . Tegye meg a szükséges kikötéseket is! c log a ( a b ) log a a log a b 3 b 4) Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: 1 a a a 2 3 1 a 3 5s 2s 1 s 2s ( a 1 ) 1 1 1 1 1 2 1 a 2 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 63 Példák III. 5) Végezze el az alábbi polinomos osztást. Mennyi lesz a művelet maradéka? 4 x 7 x 5 x 5 x 4 x 1: 2 x 3 x 1 6 4 3 2 2 6) Egy háromszög egyik szöge a másik két szög számtani közepe. A két nagyobbik szög együttvéve akkora, mint a legkisebb szög háromszorosa. Mekkorák a háromszög szögei? 7) Melyik az az ötjegyű szám, amely után egy 1est írva, háromszor akkora számot kapunk, mintha az elejére írnánk egy 1-est? Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 64 Példák IV. 8) Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget: 2x 4 3 x 2 9) Melyik az a legbővebb halmaz, amelyen az alábbi f(x) függvény értelmezhető? f(x) tg ( x ) 1 2 sin( x ) 10) Három szám összege 114. Lehetnek egy mértani sorozat első három tagja, vagy egy számtani sorozat 1., 4. és 25. tagja is. Mely számokról van szó? Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 65 Példák V. 11) Vízszintes sík talajon álló 100 m magas felhőkarcolóból megmérjük egy egyenes útszakasz két végpontjának depressziószögét és az útszakasz látószögét. A mért értékek rendre 4,5º; 5,5 º és 75 º. Mekkora az útszakasz hossza? 12) Adja meg annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a C(0;5) pont és érinti a g : 5 x 3 y 19 egyenest. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 66 Megoldások 1) Az egyik feladatot 60%, a másodikat 70% oldotta meg, ezért mindkét feladattal 30% foglalkozott. Tudjuk, hogy ez 9 főt jelent, így a teljes létszám 30 tanuló. Ennyien indultak a versenyen. 2) Azonos átalakításokkal kapjuk: 9 4 9 4 9 ?? 2 2 ?? 1 2 2 ?? 1 4 2 42 / " 2" 9 Vagyis a ?? helyére = írható! Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 67 Megoldások 3) log a ( a b ) log a a log a b 1 c log a a log b a a log a b 1 c log a b 3 log a b 3 c 3 4) 1 a a 2 a 3 1 a 1 a 1 a a a a 2 1 a 1 a a 2 1 a a 3 2 1 a 3 3 1 1 a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 1 a 1 1 1 a 1 a a 1 a a 1 2a 1 2a 1 a 1 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 2a 1 a 2a 1 68 Megoldások 4) (folytatás) 3 5s 2s 1 s 2s mert : 2 2 x1 , 2 x1 , 2 x 1 2 x 3 x 3 x 1 2 x 1 x 1 5 25 4 ( 2 ) 3 2 ( 2 ) 1 1 4 ( 2 ) 1 2 ( 2 ) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 1 2 3 1 2 1 69 Megoldások 5) 4x 7 x 5x 5x 4x 1 : 2x 3x 1 2x 3x x 1 6 4 4x 6x 2x 6 5 3 2 2 4 3 4 6x 9x 5x 5x 4x 1 5 4 3 6x 9x 3x 5 4 2 3 2x 5x 4x 1 3 2 2x 3x x 3 2 2x 3x 1 2 2x 3x 1 2 0 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 70 Megoldások 6) 3; ; 180 2 5 ; 4 3 4 3 3 45 ; 7) 5 180 12 3 60 ; 180 3 75 10 x 1 3 100000 x 10 x 1 300000 3 x 7 x 299999 x 42857 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 71 Megoldások 8) 2x 4 3 x 4 x 10 3 x 4 x 10 3 x 2 2 x 4 2 3 x 3 x 0 4 x 10 0 3 x 0 4 x 10 3 x x 2 ,5 3 x 2 ,5 x 3 0 4 x 10 0 3 x 0 4 x 10 3 x x 2 ,5 3 x nincs megoldás! Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 72 Megoldások 9) f(x) tg ( x ) 1 2 sin( x ) tg ( x ) értelmezet t 1 2 sin( x ) 0 x k 1 2 sin( x ) 2 1 sin( x ) 2 5 2 k x 2 k 2 k x 2 2 k x k 6 6 2 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 73 Megoldások 10) I. a a q a q 114 2 a 1 q q II. a q a 2 114 a q a q 2 3 a 21 q 1 a q 3 21 q 1 21 q q7 3 I. a 1 7 49 114 a 2 d a q 1 3 26 d 4 3 a1 2 a 2 2 7 14 a 3 2 7 98 2 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 74 Megoldások 11) sin 4 ,5 100 t1 sin 5 ,5 100 t2 t1 t2 100 sin 4 ,5 100 sin 5 ,5 1274 ,55 1043 ,34 t t1 t 2 2 t1 t 2 cos 75 2 2 2 t 1274 ,55 1043 ,34 2 1274 ,55 1043 ,34 cos 75 2 2 2 t 1422 ,91 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 75 Megoldások 12) k : x y 5 r 2 2 g : 5 x 3 y 19 2 x y 10 y 25 r 2 2 x 2 19 3 y 5 361 114 y 9 y 2 y 10 y 25 r 2 2 25 361 114 y 9 y 25 y 250 y 625 25 r 2 2 2 34 y 136 y 986 25 r 0 2 2 D 136 2 4 34 986 25 r 2 0 18496 134096 3400 r 0 2 3400 r 115600 2 r 34 2 k : x y 10 y 25 34 2 2 k : x y 10 y 9 0 2 2 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 76 Tanácsok a matematika tanulásához • • • • • • • • Részvétel az előadásokon Jegyzet készítése – ha nem ért valamit, akkor is! Óra után az anyag átnézése és megértése Problémás részekről konzultálás évfolyamtárssal, felsőbb évessel A gyakorlaton aktív részvétel (kérdezés!) A feladatok önálló megoldása az óra után Mintapéldák megoldása (begyakorlás) Zárthelyire készülés (csoportos feladatmegoldás) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 77