Transcript A 1. En la siguiente ilustración se observa un árbol de navidad, y uno de los alambres que lo sostiene; el alambre mide 10m de.

A
1. En la siguiente ilustración se
observa un árbol de navidad, y
uno de los alambres que lo
sostiene; el alambre mide 10m
de longitud, forma un ángulo de
60º con el suelo, y se extiende
desde una estaca E situada en el
suelo hasta un punto B, situado
a 0,5 m dl vértice superior A de la
estrella
¿Cuál
de
las
siguientes
expresiones
representa
la
distancia d (en metros) del piso
al vértice A de la estrella?
A.
B.
C.
D.
d= 10 tan60º - 0,5
d= 10 sen60º + 0,5
d= (102-x2) - 0,5
d= (102-x2) + 0,5
0,5 m
B
10 m
E
d (m)
60º
x (m)
d  h  0 ,5
sen 60 º 
h
10
h  10 sen 60
d  10 sen 60 º  0 , 5
4𝑎2 < 64
𝑎2 < 16
𝑎<4
62
A1  x
2
A2  4 a
2
a
x  2a
x  2a
64
BANDAS
BANDAS
LATERALES LATERALES
BASE
CARASSE
CARAS
CORREA
LA COSTURA SERÁ
2x
x
x x x
2 x  2   4   2   2x   2x   5x
3
3
3 2 6
RESPONDA LAS PREGUNTAS 72 A 74 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE
INFORMACIÓN
En la siguiente figura se muestran dos recipientes metálicos que tienen
forma de cilindro circular recto.
El recipiente tipo 1 tiene
radio r y su altura (h) es el
doble del radio. El recipiente
tipo 2 tiene la misma altura
del tipo 1 y su radio es la
mitad del radio del recipiente
tipo 1
72.Si la capacidad del recipiente tipo 1 es de 128 p cm3, su
altura es
A. 5 cm
C. 2 cm
B. 8 cm
D. 4 cm
V  pr h
2
1 2 8p  p r
64  r
3
r  4
h  2r
h  24
h  8
2
2r 
El recipiente tipo 1 tiene
radio r y su altura (h) es el
doble del radio. El recipiente
tipo 2 tiene la misma altura
del tipo 1 y su radio es la
mitad del radio del recipiente
tipo 1
73.Se quieren empacar 6 recipientes tipo 1 en una caja con
base rectangular, desperdiciando la menor cantidad de
espacio posible. Las dimensiones de la caja deben ser
A. 3r, 5r y 4r
C. 3r, 2r y 2r
B. 6r, 8r y r
D. 6r, 4r y 2r
2r
6r
4r
El recipiente tipo 1 tiene
radio r y su altura (h) es el
doble del radio. El recipiente
tipo 2 tiene la misma altura
del tipo 1 y su radio es la
mitad del radio del recipiente
tipo 1
74. El volumen del recipiente tipo 2 es
A. La cuarta parte del volumen del recipiente tipo 1.
B. Cuatro veces mayor que el volumen del recipiente tipo 1.
C. La mitad del volumen del recipiente tipo 1.
D. El doble del volumen del recipiente tipo 1.
V1  p r
V2
2
h
 r 
 p 

 2 
V2  p
V2 
1
V2 
1
r
2
h
4
p r h
2
4
4
2
V1
h
RESPONDA LAS PREGUNTAS 75 a 76 DE ACUERDO CON LA
SIGUIENTE INFORMACIÓN
Se tienen los siguientes recipientes, uno de forma
semiesférica, uno cilíndrico y otro de forma cónica de radio R
y altura h como se muestra en la ilustración
75. Respecto a la capacidad de estos recipientes NO es correcto
afirmar que
A.
B.
C.
D.
la capacidad del 2 es el triple del 1
la capacidad del 3 es el doble del 1
la capacidad del 3 es la mitad del 1
la capacidad del 1 es la tercera parte del 2
76. Si R= 3dm la capacidades de los recipientes 1, 2 y 3
expresadas en litros, son respectivamente
77. A continuación se muestra la representación de un
sector de la malla vial de una ciudad.
Si X es la longitud, en
metros, de la diagonal 19A
entre las carreras 61 y 62,
la expresión que permite
calcular correctamente X
es
100
200

120
120  x
100 120  x   120  200 
12000  100 x  24000
78. Todos los puntos de la región sombreada en el plano de
la ilustración satisfacen las siguientes dos condiciones:
y


T
S

H
x










V


P :  x, y  / 4  x  y  9
2

V :
V :
2
2    1  9

2 ,  1  / 4  2  1  9 F also
2 , 1 / 4 
2
2
5.
En la siguiente figura se muestra un triangulo rectángulo isósceles,
cuya hipotenusa mide 2cm .
2 cm
Para determinar la medida de cada uno de los catetos del triangulo, es
necesario resolver una ecuación cuadrática cuya solución pertenece al
conjunto de los números.
A.
B.
C.
D.
Irracionales mayores que 1
Racionales menores que 2
Irracionales menores que 1
Racionales mayores que 2
x
x
x
2
Sobre un plano cartesiano se construyó la representación de una cancha de fútbol;
la circunferencia central de la cancha está representada por la ecuación
(x+8)2+(y+5)2=4
¿Cuál es la representación de la cancha de fútbol?
Al lanzar una piedra dentro de una piscina, se observan ondas de forma circular
en la superficie del agua.
En el plano cartesiano de la figura se representa una vista de la piscina y la onda
se forma seis segundos de la lanzar la piedra.
¿Cuál es la ecuación que describe la circunferencia que forma la onda en la
piscina
A. (x+5)2+(y+4)2=4
B. (x+4)2+(y+5)2=4
C. (x-4)2+(y-5)2=4
D. (x-5)2+(y-4)2=4
La figura representa una pista de patinaje de carreras construida de forma elíptica,
ubicada en un sistema de coordenadas.
y


Pista de patinaje

Salida

b=4



Centro





Foco 1=(-3,0)



x

Foco 2=(3,0)






a=5
Figura

La coordenada del punto de salida respecto al centro de la pista es
A. (-3, 3.1)
Ecuación de la elipse con centro en el origen
B. (3, 3.2)
C. (-3, 3.2)
2
2
x
y
D. (3, 3.1)

1
a
2
b
2
La ecuación (x-3)2+(y+4)2=22 representa una circunferencia.
¿Cuál es la gráfica que representa la circunferencia desplazada 3 unidades hacia
arriba?
y
A
-7
-6
-5
-4
-3
-2
x
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1
B
y
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
-6
-7
-7
-8
C
-7
-6
-5
y
-4
-3
-2
-1
x
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
2
3
4
5
6
D
y
x
7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
2
3
4
5
6
7
12. La grafica que representa a la elipse
hacia la izquierda es
x  h 
a
2
2

(𝑥−1)2
52
y  k 
b
2
C  h , k   1,  1 
+
2
1
(𝑦+1)2
32
= 1 traslada 4 unidades
13. Andrea construyó una cometa con cuatro triángulos de papel que cortó de
dos rectángulos con las medidas que se señalan en los dibujos
La cometa armada tiene la siguiente forma:
40
20
La distancia entre los puntos K
y S es
A. 60 cm.
B. 75 cm.
C. 40 cm.
D. 55 cm.
17. En la secuencia de figuras que aparecen a continuación, se representan
polígonos regulares de lado 6, cada uno de ellos inscrito en una
circunferencia. En cada polígono se señala el apotema.
Si se continúa la secuencia, y el número de lados del polígono aumenta
indefinidamente, la razón entre el perímetro del polígono y su apotema
tiende a:
A. 3π
B. 6π
C. π
D. 2π
19. Se desea adquirir un terreno de forma cuadrada con un
perímetro entre 4 y 20 metros. Si x representa el lado del
terreno, los valores que puede tomar x para que el perímetro
del terreno cumpla la condición dada son
A. 2< x <10
B. 1< x<5
C. 4< x <20
D. 0< x <16
20. El conjunto de divisores de un número natural es finito. Este
conjunto puede tener un número par o impar de divisores. El
subconjunto de los números naturales en que todos sus
elementos tienen un número impar de divisores es:
A. Impares: {1, 3, 5, 7, 9,...}
B. Cubos: {1, 8, 27, 64, 81,...}
C. Triangulares: {1, 3, 6, 10, 15...}
D. Cuadrados: {1, 4, 9, 16, 25...}
25. Un ángulo diedro en un sólido geométrico es el ángulo formado por dos
caras adyacentes del sólido. En la figura se muestra uno de los ángulos
diedros de un prisma triangular.
¿Cuál de los siguientes sólidos geométricos tiene todos sus ángulos diedros
congruentes?
A
B
C
D
30. En el plano cartesiano de la figura se representa la gráfica de la
hipérbola
𝑥2
32
−
𝑦2
42
= 1 representa una hipérbola.
Las coordenadas del Foco1
A. ( 𝟕,0)
B. (3, 0)
C. (4,0)
D. (5,0)
59. En la ilustración aparece el pentágono MPSTV dividido en dos regiones: el
rectángulo MPTV y el triángulo PST; α, β y d son los ángulos interiores del
triángulo
90°
¿cuánto mide el ∢ MPS si la medida del ángulo  es la mitad de la medida del ángulo
b y la medida del ángulo d es el doble de la del ángulo ?
A. 108°
B. 144°
C. 150°
D. 162°
∢ MPS =90°+b
RESPONDA LAS PREGUNTAS 60 A 62 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE
INFORMACIÓN
El siguiente plano representa la avenida central y sus dos zonas verdes, las cuales
ocupan igual área, además muestra el tráfico a cierta hora del día.
60. Un taxi que parte del centro hacia la
iglesia San Mateo, a velocidad constante,
no puede continuar por la avenida
central y debe desviar por una de las vías
alternas. Para gastar menos gasolina, el
taxista debe
A. desviar por la avenida L, porque el ángulo
b es mayor que el ángulo  .
B. elegir cualquiera de los desvíos, porque
las zonas verdes son de igual área
C. desviar por la avenida S, porque
recorrerá una distancia menor
D. desviar por la avenida L, porque la zona
verde L es de menor área que la zona
verde S
61. La alcaldía decide tomar una parte de la zona L para hacer un parqueadero sin que se
altere la forma triangular inicial, éste quedará ubicado en la esquina de intersección
de la avenida L y la avenida M y el lado que da a la zona verde debe medir 10 metros.
De la zona, el ingeniero afirma que
A. la nueva zona tiene que tener medidas iguales para conservar la forma triangular.
B. las medidas de la zona de parqueo no se pueden saber, pues los datos suministrados
en el plano no son suficientes.
C. la zona de parqueo ocupará la cuarta parte de la zona verde L.
D. el costado de la zona de parqueo que da a la avenida L debe medir 20 metros.
62. Se tienen 450 metros de malla para encerrar las dos zonas verdes y evitar que
las motos dañen los jardines. El ingeniero encargado afirma de la cantidad de
malla disponible, que
A.
B.
C.
D.
no se puede calcular cuanta malla se necesita para las dos zonas.
sobran más de 40 metros de malla para encerrar los dos parques .
el área de las dos zonas es el doble de su perímetro.
sólo alcanza para la zona más grande y la mitad de la otra.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 66 Y 67 DE ACUERDO A LA SIGUIENTE INFORMACION
En la figura se presenta la parte lateral de un coliseo con algunas de las medidas del techo
La figura no está a escala
20 cm
h
20 cm
Techo
(2)
(3)
20 cm
30° 30° x
x
(4)
(1) 60°
60°
20 cm
20 cm
20 cm
Pared
Figura
66. ¿Con cuál de las siguientes expresiones se puede determinar x ?
A.
sen 60 

20 m
B.
x
sen 30 
sen 60 
x

20 m
sen 60 
C.
x
sen 60 

h
sen 30 
D. sen 30   sen 60 
x
h
La figura no está a escala
20 cm
20 cm
h
Techo
(2)
20 cm
x
(1)
30°
(3)
30°
60°
x
60°
20 cm
(4)
20 cm
20 cm
Pared
67. En el techo se han señalado cuatro piezas donde se puede identificar
A.
B.
C.
D.
dos triángulos isósceles y dos triángulos equiláteros
cuatro triángulos equiláteros
cuatro triángulos rectángulos
Dos triángulos rectángulos y dos triángulos escalenos
71. Los polígonos que tienen al menos una diagonal exterior (diagonal: segmento que
une dos vértices no consecutivos) se llaman polígonos cóncavos.
Observa la figura
Figura
¿Cuál de los siguientes polígonos de la figura es cóncavo?
A.
B.
C.
D.
LMNR
LRPQ
OPQR
NOQR
75. A continuación se presenta el desarrollo plano de un sólido, con las medidas (en
cm) de algunos lados de los polígonos que lo componen
4
3
7
5
3
¿Cuál es el volumen del sólido
A.
B.
C.
D.
42 cm3
70 cm3
84 cm3
96 cm3
4
5. La gráfica muestra un modelo de escuadra: el
ángulo mide 30° y el lado AB 36 cm.
Recuerde que
sen 30  
cos 30  
La mediada del lado BC es
A. 18 3 cm
B. 72 cm
C. 18 cm
D. 24 3 cm
1
2
3
2
6. En el plano cartesiano se construyó el
triángulo con vértices A(4, 2), B(6, 1), C(2,7 )
Respecto a las medidas de los ángulos del
triangulo ABC es correcto afirmar que:
A. m C = m B
B. m A= m B
C. m A> m B
D. m C > m B
13. Un satélite se dedica a rastrear barcos. Para ello, en tres partes de cada barco
se ubica un dispositivo y así el satélite determina su ubicación exacta en
coordenadas (x, y).
El satélite proporciona el plano cartesiano de la figura con la ubicación de un
barco.
11
y
Norte
10
Occidente
9
Oriente
8
Sur
7
Barco
6
5
4
3
2
1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
¿Cuáles son las coordenadas que debe presentar el satélite, si el barco se desplaza
5 unidades hacia el Oriente y 4 unidades hacia el Norte?
A. (5, 11), (7,11), (6, 13)
B. (5, 3), (7, 3), (6, 5)
C. (15, 11), (17, 11), (16, 13)
D. (15, 3), (17, 3), (16, 5)
2. En el plano cartesiano de la figura se muestra a una lámina de madera con la
cual se va a construir una pieza elíptica para elaborar una mesa.

y
Mesa
Lámina





Figura

x









Sobre la lámina se dibuja la elipse definida por la ecuación
 x  4 2
9

 y  3 2
4
Y una máquina realiza el corte por el borde de la figura
¿Por cuál de los siguientes puntos (x, y) no efectúa el corte de la máquina
A. (4, 5)
B. (7, 3)
C. (5,1)
D. (1, 3)
1
3. La figura representa la vista frontal de una casa.
ADEC es un rectángulo, el ángulo b mide 120°, el ángulo  mide 30° y es
congruente con el ángulo y
Re cuerde :
sen 30  
1
2
cos 30  
3
2
3
sen 120  
2
cos 120  
1
2
¿Cuánto mide el ancho de la casa?
A.
B.
C.
D.
2m
2 3
m
4m
4 3
m
30. La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de todos los puntos del plano
que están a la misma distancia de los extremos del segmento. ¿Cuál es la
ecuación de la mediatriz del segmento de extremos (2,4) y (5,1)?
A.
B.
C.
D.
Y=x-6
Y=1-x
Y=x-1
Y=6-x
31. Observa el rectángulo
¿Cuál es la expresión que representa el perímetro de un rectángulo cuyo largo mide a
unidades más que el ancho del rectángulo de la figura?
A. 8ab
B. 12ab
C. 8a+4b
D. 4a+2b
32. En la figura se observa la ubicación de seis ciudades (K, L, M, N, P y Q) en un
mapamundi y las distancias entre algunas de ellas
Línea del Ecuador
Paralelos
La expresión que representa la distancia entre las ciudades N y Q es
A . d+2
B . (d2+1)/d
C. (d2+2d+1)/d
D. 2(d+1)/d
7. Las ecuaciones de dos circunferencias C1 y C2 son, respectivamente:
(X-2)2 + Y2 = 1 y (X-5)2 + Y2 = 4
Acerca de las circunferencias C1 y C2 es correcto afirmar que:
A. son tangentes.
B. son concéntricas.
C. se cortan en dos puntos.
D. no tienen punto en común
(X-5)2 + Y2 = 4
(X-2)2 + Y2 = 1
8. La empresa de energía de una ciudad ha decidido decorar los postes de luz
con árboles de navidad de forma cónica como se muestra en la figura.
l
Tubo
transversal
h
No considerar el
grosor de los tubos ni
del poste.
•
•
r
Para modificar el material necesario para los tubos transversales, los
diseñadores midieron el radio (r) y la altura (h) del cono. Tomando en
cuenta estos datos solamente, calcularon el perímetro de la base del cono
y la longitud de los tubos transversales (l).
La longitud de los tubos transversales (l) se calculó correctamente porque
(h) y (r) son conocidos y se puede utilizar la relación determinada por el
triángulo.
A.
C.
B.
l
h
l
l
h
D.
h
l
h
r
Donde h < l y r <l
r
Donde h = l y r < l
r
Donde h = l = r
Tubo
transversal
l
r
2r
Donde h =l y l < 2r
h
2. El cuadrilátero que se muestra en la figura tiene como vértices los puntos (0, 0),
(3, 3), (6,0) y (3, -6). Los puntos de corte de las rectas l1 y l2 con el eje x son (0, 0)
y (6, 0), respectivamente.
l2
(3, 3)
(0, 0)
(6, 0)
l1
(3, -6)
El cuadrilátero se refleja respecto a la recta l1 y su imagen se refleja respecto a la recta l2 .
¿Cuáles de los vértices del cuadrilátero permanece invariante después de aplicar las dos
reflexiones?
A. (0, 0)
B. (3, 3)
C. (6, 0)
D. (3, -6)
2. El cuadrilátero que se muestra en la figura tiene como vértices los puntos (0, 0),
(3, 3), (6,0) y (3, -6). Los puntos de corte de las rectas l1 y l2 con el eje x son (0, 0)
y (6, 0), respectivamente.
l2
(3, 3)
(0, 0)
(6, 0)
l1
(3, -6)
El cuadrilátero se refleja respecto a la recta l1 y su imagen se refleja respecto a la recta l2 .
¿Cuáles de los vértices del cuadrilátero permanece invariante después de aplicar las dos
reflexiones?
A. (0, 0)
B. (3, 3)
C. (6, 0)
D. (3, -6)
60

90
AG 
AG
60
60  60
90
7. La altura DC de la rampa es
A. 80 cm
B. 100 cm
C. 120 cm
D. 140 cm
AG  40
60

90
HE 
8. La distancia EF que recorre la
llanta delantera de un carro al
subir hasta la parte más alta de la
rampa es
A. 120 cm
B. 150 cm
C. 180 cm
D. 210 cm
20
HE
20  90
60
HE  30
EF  180
x
x  60  90
2
2
2
x  8100  3600
2
9. La longitud del segmento AB, que
se muestra en la figura, está entre
x  4500
2
A. 50 cm y 100 cm
B. 100 cm y 150 cm
C. 150 cm y 200 cm
D. 200 cm y 250 cm
x 
900  5
x  30 5
Suma de ángulos interiores
180   n  2 
n = números de lados
10. Los ángulos  y b mostrados en la figura, satisfacen
A.  + b = 180°
B.  + b = 270°
C.  + b < 180°
D.  + b > 270°
RESPONDA LAS PREGUNTAS 5 Y 6 DE ACUERDO A LA SIGUIENTE
INFORMACION
Una forma para determinar si dos triángulos son semejantes es
comprobar que sus lados correspondientes son proporcionales.
Los triángulos ABC y MNP de la figura son semejantes, es decir, se
cumple que
Donde K es la constante de proporcionalidad. Cuando la constante de
proporcionalidad es 1, los triángulos resultan ser congruentes.
5. Los triángulos MNR y PQZ, que se muestran en la figura, son
semejantes
MN = 16cm,
MR = 25cm,
NR = 10cm,
PQ =
Las medidas de los lados QZ y PZ son respectivamente
A.
B.
C.
D.
5,1cm y 3,2cm
10cm y 25cm
2cm y 5cm
5cm y 12,5cm
1
2
MN
6. En la siguiente figura MOPQ, es un cuadrado, R es el punto medio
del segmento MQ y OR = RP
P
O
Los triángulos MRO y QRP son congruentes porque
A.
MO = QP, MR = RQ y OR = RP
B.
MO = OR, OR = RP y QP = RP
C.
MQ = OP, OR = PR y RQ = OR
D.
OM = MQ, MR = RP y QP =PO
ARQUIMEDES Y SUS GRANDES DESCUBRIMIENTOS
Se construyeron cuatro cuadriláteros de lados x, y, 2x, 2y, y se
asignaron a las variables x y y los siguientes valores:
Cuadrilátero (1)
X=6
Y=6
Cuadrilátero (2)
X=8
Y=4
Cuadrilátero (3)
X=6,5
Y=5,5
Cuadrilátero (4)
X=5
Y=7
¿En cuál de los cuadriláteros construidos; la suma de
dos de sus lados es 20?
A. En el cuadrilátero (3)
B. En el cuadrilátero (4)
C. En el cuadrilátero (1)
D. En el cuadrilátero (2)
Se construyeron cuatro cuadriláteros de lados x, y, 2x, 2y, y se
asignaron a las variables x y y los siguientes valores:
Cuadrilátero (1)
X=6
Y=6
Cuadrilátero (2)
X=8
Y=4
Cuadrilátero (3)
X=6,5
Y=5,5
Cuadrilátero (4)
X=5
Y=7
26.¿Cuál de las siguientes expresiones representa el perímetro de cada uno de los
cuadriláteros construidos?
a.
2x + 3y
a.
3x + 3y
a.
4xy
a.
6xy