Transcript Крицкий Олег Леонидович Лекция 2 Тема: Эконометрические модели Томский политехнический университет Курс: Введение в теорию случайных процессов Семестр 8, 2010 год 1 1.

Крицкий Олег Леонидович
Лекция 2
Тема: Эконометрические модели
Томский политехнический университет
Курс: Введение в теорию случайных процессов
Семестр 8, 2010 год
1
1. Общие положения
В настоящее время все эконометрические алгоритмы разделены
на четыре основных класса:
1) Непрерывные модели – некоторый исследуемый процесс (в
том
числе
и
многомерный)
рассматривается
как
стохастический, зависящий от времени и случайной функции
(винеровский процесс, процесс Леви).
а) Моделирование приращений цены
d St  t, , St St d t  t  St dWt
b) Моделирование приращений процентной ставки (модели
Рэндлемана – Бартера, Васичека, Кокса – Росса – Ингерсолла,
безарбитражные модели Хо – Ли, Халла – Уайта, а также класс
моделей форвардной ставки Хисса – Джерроу – Мортона и др.)
2
t 
t
2




 s, t  s, t  
 2s, t 
s, t 
 f t0 , t 



dr  
  s, t 

ds

dW
dt

dWt


s
2
2



t
t
t
 s st
  t  
t0 
t0





2
с начальным условием r(t0)=r0.



~
2








B
t
,
T

B
0
,
T
exp
r


t
,
T
2
t


t
,
T
W
При этом
0
0
0
0
t0 ,

~
f t0 , t    ln Bt0 , t  - форвардная ставка, Wt - рискt
нейтральный винеровский процесс.
c) Моделирование кредитного риска (следствие a)+b))
dVt=rVt dt+σVVt dWt, t>0, V0=const,
Пусть Vt–рыночная стоимость компании-заемщика, берущей в кредит
сумму D путем выпуска дефолтной облигации со сроком погашения
T. Риск дефолта хеджируется опционом покупателя с ценой
исполнения VT и стоимостью базового актива D
C0  D erT d1   VT d2 
3
В данном случае
 
 
 
d1  ln VT D1  r  V2 / 2 T V1T 1/ 2 , d2  d1  V T ,
x  - распределение стандартной нормальной СВ.
Параметры VT и σV ненаблюдаемы и определяются из
вспомогательных соотношений:
E0  VT d1   D erT d2 
E0 – известный из бухгалтерской отчетности капитал кредитора,
V  E0  E VT d1 1
 E – известная волатильность E0.
4
d) Моделирование приращений волатильности (SV модели или
модели стохастической волатильности, включая многомерные)
Существует по крайней мере 50 различных модификаций. Самые
известные – Хестона (Heston), Халла – Уайта (Hull-White).
Самая общая модель
d  pS , , t d t  qS , , t  dW2
d S  S d t   S dW1
  corrdW1 , d W2   0
e) Аналитическое определение риска (VAR, CVAR,CS)
Подробности – ниже (в дискретных моделях)
5
f) Хеджирование и динамическое управление капиталом, репликация
Рассматриваемые здесь модели основаны или используют так
называемые греческие буквы, формулу Б.-Ш. для опционов и
фьючерсов, а так же плотность риск – нейтральной вероятности
(равной второй производной от справедливой цены опциона по
цене исполнения).
Модели позволяют найти риск-нейтральную функцию
распределения базового актива по значениям производных на
него, вычислить стохастический дисконтирующий фактор ζt,
важный для оценки стоимости будущих инвестиций и уровня
стохастической безрисковой процентной ставки и др.
Sˆt  E* T ST 
6
2) Дискретные модели – рассматриваются дискретные
реализации некоторых непрерывных стохастических процессов
(например, волатильности, цены, предельной величины риска,
процентной ставки и т.д.)
a) Прогнозирование волатильности ( одномерные ARCH, GARCH,
многомерные DCC, CCC, BEKK и др.) и дрифта (MA, ARMA,
ARIMA, FARMA и др.). Вместо корреляции может быть
использована копула (определение – слайд 14).
it2  i  ii2,t 1  iui2,t 1
ijt  ijtit  jt
ut  Ht1/ 2 t , t ~ N 0, I K 
Ht  Dt t Dt , t   ijt 
i  0, i  0, i  0
i 1,...,K , t  1, 2, ...,T
7
b) Прогнозирование квантилей распределений (и многомерных)
q,  i  it q,
i 1,...,K ,
i - иммитированные ранее дрифты,
it - иммитированные ранее волатильности и ковариации
с) Оценка финансовых рисков (следствие a) и b))
Под «финансовым риском» понимается обобщенная
волатильность (матрица ковариаций) или величины (векторы)
VAR, CVAR, CS (MVAR, MCVAR, MCS)
VAR  X t   infx  , P X t  x  
CS  CVAR  X t   E X t , X t  VAR  X t 
8
X
MVAR i
 i 
Z
it MVAR i
MCVAR iX  i  it MCVAR iZ
    MVAR (Y ) L 
    MCVAR (Y ) L 
T
i
it
t
i
T
i
it
t
i
i 1,...,K , Z t - матрица центрированных данных
Z it   X it  i it1
Yt  Zt L
L - линейное ортогональное преобразование, Y - некоррелированы
d) Факторные модели обработки дискретных данных (часть от с))
Модели позволяют найти линейное ортогональное преобразование
и перейти к некоррелированным данным без потери дисперсии
9
e) Модели обработки высокочастотных данных
Наиболее перспективное направление в настоящий момент
Активно развивается ведущими эконометристами мира.
Цель применения методов – определить величину скачков цен
Используются для создания торговых автоматов, для дейтрейдинга,
для обработки данных FOREX и тиковых данных котировок.
Отслеживаются различные индикаторы поведения. Например,
1/ 2


2T
4
4

RV    dt  2nE    4nE  
t dt 

n 0
0


T
F T
 
2
t
2
 
T

N
F
lim RV   t2 dt   di2
n
0
i 1
ε – логнормально распределенные шумы для скачков di
n - общее количество котировок за время T
10
N - число всплесков цен за период за время T
ξ – стандартно распределенная случайная величина
Различают следующие показатели:
показатель фактических (RV) и квадратичных колебаний (BV),
многостепенную вариацию (MV), двухшкальную (TSRV) и
многошкальную фактическую волатильность (MSRV).
11
3) Асимптотические методы – рассматриваются предельные
характеристики дискретных реализаций случайных процессов.
pri1, ti1 Ri , ti   pri1, ti1; Ri , ti  pRi , ti 
ti , ti 1  
M
(k )
1

k
 lim   r  R  pr ,   , R, d r , k  0
0 
 

Ert 1 Rt   M , Drt 1 Rt   M
(1)
( 2)

M
(1)

2
В рамках метода находят функции распределения и плотности,
моменты M(k), а так же оценивают хвостовой индекс. Если же
  T /  ti  0, то удается перейти к уравнению ФПК
2
d


pr ,   
M 1 pr ,   2 2  pr ,  D 
d
r
r


12
Асимптотические методы позволяют определить некоторые
экономические характеристики – пользуясь котировками цен
базового актива и фьючерсов, можно вычислить долгосрочную
безрисковую процентную ставку инвестиций по активам
эмитента, оценить уровень неприятия риска и потребления, а так
же найти предельную величину потребления.
неприятие риска
E rt 1 Rt 
 t   t ST  
Drt 1 Rt 
процентная ставка (из свойства трансляции риска)
rt  ln~
t /  t 
потребление
Ct  MPCt  Wt
13
MPC t 
1  1t / T
1  t
T  t 1T 1
MPCt – предельная величина потребления (в долях)
1
t 
1  rt
 1  rt 


 1  
 t 1
δ- отношение текущих трат инвестора к его прибыли (в долях)
rt
- стохастическая безрисковая процентная ставка (в долях)
Wt  St Vt
Wt - капитал инвестора, (руб.*шт.), Vt - объем акций, проданный в
момент времени t, T – горизонт времени (доли года)
14
4) Смешанные модели (симбиоз 1)-3))
a) Непрерывные модели GARCH
b) Модели дискретной стохастической волатильности и др.
5) Вероятностные модели
a) Модели с использованием копул (многомерных распределений)
с некоторыми свойствами
b) Модели с использованием байесовского подхода (формула
пересчета вероятностей)
с) Модели с использованием марковских цепей
6) Численные методы (цепи Маркова, алгоритм Монте – Карло,
MCMC, бинарные деревья, свич-методы и др.)
15
Список литературы по теме лекции
1) Крицкий О.Л., Ульянова М.К. Определение многомерного финансового риска
портфеля акций// Прикладная эконометрика, 2007, т. 2, №4, с. 3-18.
2) Крицкий О.Л., Михальчук А.А., Трифонов А.Ю., Шинкеев М.Л. Теория вероятностей и
математическая статистика для технических университетов. I. Теория вероятностей/
Учебное пособие. Томск: изд-во ТПУ, 2009. - 216 c.
3) Крицкий О.Л., Е.С.Лисок. Асимптотическое оценивание коэффициентов модели
стохастической волатильности// Прикладная эконометрика, 2007, т. 2, №2, с. 3 – 12.
4) Крицкий О.Л. Определение справедливых цен акций ОАО ГАЗПРОМ
и расчет вероятной будущей стоимости концерна. В кн.: Сборник лучших авторских
исследований. М.: изд-во Дейч, МЦФО, с. 222 – 238, 2008 г.
5) Крицкий О.Л. Неприятие риска инвестиций при финансовом кризисе// Экономический
анализ: теория и практика, 2009, №20, с. 9-18.
6) Крицкий О.Л. Информационная матрица Фишера для многомерного метода динамических
условных корреляций DCC-MGARCH(1,1)// Вестник ТГУ: Управление, вычислительная
техника и информатика, 2009, №4(9), с. 67-83.
7) Крицкий О.Л. Неприятие риска и уровень потребления при инвестировании
16
Список литературы (продолжение)
8) Ильина Т.А., Каменских Д.М., Крицкий О.Л. Расчет безрисковой стохастической
процентной ставки и ее применение в модели Блэка–Кокса// Экономический анализ:
теория и практика, 2010 г.
другие источники
См. дополнительный файл