Transcript JEODEZİ I Doç.Dr. Ersoy ARSLAN 2.3- JEODEZİDE KOORDİNAT SİSTEMLERİ    2.3.1- Genel Bilgiler Dünyanın uzayda farklı iki peryodik hareketi vardır, birincisi kendi ekseni etrafında dönmesi,

JEODEZİ I
Doç.Dr. Ersoy ARSLAN
2.3- JEODEZİDE KOORDİNAT SİSTEMLERİ



2.3.1- Genel Bilgiler
Dünyanın uzayda farklı iki peryodik hareketi vardır, birincisi
kendi ekseni etrafında dönmesi, ikincisi güneşin etrafında
dolaşmasıdır. Ayrıca bir doğal uydu olan Ay’ın ve çok sayıda
yapay uydunun dünya etrafındaki yörüngesel hareketleri de
üçüncü tür peryodik hareketlerdir. Koordinat ve zaman
sistemlerini tanımlamak için bu peryodik hareketler temel
teşkil ederler.
Jeodezik problemlerin çözülebilmesi için, problemlerin
yapılarına uygun olan çok çeşitli koordinat sistemleri
kullanılır. Temel koordinat sistemlerini üç ana grupta
toplayabiliriz.



Yersel Koordinat Sistemleri dünyaya göre sabittir ve
dünya ile birlikte dönerler. Bunlar yeryüzü üzerindeki
noktaların koordinatlarını belirlemek için kullanılırlar.
Jeosentrik ve toposentrik sistem olarak adlandırılan iki
çeşit yersel sistem vardır.
Göksel Koordinat Sistemleri Güneş ve yıldızlar gibi gök
cisimlerinin koordinatlarını belirlemek için kullanılır.
Ekliptik, Rektasansiyon, Saat Açısı ve Ufuk Sistemi
olarak adlandırılan dört ayrı göksel koordinat sistemi
vardır.
Yörüngesel Sistem, dünya etrafında yörüngelendirilmiş
olan uyduların koordinatlarını belirlemek için kullanılır.
2.3.2- Kartezyen (Dik) Koordinat Sistemleri ve Koordinat
Dönüşümleri
Ortagonal Transformasyonlar:

Y=AX
(2.1)
matris eşitliğine bir lineer Transformasyon olarak bakılabilir. Burada A
bir matris, X ve Y sütun vektörlerdir. A matrisi “Transformasyon
Matrisi” olarak adlandırılır. Eğer X ve Y vektörleri aynı boyuta sahipse
transformasyonun ve matrisin ortagonal olduğu söylenebilir. Ortagonal
matrisler, matrisin ve transpozesinin çarpımı (veya tersi) Birim Matris
olma özelliğine sahiptir. Yani
(2.2)
T
T
A A  bir
AAortagonal
 I matrisin determinantının +1 veya -1
dir. Bu özellikten
olduğu bulunur. Refleksiyon (Yansıma) ve Rotasyon (Dönme) olarak
adlandırılan iki tür ortagonal transformasyon vardır. Refleksiyon
matrisinin determinantı -1 ve rotasyon matrisinin determinantı +1 dir.
Yukardaki transformasyon iki koordinat sistemi arasındaki bağıntıyı
belirlemektedir. Burada X ve Y aynı vektörlerdir, ancak onların
elemanları farklı sistemlere göre belirlenmiştir.
3 Boyutlu Dik Koordinat Sistemi
Üçüncü Eksen
Z, X3 veya 3.eksen
Birinci Eksen
Y, X2 veya 2. eksen
Birinci kutup
Dünyanın dönme ekseni
İkinci
Düzlem
Greenwich meridyen
düzlemi
Birinci Düzlem
Dünyanın Ekvator Düzlemi
Birinci Eksen
X, X1 veya 1.eksen
İkinci kutup
Birinci Eksen
(Sol El sistemi için)
Y, X2 veya 2. eksen



Dik koordinat sistemi, birbirine dik üç eksenden oluşur.
Başka bir deyişle, üç eksenden ikisinin oluşturduğu
düzlem üçüncü eksene diktir.
Üç boyulu koordinat sisteminde bir nokta üç elemanla
tanımlanır. Her nokta için tanımlanan konum
vektörünün birinci, ikinci ve üçüncü elemanları sırası ile
1. eksen, 2. eksen , 3. eksene göre (eksenler sırasıyla
X1, X2, X3 veya X, Y, Z ile gösterilebilir) tanımlanabilir.
Dik koordinat sistemi eksen değerlerinin büyüme
yönlerine göre sağ el sistemi veya sol el sistemi olarak
ikiye ayrılır. Değerlerin büyüme yönleri eksenlerin pozitif
(+) yönleridir.


Bu eksenlere X,Y,Z eksenleri denirse, + Z ekseni
doğrultusuna bakışta, + X eksenini + Y ekseni ile
çakıştırmak için saat ibresi doğrultusunda 90
döndürmek gerekiyorsa, bu sistem sağ sistemdir (Şekil
4.1). Sağ sistem için “sağ el kuralı” geçerlidir. Eğer sağ
elin parmakları herhangi bir eksen etrafında baş
parmak pozitif doğrultuyu gösterecek biçimde
bükülürse, parmaklar çevrim tarzında numaralanmış
ikinci eksenden üçüncü eksene yönelecektir. Ayrıca
parmakların yönü “pozitif dönme yönü”nü de gösterir.
Bunun karşıtı sol sistem olur Sol sistemler için ise “sol
el kuralı” geçerlidir (Şekil 4.1).
Z
O
Z
Y Y
X
Şekil : 4.1a- Sağ el koordinat sistemi
sistemi
O
X
Şekil : 4.1b- Sol el koordinat



Bir koordinat sistemini tanımlamak için
Başlangıç noktasının yeri
Koordinat eksenlerinin yönleri
Koordinat sistemine ait bir noktanın yerini
belirleyen parametreler
kesinlikle belirtilmelidir.
Uzayda bir noktanın yeri kartezyen (dik)
koordinatlarla gösterilebileceği gibi kutupsal
koordinatlarla da gösterilebilir.
Bir nokta uzayda herhangi bir koordinat
sistemindeki koordinatları ile belirlenir.
Koordinat sistemleri genel olarak
 1- Dik koordinat sistemi
 2- Kutupsal koordinat sistemi
olmak üzere iki özelliktedir.
Ancak bir noktanın koordinat değerleri bu
sistemlerden birinde verilmişse, aynı
noktanın diğer sistemdeki değerleri
hesaplanabilir.
Z

Şekil 4.2 de A noktasının
dik koordinatları X,Y,Z dir.
Kutupsal koordinatları ise
r, ,  dır.
A
r
Z

O

X
Y
X
A
Şekil : 4.2 – Kutupsal ve Dik
Koordinatlar
Y
Kutupsal koordinatlar ile dik (kartezyen) koordinatlar
arasındaki bağıntılar Şekil 4.2 yardımı ile;
X = OA cos  = OA cos  cos 
Y = OA sin  = OA cos  sin 
Z=
= OA sin 
veya
X = r cos  cos 
Y = r cos  sin 
Z = r sin 
olarak yazılır.
Ters dönüşüm formülleri de
r2  X 2  Y2  Z2
Z
tan  
tan  
X 2 Y2
Y
X
şeklindedir.
2.3.3 dünyanın dönmesi ve Kutup Hareketİ


Dünya sabit bir eksen etrafında dönmediği, dönme ekeseni
sürekli değiştiği için kutup noktaları da katı yeryuvarına göre
sürekli yer değiştirir. Bu olay kutup hareketi veya kutup
gezinmesi olarak adlandırılır.
Değişmez bir yeryuvarı-sabit koordinat sisteminin yani
Konvansiyonel Yersel Sistem’in (Convantional Terrestrial
System - CTS) tanımlanabilmesi için değişmez bir kutup
noktasına ihtiyaç vardır. Bu Ortalama Yersel Kutup
(Convantional Terrestrial Pole, CTP) ve ekvator üzerinde bir sıfır
boylamı (Greenwich Ortalama Gözlemevi - Greenwich Mean
Observatory - GMO) yardımı ile Konvansiyonel Yersel Sistem =
Ortalama Dünya Dik Koordinat Sistemi tanımlanır.
Tablo
2.1 Uluslarası Kutup Hareketi Servisi’nin (IPMS) Enlem Gözlemevleri
İstasyon
Carloforte, İtalya
Gaitehersburg, MarylandABD
Kitab, Özbekistan, (eski
USSR)
Mizusawa, Japonya
Ukiah, California- ABD
Boylam
Enlem
8 18 44 39 08 08.941
-77 11 57 39 08 13.202
66 52 51 39 08 01.850
141 07 51 39 08 03.602
-123 12 35 39 08 12.096
Z
ZAnlık
90o batı
boylamı
Y
90o batı
boylamı
Y
CIO
Ortalama
Kutup
X
XP
0o boylamı
Greenwich
O
CIO
YAnlık
P
Y
YP
T anındaki
gerçek kutup
X
0o boylamı
X
XAnlık
Greenwich
Tablo 2.3 Kasım-Aralık 1990 için kutup hareketi parametreleri
POLE COORDINATES, UT1-UTC, AND GPS-UTC FROM BIH, CIRCULAR B
-----------------------------------------------------------------------MJD
X-POLE Y-POLE UT1-UTC
GPS-UTC DATE
REMARKS
(")
(")
(S)
(S)
48199.
0.2260 0.1371 -0.25656
6. 90 11 4
DEF
48204.
0.2073 0.1253 -0.26741
6. 90 11 9
DEF
48209.
0.1928 0.1138 -0.27872
6. 90 11 14
DEF
48214.
0.1777 0.1044 -0.28971
6. 90 11 19
DEF
48219.
0.1623 0.0963 -0.30094
6. 90 11 24
DEF
48224.
0.1436 0.0900 -0.31241
6. 90 11 29
DEF
48229.
0.1251 0.0845 -0.32413
6. 90 12 4
DEF
48234.
0.1073 0.0799 -0.33518
6. 90 12 9
DEF
48239.
0.0904 0.0747 -0.34529
6. 90 12 14
DEF
48244.
0.0737 0.0698 -0.35502
6. 90 12 19
DEF
48249.
0.0550 0.0678 -0.36508
6. 90 12 24
DEF
48254.
0.0346 0.0681 -0.37551
6. 90 12 29
DEF

Yukarıda da ayrıntılı olarak açıklandığı gibi, kutup
hareketini ve yer dönme paramtrelerini belirlemek
için kurulan uluslararası kuruluşlar çeşitli isimler
altında faaliyet göstermişlerdir. Günümüzde bu
faaliyetler 1 Ocak 1988’den beri Uluslararası
Yeryuvarı Dönme Servisi (International Earth
Rotation Service- IERS) tarafından kısaca ITRF
olarak adlandırılan (IERS Terrestrial Reference
Frame) referans ağına dayalı olarak
sürdürülmektedir.
2.3.4 Yersel Koordinat Sistemleri




Üç boyutlu jeodezide kullandığımız koordinat sistemleri
yersel koordinat sistemleridir. Bunlar
Jeosentrik (yer merkezli) sistemler
Toposentrik (nokta merkezli) sistemler
olarak iki ana grupta incelenebileceği gibi,
Gözleme ve ölçmelerin dayandığı doğal sistemler,
Hesapların dayandığı referans sistemler
olarak da ikiye ayrılabilirler.
Yersel Koordinat Sistemleri yeryüzü üzerindeki konumların
ve hareketlerin belirlenmesi için kullanılan koordinat
sistemleridir ve genelde coğrafik koordinat sistemleri olarak
adlandırılırlar. Konumlar kutupsal veya kartezyen
koordinatlarla belirlenebilir.
2.3.4.1- Jeosentrik Sistemler


Jeosentrik sistemler
Ortalama ve Anlık Yersel Sistemler,
Jeodezik (Elipsoidal) sistemler
olarak ikiye ayrılır.
2.3.4.1.1- Ortalama ve Anlık Yersel Sistemler




Yukarda açıklandığı gibi temel yersel koordinat sistemi
Konvansiyonel Yersel Koordinat Sistemi veya diğer adıyla
Ortalama Dünya Dik Koordinat Sistemi’dir. Ortalama Sistem bir
ideal sistemdir.
İdeal dünya dik koordinat sistemi olarak kabul edilen
“Konvansiyonel Yersel Sistem”in
orijini yerin ağırlık merkezidir.
Sistemin Z ekseni yeryuvarının ortalama dönme ekseni ile
çakışıktır ve pozitif yönü kısaca CIO (Conventional International
Origin) olarak gösterilen Ortalama Kutup’a doğru yönelmiştir.
Sistemin X ekseni Greenwich ortalama astronomik meridyen
düzlemi ile ortalama ekvator düzleminin arakesitinde uzanır ve
Z eksenine diktir, pozitif yönü 0 astronomik boylamı gösterir.
Y ekseni, sistem bir sağ el sistemi olacak şekilde seçilmiştir ve
pozitif yönü ekvator düzlemi içerisinde 90 doğu boylamına
yönelir.




Bir yer noktasının konumu Ortalama Dünya Dik
Koordinat Sistemi’nde
X,Y,Z dik koordinatları ile
veya
,,W veya ,,H eğri koordinatları ile
tanımlanabilir.
 astronomik enlemi ve  astronomik boylamı, g
gerçek gravite vektörünün X,Y,Z eksenlerine göre
doğrultusunu belirler, üçüncü koordinat olarak W
jeopotansiyeli veya H ortotmetrik yüksekliği alınır,
Şekil 2.8 - Ortalama Dünya Dik Koordinat Sistemi


Yerin katı yapısına göre yerin dönme ekseninin değiştiği (Kutup
hareketi) bilinmektedir. Bu nedenle CIO kutbu bir tanımdır. Her
bir T anı için yerin gerçek kutbu değişmektedir. Gerçek kutup
ile tanımlanan kutup arasındaki bağıntının sağlanması gerekir.
Yer üzerinde yapılan gözlemeler (örneğin astronomik
gözlemeler, uydu ölçmeleri) yeryuvarının gözlem anındaki
gerçek dönme eksenine göredir. Dönme ekseninin konumu katı
yeryuvarına göre zamanla değiştiğinden her gözlem anında bir
dönme ekseni ve bu eksene ve yerin ağırlık merkezine göre bir
koordinat sistemi oluşur. Bu sistemlerin her biri “Anlık Yersel
Koordinat Sistemi” olarak adlandırılır (Şekil 2.6).





Anlık Yersel Koordinat Sistemi aşağıdaki gibi tanımlanır:
Başlangıcı dünyanın ağırlık merkezindedir (ortalama sistemle
aynı).
Z ekseni dünyanın anlık dönme ekseni ile çakışıktır ve pozitif
yönü anlık kutup noktasına yönelir
X ekseni dünyanın gerçek dönme eksenini ve ortalama
Greenwich gözlemevini içerisine alan düzlemle anlık ekvator
düzleminin arakesitinde yer alır.
Y ekseni sistem bir sağ el koordinat sistemi olacak şekilde anlık
ekvator düzleminde yer alır
Bu sistemde bir noktanın konumu anlık X, Y, Z dik koordinatları
ile veya anlık  astronomik enlemi ve anlık  astronomik
boylamı ve W jeopotansiyeli veya H ortometrik yüksekliği ile
belirlenir.


Bu iki sistemin temel özelliği başlangıç noktalarının aynı olması
ve dünyanın ağırlık merkezinde bulunması ve Z eksenlerinin
dünyanın anlık ve ortalama dönme eksenleri olmasıdır.
Bir noktanın anlık yersel sistemdeki koordinatları Gözlem
anındaki kutup hareketi parametreleri XP, YP bilindiğine göre
rotasyon matrisleri yardımıyla
X 
X 
Y 
 R2 (  X P ) R1 ( YP )  Y 
Z 
Z 
  Ortalama
  Anlın
(2.31)
eşitliği ile ortalama sisteme dönüştürülür (Şekil 2.5 – 2.6).

Kutup hareketi parametreleri XP, YP derece saniyesi biriminde
verilmektedir. Rrotasyon matrisleri daha önce verilen genel
eşitliklerle, X ekseni etrafına saat ibresi yönünde (negatif) YP
kadar bir dönme için
0
0
1

R1 ( y P )  0 cos( y P ) sin( y P ) 
0  sin( y P ) cos( y P )
(2.32)
ve Y ekseni etrafına saat ibresi yönünde (negatif) XP kadar bir
dönme için
cos( x P ) 0  sin( x P )

R2 ( x P )  
0
1
0

 sin( x P ) 0 cos( x P ) 
(2.33)
şeklinde elde edilir. Kutup noktasının koordinatları XP, YP derece
saniyesi biriminde küçük değerlerdir. Bu nedenle dönüşüm
diferansiyel dönüşüm olarak düşünülebilir.
Bu durumda dönüşüm matrislerinin çarpımı yukarıda (2.30)
eşitliğinde verildiği gibidir, yani
 1
R2 ( x P ) R1 ( y P )   0
 x P
dir.
0 x P  1
1 0   0
0 1  0
0
1
yP
0   1
 y P    0
1   x P
0
1
yP
xP 
 y P  (2.34)
1 
Ortalama Yersel Sistemden Anlık Yersel Sisteme dönüşüm
(invers dönüşüm)
 x
 x
1  
 y



R
(

x
)
R
(

y
)
2
P
1
P
 
 y
 z  Anlın
 z  Ortalama
(2.35)
eşitliği ile yapılır. Rotasyon matrislerinin ortagonal olmaları
nedeniyle
R-1() = RT() = R(-)
dir ve yukarıdaki eşitlik
 x
 x
 y
 y

R
(
y
)
R
(
x
)
1
P
2
P  
 
 z  Anlın
 z  Ortalama
şeklinde yazılabilir.
(2-36)

Astronomik gözlemlerle bulunan kutupsal anlık koordinatlar
astronomik enlem, astronomik boylam ve astronomik
azimut yine kutup hareketi parametrelerine göre
düzeltilerek ortalama kutuba indiregenmiş koordinatlar
elde edilir. Bu indirgemeler
 P     T  ( x P sin   y P cos ) sec 
 P     T  y P sin   x P cos 
 P     T  ( x P sin   y P cos ) tan
eşitlikleri ile hesaplanır. Eşitliklerde T (T ölçme anındaki)
anlık kutba göre yapılan astronomik gözlemelerle
belirlenmiş anlık astronomik azimut, T anlık astronomik
enlem, T anlık astronomik boylam,  ortalama kutba
(CIO) indirgenmiş astronomik azimut,  indirgenmiş
astronomik enlem ve  indirgenmiş astronomik boylamdır.

Yukarıdaki eşitliklerle hesaplanmış indirgeme değerleri ile
bu indirgenmiş büyüklükler
   T   P
   T   P
   T   P
eşitlikleri ile hesaplanır.
2.3.4.1.2- Jeodezik (Elipsoidal) Sistemler






Jeodezik (Elipsoidal) Sistemin başlangıcı elipsoidin
merkezindedir,
z ekseni elipsoidin küçük ekseni ile çakışıktır,
x ekseni Greenwich jeodezik meridyen düzlemi ile ekvator
düzleminin arakesitindedir ve
y ekseni bir sağ el sistemi oluşturacak şekilde seçilmiştir.
Bu sistemde bir P yer noktasının konumu x, y, z dik
koordinatları ile veya , , h elipsoidal eğri koordinatları ile
belirlenir.
 elipsoidal (jeodezik) enlem,  elipsoidal boylam ve h
elipsoidal yükseklik olarak adlandırılır (Şekil 2.9).
Şekil 2.9 - Elipsoidal Dik ve Eğri Koordinatlar.
Elipsoidal eğri koordinatlardan elipsoidal dik koordinatlara geçiş,
x  ( N  h) cos  cos 
(2.37a)
y  ( N  h) cos  sin 
(2.37b)
 b2

z   2 N  h sin    (1  e 2 ) N  h sin 
a

(2.37c)
eşitlikleri ile gerçekleştirilir. Eşitliklerde
N
meridyene dik
doğrultudaki normal kesit eğrilik yarıçapı, a ve b sırasıyla
elipsoidin büyük ve küçük yarı eksen uzunluklarıdır.
(2.38)
2
a
c
b
a2  b2
e 
a2
2
a2  b2
e 
b2
2
olmak üzere meridyene dik doğrultudaki normal kesit eğrilik
yarıçapı N
veya
(2.39)
a
a
c
c
N
V

N
1  e cos 
2
2
eşitliği ile hesaplanır.
W

1  e 2 sin 2 
Elipsoidal dik koordinatlardan elipsoidal eğri koordinatlara
dönüşüm için değişik yollar vardır. Bunlar
1- İtersyon yöntemi
2- Doğrudan çözüm yöntemleri
şeklinde sınıflandırılabilir.
1- İtersyon yöntemi
Elipsoidal boylam , (2.37b) eşitliğinin (2.37a) eşitliğine
bölünmesi ile doğrudan elde edilir.
y
(2.40)
  arctan
x
Elipsoidal enlem  ve elipsoidal yükseklik h’nın hesaplanması
için aşağıdaki iterasyon eşitlikleri
(2.41)
p  x2  y2
1
 z 

N
2
  arctan 1 
e  
N  h  
 p 
p
h
N
cos

(2.42)
(2.43)
çıkarılır. Eşitliklerde de görüldüğü gibi  nin hesabında h, h nın
hesabında  geçmektedir.Hesaplarda bu eşitliklerin
kullanılması durumunda arka arkaya iterasyon yapmak gerekir.
2- Doğrudan çözüm yöntemi
Elipsoidal boylam , (2.37b) eşitliğinin (2.37a) eşitliğine bölünmesi ile
doğrudan elde edilir.
y
(2.40)
  arctan
x
 indirgenmiş enlemi
a z
tan  
b p
(2.47)
eşitliği ile hesaplanır.
Elipsoidal enlem aşağıdaki eşitlikle doğrudan hesaplanabilir,
z  e 2 b sin 3 
tan 
p  e 2 a cos3 

(2.46)
Eşitliklerde geçen a ve b sırasıyla elipsoidin büyük ve küçük yarı eksen
uzunlukları, e2 ve sırasıyla birinci ve ikinci eksentrisite değerleridir.
Hesaplanan elipsoidal enleme bağlı olarak N eğrilik yarıçapı hesaplanır ve
Elipsoidal yükseklik yukarıda verilen
p
h
N
cos
(2.43) eşitliği ile hesaplanır.
2.3.4.2 Jeodezik Datum ve Jeodezik Datum Belirleme


ülke nirengi ağı noktalarının koordinatlarının
hesaplanabilmesi için bir referans elipsoidinin
belirlenmesi ve jeoide göre konumlandırılması
gerekir. Referans elipsoidinin jeoide göre
yerleştirilmesi ve yöneltilmesi işlemi Jeodezik
Datum Belirleme, bu işlemin yapılabilmesi için
gereken parametre grubuna Jeodezik Datum
Parametreleri denir.
Diğer bir deyişle, Jeodezik Datum terimi,
alışılageldiği şekliyle ,,h ile veya x,y,z dik
koordinatlarıyla ifade edilen Elipsoidal Sistemin,
Ortalama Dünya Dik Koordinat Sistemine ve
böylece yeryuvarına (jeoide) göre
konumlandırılması ve yönlendirilmesini ifade eder
(Torge, 1991).


Herhangi iki elemanı (a,b eksenleri veya a ve f
basıklığı ) ile belirlenen elipsoidin boyutları eğer
dünyanın boyutlarına eşit ise bu elipsoide ortalama
yer elipsoidi denir.
Eğer, referans elipsoidinin boyutları ortalama yer
elipsoidinin boyutlarına eşit ve elipsoidin eksenleri
mutlak koordinat sisteminin eksenleri ile çakışık
ise bu referans elipsoidi mutlak yönlendirilmiş
referans elipsoidi olarak adlandırılmıştır. Orijini
yerin ağırlık merkezi dışında, bağıl bir koordinat
sistemine göre yönlendirilen referans elipsoidi ise
bağıl referans elipsoidi olarak adlandırılır. Mutlak
referans elipsoidinin datum parametrelerine
mutlak jeodezik datum parametreleri bağıl referans
elipsoidinin parametrelerine bağıl jeodezik datum
parametreleri denir.
Mutlak jeodezik datum
Mutlak ve Rölatif jeodezik datumlar

Rölatif jeodezik datumlar ülkenin bulunduğu bölgede elipsoid
yüzeyi jeoid yüzeyine en iyi şekilde uyacak biçimde
oluşturulur
Şekil 2.20 - Jeodezik Datum ve eksenlerin paralelliği
Şekil 2.22- Başlangıç noktası ve Jeodezik Datum parametreleri
Şekil 2.10 - Ortalama Yersel Dik Koordinatlar (X,Y,Z) ile
Elipsoidal Dik Koordinatlar (x,y,z) arasındaki ilişki.
Eksenlerin paralel olması durumu ise genellikle bir relatif
jeodezik sistemi tanımlar. Ayrıca eksenlerin paralelliği de tam
olarak sağlanamayabilir, bu durumda eksen dönüklükleri söz
konusudur. Bu en genel durumda elipsoid dik koordinatları
x, y, z ile Ortalama Yersel Sistem arasındaki bağıntı vektörel
olarak (Şekil 2.10),
A  C  R(1  f 0 )G (2.48)
X
 
A  Y 
 Z 
şeklindedir.
 X0 
 
C   Y0 
,
 Z 0 
 x
 
G   y
,
 z 
(2.49)
Eşitlikteki fo ölçek faktörüdür. R dönüşüm matrisi olup x, y, z
eksenleri etrafındaki eksen dönüklükleri sırasıyla  x,  y,  z olmak
üzere, yukarıda (2.6) da verilen rotasyon (Dönme) matrislerinde , , 
yerine sırasıyla  x,  y,  z alınarak
R = R1(x) R2(y) R3(z) (2.50)
0
1
R  0 cos x
0  sin  x
0  cos y

sin  x    0
cos x   sin  y
0  sin  y   cos z

1
0    sin  z
0 cos y   0
sin  z
cos z
0
0
0
1
(2.51)
şeklindedir. Eksen dönüklüklerinin küçük oldukları kabul edilir ve bazı
küçük terimler ihmal edilir ve ölçek faktörü de dikkate alınırsa
dönüşüm matrisi
1  f 0
z
y 


R(1  f 0 )     z 1  f 0
x 
 y
  x 1  f 0 

(2.52)
olur.
Ortalama yersel sistemden jeodezik sisteme dönüşüm (2-48)
eşitliğinden eşitliği ile gerçekleştirilir.
G  R 1 (1  f 0 )(A  C)
Tablo 2.4- Başlıca jeodezik datumlar
Şekil 2.24b- Başlıca jeodezik datumlar
2.3.4.3 Toposentrik Sistemler
Yeryüzü üzerindeki her nokta için ayrı bir toposentrik
sistem tanımlanır. Bunların en belirgin özelliği
başlangıç noktasının durulan noktada olmasıdır. İki
çeşit toposentrik sistem tanımlanabilir:
 Lokal astronomik sistem
 Lokal jeodezik sistem.
2.3.4.3.1 Lokal Astronomik Sistem
Bir lokal astronomik sistemde başlangıç, fiziksel yeryüzü
üzerinde durulan noktadır.Z ekseni durulan noktadan
geçen eş potansiyelli yüzeyin normali (çekül eğrisinin teğeti,
çekül doğrultusu) ile çakışır ve pozitif yönü astronomik
başucuna yönelmiştir. X ekseni durulan noktadaki
jeopotansiyel yüzeye teğet düzlem içerisindedir ve ortalama
kutup noktası CIO’ya yönelmiştir. X ekseninin yönü
astronomik kuzey olarak adlandırılır. Y ekseni bir sol el
sistemi oluşuturacak şekilde teğet düzlem içerisinde doğuya
yönelmiştir (Şekil 2.11).
Şekil 2.11- Lokal Astronomik ve Ortalama Yersel Koordinat Sistemleri.
Yeryüzünde yapılan bütün ölçmeler bu sisteme göre yapılır.
Örneğin bir P noktasına kurulan teodolit bu noktadan geçen
jeopotansiyel yüzeye göre tesviye edilir ve aletin asal ekseni
çekül doğrultusu ile yani Z ekseni ile çakıştırılır. X
ekseninin doğrultusu astronomik gözlemelerle belirlenir. P
noktasından K noktasına  astronomik azimutu,  başucu
açısı ve S uzaysal (eğik) kenarı ölçülebilir. Bunlar K noktasının
kutupsal koordinatlarıdır (Şekil 2.11).
, , S kutupsal koordinatları ile X, Y, Z lokal astronomik
dik koordinatlar arasında
X 
sin  cos 
 
 sin  sin  
Y

S
 


 Z 
 cos  
K
ilişkisi vardır.
(2.53)
Açık olarak yazılacak olursa
X K  S PK sin  PK cos PK
YK  S PK sin  PK sin  PK
(2.54)
Z K  S PK cos  PK
eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerde geçen
S noktalar arasındaki uzaysal kenar uzunluğu
 kutup hareketi nedeniyle düzeltilerek ortalama kutba
indirgenmiş astronomik azimut
 düşey açısı (başucu açısı, zenit açısı) refraksiyon
nedeniyle düzeltilmiş düşey açıdır.
Refraksiyon düzeltmesi PK,
MN
c
c
;
R

N
M  3
PK
2
2
N
cos
A

M
sin
APK
V
V
PK
2 PK 
S PK

RPK
eşitliklerde S kenarın uzunluğu, A
kenarın azimutu olmak üzere
 PK   PK k P
(2.55)
eşitliği ile hesaplanır. Eşitlikte geçen
kP P noktasındaki refraksiyon
(kırılma) katsayısıdır. Ölçülen *
başucu açısına PK refraksiyon
düzeltmesi eklenerek
 PK      PK
(2.56)
düzeltilmiş başucu açısı elde
edilir(Şekil 2.12).
*
K


P
S
hP
R
2
hK

Lokal astronomik sistemle ortalama yersel sistem arasındaki
ilişki, lokal astronomik sistemin başlangıç noktası olan
istasyonda gözlenen ve kutup hareketi nedeni ile düzeltilerek
ortalama kutba indirgenen astronomik enlem P ve
astronomik boylam P yardımı ile kurulur. (2.53) eşitliği ile P
noktasındaki lokal astronomik sistemdeki dik koordinatları
bulunan K noktasının, ortalama yersel sistemdeki
koordinatları
X
X
X
 
 
 


 Y    Y   R3 (180   P ) R2 (90   P ) P2  Y 
 Z 
 Z 
 Z 
K
P
K
eşitliği ile elde edilir.
(2.57)
Bu eşitlikte, R2, R3 rotasyon matrisleri ve P2 yansıma
matrisidir ve
R  R3 (180   P )R2 (90   P )P2
ile toplam rotasyon matrisi
 sin  P cos  P
R    sin  P sin  P

cos  P
 sin  P
cos  P
0
cos  P cos  P 
cos  P sin  P 

sin  P
şeklinde bulunur. Bu matris ile (2.57) eşitliği açık olarak
yazılırsa
X K  X P  X K sin P cos  P  YK sin  P  Z K cosP cos  P
YK  YP  X K sin P sin  P  YK cos  P  Z K cosP sin  P
Z K  Z P  X K cos P YK * 0  Z K sin  P
olur.
(2.58)
Tersine dönüşüm R matrisinin ortagonal olması nedeniyle
XK  XP
X

 
T
Y

R
Y

Y
P 
 K
 
 Z 
 Z K  Z P 
K
(2.59)
şeklindedir.
X= XK-XP , Y= YK-YP , Z=ZK-ZP denilir ve açık olarak yazılırsa
X K   X sin P cos  P  Y sin P sin  P  Z cos P
YK   X sin  P  Y cos  P
Z
K  X cos P cos  P  Y cos P sin  P  Z sin P
bulunur.
(2.60a)
(2.60b)
(2.60c)
Bu yerel astronomik dik koordinatlardan (2.53) eşitliklerinin
de dikkate alınması ile
Z
YK
(2.61)
2
2
2
  arccos K
 PK  arctan
XK
S PK  X  Y  Z
PK
S PK
eşitlikleri elde edilir.
X K , YK , Z K
yerine (2.60a,b,c) eşitliklerinden karşılıkları
konulursa
 PK
 X sin  P  Y cos  P
 arctan
 X sin  P cos  P  Y sin  P sin  P  Z cos  P
S PK  X 2  Y 2  Z 2
 PK
X cos  P cos  P  Y cos  P sin  P  Z sin  P
 arccos
S
bağıntıları elde edilir.
(2.62a)
(2.62b)
(2.62c)
2.3.4.3.2 Lokal Jeodezik Sistem




Bir lokal jeodezik sistemde başlangıç gözleme istasyonundan
geçen elipsoid normali üstündedir. Prensip olarak başlangıç
noktasının elipsoid normali boyunca herhangi bir yerde
olabileceğine dikkat etmek gerekir. Uygulamada
başlangıç noktası gözleme istasyonunda, elipsoid yüzünde
veya elipsoid normali ile jeoidin kesiştiği yerde seçilir.
z ekseni elipsoid normali ile çakışır ve pozitif yönü jeodezik
başucuna yönelmiştir.
x ekseni başlangıç noktasında elipsoid normaline dik olan
(teğet) düzlem içerisindedir ve elipsoidin dönme eksenine
yani jeodezik kuzeye yönelmiştir.
y ekseni bir sol el sistemi oluşturacak şekilde doğuya
yönelmiştir (Şekil 2.13).
Şekil 5- Jeodezik ve Lokal Jeodezik Koordinat Sistemleri.
Lokal jeodezik sistemde dik koordinatlarla kutupsal
koordinatlar arasıdaki ilişkiler lokal astronomik sistemdekine
benzer olarak
x
 sin   cos A
 


y

S
sin

sin
A

 


 z 
 cos   
K
(2.63)
şeklinde yazılabilir. Bu eşitliklerde A elipsoidal azimut,
elipsoidal (refraksiyon düzeltmesi getirildikten sonra elipsoid
normaline indidrgenmiş) düşey açı ve S uzaysal (eğik) kenardır.
Bu eşitlikler açık olarak
 cos APK
x K  S PK sin  PK
 sin APK
y K  S PK sin  PK

z K  S PK cos  PK
şeklinde yazılabilir.
(2.64)
 çekül doğrultusuna göre ölçülen ve refraksiyon
düzeltemesi getirilmiş zenit açısı,  ve  durulan noktadaki
(P noktası) çekül sapması bileşenleri, A, P noktasından K
noktasına elipsoidal azimut olmak üzere, elipsoid normaline
indirgenmiş zenit açısı ,
   PK  ( P cos APK   P sin APK )
 PK
eşitliği ile hesaplanır.
(2.65)
Lokal jeodezik sistemle elipsoidal sistem arasındaki ilişki, lokal
jeodezik sistemin başlangıç noktası olan istasyonun elipsoidal
enlemi P ve elipsoidal boylamı P yardımı ile kurulur. (2.63)
veya (2.64) eşitlikleri ile P noktasındaki lokal jeodezik
sistemdeki dik koordinatları bulunan K noktasının, elipsoidal
sistemdeki koordinatları (2.66) matris eşitliği ile
 x
 x
x
 
 
 


y

y

R
(
180


)
R
(
90


)
P
3
P
2
P
2 y
 
 
 z 
 z 
 z 
K
P
K
(2.66)
veya açık olarak yazılacak olursa
x K  x P  x K sin  P cosP  y K sin P  z K cos P cosP (2.67a)
y K  y P  x K sin  P sin  P  y K cos P  z K cos P sin  P (2.67b)
z K  z P  x K cos P  y K  0  z K sin  P
eşitlikleri ile bulunur.
(2.67c)
Yine lokal astronomik sistemdekine benzer olarak, lokal
jeodezik sistemdeki dik koordinatlar ile elipsoidal koordinatlar
arasında
x = xK-xP , y= yK-yP , z=zK-zP
olmak üzere
x K  x sin  P cos P  y sin  P sin  P  z cos P (2.68a)
y K  x sin  P  y cos P
(2.68b)
z K  x cos P cosP  y cos P sin P  z sin  P (2.68c)
bulunur.
Lokal jeodezik sistemdeki kutupsal koordinatlar ile dik
arasında
APK  arctan
yK
xK
  arccos
 PK
zK
S PK
, S PK  x  y  z
,
(2.69)
bağıntıları geçerlidir. Bu eşitliklerde x K , y K , z K yerine
(2.68a,b,c) eşitliklerinden karşılıkları konulursa
APK
2
2
2
 x sin  P  y cos P
 arctan
(2.70a)
 x sin  P cos P  y sin  P sin  P  z cos P
S PK  x 2  y 2  z 2
  arccos
 PK
(2.70b)
x cos P cos P  y cos P sin  P  z sin  P
(2.70c)
S PK
lokal jeodezik sistemdeki kutupsal koordinatlar A, ’ ve S ’nin,
noktaların elipsoidal koordinatlarına göre ifade edildiği
bağıntılar elde edilir.
Lokal jeodezik ve lokal astronomik sistemler arasındaki ana
fark z eksenlerinin sırasıyla birincisinde gözleme
istasyonundan geçen elipsoid normali ve diğerinde
jeopotansiyel yüzeyin normali (çekül doğrultusu) ile
çakışmasıdır. Bu iki sistem arasındaki ilişki noktadaki çekül
sapması ve astronomik azimut  ve jeodezik azimut A
arasındaki fark yardımıyla kurulur.  ve  çekül sapması
bileşenleri olmak üzere lokal astronomik sistemden lokal
jeodezik sisteme geçiş
X 
x
 y   R ( ) R ( ) R (  A)  Y  
1
2
3
 
 
Z 
 z 
 
(2.71)
eşitliği ile sağlanır. Çekül sapması bileşenleri ,  ve (-A) çok
küçük değerler olduğu için rotasyon matrislerinin komutatif
özelliğe sahip oldukları varsayılabilir, bu nedenle rotasyonun
gerçekleştirilmesi sırasında çarpım sıraları önemli değildir.
Çekül sapması bileşenleri
   
   (   ) cos
  (  A) cot



(2.72)
eşitlikleri ile verilmektedir. Şekil 2.16‘da lokal astronomik ve
lokal jeodezik sistemlerin z eksenleri ile Ortalama Yersel
Sistem ve Elipsoidal Sistemin eksenleri arasındaki ilişkiler ve
birim küre üzerinde çekül sapması bileşenleri
gösterilmektedir.
Çekül sapması bileşenleri
Astronomik-jeodezik yöntemlerle
Gravimetrik yöntemlerle
Topoğrafik-izostatik yöntemlerle
belirlenir.
Şekil 2.14- Jeoid, elipsoid ve çekül sapması
Şekil 2.15- Helmert ve Pizetti İzdüşümleri ve çekül sapmaları

Astronomik-jeodezik yöntemlerle belirlenen çekül sapmaları Astrojeodezik çekül sapması olarak adlandırılır. Bir P noktasının astronomik
enlem, boylam ve azimutu astronomik gözlemelerle belirlenir. Bu
noktanın elipsoidal enlem ve boylamı yeryüzünde yapılan açı ve kenar
ölçmeleri ile nirengi ağları kurularak hesaplanır. Astronomik yöntemlerle
bulunan enlem, boylam ve azimut ile jeodezik ölçülerle elipsoid üzerinde
yapılan hesaplarla bulunan elipsoidal enlem, boylam ve azimutun farkları
ile elde edilen çekül sapması bileşenleri “Astro-jeodezik çekül sapması
bileşenleri” olarak adlandırılır. Hesapların yapıldığı referans elipsoidinin
Ortalama Dünya Dik Koordinat Sistemine göre konumuna göre astrojeodezik çekül sapması bileşenleri rölatif çekül sapmaları veya mutlak
çekül sapmaları olarak elde edilir. Eğer referans elipsoidinin merkezi
yeryuvarının ağırlık merkezinde ve elipsoidal dik koordinat sisteminin x. y,
z eksenleri Ortalama Dünya Dik Koordinat Sisteminin X, Y, Z eksenleri
ile çakışık ise bu elipsoide göre hesaplanan çekül sapmaları “Mutlak
Çekül Sapmaları” adını alır. Eğer referans elipsoidinin merkezi
yeryuvarının ağırlık merkezinin dışında ise bu elipsoide göre hesaplanan
çekül sapmaları “Rölatif Çekül Sapmaları” adını alır.
Şekil 2.16- Ortalama Yersel Sistem, Elipsoidal Sistem, Lokal
Astronomik Sistem ve Lokal Jeodezik Sistemin z eksenleri
ve Çekül sapması bileşenleri.
Şekil 2.17- Çekül sapması ve bileşenleri
Çekül sapması bileşenlerinden  astronomik boylam  ve
elipsoidal boylam  arasındaki farktan veya astronomik
azimut  ile elipsoidal azimut A arasındaki farktan
yukarıda verilen eşitliklerle iki ayrı şekilde hesaplanır. Bir
nokta için hesaplanan bu değerlerin teorik olarak eşit olması
gerekir. Ancak ölçü hataları nedeniyle bu pratikte
sağlanamaz. Yukarıda (2.72) de  için verilen iki eşitliğin
farkının sıfıra eşitlenmesi ile
(  A) cot  (   ) cos  0
ve
(  A)  (   ) sin   0
(2.73)
eşitliği elde edilir. Bu eşitlik Laplace Denklemi olarak
adlandırılır.
UYGULAMA
Elipsoidal dik ve eğri koordinatlar
arasında dönüşüm
 Elipsoidal dik koordinatlardan
azimut, zenit uzaklığı ve uzaysal
kenar hesabı


Soru : Ülke nirengi ağının iki noktasının WGS-84 sistemindeki
üç boyutlu dik koordinatları ve ortometrik yükseklikleri aşağıda
verilmektedir;
Nokta No

X (m)
Y (m)
Z (m)
H (m)
1
4218844.8895 2233766.9953 4216285.6830 383.265
2
4210381.0556 2238170.1280 4222203.0762 276.385
2 numaralı noktanın astronomik enlemi 41 42 44.1235,
astronomik boylamı 27 59 47.5378 ve 2 numaralı noktadan
1 numaralı noktaya astronomik azimut 224 26 42.1979
verildiğine göre;
a) 2 numaralı noktanın elipsoidal enlemini, boylamını ve
elipsoidal yüksekliğini hesaplayınız,
b) 2 numaralı noktadaki çekül sapması bileşenlerini ve
jeoid yüksekliğini hesaplayınız,
c) 2 numaralı noktadan 1 numaralı noktaya olan
azimutu, zenit uzaklığını ve uzaysal kenarı hesaplayınız.