Transcript ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ 1. Понятие когерентности. . Пусть две волны, накладываясь друг на друга, возбуждают в некоторой точке пространства гармонические колебания одной частоты a 1 cos 

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
1. Понятие когерентности.
.
Пусть две волны, накладываясь друг на друга,
возбуждают в некоторой точке пространства гармонические
колебания одной частоты
a 1 cos  0 t   1 
a 2 cos   0 t   2 
Сложив эти колебания с помощью векторной диаграммы, для
амплитуды и начальной фазы результирующего колебания
получим выражения
a  a1  a 2  2 a1 a 2 cos  1   2 
2
tg  
2
2
a1 sin  1  a 2 sin 
a1 cos  1  a 2 cos 
2
2
Результат сложения зависит от разности фаз    1   2
исходных колебаний и может изменяться от  1   2 2
при   
до    2 при   0
1
2
 I  a 
1
2

a 1  a 2  2a 1 a 2
2
2

 a
2
1
 a 2  2a 1 a 2 cos  dt 
2
0
1


 cos  dt
0
Если    1   2 остается неизменной в течении времени
наблюдения, то 1  co s  d t  co s  , следовательно

2
0
2
 I  a1  a 2  2 a1 a 2 cos   I 1  I 2  2 I 1 
I 2 cos 
Волны, возбуждающие колебания, разность фаз  которых
остается постоянной во времени, называются когерентными
волнами.
При беспорядочном же изменении разности фаз  в течении
времени  , которое происходит в результате обрыва и
возобновления колебаний
1

( значение
от 0 до 
и

 co s  d t  0
0
 многократно пробегает значения
).
2
2
 I  a1  a 2  I 1  I 2
Колебания в этом случае не будут когерентными, явления
интерференции наблюдаться не будет.
2. Интерференция двух когерентных световых волн.
Результат интерференции определяется разностью фаз
интерферирующих волн в месте наблюдения, а эта последняя
зависит от начальной разности фаз волн, а также от разности
расстояний, отделяющих точку наблюдения, от источников
каждой из волн.
экран
1
P
S1
S2
d
2
l
x
Пусть две когерентные волны исходят из источников
S 1 и S 2 . Наблюдение производится в точке Р. Для
простоты допустим равенство амплитуд колебаний,
возбуждаемых волнами в точке Р. Колебания
возбуждаемые первой и второй волной в точке Р будут
иметь вид
E 1  E 1 m cos  t  kS 1 
E 2  E 2 m cos  t  kS 2   
Складываясь в точке Р колебания, дадут
E  E 1  E 2  E m cos  t  kS 1   E m cos  t  kS 2    
 kS 2  kS1 1
 2 E m cos 
 
2
2

k  S1  S 2   


 
 cos   t 
2
2


экран
1
P
S1
S2
d
2
l
x
Предположим, что   0,
тогда разность фаз двух
колебаний
   t  kS1   t  kS 2 
2

 S 2  S1  
2


.
Если    2  m ,
где m =0,1,2… , что
соответствует разности хода
  m ,
то колебания в точке Р происходят в одной фазе и
максимально усиливают друг друга. Таким образом,
условие
  m ,
где m= 0 ,  1,  2 ... , является условием интерференционного
максимума.
Если же
 
2

S 2
 S1  
2

     2 m
1

    m  
что соответствует разности хода
2

m =0,1,2…, то колебания в точке Р будут гасить друг
друга. Следовательно, условие
1

   m    , m   0,1, 2...
2

является условием интерференционного минимума.
,
Определим координаты интерференционных
максимумов, для этого обратимся к рисунку. (Принимаем
условие   0 ).
экран
P
S1
1
x
S2
d
l
2
S1

2
S2
 xd
2

 xd

2
2

2
2
l
l
2
2
S 2  S 1   S 2  S 1  S 2  S 1   2 dx
2
2
Для получения различимой картины d  l ,
кроме того x  l.
При этих условиях
d
S 2  S1    x .
S 2  S1  2 l ,
l
Подстановка этого значения в условия максимума и
минимума дает
 m 
d
l
x m ax  x m ax   m
l
,
d
1
d
1 l


m   
x m in  x m in    m    .
2
l
2d


Расстояние между двумя соседними максимумами
интенсивности называется расстоянием между
интерференционными полосами, а расстояние между
соседними минимумами – шириной интерференционной
полосы. Это
x 
l
.
d
Величины имеют одинаковое значение.
Расстояние между полосами растет при уменьшении d .
Если бы
, то
d ~ l
 x ~  , полосы были
бы неразличимы.
3. Оптическая
разность хода.
Мы рассмотрели интерференцию волн,
распространяющихся в вакууме (воздухе).
Когерентные волны одной частоты способны
интерферировать в любой среде.
Заметим, что если в вакууме скорость волны c и длина
её  0 , то для среды с показателем преломления n

имеем соответственно   c
и
  0 .
n
n
В соответствии с этим, если волна проходит путь S 1 в
одной среде  n1  и путь S 2 в другой среде  n  ,
2
то возникающая разность фаз выразится
  k 2 S 2  k1 S 1 
2
0
n2 S 2 
2
0
2
2
n1 S 1 
S2 
2
0
2
1
S1 
 n2 S 2
 n1 S 1  .
Величины n1 S 1 , n 2 S 2 - называются оптической
длиной пути, а   n 2 S 2  n1 S 1 - оптической разностью
хода. Таким образом, если волны распространяются в
среде с показателем преломления n  1 , то
результат интерференции зависит от оптической
разности хода.
4. Осуществление когерентных волн в оптике.
В 1816г. Френель показал, что можно получить когерентные
волны, если использовать излучение лишь одного атома.
Для этого необходимо испускаемое излучение разделить на
два потока (путем отражения или преломления) и
заставить их встретиться после того, как они пройдут
разные пути S1 и S 2 . Однако, запаздывание одной волны
относительно другой должно быть малым, чтобы они
принадлежали к одной «вспышке» атома, только в этом
случае будет иметь место когерентность.
1. Зеркала Френеля.
Два плоских соприкасающихся зеркала располагаются так,
что их отражающие поверхности образуют угол, близкий к  .
Соответственно угол  очень мал. Параллельно линии
пересечения зеркал О на расстоянии располагают
прямолинейный источник света S . От каждого атома
источника S к экрану приходят волны, идущие по двум путям
разной длины и поэтому запаздывающие одна относительно
другой. Волны, идущие от S и отражающиеся зеркалами,
представляют две системы когерентных волн, как бы
исходящих из источников S1 и S 2 , являющихся мнимыми
изображениями S в зеркалах.
В различные точки экрана эти волны приходят с некоторой
разностью фаз, поэтому освещенность экрана в разных точках
различна.
Зеркала Френеля
Бипризма Френеля
В этом случае мнимые когерентные
источники
S1 и S 2
возникают в результате преломления в
бипризме. Бипризма изготовляется из одного куска стекла и
представляет собой две призмы с малым преломляющим углом

, имеющие одну общую грань, параллельно которой
располагается прямолинейный источник света S .
Бипризма Френеля
Временная когерентность. Время когерентности и длина
когерентности.
Мы уже говорили о том, что инерционные приборы
регистрируют усредненную интенсивность за время наблюдения.
 I  a1  a 2 
2
2
1


 cos  dt ,
0
значение которой зависит от изменений cos  в течение времени .
Если cos  остается неизменным, то мы будем наблюдать
интерференцию, если cos  за время  нерегулярно изменялся,
пробегая все значения от +1 до -1, то среднее значение  cos   0,
явление интерференции наблюдается не будет. Если же разность
фаз двух колебаний изменяется очень медленно, то в этом
случае колебания остаются когерентными лишь в течении
некоторого времени, пока их разность фаз не успела изменится
на величину, сравнимую с  .
Условие неразличимости интерференционной картины будет
m
l
(     )  ( m  1)
d
l
.
d
m   ,
m пр 


.
Таким образом, чем выше порядок интерференции, который
нужно наблюдать, тем уже должен быть спектральный
интервал, еще допускающий наблюдение интерференции.
Порядок m связан с разностью хода 
  m  ( m  0 ,  1,  2...)  m 


.
Разность хода, при которой исчезает интерференционная
2
картина, определяется соотношением

 пр 
.

Узнав длину когерентности, легко определить время
2
когерентности


t ког 

c
c
.
Пространственная когерентность. Радиус когерентности.
.
Для того, чтобы оценить радиус когерентности и лучше
представить пространственную когерентность рассмотрим
протяженный источник света ( все реальные источники в
природе имеют протяженность). Пусть различные точки этого
источника света испускают волны с вполне случайными
фазами. Будем интересоваться пространственной
когерентностью светового поля, создаваемого этим
протяженным источником в точках P1 и P2 .
d - протяженность источника.
2 b - расстояние между источником и точками наблюдения.
Пространственная когерентность
экран
P1
d
2l
2b
P2
Расчет показывает, что степень когерентности колебаний в
точках P и P , лежащих на прямой , параллельной источнику
равна
1
2
 |
sin 

|,
где
 
4 b  l
d
.

При    ,   0 , при возрастании
степень
когерентности сначала уменьшается, при    обращается в
0, а при дальнейшем росте испытывает осцилляции не
превышающие 0,2.
Степень когерентности
 
Неравенство
можно принять в качестве критерия
существования пространственной когерентности.
4 b  l
 , получаем
d
2b

 ,
ограничение, накладываемое на размеры источника  
d
2l
Если зафиксировать 2l , то из условия
т.е. угловые размеры источника не должны превышать
отношения  к расстоянию между точками. Таким образом, для
создания когерентного освещения нет необходимости применять
строго точечный источник света.
Если теперь зафиксировать угловые размеры источника  , то
можно оценить область когерентности .
2 l  2 l ког 

