ПРАКТИЧНА ГЕОДЕЗИЈА 1 – Рачунске вежбе – Предметни наставник Мр. Оливера Васовић, дипл.
Download
Report
Transcript ПРАКТИЧНА ГЕОДЕЗИЈА 1 – Рачунске вежбе – Предметни наставник Мр. Оливера Васовић, дипл.
ПРАКТИЧНА ГЕОДЕЗИЈА 1
– Рачунске вежбе –
Предметни наставник
Мр. Оливера Васовић, дипл. геод. инж.
РЕШАВАЊЕ ТРОУГЛА
А
b
С
c
a
В
ПОЗНАТА СТРАНИЦА И ДВА УГЛА НА ТОЈ СТРАНИЦИ - с, , .
Трећи угао је:
1800
Из синусне теореме, добијамо вредности страница а и b.
a
b
c
2R m
sin sin sin
c
sin m sin
sin
c
b
sin m sin
sin
a
Контрола: b cos + c cos = a
Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ
ПРВИ НАЧИН: Применом косинусне теореме
Познато- b, c,
a b c 2bc cos
Познато- a, c,
b a c 2ac cos
Познато- a, b,
c a b 2ab cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ - b, c, .
ПРВИ НАЧИН: Применом косинусне теореме
a b c 2bc cos
2
2
2
a b2 c2 2bc cos
Из синусне теореме, добијамо вредност угла или .
a
b
c
m
sin sin sin
+ + = 1800
b
sin
m
b
arcsin
m
= 1800 - ( + )
Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13
a b c 2bc cos
2
b
arcsin
m
2
2
a
m
sin
c
γ arcsin
m
контрола
контрола
= 1800
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ - b, c, .
ДРУГИ НАЧИН: Применом тангенсне теореме
tg
bc
2
bc
tg
2
Знамо да је:
+ + = 1800
+=
1800
-
900
2
2
Из тангенсне теореме следи:
bc bc 0 bc
tg
tg
tg
90
ctg
2
b
c
2
b
c
2
2
bc
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ - b, c, .
ДРУГИ НАЧИН: Применом тангенсне теореме
односно: tg
bc
ctg
2
bc
2
bc
arctg
ctg
2
2
bc
Имамо да је:
900
2
2
bc
arctg
ctg
2
2
bc
0
bc
90 arctg
ctg
2
2
2
2
bc
0
bc
90 arctg
ctg
2
2
2
2
bc
Страница а се рачуна применом синусне теореме:
b
c
a
sin
sin
sin
sin
Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 14
контрола
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (ВЕЋЕ)
СТРАНИЦЕ ОД ЊИХ - а, b, (b > a).
Из синусне теореме добија се вредност угла .
a
b
m
sin sin
Трећи угао је:
a
sin sin
b
a
a
b
m
sin
a
arcsin
m
1800
Из синусне теореме добија се вредност странице с.
c
b
sin m sin
sin
Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13
= 1800 - ( )
b
arcsi n
m
a
m
sin
c m sin
контрола
= 1800
контрола
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ)
ОД ЊИХ - b, c, (b < c)
Из синусне теореме следи:
b
c
sin sin
c
sin sin
b
sin постоји само ако је c sin ≤ b (0 ≤ sin ≤ 1).
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ)
ОД ЊИХ - b, c, (b < c)
Како је задат угао наспрам мање странице, могући су следећи
односи:
1. c sin < b. Тада постоје два решења 1 и 2, при чему је:
1 + 2=1800
2. c sin = b. Тада је = 900
3. c sin > b. Овакав троугао је немогућ (нема решење).
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ)
ОД ЊИХ - b, c, (b < c)
Ако важи први случај (са два решења),
тада посматрамо троуглове:
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ)
ОД ЊИХ - b, c, (b < c)
ПРВО РЕШЕЊЕ DABC1:
c
c
sin 1 sin 1 arcsin sin
b
b
Трећи угао је: 1 1800 1
Из синусне теореме добија се вредност странице a1.
a1
b
sin1
sin
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ)
ОД ЊИХ - b, c, (b < c)
ДРУГО РЕШЕЊЕ DABC2:
0
0
Знамо да је: 1 2 180 2 180 1
Трећи угао је: 2 1800 2
Из синусне теореме добија се вредност странице a2.
a2
b
sin 2
sin
НАПОМЕНА: Троугао са два решења се у геодетској пракси
избегава.
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ)
ОД ЊИХ - b, c, (b < c)
Ако важи други случај (правоугли троугао) тада следи:
900
Трећи угао је: 1800 ( )
Из синусне теореме добија се вредност странице a.
b
a
sin sin
b
a
sin
sin
Односно из Питагорине теореме:
c2 = a 2 + b 2
a c2 b 2
ДИРЕКЦИОНИ УГАО
ДИРЕКЦИОНИ УГАО
ДИРЕКЦИОНИ УГАО () је угао за који треба ротирати
позитиван смер паралеле са X-осом координатног система у
смеру кретања казаљке на часовнику, док се не поклопи са
страном на коју се дирекциони угао односи.
B
Дирекциони угао се означава са: A , и чита као: "ни А на Б".
ДИРЕКЦИОНИ УГАО
Дате су координате тачака A(YA, XA) i B(YB, XB).
Потребно је срачунати дирекциони угао:
x
B
A
и дужину: dAB
YB
XB
YA
YB YA DY
tg
XB X A DX
DY
arctg
DX
B
B
A
A
A (Y A ,X A )
Дужина износи:
XA
0
Са слике следи:
B
A
d
X B -X A = DX
Y B -Y A = DY B (Y ,X )
B
B
y
d AB DY2 DX2
Koнтрола рачунања дирекционог угла:
tg 450 tg BA
tg (45 )
0
B
1 tg 45 tg A
0
B
A
DY DX DY
1 tg BA 1 DX
DX
1 tg BA 1 DY DX DY
DX
DX
DX DY
DX DY
Koнтрола рачунања дужине:
d AB
DY
DX
sin ba cos ba
ДИРЕКЦИОНИ УГАО
Зависно од положаја тачака A и B у координатном систему,
вредност дирекционог угла може да износи од 00 дo 3600 ,
односно он може да се налази у првом, другом, трећем или
четвртом квадранту.
Важи следеће:
X
IV квадрант
I квадрант
– ΔY, + Δ X
+ ΔY, + Δ X
Y
-Y
III квадрант
II квадрант
– ΔY, – Δ X
+ ΔY, – Δ X
-X
IV квадрант
B
+x
DY < 0
DX > 0
DY > 0
DX > 0
B
I квадрант
B
A
B
A
Y YA
a rc tg B
360 0
XB XA
BA a r c tg
B
A
A
A
-y
0
A
III квадрант
B
+y
B
A
A
B
A
II квадрант
DX < 0 DX < 0
DY < 0
Y YA
BA a rc tg B
180 0
XB XA
YB YA
XB XA
DY > 0
-x
B
Y YA
BA a rc tg B
1800
XB XA
ДИРЕКЦИОНИ УГАО
BA
Вредност дирекционог угла
ab
ba
B
је:
180
A
B
B
A
0
1800
ba
A
Рачунање дирекционог угла и дужине из координата крајњих
тачака се врши у Тригонометријском обрасцу број 8.
Дирекциони угао је у IV квадранту
tg ba
ba
4
је
угао у I квадранту
DY
DX
DY
0
ba arctg
360
DX
DX DY
tg ba
4
DX DY
d AB
DX DY
2 ba arctg
2
d DY
DY
DX
контрола
4
DX DY AB
b
sin a
односно d AB
DX
cos ba
РАЧУНАЊЕ ПРИБЛИЖНИХ
КООРДИНАТА ТАЧАКА МЕТОДОМ
ПРЕСЕЦАЊА НАПРЕД
РАЧУНАЊЕ ПРИБЛИЖНИХ КООРДИНАТА ТАЧАКА
МЕТОДОМ ПРЕСЕЦАЊА НАПРЕД
Уколико су дате координате тачака А(YА, XА) и B(YB, XB),
као и мерени углови А и B, тада се методом пресецања
напред могу срачунати координате тачке Т(YT, XT).
Дате (познате вредности) вредности су:
1. координате тачака: А(YА, XА) и B(YB, XB),
2. мерени углови: А и B,
Тражена (непозната) вредност:
1. координате тачке: Т(YT, XT).
РАЧУНАЊЕ ПРИБЛИЖНИХ КООРДИНАТА ТАЧАКА
МЕТОДОМ ПРЕСЕЦАЊА НАПРЕД
Поступак рада:
1. Нацртати скицу координатног система са нанетим тачкама А и В.
2. Нанети на скици мерене углове А и B,
3. Срачунати вредност дирекционог угла
BA и дужине dAB.
4. Одредити вредности оријентационих праваца А и В на основу
скице конкретне ситуације.
Т (YT,XT)
Са слике следи:
A A 360
B
A
B BA B
0
Са слике следи:
= В - А
Контрола рачунања(збир углова у троуглу):
А + В + = 1800
Из синусне теореме следи:
d AB
dBT
d AT
sin sin A sin B
d AT
d AB
sin B
sin
d BT
d AB
sin A
sin
Контрола рачунања:
d AB dBT cos B d AT cos A
Координате тражене тачке Т(YT, XT) се рачунају на два начина:
•
помоћу тачке А:
YТ' = YА + DYА = YА + dАT sinА
XТ' = XА + DXА = XА + dАТ cosА
•
помоћу тачке В:
YТ'' = YB + DYB = YB + dBТ sinB
XТ'' = XB + DXB = XB + dBТ cosB
Уколико се вредности YТ' и YТ'' , као и XТ' и XТ'' слажу у оквиру
дозвољеног одступања D 0,1m; тада се за дефинитивну
вредност координата тачке Т (YТ, XТ) узима аритметичка средина:
YT ' YT "
YT
2
X T ' X T "
XT
2