Transcript ПРАКТИЧНА ГЕОДЕЗИЈА 1 – Рачунске вежбе – Предметни наставник Мр. Оливера Васовић, дипл.

ПРАКТИЧНА ГЕОДЕЗИЈА 1
– Рачунске вежбе –
Предметни наставник
Мр. Оливера Васовић, дипл. геод. инж.
РЕШАВАЊЕ ТРОУГЛА
А

b
С
c


a
В
ПОЗНАТА СТРАНИЦА И ДВА УГЛА НА ТОЈ СТРАНИЦИ - с, , .
Трећи угао је:
  1800    
Из синусне теореме, добијамо вредности страница а и b.
a
b
c


 2R  m
sin sin sin
c
 sin  m  sin
sin
c
b
 sin  m  sin
sin
a
Контрола: b  cos + c  cos = a
Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ
ПРВИ НАЧИН: Применом косинусне теореме
Познато- b, c, 
a  b  c  2bc cos 
Познато- a, c, 
b  a  c  2ac cos 
Познато- a, b, 
c  a  b  2ab cos 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ - b, c, .
ПРВИ НАЧИН: Применом косинусне теореме
a  b  c  2bc cos 
2
2
2
a  b2  c2  2bc cos 
Из синусне теореме, добијамо вредност угла  или  .
a
b
c


m
sin  sin  sin 
 +  +  = 1800
b
sin 
m
b
  arcsin 
m
 = 1800 - ( + )
Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13
a  b  c  2bc cos 
2
b
  arcsin 
m
2
2
a
m
sin 
c
γ  arcsin 
m
контрола
контрола
     = 1800
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ - b, c, .
ДРУГИ НАЧИН: Применом тангенсне теореме

tg 

bc
2 


bc

tg 

 2 
Знамо да је:
 +  +  = 1800
+=
1800
-


 900 
2
2
Из тангенсне теореме следи:

   bc   bc  0  bc
tg 

tg

tg
90


ctg



2
b

c
2
b

c
2
2



 bc
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ - b, c, .
ДРУГИ НАЧИН: Применом тангенсне теореме
односно: tg
 bc


ctg
2
bc
2


bc
 arctg
ctg 
2
2
bc
Имамо да је:


 900 
2
2


 bc
 arctg
ctg 
2
2
bc

   0 

bc

  90    arctg
ctg 
2
2
2
2

bc

   0 

bc

  90    arctg
ctg 
2
2
2
2

bc
Страница а се рачуна применом синусне теореме:
b
c
a
sin 
sin
sin
sin
Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 14
контрола
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (ВЕЋЕ)
СТРАНИЦЕ ОД ЊИХ - а, b,  (b > a).
Из синусне теореме добија се вредност угла .
a
b

m
sin sin
Трећи угао је:
a
sin   sin 
b
a
a

b
m
sin
a
  arcsin 
m
  1800    
Из синусне теореме добија се вредност странице с.
c
b
sin  m sin
sin
Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13
 = 1800 - (  )
 b
  arcsi n 
m
a
m
sin 
c  m  sin
контрола
     = 1800
контрола
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ)
ОД ЊИХ - b, c,  (b < c)
Из синусне теореме следи:
b
c

sin sin
c
sin   sin
b
sin постоји само ако је c sin ≤ b (0 ≤ sin ≤ 1).
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ)
ОД ЊИХ - b, c,  (b < c)
Како је задат угао наспрам мање странице, могући су следећи
односи:
1. c sin < b. Тада постоје два решења 1 и 2, при чему је:
1 + 2=1800
2. c sin = b. Тада је  = 900
3. c sin > b. Овакав троугао је немогућ (нема решење).
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ)
ОД ЊИХ - b, c,  (b < c)
Ако важи први случај (са два решења),
тада посматрамо троуглове:
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ)
ОД ЊИХ - b, c,  (b < c)
ПРВО РЕШЕЊЕ DABC1:
c
c

sin 1   sin   1  arcsin  sin 
b
b

Трећи угао је: 1  1800     1
Из синусне теореме добија се вредност странице a1.
a1 
b
sin1
sin
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ)
ОД ЊИХ - b, c,  (b < c)
ДРУГО РЕШЕЊЕ DABC2:
0
0
Знамо да је:  1   2  180   2  180   1
Трећи угао је: 2  1800     2
Из синусне теореме добија се вредност странице a2.
a2 
b
sin 2
sin
НАПОМЕНА: Троугао са два решења се у геодетској пракси
избегава.
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ)
ОД ЊИХ - b, c,  (b < c)
Ако важи други случај (правоугли троугао) тада следи:
  900
Трећи угао је:   1800  (   )
Из синусне теореме добија се вредност странице a.
b
a

sin sin
b
a
 sin
sin
Односно из Питагорине теореме:
c2 = a 2 + b 2
a  c2  b 2
ДИРЕКЦИОНИ УГАО
ДИРЕКЦИОНИ УГАО
ДИРЕКЦИОНИ УГАО () је угао за који треба ротирати
позитиван смер паралеле са X-осом координатног система у
смеру кретања казаљке на часовнику, док се не поклопи са
страном на коју се дирекциони угао односи.
B
Дирекциони угао се означава са:  A , и чита као: "ни А на Б".
ДИРЕКЦИОНИ УГАО
Дате су координате тачака A(YA, XA) i B(YB, XB).

Потребно је срачунати дирекциони угао:
x
B
A
и дужину: dAB
YB
XB
YA
YB  YA DY
tg 

XB  X A DX
 DY 
  arctg

 DX 
B
B
A
A
A (Y A ,X A )
Дужина износи:
XA
0
Са слике следи:
B
A
d
X B -X A = DX
Y B -Y A = DY B (Y ,X )
B
B
y
d AB  DY2  DX2
Koнтрола рачунања дирекционог угла:
tg 450  tg BA
tg (45   ) 

0
B
1  tg 45 tg A
0
B
A
DY DX  DY
1  tg BA 1  DX
DX 



1  tg BA 1  DY DX  DY
DX
DX
DX  DY

DX  DY
Koнтрола рачунања дужине:
d AB 
DY
DX

sin  ba cos  ba
ДИРЕКЦИОНИ УГАО
Зависно од положаја тачака A и B у координатном систему,
вредност дирекционог угла може да износи од 00 дo 3600 ,
односно он може да се налази у првом, другом, трећем или
четвртом квадранту.
Важи следеће:
X
IV квадрант
I квадрант
– ΔY, + Δ X
+ ΔY, + Δ X
Y
-Y
III квадрант
II квадрант
– ΔY, – Δ X
+ ΔY, – Δ X
-X
IV квадрант
B
+x
DY < 0
DX > 0
DY > 0
DX > 0
B
I квадрант
B
A


B
A
Y  YA
 a rc tg B
 360 0
XB  XA

 BA  a r c tg
B
A
A
A
-y
0
A
III квадрант

B
+y
B
A
A
B
A
II квадрант

DX < 0 DX < 0
DY < 0
Y  YA
BA  a rc tg B
 180 0
XB  XA
YB  YA
XB  XA
DY > 0
-x
B
Y  YA
 BA  a rc tg B
 1800
XB  XA
ДИРЕКЦИОНИ УГАО
 BA
Вредност дирекционог угла
 ab
 ba
B
је:
    180
A
B
B
A
0
1800
 ba
A
Рачунање дирекционог угла и дужине из координата крајњих
тачака се врши у Тригонометријском обрасцу број 8.
Дирекциони угао је у IV квадранту
tg ba 

  ba
4
је
угао у I квадранту
DY
DX
 DY 
0
 ba  arctg 
  360
 DX 

 DX  DY
tg   ba  
4
 DX  DY
d AB 

 DX  DY 
2  ba  arctg
2

 d  DY
DY

DX
контрола
4
 DX  DY  AB
b
sin  a
односно d AB 
DX
cos  ba
РАЧУНАЊЕ ПРИБЛИЖНИХ
КООРДИНАТА ТАЧАКА МЕТОДОМ
ПРЕСЕЦАЊА НАПРЕД
РАЧУНАЊЕ ПРИБЛИЖНИХ КООРДИНАТА ТАЧАКА
МЕТОДОМ ПРЕСЕЦАЊА НАПРЕД
Уколико су дате координате тачака А(YА, XА) и B(YB, XB),
као и мерени углови А и B, тада се методом пресецања
напред могу срачунати координате тачке Т(YT, XT).
Дате (познате вредности) вредности су:
1. координате тачака: А(YА, XА) и B(YB, XB),
2. мерени углови: А и B,
Тражена (непозната) вредност:
1. координате тачке: Т(YT, XT).
РАЧУНАЊЕ ПРИБЛИЖНИХ КООРДИНАТА ТАЧАКА
МЕТОДОМ ПРЕСЕЦАЊА НАПРЕД
Поступак рада:
1. Нацртати скицу координатног система са нанетим тачкама А и В.
2. Нанети на скици мерене углове А и B,
3. Срачунати вредност дирекционог угла
 BA и дужине dAB.
4. Одредити вредности оријентационих праваца А и В на основу
скице конкретне ситуације.
Т (YT,XT)
Са слике следи:
 A     A  360
B
A
 B   BA   B
0
Са слике следи:
 = В - А
Контрола рачунања(збир углова у троуглу):
А + В +  = 1800
Из синусне теореме следи:
d AB
dBT
d AT


sin sin A sin B
d AT
d AB

 sin B
sin
d BT
d AB

 sin A
sin
Контрола рачунања:
d AB  dBT  cos B  d AT  cos A
Координате тражене тачке Т(YT, XT) се рачунају на два начина:
•
помоћу тачке А:
YТ' = YА + DYА = YА + dАT  sinА
XТ' = XА + DXА = XА + dАТ  cosА
•
помоћу тачке В:
YТ'' = YB + DYB = YB + dBТ  sinB
XТ'' = XB + DXB = XB + dBТ  cosB
Уколико се вредности YТ' и YТ'' , као и XТ' и XТ'' слажу у оквиру
дозвољеног одступања D  0,1m; тада се за дефинитивну
вредност координата тачке Т (YТ, XТ) узима аритметичка средина:
YT ' YT "
YT 
2
X T ' X T "
XT 
2