Transcript 第三章 地基中的应力计算 §3.1 概述 §3.2 自重应力 §3.3 基底的接触压力 §3.4 各种荷载作用下地基内的附加应力 §3.5 饱和土的有效应力原理 §3.1 概述 (本章要解决的问题) (一)地基的受力状态 地基的强度问题 地基中的应力状态 应力应变关系 地基的变形问题 应力状态及应力应变关系 自重应力 附加应力 基底压力计算 有效应力原理 建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑 物重量等外荷载在地基 中引起的应力，所谓的 “附加”是指在原来自 重应力基础上增加的压 力。 (二)应力状态及应力应变关系 基本概念 (1) 土力学中应力符号的规定 z  zx 地基：半无限空间 ∞ x ∞ o ∞ y z  y  yz  xy  x  xy  xz  ij = 

第三章
地基中的应力计算
§3.1 概述
§3.2 自重应力
§3.3 基底的接触压力
§3.4 各种荷载作用下地基内的附加应力
§3.5 饱和土的有效应力原理
§3.1
概述
(本章要解决的问题)
(一)地基的受力状态
地基的强度问题
地基中的应力状态
应力应变关系
地基的变形问题
应力状态及应力应变关系
自重应力
附加应力
基底压力计算
有效应力原理
建筑物修建以前，地基
中由土体本身的有效重
量所产生的应力。
建筑物修建以后，建筑
物重量等外荷载在地基
中引起的应力，所谓的
“附加”是指在原来自
重应力基础上增加的压
力。
(二)应力状态及应力应变关系
基本概念
(1) 土力学中应力符号的规定
z
 zx
地基：半无限空间
∞
x
∞
o
∞
y
z
 y  yz
 xy
 x  xy  xz
 ij =  yx y  yz
 zx  zy  z
x
土力学中符号的规定
 zx
z
+
-
材料力学
 zx
土力学
z
x
 xz
+
-
x
 xz
正应力
剪应力
拉为正
压为负
顺时针为正
逆时针为负
压为正
拉为负
逆时针为正
顺时针为负
材料力学与土力学的正
负号规定正好相反！
(三) 地基中常见的应力状态
(1)一般应力状态——三维问题
z
 zx
 y  yz
o
 xy
 x  xy  xz
 ij =  yx y  yz
 zx  zy  z
x
x
y
z
 x  xy  xz
 ij =  yx y  yz
 zx  zy  z
(2) 轴对称三维问题
应变条件
应力条件
x  y ; z
 xy ,  yz ,  zx  0
独立变量： x
x  y ; z
xy , yz , zx  0
 y , z ;
x  y , z
 x 0xy 0xz
 ij = 0yx  y 0yz
0zx 0 zy  z
z
 zx
 y  yz
 xy
 x 0xy 0xz
 ij = 0yx yy 0yz
0zx 0zy  z
x
(3)平面应变条件——二维问题
垂直于y轴切出的任意断
面的几何形状均相同，其地
基内的应力状态也相同；
o
x
沿长度方向有足够长度，
L/B≧10；
平面应变条件下，土体在
x, z平面内可以变形，但在
y方向没有变形。
 y  0;
 yx   yz  0;
 zx  0
 zx
y
z
z
 zx
z
x
 xz
 y  yz
 xy
x
(3)平面应变条件——二维问题
应变条件
 y  0;
 xy   yz  0;
 zx  0
应力条件
y 
y 
  x   z 
E E
0
 y   x   z 
 x 0xy  xz
 ij = 0yx 0y 0 yz
 zx 0 zy  z
独立变量
 x ,  z ,  xz ;
 x ,  z ,  xz ;
 F( x, z )
 x 0xy  xz
 ij = 0yx yy 0yz
 zx 0zy  z
(4)侧限应力状态—— 一维问题
 水平地基半无限空间体；
 半无限弹性地基内的自重应
力只与Z有关；
 土质点或土单元不可能有侧
向位移侧限应变条件；
 任何竖直面都是对称面
应变条件
 y   x  0;
 xy   yz   zx  0
o
x
y
z
A
B
 sA   sB
(4)侧限应力状态—— 一维问题
应变条件
 y   x  0;
 xy   yz   zx  0
独立变量
应力条件
 xy   yz   zx  0;
x  y;

 z ,  z  F(z )

x 
x 
  y   z  0;
E E
x  y 
0 x 0xy 0xz
 ij = 0yx 0y 0yz
0zx 0 zy  z

 z  K 0 z ;
1 
K0：侧压力系数
 xx 0xy 0xz
 ij = 0yx yy 0yz
0zx 0zy  z
第三章 地基中的应力计算
§3.1 概述
§3.2 自重应力
§3.3 基底的接触压力
§3.4 各种荷载作用下地基内的附加应力
§3.5 饱和土的有效应力原理
§3.2 自重应力
(一) 基本概念
定义：地基中由土体本身的有效
重量而产生的应力。
目的：确定土体的初始应力状态
假定：水平地基半无限空间体
半无限弹性体有侧限应变条
件 一维问题
计算：地下水位以上用天然容
重，地下水位以下用浮容重
（二） 水平地基中的自重应力
1.计算公式
sz  W A  zA A  z
竖直向： sz  z
均质地基
水平向：    K 
sx
sy
0 sz
成层地基
γ1
竖直向： sz 
i
i
 sz   1H1   2 H 2   3 H 3 ;
H 1 水平向： sx  sy  K 0sz  K 0   i Hi
Z γ2 H 2
γ3
 H

K0 
1 
H3
容重：地下水位以上用天然容重γ
地下水位以下用浮容重γ’
思考题：水位骤降后，原水位到现水位之间
的饱和土层用什么容重？
(三） 地下水位对自重应力的影响
 1 (

1
 2)
2

 2
均质地基
成层地基
(四) 分布规
律
自重应力分布线的斜率是容重；
自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布；
自重应力在成层地基中呈折线分布；
在土层分界面处和地下水位处发生转折。
第三章 地基中的应力计算
§3.1 概述
§3.2 自重应力
§3.3 基底的接触压力
§3.4 各种荷载作用下地基内的附加应力
§3.5 饱和土的有效应力原理
§3.3 基底的接触压力
上部结构
建筑物设计
基础
上部结构的自重及各
种荷载都是通过基础
传到地基中的。
地基
基础结构的外荷载
基底压力：基础底面传递
给地基表面的压力，也称
基底接触压力。
基底反力
基底压力
附加应力
地基沉降变形
影响因素
计算方法
分布规律
暂不考虑上部结构的影
响，使问题得以简化；
用荷载代替上部结构。
(一) 影响因素
•大小
•方向
•分布
荷载条件
基础条件
基底压力
地基条件
•土类
•密度
•土层结构等
•刚度
•形状
•大小
•埋深
(二)基底压力分布
条形基础，竖直均布荷载
基础抗弯刚度EI=0 → M=0；
基础变形能完全适应地基表面的变形;
基础上下压力分布必须完全相同，若不
同将会产生弯矩。
弹性地基，绝对刚性基础
抗弯刚度EI=∞ → M≠0；
反证法: 假设基底压力与荷载分布相同，
则地基变形与柔性基础情况必然一致；
分布: 中间小, 两端无穷大。
(二)基底压力分布
弹塑性地基，有限刚度基础
—
—
—
—
— 荷载较小
— 荷载较大
砂性土地基
粘性土地基
接近弹性解
马鞍型
抛物线型
倒钟型
(三)接触压力的弹性力学解
1、 接触压力的弹性力学解
布辛奈斯克假定地基是半无限弹性体，基础底面没有摩
擦力，刚性基础的接触压力p按下式计算〕。
（1）条形基础的接触压力

p(x) 
2Q
1
B 1  (2x / B) 2
（2）长方形基础的接触压力
p( x , y) 
4Q
1
 2 BL 1  (2x / B) 2 1  (2 y / L) 2
（3）圆形基础的接触压力
p( r ) 
Q
2R 2
1
1  (r / R ) 2
(a)半无限弹性地基的接触压力分布
(b)端部屈服时的接触压力分布
刚性基础的接触压力分布
(a)砂土地基
(b)粘土地基
砂土地基与粘土地基的接触压力分布规律
(四) 实用简化计算
基底压力
的分布形
式十分复
杂
根据圣维南原理，基底压力的具体分布形式
对地基应力计算的影响仅局限于一定深度范
围；超出此范围以后，地基中附加应力的分
布将与基底压力的分布关系不大，而只取决
于荷载的大小、方向和合力的位置。
基础尺寸较小
荷载不是很大
简化计算方法：
假定基底压力按直线分布的材料力学方法
(四) 实用简化计算
基础形状与荷载条件的组合
荷载条件
竖直中心
P
P
矩
形
基
础
形
状
B
x
L
pP A
P’
条
形
竖直偏心
B
p  P B
P’—单位长
度上的荷载
倾斜偏心
P
y o
B
L
P M y Myx
p( x , y )   x 
A
Ix
Iy
L
B
  
P  Pv  Ph
P’
P’
B
p( x) 
P Mx

B
I
B
  
P  Pv  Ph
矩形面积中心荷载
矩形面积偏心荷载
P
P
p( x , y ) 
B
B
P Mxy My x


A
Ix
Iy
M x  P  ey ;
M y  P  ex
L
x
x
ey
ex
y
y
pP A
L
P
6e 
pmax   1  
A
B
当e y  0, e x  e
p max 
min
P
6e 
1



A
B
pmin 
P
6e 
1  
A
B
p max 
min
P  6e 
1  
A
B
高耸结构物下可
能的的基底压力
矩形面积单向偏心荷载
P
P
B
P
土不能承受拉力
B
B
压力调整
e
L
x
L
x
y
p max
K e
e
x
pmin  0
p max
p max 
p max
e<B/6: 梯形
K=B/2-e
3K y pmin  0
y
pmin  0
L
e=B/6: 三角形
基底
压力
合力
与总
荷载
相等
2P
2P

3KL 3(B 2  e)L
e>B/6: 出现拉应力区
倾斜偏心荷载
条形基础竖直偏心荷载
P
e
B
P Mx
p( x)  
B
I
P 
6e 
pmax   1  
B
B
min
P
Pv
Ph
分解为竖直向和水平
向荷载，水平荷载引
起的基底水平应力视
为均匀分布。
第三章 地基中的应力计算
§3.1 概述
§3.2 自重应力
§3.3 基底的接触压力
§3.4 各种荷载作用下地基内的附加应力
§3.5 饱和土的有效应力原理
§3.3 附加应力
竖直
集中力
地基中附加应力计算
矩形面积竖直均布荷载
矩形面积竖直三角形荷载
竖直线布荷载
条形面积竖直均布荷载
圆形面积竖直均布荷载
水平
集中力
矩形面积水平均布荷载
特殊面积、特殊荷载
矩形内积分
圆内积
分
竖直
集中力
矩形面积竖直三角形荷载
矩形面积竖直均布荷载
竖直线布荷载
宽度积分
条形面积竖直均布荷载
圆形面积竖直均布荷载
水平集中力
其他：表3－6
矩形内积分
矩形面积水平均布荷载
特殊荷载：将荷载和面积进行分
解，利用已知解和叠加原理求解
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
P
o
α
x
r
M’
x
R
z
y
 zx
β z
y
M
z
x y
 y  yz
R 2  r 2  z 2  x2  y 2  z 2
 xy
r / z  tg
 z  xy  yz  zx（P；x,y,z；R, α, β)
x
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
3P z 3
z 
2 R 5
3P yz 2
 zy 
2 R 5
3P xz 2
 zx 
2 R 5
z : zy : zx  z : y : x
R 2  r 2  z 2  x2  y 2  z 2
3P z 3
3
1
P
z 

5
2 R
2 [1  (r / z )2 ]5 / 2 z 2
K
P
z  K  2
z
3
1
3
1

2 [1  (r / z )2 ]5 / 2 2 [1  tg 2]5 / 2
查表3－1
集中力作用下的
应力分布系数
r / z  tg
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算
－布辛内斯克课题
P
o
αr
P
z  K  2
z
x
M’
x
βz
R
y
3
1
K
2 [1  (r / z )2 ]5 / 2
M
z
0.5
特点
0.4
1.σz与α无关，应力呈轴对称分布
2.σz:τzy:τzx= z:y:x,
合力过原点，与R同向
y
K
0.3
0.2
0.1
0
0.5
1.0
1.5
2.0
r/z
2.5
3.0
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
3
1
K
2 [1  (r / z )2 ]5 / 2
P
z  K  2
z
特点
3.P作用线上，r=0, K=3/(2π）,z=0, σz→∞，z→∞，σz=0
4.在某一水平面上z=const，r=0, K最大，r↑，K减小，σz减小
5.在某一圆柱面上r=const，z=0, σz=0，z↑，σz先增加后减小
6.σz 等值线－应力泡
P
0.1P
0.05P
0.02P
0.01P
P
球根
应力
球根
二. 水平集中力作用下的附加应力计算－西罗提课题
Ph
o
α
x
r
M’
x
R
y
z
 zx
β z
y
M
z
 y  yz
2
3Ph xz
z 
2 R 5
 xy
x
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
1. 角点下的垂直附加应力 ——B氏解的应用
dP
dP  pdxdy
y
3dP z 3 3p z 3
d z 

dxdy
5
5
2 R
2 R
z  
B
0

L
0
p
d z   z (p, m, n)
m=L/B, n=z/B
x
L
B
 z  K sp
（3－11）74页
z
M
z
L z
K s  F(B, L, z )  F( , )  F(m, n)
B B
查表3-2
矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数Ks
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
2. 任意点的垂直附加应力—角点法
荷载与应力间
满足线性关系
叠加原理
角点下垂直附加
应力的计算公式
B
A
C
D
角点法
地基中任意点的附加应力
两种情况：
a.矩形面积内
 z  (K sA  K sB  K Cs  K sD )p
h
i
g
a
d
f
b
c
e
b.矩形面积外
afgh
cegi
dfgi
 z  (K begh

K

K

K
s
s
s
s )p
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
y
z  
B
0

L
0
d z   z (p t , m, n)
pt
dP
L
z  K tpt
B
z
M
L z
K t  F( B , L , z )  F( , )  F(m , n )
B B
z
查表3-3
矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数
x
五. 矩形面积水平均布荷载作用下的附加应力计算
角点下的垂直附加应力 ——C氏解的应用
B
ph
 z  K hph
L z
K h  F( B , L , z )  F( , )  F(m , n )
B B
L
z
矩形面积作用水平均布荷载时角点下的应力分布系数
z
z
查表3-4
六. 竖直线布荷载作用下的附加应力计算－弗拉曼解
--B氏解的应用
z 
x 
 zx 
2p z
p
3
( x 2  z 2 ) 2
x
2p x 2 z
2
( x  z )
2p xz
z
2 2
x
y
2
( x 2  z 2 ) 2
 y   x   z 
z
M
七. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
任意点下的附加应力—F氏解的应用
p
 z  K sz p
 x  K sxp
 xz  K sxz p
x
z
y
x z
K sz , K sx , K sxz  F(B, x, z )  F( , )  F(m, n)
B B
B
x
z
查表3-5
条形面积竖直均布荷载作用时的应力分布系数
M
八. 圆形面积均布荷载作用时圆心下的附加应力计算
 z  K 0p
K 0  F(r / z )
R--圆形面积的半径
从公式可以看出，垂直附加应力σz的值，只是由分布荷载
的大小p、圆形荷载的半径R与地基的深度比R/z决定，与地基
的特性（E,ν）无关。
九. 影响土中应力分布的因素
B
1. 非线性和弹塑性
应力水平较高时影响较大
2. 非均匀性—成层地基
成层
均匀
H
E1
(1)上层软弱，下层坚硬的成层地基
 中轴线附近σz比均质时明显增大的现象
—应力集中；
应力集中程度与土层刚度和厚度有关；
 随H/B增大，应力集中现象逐渐减弱。
E2>E1
B
(2)上层坚硬，下层软弱的成层地基
 中轴线附近σz比均质时明显减小的现象
—应力扩散；
 应力扩散程度，与土层刚度和厚度有关；
 随H/B的增大，应力扩散现象逐渐减弱。
(3)土的变形模量随深度增大的地基
—应力集中现象
H
E1
成层
均匀
E2<E1
九. 影响土中应力分布的因素
3. 各向异性地基
•当Ex/Ez<1 时，应力集中——Ex相对较小，不利于应力扩散
•当Ex/Ez>1 时，应力扩散——Ex相对较大，有利于应力扩散
§3.5 有效应力原理
三相体系
孔隙流体
土＝
固体颗粒骨架
+
孔隙水
+
孔隙气体
受外荷载作用
总应力

总应力由土骨架和孔隙流体共同承受
对所受总应力，骨架和孔隙流体如何分担？
它们如何传递和相互转化？
它们对土的变形和强度有何影响？
Terzaghi
（1923）
有效应力原理
固结理论
土力学成为独立的学科
一. 有效应力原理的基本概念
1. 饱和土中的应力形态
A
a-a断面通过土
颗粒的接触点
A： 土单元的断面积
As： 颗粒接触点的面积
Aw： 孔隙水的断面积
a-a断面竖向力平衡：
  A   Psv  uA w
A  AS  A w
u：孔隙水
压力
a
Psv A w



u
A
有效应力σ’
  'u
A
a
PS
PSV
Aw
1
A
PS
一. 有效应力原理的基本概念
2. 饱和土的有效应力原理
（1）饱和土体内任一平面上受到的总应力可分为两部分σ’ 和u，并且
  'u
    u
一般地，
 x

  yx

 zx
通常,
 xy
y
 zy
 x z    x '  xy  xz  u 0 0 
 
 
 yz     yx  y '  yz    0 u 0 
 z    zx  zy  z '  0 0 u 
总应力已知或易知
  'u
孔隙水压测定或算定
（2）土的变形与强度都只取决于有效应力
有效应力
一. 有效应力原理的基本概念
（1）
  'u
（2） 土的变形与强度都只取决于有效应力
①变形的原因
颗粒间克服摩擦相对滑移、滚动—与 σ’ 有关；
接触点处应力过大而破碎—与 σ’ 有关。
试想：
②强度的成因
海底与土粒间的接触压力
凝聚力和摩擦—与σ’ 有关
③孔隙水压力的作用
对土颗粒间摩擦、土粒的破碎没有贡
献，并且水不能承受剪应力，因而孔隙水
压力对土的强度没有直接的影响；
它在各个方向相等，只能使土颗粒本
身受到等向压力，由于颗粒本身压缩模量
很大，故土粒本身压缩变形极小。因而孔
隙水压力对变形也没有直接的影响，土体
不会因为受到水压力的作用而变得密实。
哪一种情况下大？
1m
σz=u=0.01MPa
104m
σz=u=100MPa
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算
1. 自重应力情况
2. 附加应力情况
（侧限应变条件）
(1) 静水条件
地下水位
(1) 单向压缩应力状态
(2) 等向压缩应力状态
海洋土
毛细饱和区
(2) 稳定渗流条件
(3) 偏差应力状态
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算
1. 自重应力情况
(1) 静水条件 地下水位

σ’=σ-u
=γH1+γsatH2-γwH2
=γH1+(γsat-γw)H2
=γH1+γ’H2
H1
地下水位下降引起
σ’ 增大的部分
 sat
H2
σ’=σ-u u=γwH2
  H1   satH 2
u=γwH2
地下水位下降会引起
σ’增大，土会产生
压缩，这是城市抽水
引起地面沉降的一个
主要原因。
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算 1.自重应力情况
(1)静水条件
H1
海洋土
γ wH 1
γ wH 1
σ’=σ-u
=γwH1+γsatH2-γwH
=γsatH2-γw(H-H1)
=(γsat-γw)H2
=γ’H2
H
 sat
H2
 w H1   satH 2
wH
H 2
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算 1.自重应力情况
(1)静水条件
毛细饱和区
＝
总应力 － 孔隙水压力

  whc
H
毛细饱
和区
有效应力
H   whc
hc
sat
ht
hw
+
H   sath t
 wh w
H   sath t   w h w
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算 1.自重应力情况
(2) 稳定渗流条件
Δh
粘土层
H γ
sat
Δh
H γsat
砂层，排水
砂层，承压水
向上渗流
向下渗流
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算 1.自重应力情况
土水整体分析
向上渗流:
向下渗流:
Δh
   H   w h
粘土层
H γ
sat
渗流压密
A
砂层，承压水
   sat H
u   w (H  h)
 H   w h
思考题：水位骤降后，原
水位到现水位之间的饱和
土层用什么容重？
    u
  sat H   w ( H  h)
   H   w h
渗透压力:
 w h
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算 1.自重应力情况
取土骨架为隔离体
向下渗流:
Δh
向上渗流:
   H   w h
粘土层
H γ
sat
渗透力产生有效应力
A
砂层，承压水
自重应力:
sz   H
渗透力:
j   wi   w
h
H
J jV
jz  
 jH   w h
渗透力产生的应力:
A A
   H   w h
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算
2. 附加应力情况
外荷载
超静孔隙水压力
附加应力σz
几种简单的情形：
土骨架：有效应力
(1) 侧限应力状态
(2) 轴对称三维应力状态
孔隙水：孔隙水压力
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算 2.附加应力作用情况
(1) 侧限应力状态及一维渗流固结
 实践背景：大面积均布荷载
p
p
饱和压缩层
σz=p
不透水岩层
侧限应力状态
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算 2.附加应力作用情况
(1) 侧限应力状态及一维渗流固结
p
 物理模型：
p
钢筒——侧限条件
弹簧——土骨架
水体——孔隙水
带孔活塞——排水顶面
活塞小孔——渗透性大小
初始状态
边界条件
一般方程
渗透固结过程
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算 2.附加应力作用情况
(1)
侧限应力状态及一维渗流固结
p
h
p
w
p
h  h
h  0
p
t0
0t
t
附加应力:σz=p
附加应力:σz=p
附加应力:σz=p
超静孔压: u = σz=p
超静孔压: u <p
超静孔压: u =0
有效应力:σ’z=0
有效应力:σ’z>0
有效应力:σ’z=p
渗透固结过程
§3 土体中的应力计算
小结

土力学中应力符号的规定
应力应变关系的假定
地基中的应力状态

应力状态及
应力应变关系
水平地基中的自重应力
自重应力
的计算
附加应力
的计算

影响因素
基底压力分布
实用简化计算

因素：底面形状；荷载分
布；计算点位置

基底压力计算

有效应力原理
基本概念
饱和土中孔隙水压力
和有效应力的计算
