Transcript 我們知道： 邊長為 1 公分的正方形，面積為 12＝1 平方公分； 邊長為 2 公分的正方形，面積為 22＝4 平方公分； 邊長為 3 公分的正方形，面積為 32＝9 平方公分； ⋯ 反過來說， 若正方形面積為 1 平方公分，因為 1＝12，所以它的邊長為 1 公分； 若正方形面積為 4

我們知道： 邊長為 1 公分的正方形，面積為 12＝1 平方公分；
邊長為 2 公分的正方形，面積為 22＝4 平方公分；
邊長為 3 公分的正方形，面積為 32＝9 平方公分；
⋯
反過來說，
若正方形面積為 1 平方公分，因為 1＝12，所以它的邊長為 1 公分；
若正方形面積為 4 平方公分，因為 4＝22，所以它的邊長為 2 公分；
若正方形面積為 9 平方公分，因為 9＝32，所以它的邊長為 3 公分；
⋯
現在我們來想一想：
是否有面積為 2 平方公分的正方形？
探索面積為 2 的正方形邊長
拿出附件二中邊長為 2 的正方形，依照下列的步驟
摺紙，再回答問題。
步驟：
1. 將附件二的正方形對摺兩次後攤開，如圖1∼圖4得
到 4 個面積為 1 的小正方形，在摺痕的交點上標
示 O。
2. 將圖4中正方形的 4 個頂點分別向 O 點對摺，
得到正方形 ABCD。
問題：
1. 正方形 ABCD 的面積為多少？ 2。
2. 利用附件三的直尺量一量，正方形 ABCD 的邊長大約
是多少？ 約 1.4。
3. 將量出來的結果平方，並把平方後的結果與正方形
ABCD 的面積值作比較，看看是否相等？ 不相等。
從問題探索 1 中，我們找到了面積為 2 的正方形，
但是也發現在測量這個正方形的邊長時，每位同學的測量
值不會完全一樣，即使用刻度很精密的直尺去量，也會有
同樣的情形。把測量得到的值平方，結果很「接近」2，
但都不會等於 2。事實上，我們沒有辦法用過去曾經學到
的數字(如整數、分數和小數)來表示面積為 2 的正方形邊
長是多少，因此以新的符號「 2 」(讀作「根號二」)來代
表這個邊長的實際數值，滿足( 2 )2＝2。
一般來說，若一個正方形面積為 a，則它的邊長為
「 a 」，滿足( a )2＝a。
1. 分別以「√」表示面積為 3 平方公分和 4 平方公分的
正方形邊長。
面積為 3 平方公分的正方形其邊長為 3 公分
面積為 4 平方公分的正方形其邊長為 4 公分
2. 邊長分別為 7 公分和 64 公分的正方形面積各
為多少平方公分？
邊長為 7 公分的正方形其面積為( 7 )2 ＝7 平方公分
邊長為 64 公分的正方形其面積為( 64 )2 ＝64 平方公分
若設 a 為正數，那麼面積為 a2 的正方形其邊長
為 a 2 ，又因為面積為 a2 的正方形其邊長為 a，因此可
得 a 2 ＝a (a＞0)。
例如： 102  10；
0.22  0.2；
3
3
( )2  。
5
5
其實可以將上述說明加以推廣，
a、b 為兩個正數，且滿足 a＝b2，則 a  b2  b 。
例如： 100＝102，所以 100  102  10 。
0.04＝0.22，所以 0.04  0.22  0.2 。
其中 100 可以寫成 102，像這樣可以寫成某個整數平方
的數，我們稱為完全平方數。下表是 1∼400 內的完全平
方數。
整數
1
2
3
4
5
6
7
8
9
完全平
方數
1
4
9
16
25
36
49
64
81 100
整數 11
12
13
14
15
16
17
18
19
完全平
方數
10
20
121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
計算下列各數的值。
⑴ 64
⑵ 144
 82  8
⑷
49
4
7 2 7
 ( ) 
2
2
 122  12
⑸ 169
⑶  289
  172  17
⑹ 1.21
9
13 2 13
 ( ) 
3
3
 1.12  1.1
若 a 是一個負數，說明 a 2 ＝－a。
因為 a 是一個負數，所以－a 是一個正數，
所以 a 2  (a) 2  a
例1 利用標準分解式求值
利用標準分解式計算下列各數的值。
⑴ 576
⑵ 39.69
解
⑴ 576 ＝26×32
＝(23)2×32
＝(8×3)2＝242
所以
3969 34  7 2
576  242  24 (2) 39.69  100  25  52
(32  7) 2
32  7 2 63

(
) 
2
(2  5)
25
10
所以 36.96 
3969
63
63
 ( )2 
100
10
10
計算下列各數的值。
⑴ 784
784＝24×72＝(22)2×72＝(4×7)2＝282
所以 784  282  28
⑵ 98.01
9801 34 112 (32 11)2
98.01
 2 2 
100 2  5
(2  5)2
32 11 2 99 2
(
) ( )
25
10
9801
99 2 99
所以 98.01
 ( ) 
100
10
10
如果一個數的平方等於 a，這個數就叫做 a 的平方
根。例如：32＝9，所以3 是 9 的平方根；(－3)2＝9，所以
－3 也是 9 的平方根。事實上，每一個正數都有兩個平方
根，其中一個是正的，另一個是負的，而且這兩個平方根
互為相反數。通常，我們以 a 表示正數 a 的正平方根，
以  a 表示正數 a 的負平方根。這兩個平方根可以合併
記為  a ，讀作「正負根號 a」。例如：2 有正、負兩個
平方根，正平方根記為 2 ，負平方根記為 2 ，合併記
為  2。
有時候我們會稱「 a 」中的 a 為被開方數。另外，
由 02＝0 知道：0 是 0的平方根，記作 0 ＝0。
平方根
若 a  0，則： 1. a 的平方根為  a。
2. (  a )2＝a。
例2 平方根
求下列各數的平方根。
25
⑴ 100
⑵ 4
解
⑴ 100 的平方根為 
25
⑵
4
的平方根為 
⑶ 2.5 的平方根為 
⑶ 2.5
100   102  10
25
5
5
  ( )2   。
4
2
2
2.5。
。
求下列各數的平方根。
⑴ 51
⑵ 196
47
⑶
100
⑷ 1.44
(1) 51 的平方根為  51。
(2) 196 的平方根為  196   142  14。
47
47
(3)
的平方根為 
。
100
100
(4) 1.44 的平方根為  1.44   1.22  1.2 。
1. 1 的平方根為何？
1 的平方根是 1 和－1。
2. 負數有沒有平方根？
任何非 0 的數，其平方皆為正數，
所以負數沒有平方根。
例3 平方根的應用
若－5 是 2x－1 的平方根，求 x 的值，並檢驗是否正確。
解
根據平方根的意義知道：
(－5)2＝2x－1，2x＝26，x＝13
檢驗： 2x－1＝2×13－1＝25，
而－5 是 25 的負平方根，
所以 x＝13 正確。
若
3
2
是 3x＋2 的平方根，求 x 的值，並檢驗是否正確。
3
9
1
1
( ) 2  3x  2，  3x  2，3x  ， x 
2
4
4
12
檢驗：3x＋2＝3×
3
2
而 是
9
4
1
＋2＝ 9
12
4
，
的正平方根，
所以 x＝ 1 正確。
12
我們知道：兩個邊長不相等的正方形中，邊長比
較長的正方形，它的面積會比較大。反過來說：兩個
面積不相等的正方形中，面積比較大的正方形，它的
邊長會比較長。我們可以利用這樣的關係，來比較平
方根的大小。
平方根的比較大小
已知 a＞0，b＞0： 1. 若 a＜b，則 a2＜b2。
2. 若 a2＜b2，則 a＜b。
例4 比較平方根的大小
設 x＝7、y＝ 46、z＝ 50，試比較 x、y、z 三數的大小關係。
解
因為 72＝49，( 46 )2＝46，( 50 )2＝50，
且 46＜49＜50，
所以得到
46 ＜7＜ 50 ，即 y＜x＜z。
判斷下列大小關係是否正確，對的打「○」，錯的打「×」。
⑴(○)
63  56
2
2
63  63， 56  56
因為 63＞56，所以 63  56
⑶ ( ○)
6  33
1
3
1
1
6 2  36，( 33 ) 2  33
3
3
1
1
因為36  33 ，所以 36  33
3
3
1
即6  33
3
⑵
5
( × ) 4
5 2 5
(
)  ，(
4
4
因為
4
3
4 2 4
) 
3
3
5 4
5
 ，所以

4 3
4
4
3
⑷ ( × ) 0.1  0.1
0.12  0.01，( 0.1) 2  0.1
因為0.01 0.1，所以 0.01  0.1
級0.1 0.1
接下來，我們將經由在數線上找到 2 的大概位置，來說明
求 2 近似值的過程。
⑴ 整數：
由 12  ( 2 )2  22 ，得到1  2  2 ，
因此 2 在數線上是位於 1、2 之間，
如圖5，即
＝1.⋯。
2
重複同樣的過程，如圖8，就可以找到小數第 3
位、第 4 位、⋯⋯的數，像這樣利用十等分來逐漸逼
近2
在數線上的位置，而求得近似值的方法，就
稱為十分逼近法。其中近似值我們常用符號「≒」表
2
示，例如：
的近似值(以四捨五入法求到小數第一
2
位)可以表示成
≒1.4。
例5 十分逼近法
試以十分逼近法求 5 的近似值(以四捨五入法求到小數第
一位)。
解 ⑴ 因為 22＜( 5 )2＜32，得 2＜ 5 ＜3，所以 5 ＝2.⋯。
⑵ 在 2 和 3 之間的 10 等分點中，由 2.22＝4.84，
2.32＝5.29，知道 2.22＜( 5)2＜2.32，
得 2.2＜ 5 ＜2.3，所以 5 ＝2.2⋯。
⑶ 在 2.2 和 2.3 之間的 10 等分點中，由 2.232＝4.9729，
2.242＝5.0176，知道 2.232＜( 5 )2＜2.242，
得 2.23＜ 5 ＜2.24，所以 5 ＝2.24⋯。
以四捨五入法求到小數第一位得 5 ≒2.2。
試以十分逼近法求 7 的近似值(以四捨五入法求到小
數第一位)。
⑴ 因為 22＝4，32＝9，得 2＜ 7＜3，所以 7＝2.⋯。
⑵ 因為 2.62＝6.76，2.72＝7.29，得 2.6＜ 7 ＜2.7，
所以 7＝2.6⋯。
⑶ 因為 2.652＝7.0225，所以 7 ＜2.65。
⑷ 以四捨五入求到小數第一位得 7 ≒2.6。
例6 十分逼近法的應用
⑴ 請問 120 化成小數後的近似值中，整數部分為何？
⑵ 請問 56 介於哪兩個連續整數之間？
解 ⑴ 因為 102＝100，112＝121，102＜( 120 )2＜112 ，
10＜ 120 ＜11 ，得 120 ＝10.⋯，
所以 120 化成小數後的近似值中，整數部分是10。
⑵ 因為 72＝49，82＝64，72＜( 56 )2＜82，
得 7＜ 56 ＜8，所以－8＜  56 ＜－7，
即  56 介於－7 和－8 之間。
1. 請問 210 化成小數後的近似值中，整數部分為何？
因為 142＝196，152＝225，142＜( 210)2＜152
14＜ 210 ＜15 ，得 210 ＝14.⋯
所以 210的整數部分是 14。
2. 請問  99 介於哪兩個連續整數之間？
因為 92＝81，102＝100，92＜( 99 )2＜102
得 9＜ 99 ＜10
所以－10＜  99 ＜－9
即  99 介於－9 和－10 之間。
要利用十分逼近法求平
方根的近似值，過程實在太繁
瑣了，為了方便，常將一些整
數的平方與正平方根(或近似
值)列成乘方開方表，供隨時
查閱。
下面就來看看如何用乘
方開方表(附件四)求出平方根
的近似值。
自左向右看乘方開方表：
第一行是 N，表示這一行所列出的是自然數(正整數)。
第二行是 N2，表示這一行所列出的是自然數的平方。
第三行是 N ，表示這一行所列出的是自然數的正平方根。
第四行是 10N ，表示這一行所列出的是自然數的 10 倍的正
平方根。
例如： 在第一行 N 中，有一個自然數 17；
在第二行 N2 中且與 17 同列的數是 289，
即得 172＝289；
在第三行 N 中且與 17 同列的數是 4.123106，
即得 17 ≒4.123106；
在第四行 10N 中且與 17 同列的數是 13.03840，
即得 170 ≒13.03840。
例7 查表法
請根據附件四的乘方開方表，求出下列平方根的值。
⑴ 45
⑵ 450
⑶ 2050
解 ⑴ 先從第一行 N 中查出 45，再查出位於第三行 N 中和
45 同列的數是 6.708204，即得 45 ≒6.708204。
⑵ 先從第一行 N 中查出 45，再查出位於第四行 10N 中
和 45 同列的數是 21.21320，即得 450 ≒21.2132。
⑶ 先從第二行 N2 中查出 2025，再查出位於第一行 N
中和 2025 同列的數是 45，即得 2050＝45。
請根據附件四的乘方開方表，求出下列平方根的值。
⑴ 48
48 ≒6.928203
⑵ 410
410  110 41
＝20.24846
⑶ 1764
422＝1764
故 1764 ＝42
一般電算器上有一個「 」
鍵，它可以用來求某數值的正平方
根或其近似值。
例8 利用電算器求平方根值
請利用電算器，求下列各數的近似值(以四捨五入法求到小
數第四位)。
5
⑴ 7
⑵ 7
⑶ 0.7
解 在算每一題時，請先將螢幕顯示的值歸零(按
鍵)。
1 正方形的面積與周長
若一個正方形面積為 a，則它的邊長為「 a 」，
滿足( a )2＝a。
例 若一個正方形面積為 16，則它的邊長為
「 16 」，滿足( 16 )2＝16。
2 「√」的意義
a、b 為兩個正數，若滿足 a＝b2，
則 a ＝ b2 ＝b。
例 16＝42， 16 ＝ 42 ＝4。
3 完全平方數
若整數 a 可以寫成某個整數的平方，a 就稱為完
全平方數。
例 16＝42，所以 16 是完全平方數。
4 平方根
若 a 是一個正數，則 a 是 a 的正平方根，
 a 是 a 的負平方根。
註：0 是 0 的平方根，記作 0 ＝0。
例
16 是16 的正平方根，
 16 是16 的負 平方根。
5 平方根的比較大小
已知 a＞0，b＞0：
⑴ 若 a＜b，則 a2＜b2；
⑵ 若 a2＜b2，則 a＜b。
例 已知 15＜17，則 152＜172；
已知( 15 )2＜( 17 )2，則 15＜ 17。
6 平方根近似值的求法
⑴ 十分逼近法。
⑵ 查表法。
⑶ 利用電算器。
1 求下列各數的值。
⑴  361
  192
 19
⑵
169
121
13
 ( )2
11
13

11
⑶  12.25
  3.52
 3.5
2 求出下列各數的平方根。
⑴ 157
157 的平方根為
 157
⑵ 1.96
1.96 的平方根為
 1.96
  1.4 2
 1.4
⑶71
9
1 64

9 9
64
64
的平方根為
9
9
7
8
8
  ( )2  
3
3
3
判斷下列各敘述是否正確，對的打「○」，錯的打「×」。
⑴ ( × ) ( 5 )2＝5，所以 5 是 5 的平方根。
⑵ ( ○ ) 16 的平方根是 ±4。
⑶ ( × ) －32＝－9，所以－3 是－9 的平方根。
⑷ ( ○ ) －2 是 16 的平方根。
4 已知 x 是一個整數、小數或分數，若
3x-1 是 8 的
正平方根，求 x 的值，並檢驗是否正確。
若 3x 1 是 8 的正平方根
則( 3x 1 )2＝8
3x－1＝8，3x＝9，x＝3
檢驗： 3x 1 ＝ 3 3 1 ＝ 8
為 8 的正平方根，所以 x＝3正確。
5 設 a＝－12、b＝ 169 、c＝  112 ，
試比較 a、b、c 三數的大小關係。
a＝－12
b＝  169＝  132 ＝－13
c＝  112 ＝－11
所以－11＞－12＞－13
故 c＞a＞b
6 ⑴ 請問 220 化成小數後的近似值中，整數部分為何？
因為 142＝196，152＝225，
142＜( 220 )2＜152
14＜ 220 ＜15
得 220 ＝14.⋯，所以 220 的整數部分是 14。
⑵ 請問  220 介於哪兩個連續整數之間？
由⑴知 14＜ 220＜15
所以－15＜ 220 ＜－14
即  220 介於－14 和－15 之間。
7 利用下面的乘方開方表，求下列各數的值。
N
N2
N
10N
26
676
5.099020
16.12452
27
729
5.196152
16.43168
28
784
5.291503
16.73320
⑴ 27
27 ≒5.196152
⑵ 280
280  10 28
 16.7332
⑶ 676
262＝676
故 676 ＝26