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数学のかたち 共線問題と共点問題 Masashi Sanae 1 テーマ メネラウスの定理、チェバの定理から 共線問題と共点問題について考える 共線・・・点が同一直線上に存在 共点・・・直線が1点で交わる 2 内容 I. メネラウスの定理 1. 2. 3. メネラウスの定理とその証明 メネラウスの定理の応用 チェバの定理とその証明 II. メネラウスの定理、チェバの定理の逆 1. 2. 3. 4. 5. メネラウスの定理の逆 チェバの定理の逆 メネラウスの定理の逆と共線問題 チェバの定理の逆と三角形の五心 チェバの定理の逆の応用 III. メネラウスの定理の拡張 1. 2. 3. 多角形におけるメネラウスの定理 多角形におけるチェバの定理 空間におけるメネラウスの定理 3 Ⅰ メネラウスの定理 メネラウスの定理とその証明 4 メネラウスの定理 3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。 3点 P, Q, R が同一直線上にあるとき、 BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つ。 デモ 5 メネラウスの定理のパターン 6 証明１ 線分の相似比を用いる AR BP CQ RB PC QA AS BP PC 1 BP PC AS 7 【問１】 補助線を変えて証明 (1) (2) 8 証明２ 面積比を用いる S3 S1 S 2 S 2 BP CQ 1 S1 S 2 S2 S3 RB PC QA AR 9 Ⅰ メネラウスの定理 メネラウスの定理の応用 10 例題１（メネラウスの定理の応用） O OP PA OQ QB OR RC P A R C Q B 11 例題１ 解答 △OAC と直線 PB △OBC と直線 AQ OP AB CR 1 PA BC RO OQ BA CR 1 QB AC RO O P A R C O P Q B A R C Q B12 例題１ 解答 △OAC と直線 PB △OBC と直線 AQ OP AB CR 1 PA BC RO OQ BA CR 1 QB AC RO BC RO AC RO PA QB AB CR BA CR OP OQ OR CB AC OR AB RC AB AB RC AB OR RC 13 【問２】 △ ABC : △ PQ R m m n n : (m n) 2 2 2 A m n F R n Q E m P B m D n C 14 【問２】 方針 △ P Q R △ A B C - (△ P A B + △ Q B C + △ R C A ) △PAB を求めることで、AP：PD がわかる。 A m n F R n Q E m P B m D n C 15 【問２】 方針 △ADC と直線 BE にメネラウスの定理を用いる。 A m n F R n Q E m P B m D n C 16 Ⅰ メネラウスの定理 チェバの定理とその証明 17 チェバの定理 3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。 3直線 AP, BQ, CR が一点で交わるとき、 BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つ。 デモ 18 【問３】 チェバの定理のパターン A R Q O B P C デモ 19 【問４】 証明①相似比による証明 20 【問４】 証明②面積比による証明 A R Q S3 O S2 S1 B P C 証明③メネラウスの定理を利用 △ABP と直線 RC BC PO CP OA AR △OBC と直線 AQ AO PB CQ 1 OP BC QA 1 RB A A Q R Q R O B P O C B P C22 証明③メネラウスの定理を利用 △ABP と直線 RC BC PO CP OA BC PO AR △OBC と直線 AQ 1 RB AR AO PB CQ CP OA RB OP BC QA AO PB CQ 1 OP BC QA BP CQ AR PC QA RB 1 23 Ⅱ メネラウスの定理、チェバの定理の逆 メネラウスの定理の逆 24 メネラウスの定理（再掲） 3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。 3点 P, Q, R が同一直線上にあるとき、 BP CQ AR 1 PC QA PB が成り立つ。 25 メネラウスの定理の逆 3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。 BP CQ AR 1 PC QA PB が成り立つならば、3点 P, Q, R は同一直線上 にある。 26 メネラウスの定理の逆はなりたたない （反例） Q R B A P C 27 メネラウスの定理の逆（修正版） 3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。 内分点が偶数個、外分点が奇数個で、かつ、 BP CQ AR 1 PC QA PB が成り立つならば、3点 P, Q, R は同一直線上 にある。 28 メネラウスの定理の逆の証明 Q, R が辺の内分点で、直線 RQ と BQ の交点 をP’ とするとき、 BP' CQ AR 1 P 'C Q A R B 条件より、 ∴ BP PC BP' BP CQ AR 1 PC QA RB ∴ P P' P 'C 29 Ⅱ メネラウスの定理、チェバの定理の逆 チェバの定理の逆 30 チェバの定理（再掲） 3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。 3直線 AP, BQ, CR が一点で交わるとき、 BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つ。 31 チェバの定理の逆 3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。 BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つならば、3直線 AP, BQ, CR は一点 で交わる。 32 チェバの定理の逆もなりたたない （反例） 33 チェバの定理の逆（修正版） 3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。 内分点が奇数個、外分点が偶数個で、かつ、 BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つならば、3直線 AP, BQ, CR は一点 で交わる。 34 修正版もなりたたない （反例） 35 チェバの定理の逆（再修正版） 3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA, AB の内分点、またはたは外分点とする。 内分点が奇数個、外分点が偶数個で、かつ、 BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つならば、3直線 AP, BQ, CR は一点 で交わるか、またはすべて平行である。 36 チェバの定理の逆の証明 P, Q が辺の内分点で、直線 AP と BQ の交点を O、CO と AB の交点を R’ とするとき、 BP CQ AR' 1 P C Q A R 'B 条件より、 A BP CQ AR 1 PC QA RB R R‘ Q O ∴ AR RB AR' R 'B ∴ R R' B P C 37 Ⅱ メネラウスの定理、チェバの定理の逆 メネラウスの定理の逆と共線問題 38 シムソンの定理 △ABC の外接円の任意の点 D から、3直線 BC, CA, AB に下ろした垂線の足をそれぞれ、 P, Q, R とする。このとき、この3点は同一直線上 にある。 デモ 39 シムソンの定理の証明 （方針） △ABC と3点 P, Q, R において、 BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つことをいえばよい。 （メネラウスの定理の逆） 40 シムソンの定理の証明 BP CQ AR PC QA RB D B cos D C cos D C cos( ) D A cos D A cos D B cos( ) 1 41 ニュートンの定理 四角形 ABCD の対辺 AB, CD の延長線の交 点を E、AD, BC の延長線の交点を F とする。 AC, BD, EF の中点をそれぞれ P, Q, R とすると き、この3点は同一直線上にある。 デモ 42 ニュートンの定理の証明 （方針） BC の中点を G、GP と CE の交点を H、GQ と BE との交点を I とする。 3点 H, I, R がそれぞれ CE, BE, FE の中点であ るから、3点は同一直線上。 △GHI と3点 P, Q, R において、 G P H R IQ 1 PH RI QG が成り立つことをいえばよい。 （メネラウスの定理の逆） 43 ニュートンの定理の証明 △EBC と3点 P, Q, R において、 BA ED CF 1 A E D C FB G P H R IQ BA FC ED PH RI QG AE FB D C 1 44 デザルグの定理 △ABC と △A’B’C’ において、直線 AA’, BB’, CC’ が1点 O で交わっている。直線 AB と A’B’、 BC と B’C’、 CA と C’A’ の交点をそれぞれ P, Q, R とするとき、この3点は同一直線上にある。 デモ 45 デザルグの定理の証明 （方針） △ABC と3点 P, Q, R において、 AP BQ CR 1 PB QC RA が成り立つことをいえばよい。 （メネラウスの定理の逆） 46 デザルグの定理の証明 △OAB と直線 PB’ △OBC と直線 QB’ △OCA と直線 C’R BQ CC' OB' CR AA' OC' AP BB' OA' 1 1 1 Q C C 'O B B ' R A A 'O C 'C P B B 'O A A ' デザルグの定理の証明 △OAB と直線 PB’ △OBC と直線 QB’ △OCA と直線 C’RC BQ CC' OB' CR AA' OC' AP BB' OA' 1 1 1 Q C C 'O B B ' R A A 'O C 'C P B B 'O A A ' AP BB' OA' BQ C C ' O B' CR AA' OC' P B B 'O A A ' Q C C 'O B B ' R A A 'O C 'C AP BQ CR PB QC RA 1 パップスの定理 2直線上の3点をそれぞれ、A, B, C, A’, B’, C’ と する。線分 AB’ と A’B、BC’ と B’ C、AC’ と A’C の交点をそれぞれ P, Q, R とするとき、この3点 は一直線上にある。 デモ 49 【問５】 証明 （方針） 直線 AB’ と BC’ との交点を D、A’C と AB’， BC’ との交点をそれぞれ E, F とする。 △DEF と3点 P, Q, R において、 D P E R FQ 1 PE RF QD が成り立つことをいえばよい。 （メネラウスの定理の逆） 50 パスカルの定理 円に内接する六角形 ABCDEF において、AB と DE、BC と EF、CD と FA のそれぞれの交点 を P, Q, R とすると、この3点は一直線上にある。 デモ 51 【問６】 証明 （方針） 直線 AB と CD 、AB と EF，CD と EF の交点を それぞれの交点を L, M, N とする。 △LMN と3点 P, Q, R において、 LP ME NR 1 PM EN RL が成り立つことをいえばよい。 （メネラウスの定理の逆） 52 Ⅱ メネラウスの定理、チェバの定理の逆 チェバの定理の逆と三角形の五心 53 重心 三角形の中線は1点で交わる。 A B C 54 重心の証明 A BP CQ AR BP CQ AR PC QA RB BP CQ AR チェバの定理の逆より、3直線は 1点で交わる。 1 R B Q C P △ABP と直線 RC A AR BC PG 1 RB CP GA PG GA RB CP AR BC R Q G 1 2 B P C 垂心 三角形の3頂点から対辺に下ろした垂線は1点 で交わる。 A B C 56 垂心の証明 A BP A B cos B PC A C cos C AR A C cos A RB CQ QA B C cos C R A B cos A Q B C cos B B P A B cos B B C cos C A C cos A BP CQ AR 1 A C cos C A B cos A PC QA RB B C cos B チェバの定理の逆より、3直線は1点で交わる。 C 外心 三角形の3辺の垂直2等分線は1点で交わる。 A B C 58 外心の証明 BC, CA, AB の中点を P, Q, R とすると、 BC // RQ, CA // PR, AB // QP BC, CA, AB の垂直2等分線は、RQ, PR, QP に 対しても垂直。よって、△ABCの垂直2等分線 の交点は△PQRの垂心に一致する。 A 垂心はすでに証明済み。 R B Q P C 【問７】（１） 内心 三角形の3頂角の2等分線は1点で交わる。 A B C 60 【問７】（１） 方針 頂角 A, B, C の2等分線と対辺との交点を P, Q, R とする。角の二等分線の性質を用いて、 BP CQ AR 1 PC QA RB をいう。（チェバの定理の逆） 61 【問７】（２） 傍心 三角形の1頂角の内角と、他の外角の2等分線 A は1点で交わる。 B C 62 【問７】（２） 方針 頂角 A の内角、 B, C の外角の2等分線と対辺 との交点を P, Q, R とする。 角の二等分線の性質を用いて、 Q BP CQ AR 1 PC QA RB R A B P C をいう。（チェバの定理の逆） 63 Ⅱ メネラウスの定理、チェバの定理の逆 チェバの定理の逆の応用 64 例題２（ジュルゴンヌ点） △ABCの内接円と辺 BC, CA, AB との接点を P, Q, R とすると、3直線 AP, BQ, CR は1点で交わ る。 A R Q B P C デモ 65 例題２ 方針 円外の1点から円に引いた接線の長さが等しい ことを利用して、 BP CQ AR 1 PC QA RB をいう。（チェバの定理の逆） 66 例題２ 解答 BP = BR, CP = CQ, AQ = AR より、 BP CQ AR BP CQ AR PC QA RB CQ AR BP チェバの定理の逆より、 AP, BQ, CR は1点で交わる。 B 1 A R Q C P 67 【問８】 （ナーゲル点） △ABCの傍接円と辺 BC, CA, AB との接点を P, Q, R とすると、3直線 AP, BQ, CR は1点で交わる。 A R B Q P C デモ 68 【問８】 方針 円外の1点から円に引いた接線の長さが等しい ことを利用して、 BP CQ AR 1 PC QA RB をいう。（チェバの定理の逆） A S B P C T 69 【問８】 方針 BC = a, CA = b, AB = c, 2s=a + b + c とおく。 AS= AS+AS AS+AT 2 2 (A B + B S )+ (A C + C P ) 2 A (A B + B P )+ (A C + C P ) 2 S B P C T AB+BC+CA s 2 BP BS AS - AB s c 70 Ⅲ メネラウスの定理の拡張 多角形におけるメネラウスの定理 71 多角形におけるメネラウスの定理 n 角形のどの頂点も通らない直線が、直線 AkAk+1（k=1, 2, 3, ・・・, n ， An+1=A1）と交わる点 を Pk とするとき、 A 3 P3 A 1 P1 A 2 P2 P1 A 2 P2 A 3 P3 A 4 A n Pn Pn A n 1 n k 1 A k Pk 1 Pk A k 1 が成立する。 72 多角形におけるパターン A 1 P1 A 2 P2 A 3 P3 A 4 P4 1 P1 A 2 P2 A 3 P3 A 4 P4 A 1 A 1 P1 A 2 P2 A 3 P3 A 4 P4 A 5 P5 1 P1 A 2 P2 A 3 P3 A 4 P4 A 5 P5 A 1 デモ 73 証明１ 線分の相似比を用いる A 1 P1 P1 A 2 A 1B1 A 2 P2 A 2B 2 P2 A 3 A 1 P1 A 2 P2 A 3 P3 P1 A 2 P2 A 3 P3 A 1 A 2B2 A k Pk A 3B3 Pk A k 1 A n Pn Pn A n 1 A 1B1 A 2B2 A 2B2 A kBk A k 1 B k 1 A 3B3 A 3B 3 A 4B 4 A nBn 1 A n 1 B n 1 74 証明２ 帰納法を用いる n 角形の辺 AnAn+1 に△AnAn+1A1 を作り、 AnAn+1, An+1A1 と直線との交点を P’, Pn+1 とする。 三角形では明らか。 n 角形で次の関係が成り立つとする。 A 1 P1 A 2 P2 A 3 P3 P1 A 2 P2 A 3 P3 A 1 A n Pn 1 Pn A n 1 △AnAn+1A1 と直線において、 A 1 Pn A nP ' Pn A n P ' A n 1 A n 1 Pn 1 Pn 1 A 1 1 75 証明２ 帰納法を用いる 2式をかけると、 A 1 P1 A 2 P2 A 3 P3 P1 A 2 P2 A 3 P3 A 1 A n 1 Pn 1 Pn 1 A n A nP ' P ' A n 1 A n 1 Pn 1 1 Pn 1 A 1 P’ を Pn におきかえると、n + 1 角形でも成立。 A 1 P1 A 2 P2 A 3 P3 P1 A 2 P2 A 3 P3 A 1 A n 1 Pn 1 Pn 1 A n A n Pn Pn A n 1 A n 1 Pn 1 1 Pn 1 A 1 76 Ⅲ メネラウスの定理の拡張 多角形におけるチェバの定理 77 多角形におけるチェバの定理 2n+1 角形の辺または延長上にない平面上の1点Oに 対して、直線 AkO と A n+k mod 2n+1 A n+k+1 mod 2n+1 （k=1, 2,・・・,2n+1，A2n+2=A1）と交わる点を Pk とすると、 A n 1 P1 A n 2 P2 A n 3 P3 P1 A n 2 P2 A n 3 P3 A n 4 A n P2 n 1 P2 n 1 A n 1 2 n 1 k 1 A n k Pk 1 Pk A n k 1 が成立する。 78 考え方 対辺が存在する奇数多角形においてのみ拡張 される。 n2 A1 P3 n3 A5 P4 A2 P2 P5 (A 2 n 2 A n ) A4 P1 A3 A 3 P1 A 4 P2 A 5 P3 A 1 P4 A 2 P5 1 P1 A 4 P2 A 5 P3 A 1 P4 A 2 P5 A 3 デモ A 4 P1 A 5 P2 A 6 P3 A 7 P4 A 1 P5 A 2 P6 A 3 P7 1 P1 A 5 P2 A 6 P3 A 7 P4 A 1 P5 A 2 P6 A 3 P7 A 4 79 証明 面積比を用いる △AkAn+kO = Sm とおくと、 A n k Pk Pk A n k 1 Snk S n k 1 (A 2 n 2 A 1 ) A n 1 P1 A n 2 P2 A n 3 P3 P1 A n 2 P2 A n 3 P3 A n 4 S n 1 S n 2 S n 3 S n2 S n3 S n4 S n 1 Sn A n P2 n 1 P2 n 1 A n 1 Sn S n 1 1 80 Ⅲ メネラウスの定理の拡張 空間におけるメネラウスの定理 81 空間におけるメネラウスの定理 空間内の四面体 ABCD の辺 AB, BC, CD, DA またはその延長が平面 π と交わる点をそれぞ A れ P, Q, R, S とすると、 AP BQ CR DS 1 PB QC RD SA S P π が成立する。 D B R Q C デモ 82 証明 直線 AC と平面 π との交点を U とする。 △ABC と直線PQ △ACD と直線SR AP BQ CU 1 PB QC UA AU CR DS 1 UC RD SA 83 証明 直線 AC と平面 π との交点を U とする。 △ABC と直線PQ △ACD と直線SR AP BQ CU 1 PB QC UA AU CR DS 1 UC RD SA AP BQ CU AU CR DS AP BQ CR DS 1 PB QC UA UC RD SA PB QC RD SA 84 頂点の巡る順 直線 BD と平面 π との交点を T とする。 △ABD と直線PS △BCD と直線QR AP BT DS 1 PB TD SA BQ CR DT 1 QC RD TB 85 証明 直線 BD と平面 π との交点を T とする。 △ABD と直線PS △BCD と直線QR AP BT DS 1 PB TD SA BQ CR DT 1 QC RD TB AP BQ CR DS AP BT DS BQ CR DT 1 PB QC RD SA PB TD SA QC RD TB 86