A FEHÉRZAJ Statisztika II. VEGTGAM22S Az idősormodellek maradéktagja •A fehérzaj (white noise) vagy más néven véletlen zaj: olyan tetszőleges eloszlású - additív modellek esetén zérus, multiplikatív.
Download ReportTranscript A FEHÉRZAJ Statisztika II. VEGTGAM22S Az idősormodellek maradéktagja •A fehérzaj (white noise) vagy más néven véletlen zaj: olyan tetszőleges eloszlású - additív modellek esetén zérus, multiplikatív.
A FEHÉRZAJ Statisztika II. VEGTGAM22S Az idősormodellek maradéktagja •A fehérzaj (white noise) vagy más néven véletlen zaj: olyan tetszőleges eloszlású - additív modellek esetén zérus, multiplikatív modellek esetén pedig egységnyi várható értékű nem periodikus zaj (folyamat), melynek spektruma egy adott frekvenciasávban közel azonos teljesítmény-sűrűségű (azaz spektrális energia-eloszlása független a frekvenciától). •Az elnevezés a fényre utal, mert a fehér fény teljesítményeloszlása is egyenletes a frekvencia mentén. •A zaj több eltérő frekvenciájú és intenzitású jel zavaró összessége, amely a hasznos jelre szuperponálódik és elfedi annak információ-tartalmát. Az idősormodellek maradéktagja •„Valódi" – a teljes végtelen frekvenciatartományban értelmezett – fehérzaj nem létezik, csak valamilyen véges frekvenciatartományban teljesülhetnek az előbbi feltételek. •A fehérzaj gyakran – de nem feltétlenül – normális eloszlású. Ha a normalitás feltételezhető, a folyamat leírása egyszerűbb. Példa: egy normális eloszlású fehérzajra . Példa: egy 768 lépéses fehérzaj időfüggvénye 2,00 1,00 Normal(0,1) Amplitudó 3,00 0,00 -1,00 . -2,00 -3,00 -4,00 749 727 705 683 661 639 617 595 573 551 529 507 485 463 441 419 397 375 353 331 309 287 265 243 221 199 177 155 133 111 89 67 45 23 1 Sequence number Idő (sorszám) Példa: az előbbi 768 lépéses fehérzaj periodogramja Periodogram of white_noise by Frequency Power Periodogram 2,009E1 7,389E0 . 0 -1,353E-1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 Frequency Frekvencia (nullától a mintavételi frekvencia feléig) 0,5 Példa: egy 768 lépéses fehérzaj periodogramjának „simított” változata Density Power Spectral Density of white_noise by Frequency 1,484E2 5,46E1 2,009E1 . 7,389E0 2,718E0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 Frequency Window: Tukey-Hamming (5) Frekvencia (nullától a mintavételi frekvencia feléig) 0,5 Az idősor hibatagja, a fehérzaj Példa generált fehér zajra N=100 N=1000 N=11041 Példa generált fehér zajra A P-P diagrammok, grafikus tesztek a normalitás ellenőrzésére N=100 N=1000 N=11041 Próbák a fehérzaj felismerésére Az idősorok matematikai tárgyalását a nem változó idősorok kimutatására kidolgozott statisztikai próbák ismertetésével kezdjük. Ezek azért fontosak, hogy eldönthessük, hogy érdemes-e egyáltalán foglalkozni az elemzendő idősorral. Ha ugyanis az idősorunk korrelálatlan azonos eloszlású változók sorozata, nincs benne sem trend, sem ciklikusság, akkor nincs mit tennünk. A semmiből nem lehet kimutatni a valamit. Másrészt, ha már túl vagyunk egy bonyolult elemzésen és előállítottuk a becslést, a maradék idősorra elvégezve a fent említett próbákat bebizonyíthatjuk, hogy modellünk tartalmaz minden lényeges információt amit tudni lehet. A modell érvényességének elemzésekor ezt fontos elvégezni. Váltakozáselemzés Váltakozáselemzés Váltakozáselemzés Váltakozáselemzés Váltakozáselemzés Próbastatisztika Az előző példában a próbastatisztika számított értékei a szignifikanciával Csúcsmódszer Csúcsmódszer i=1, ha i=0, ha vagy vagy Csúcsmódszer Csúcsmódszer A leírásban szereplő idősor számolását végző szintaxis-program: Csúcsmódszer Csúcsmódszer Csúcsmódszer A nullhipotézist, hogy a generált adatsor fehérzaj, minden mintaszámnál el lehet fogadni: Előjelmódszer Előjelmódszer A portmentau-próba Ha fehérzajról van szó, akkor A hibatag értékei korrelálatlanok • Egyszerű véletlen mintavétel esetében ez a feltétel automatikusan teljesül. • Ha a modell idősoros adatokra épül, gyakran előfordul a hibatagok autokorreláltsága. • Autokorreláció oka: – Nem megfelelő függvénytípus. – Nem véletlen jellegű mérési hiba. – A modellben nem szerepel valamennyi lényeges magyarázó változó (nem tudjuk, hogy kell / túl rövid idősor / nincs adat). Autokorreláció grafikus tesztelése e e A reziduumok nem véletlenszerűek, hanem az egymást követő értékek között t jelentős korreláció van. t e Az autokorreláció a függvénytípus t helytelen megválasztásának következménye. a Autokorreláció tesztelése DurbinWatson próbával H0: ρ = 0 korrelálatlan n d H1: ρ ≠ 0 autokorreláció (e t 2 t e t 1 ) 2 n e t 1 Határai:0 2 t d 4 Pozitív autokorreláció: 0d 2 Negatív autokorreláció: - zavaró autokorreláció 2d 4 + zavaró autokorreláció 0 dl du 2 4-du 4-dl Elfogadási tartomány 4 Bizonytalansági tartomány: nem tudunk dönteni • Növelni kell a megfigyelések számát • Új változót kell bevonni a modellbe A Durbin-Watson próba döntési táblázata H1 p>0 Pozitív autokorreláció p<0 Negatív autokorreláció H0:p=0 Elfogadjuk Elvetjük d > du d < 4-du d < dl d > 4-dl Nincs döntés dl< d <du 4-dl < d <4-du du illetve dl értékét a Durbin-Watson táblázatból határozzuk meg Forrás: Kerékgyártó-Mundruczó [1999] Durbin-Watson statisztika (5%-os szignifikanciaszint mellett) N Forrás: Statisztikai képletgyűjtem 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 dL 1,08 1,10 1,13 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 1,26 1,27 1,29 1,30 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,43 1,44 1,50 1,55 1,58 1,61 1,63 1,65 dU 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,45 1,46 1,47 1,48 1,48 1,49 1,50 1,50 1,51 1,51 1,52 1,52 1,53 1,54 1,54 1,54 1,59 1,62 1,64 1,66 1,68 1,69 Autokorreláció tesztelése Durbin-Watson próbával 0 dl 0,95 du 1,54 2 4-du 2,46 4-dl 3,05 4 1,381 dl<d<du → nincs döntés → Növelni kell a megfigyelések számát! Durbin-Watson próba - SPSS Analyze / Regression / Linear… - Statistics Grafikus normalitásvizsgálat A lehetséges eloszlások: béta, Chi-négyzet , exponenciális, gamma, fél-normális, Laplace, Logisztikus, Lognormál, normális, pareto, Student-féle t,, Weibull, és egyenletes. A P-P ábrán az elméleti eloszlásfüggvény és az empirikus eloszlásfüggvény van összehasonlítva. A Q-Q ábrán látható pontok vízszintes tengelyhez tartozó koordinátái a változó tapasztalati kvantilisei, a függőleges tengelyen pedig a tesztelt eloszlás kvantilisei állnak. A jó illeszkedés esetén a pontok közel szóródnak az ábrán meghúzott egyenes körül! Grafikus normalitásvizsgálat Hisztogramm a normális sűrűségfüggvénnyel Grafikus illeszkedésvizsgálat Grafikus illeszkedésvizsgálat Grafikus illeszkedésvizsgálat Grafikus illeszkedésvizsgálat Grafikus illeszkedésvizsgálat Grafikus illeszkedésvizsgálat Illeszkedésvizsgálat próbával Illeszkedésvizsgálat próbával Az illeszkedés nem fogadható el! Egymintás Kolmogorov-Szmirnov próba H 0 : A minta eloszlásfü ggvénye F ( x ) Most ún. illeszkedésvizsgálatról van szó! t próba n sup Femp ( x) F ( x) xI R k Femp ( x) n ahol k # xi ; xi xvagy xk* x xk*1 Ha a nullhipotézis igaz, a próbastatisztika aszimptotikusan Kolmogorov-eloszlást követ. A kritikus értéket ez alapján t t H krit 0 DÖNTÉS próba az eloszlás alapján határozzuk meg a szignifikancia szinthez. Az empirikus eloszlásfüggvény és az elméleti eloszlásfüggvény átfedése 100 elemű minta esetén: A Kolmogorov eloszlás Példa egymintás Kolmogorov-Szmirnov próbára Normális eloszlást követ-e a fogyás? Példa egymintás Kolmogorov-Szmirnov próbára Példa egymintás Kolmogorov-Szmirnov próbára Jelentős nagyságú a szignifikancia szint, el kell hogy fogadjuk a nullhipotézist! A fogyás jól illeszkedik a normális eloszláshoz!