TEOREMA DI PITAGORA

Contenuti

1.

Particolari terne numeriche e teorema di PITAGORA

2.

Le terne pitagoriche

3.

Applicazioni del teorema di Pitagora

Competenze 1.

Sapere il significato di terna pitagorica

2.

3.

4.

Sapere il teorema di Pitagora

Applicare il teorema di Pitagora Risolvere problemi geometrici con l’uso del teorema di Pitagora 5.

Sapere e usare il linguaggio inerente ai contenuti esposti

Particolari Terne Numeriche

Gli antichi Egizi per costruire con precisione un angolo retto prendevano una fune e in essa facevano 13 nodi alla stessa distanza uno dall’alto (ottenendo così 12 tratti di corda ); con dei paletti , poi, tendevano la corda in modo da formare un triangolo che avesse i lati lunghi rispettivamente 3 volte, 4 volte e 5 volte la distanza fra due nodi successivi. L’angolo formato dai due lati più corti era un angolo retto. Noi partiremo proprio da questa terna di numeri , 3, 4 e 5, così importante presso gli egizi da essere considerata sacra, per arrivare a uno dei più importanti teoremi della geometria : il Teorema di Pitagora.

Gli antichi popoli, oltre agli Egizi, conoscevano questo sistema ma usavano altre terne di numeri ; i Cinesi pare usassero le terne: 5,12,13 e 8, 15, 17

Consideriamo queste terne: 3,4 e 5, 5, 12 e 13, 8, 15 e 17 ed esaminiamone una caratteristica comune, nota fin dall’antichità .

3 2  4 2  9  16  25  5 2 5 2  12 2  25  144  169  13 2 8 2  15 2  64  225  289  17 2

Dicesi

terna pitagorica

qualunque terna di numeri naturali che sono le misure dei lati di un triangolo rettangolo; ovvero: tali che il quadrato del più grande è uguale alla somma dei quadrati degli altri due.

Q3 = Q1 +Q3

Q1 Q2

NUMERICAMENTE :

25cm

2

= 16cm

2

+ 9cm

2

25 16 9

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti.

Quest’ultimo modo di enunciare il Teorema di PITAGORA

ci permette di ricavare le formule esplicative: i 2 = C 2 +c 2 da cui: C 2 = i 2 -c 2 e anche: c 2 = i 2 +C 2 Sono queste le tre formule che ci permetteranno di utilizzare il Teorema di PITAGORA in un qualsiasi triangolo rettangolo. Da esse, infatti, conoscendo la misura di due lati si può trovare la misura del terzo lato estraendo la radice quadrata da ciascun membro delle tre uguaglianze:

i



C

2 

c

2

C



i

2 

c

2

c



i

2 

C

2

Applicazioni del Teorema di PITAGORA

PROBLEMA 1 Le dimensioni di un rettangolo sono 12cm e 5cm .Determinare la lunghezza della diagonale.

AB= 12cm ; BC= 15cm A B D C

Sappiamo che la diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli congruenti, ciascuno dei quali ha per cateti le dimensioni del rettangolo stesso e per ipotenusa la diagonale.

Possiamo applicare il Teorema di Pitagora ad

uno dei due triangoli per esempio ABC :

AC



BC

2 

AB

2  12 2  5 2

cm

 144  25

cm

 169

cm

 13

cm

In generale, indicando le misure di base, altezza e diagonale con

b,h,d,

si ha che

PROBLEMA 2 Il lato di un quadrato è lungo 10cm. Calcolare la lunghezza della diagonale. La diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli isosceli congruenti, ad uno dei quali applichiamo il teorema di Pitagora:(vedi fig.) D C A B

BD



AB

2 

AD

2  10 2  10 2

cm

  100  100

cm

 10 2

cm

  10  1 , 41

cm

 14 , 1

cm

L’uguaglianza BD=10 ci dice che la lunghezza della diagonale del quadrato è uguale al prodotto della lunghezza del lato per ;quindi indicando con

d

è

l

2

tali lunghezze, possiamo scrivere la seguente formula:

d



l

2

d=

1,41

l

formula inversa:

l



d

2

ovvero

:

l



d

1 , 41

Tale terna gode di due importanti proprietà : 1. Rispetto a una qualsiasi unità di misura, sono le misure dei lati di un triangolo che è necessariamente rettangolo;2. Sono tali che la somma dei quadrati delle due misure più piccole è uguale al quadrato della misura più grande.

Interpretiamo la seconda proprietà da un punto di vista geometrico. Assumiamo come unità di misura il cm. e osserviamo che: 3 2 =9cm 2 rappresenta l’area del quadrato costruito 4 2 =16cm costruito 2 sul cateto minore. rappresenta l’area del quadrato sull’ipotenusa cateto maggiore.

5 2 =25cm 2 rappresenta l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa Geometricamente tale proprietà ci dice: quadrato sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti. L’area del

Si può dimostrare tale relazione sperimentalmente con il metodo della pesata.

Consideriamo un triangolo rettangolo e i tre quadrati costruiti rispettivamente sui due cateti e sull’ipotenusa, come in figura .

Disegniamo , e poi ritagliamo, i tre quadrati su uno stesso cartone a spessore uniforme e mettiamo Q1 e Q2 sul piatto di una bilancia e Q3 sull’altro piatto della bilancia.

Noteremo il perfetto equilibrio della bilancia; e ciò ci dice che Q1 e Q2 hanno lo stesso peso di Q3 e noi ne deduciamo che Q1 e Q2 hanno la stessa estensione di Q3: Q1 + Q2 = Q3

Un po’ di storia Pitagora nacque a Samo, un’isola della Grecia, probabilmente nel 570 a.C., fu il primo filosofo-matematico della storia. Intorno a Pitagora e alla sua scuola sorsero parecchie leggende che esaltarono il carattere filosofico, religioso e scientifico della sua grande figura e resero ancora più misteriosa l’attività della scuola stessa . Il nucleo fondamentale su cui Pitagora basava la sua concezione della matematica è il “NUMERO”:”I numeri sono il principio di tutte le cose”, recitava la sua dottrina filosofica.

Parecchie sono le scoperte che vengono attribuite alla scuola pitagorica, anche se il merito veniva sempre dato all’illustre maestro. Per quanto riguarda la geometria, ai pitagorici vengono attribuiti, fra le altre scoperte .

a) Il teorema sulla somma degli angoli del triangolo.

b) Il cosiddetto “teorema di Pitagora”.

c) La risoluzione di parecchi problemi sulle aree,allora ancora insoluti.

d) la costruzione dei poliedri regolari .

I pitagorici studiarono, con particolare interesse , i poligoni e i solidi regolari; il pentagono e la stella pentagonale a cinque punte pare che avessero affascinato talmente tanto il grande maestro che li pose a simbolo della scuola