Welkom Klik linksonder op de xx knop om te beginnen. Enkelvoudige interest Klik op de groene knop om verder te gaan. Woord vooraf. Deze presentatie gaat.
Download ReportTranscript Welkom Klik linksonder op de xx knop om te beginnen. Enkelvoudige interest Klik op de groene knop om verder te gaan. Woord vooraf. Deze presentatie gaat.
Welkom Klik linksonder op de xx knop om te beginnen. Enkelvoudige interest Klik op de groene knop om verder te gaan. Woord vooraf. Deze presentatie gaat over enkelvoudige interest. Er wordt slechts enige basiskennis verondersteld van het rekenen met procenten, het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze presentatie zijn de volgende oefenbestanden met open vragen gekoppeld: Oefenen met enkelvoudige interest Oefenen met interest over “restdagen” (365 of 360 dagen) Oefenen met sporadisch aflossen. Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets. Inhoudsopgave Interestvormen (enkelvoudige en samengestelde) 1 Berekening interestbedrag 4 Leningen met periodieke interestbetaling Lening met aflossing ineens Lening met periodiek gelijke aflossingsbedragen 7 Aflossingsplan Extra onderwerpen: Interest over “restdagen” Interestberekening bij sporadisch aflossen Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken. 8 13 14 21 22 34 1 Interest (ook wel geschreven als intrest) of rente is de vergoeding voor het beschikbaar stellen van geld, net als huur de vergoeding is voor het beschikbaar stellen van woonruimte. Voor de ontvanger is het een opbrengst, voor de betaler een kostenpost. De hoogte van het interestbedrag is afhankelijk van vier factoren: het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal) het interestpercentage (of “interestvoet”) de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld de interestvorm Er zijn twee interestvormen: enkelvoudige interest samengestelde interest Klik op de gele naar de inhouds- homeknop als je opgave wilt gaan. 2 Eens even kijken of je al weet tot welk verschil in interestbedrag het gebruik van enkelvoudige en samengestelde interest leidt. Je leent voor drie jaar € 2.000 tegen 4% per jaar. Hoeveel interest moet je in deze drie jaar in totaal betalen bij enkelvoudige interest en hoeveel bij samengestelde interest? A. Bij enkelvoudige interest € 80 en bij samengestelde B. interest € 86,53. B. Bij enkelvoudige interest € 80 en bij samengestelde B. interest € 240 C. Bij enkelvoudige interest € 240 en bij samengestelde C. interest € 249,73 D. Ik wil eerst meer uitleg. Klik op het goede antwoord. Je leent voor drie jaar € 2.000 tegen 4% per jaar. Hoeveel interest moet je in deze drie jaar in totaal betalen bij enkelvoudige interest en hoeveel bij samengestelde interest? A. Bij enkelvoudige interest € 80 en bij samengestelde B. interest € 86,53. B. Bij enkelvoudige interest € 80 en bij samengestelde B. interest € 240 C. Bij enkelvoudige interest € 240 en bij samengestelde C. interest € 249,73 D. Nog eens de uitleg. Fout! Het is toch beter dat je eerst eens naar de uitleg kijkt. Klik op de knop. De vraag is hoeveel interest je moet betalen bij enkelvoudige en bij samengestelde interest als je € 2.000 voor drie jaar leent tegen 4% per jaar. Bij enkelvoudige interest wordt alleen over het oorspronkelijke kapitaal interest berekend. Bij samengestelde interest wordt het interestbedrag telkens vanzelf aan het oorspronkelijke kapitaal toegevoegd en moet je dus ook “rente over rente” betalen. Daarom is het interestbedrag bij samengestelde interest telkens weer wat groter dan in de periode ervoor. Door dit verschil in berekening van het interestbedrag loopt het totale bedrag (of eindwaarde) bij samengestelde interest sneller op dan bij enkelvoudige interest. We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat drie jaar lang wordt uitgeleend en waarbij het interestbedrag op het eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar. ENKELVOUDIGE INTEREST kapitaal interest 1e jaar € 100.000 eindwaarde na 1 jaar interest 2e jaar € 105.000 5% x € 100.000 = € 5.000 eindwaarde na 2 jaar interest 3e jaar € 110.000 5% x € 100.000 = € 5.000 eindwaarde na 3 jaar € 115.000 5% x € 100.000 = € 5.000 SAMENGESTELDE INTEREST kapitaal interest 1e jaar € 100.000 eindwaarde na 1 jaar € 105.000 5% x € 100.000 = € 5.000 interest 2e jaar eindwaarde na 2 jaar € 110.250 5% x € 105.000 = € 5.250 interest 3e jaar eindwaarde na 3 jaar € 115.762,50 5% x € 110.250 = € 5.512,50 Bij het berekenen van de interest kun je het percentage het beste omzetten in een perunage. Een percentage van bijvoorbeeld 5% komt overeen met een perunage van 0,05. Dat scheelt weer een handeling bij het intypen van de som op de rekenmachine en het vermindert de kans op fouten bij wat ingewikkeldere berekeningen. Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen. 3 Goed Bij enkelvoudige interest hoef je alleen interest over het oorspronkelijke kapitaal te betalen, terwijl je bij samengestelde interest ook “rente over rente” moet betalen. Klik op de groene knop om door te gaan. 4 Bij enkelvoudige interest kun je het interestbedrag altijd berekenen met behulp van de formule: interestbedrag = K x P x T K = kapitaal (of bedrag) waarover interest betaald moet worden P = (interest)percentage (maar je mag er ook interestperunage P = voor lezen; bijvoorbeeld 0,05 in plaats van 5%) T = tijd waarover interest berekend moet worden Het interestpercentage geldt altijd per jaar, tenzij uitdrukkelijk een andere periode wordt vermeld. Geldt het bijvoorbeeld per maand, dan kun je dat overigens gemakkelijk omzetten in een interestpercentage per jaar door het te vermenigvuldigen met twaalf. De tijd moet bij de berekening in dezelfde tijdseenheid worden uitgedrukt als het interestpercentage. 5 Luidt het interestpercentage inderdaad per jaar en wijkt de tijd waarover interest moet worden berekend daarvan af, dan geldt bij het uitdrukken van die tijd in delen van een jaar dat: 1 1 1 één kwartaal = jaar, één maand = jaar en één week = jaar 4 12 52 Eens kijken of je weet waaraan een kwartaal volgens deze regel nog meer gelijk is. A. aan twaalf weken en aan drie maanden B. aan twaalf weken en aan vier maanden C. aan dertien weken en aan drie maanden D. aan dertien weken en aan vier maanden 1 Waaraan is een kwartaal volgens de regel één kwartaal = jaar, 4 1 1 één maand = jaar en één week = jaar nog meer gelijk? 12 52 A. aan twaalf weken en aan drie maanden B. aan twaalf weken en aan vier maanden C. aan dertien weken en aan drie maanden D. aan dertien weken en aan vier maanden Fout! Volgens dit antwoord zou een jaar maar uit 4 x 12 = 48 weken bestaan. Klik op de knop om het opnieuw te proberen. Fout! Volgens dit antwoord zou een jaar uit 4 x 12 = 48 weken bestaan en uit 4 x 4 = 16 maanden. Klik op de knop om het opnieuw te proberen. Fout! Volgens dit antwoord zou een jaar uit 4 x 4 = 16 maanden bestaan. Klik op de knop om het opnieuw te proberen. 6 Klik op de groene knop om door te gaan. 7 In de praktijk is bij leningen waarover periodiek interest berekend wordt, alleen sprake van enkelvoudige interest als het periodieke interestbedrag ook daadwerkelijk aan de geldverschaffer wordt uitbetaald. Gebeurt dat niet, dan is het de gewoonte het interestbedrag als extra lening te zien, waarover ook weer interest moet worden betaald. We zullen nu gaan bekijken hoe je met behulp van de formule K x P x T bij twee soorten leningen met periodieke interestbetaling zowel het periodieke als het totale interestbedrag kunt berekenen. Bij deze leningen is de looptijd van tevoren afgesproken. Daarbij zijn ook het interestpercentage en de lengte van de interestperioden vastgelegd. 8 De eerste lening met periodieke interestbetaling die we bekijken is een lening met aflossing ineens. Bij zo’n lening verandert het kapitaal (K) tussendoor niet. Pas aan het eind van de looptijd wordt de hele lening in één keer terugbetaald, tesamen met het laatste periodieke interestbedrag. Omdat het kapitaal niet verandert en het interestpercentage en de lengte van de interestperioden zijn vastgelegd, blijft ook het periodieke interestbedrag gedurende de gehele looptijd gelijk. Dat periodieke interestbedrag vind je door voor “T” de tijd in te vullen waarover je iedere keer interest moet betalen. Vul je voor “T” de gehele looptijd van de lening in, dan vind je het totale interestbedrag. Je kunt dit totale interestbedrag natuurlijk ook berekenen door alle periodieke interestbedragen bij elkaar op te tellen. 9 Eens kijken of het lukt. Je leent gedurende vijf kwartalen € 2.000 tegen 9%. Daarbij spreek je af aan het eind van elke maand interest te betalen en aan het einde van de looptijd alles in één keer af te lossen. Hoeveel bedraagt het periodieke interestbedrag en hoeveel het totale interestbedrag? A. periodiek € 15 en in totaal € 240 B. periodiek € 15 en in totaal € 225 C. periodiek € 12 en in totaal € 180 D. periodiek € 9 en in totaal € 180 Je leent gedurende vijf kwartalen € 2.000 tegen 9%. Daarbij spreek je af aan het eind van elke maand interest te betalen en aan het einde van de looptijd alles in één keer af te lossen. Hoeveel bedraagt het periodieke interestbedrag en hoeveel het totale interestbedrag? A. periodiek € 15 en in totaal € 240 B. periodiek € 15 en in totaal € 225 C. periodiek € 12 en in totaal € 180 D. periodiek € 9 en in totaal € 180 Fout! Het interestpercentage geldt per jaar en niet per vijf kwartalen en een kwartaal telt drie maanden en geen vier maanden. Klik op de knop om het opnieuw te proberen. Fout! Het interestpercentage geldt per jaar en niet per vijf kwartalen. Klik op de knop om het opnieuw te proberen. Fout! Je hebt voor het vijfde kwartaal vier maanden geteld in plaats van drie. Klik op de knop om het opnieuw te proberen. 10 Goed Klik op de groene knop om door te gaan. 11 Juist omdat bij een lening met aflossing ineens, de “K” tussendoor niet verandert, kun je met behulp van de formule K x P x T ook vrij eenvoudig het bedrag van de lening “K” berekenen als je alleen het interestpercentage gegeven krijgt en het bedrag dat je aan het eind in één keer moet betalen aan aflossing en periodieke interest. Eens kijken of dat lukt. Aan het eind van een 18%-lening moet je € 14.160 betalen. Dat bedrag bestaat uit de hele aflossing en de interest over de laatste maand. Hoeveel bedraagt afgerond op hele euro’s de oorspronkelijke lening? A. € 13.951 C. € 12.000 B. € 13.948 D. Ik wil eerst meer uitleg. Aan het eind van een 18%-lening moet je € 14.160 betalen. Dat bedrag bestaat uit de hele aflossing en de interest over de laatste maand. Hoeveel bedraagt afgerond op hele euro’s de oorspronkelijke lening? A. € 13.951 B. € 13.948 C. € 12.000 D. Nog eens de uitleg. Fout! Je hebt de interest berekend over het kapitaal plus de interest. Dat mag niet. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet. Fout! Je hebt niet gezien dat in het bedrag maar één maand interest zit. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet. De vraag is hoeveel de oorspronkelijke lening bedraagt als je aan het eind van een 18%-lening aan aflossing en periodieke maandelijkse interest een bedrag van € 14.160 moet betalen. Laten we er eens van uitgaan dat je een 10%-lening hebt afgesloten, je elk kwartaal interest moet betalen en je de laatste keer inclusief aflossing € 8.610 moet betalen. Het bedrag dat je aan het eind in één keer moet betalen aan aflossing en periodieke interest bestaat uit K + K x P x T. Vul je alle gegevens in, dan krijg je dit: 1 € 8.610 = K + K x 10% x 4 Van K + .. kun je K + K × 0,1 × 0,25 maken en dus K + K × 0,025. Als je K buiten haakjes haalt, krijg je K (1 + 1 × 0,025). Dat is gelijk aan K (1 + 0,025) en dus aan K × 1,025. Nu kun je K uitrekenen via K = € 8.610 / 1,025. K blijkt dus € 8.400 te zijn. Je kunt voor deze berekening ook de volgende opstelling maken: bedragen in procenten van K K €… 100% K×P×T €… 100% x 10% × 1/4 = 2,5% totaal € 8.610 102,5% Om K uit te rekenen, moet je dus weten wat 100% is. Daar kom je achter door “kruislings te vermenigvuldigen”. Wil je meer weten over kruislings vermenigvuldigen, klik dan op het plaatje. 8.610 x 100 Omdat geldt dat 8.610 x 100 = … x 102,5 geldt K = 102,5 dus K = 8.400. Ter controle kun je ook nog K x P x T uitrekenen. 12 Goed Klik op de groene knop om door te gaan. 13 De tweede lening met periodieke interestbetaling die we bekijken is een lening met periodiek gelijke aflossingsbedragen. Bij deze lening wordt de “K” telkens een stukje kleiner. Daardoor wordt ook het periodieke interestbedrag iedere keer een stukje kleiner. Het bedrag van de periodieke aflossing kun je vrij eenvoudig berekenen door het (begin)kapitaal te delen door het totale aantal aflossingen. De K die je moet gebruiken om het periodieke interestbedrag te berekenen, is wat moeilijker te vinden. Je moet daarvoor de schuldrest aan het begin van de betreffende periode berekenen door van het (begin)kapitaal de som van de aflossingen die al geschied zijn, af te trekken. 14 Om de berekening van de schuldrest aan het begin van de betreffende interestperiode en het betreffende periodieke interestbedrag overzichtelijk te laten verlopen, kun je gebruik maken van een aflossingsplan. In zo’n aflossingplan zet je overzichtelijk bij elkaar om welke periode het gaat, wat de schuldrest aan het begin van die periode is (de “K”), hoeveel de interest over deze periode bedraagt (= K x P x T), hoeveel de periodieke aflossing is en hoeveel de schuldrest aan het eind van die periode is. Bij de interest en de aflossing kun je bovendien een totaaltelling toevoegen. 15 Eens kijken of je al weet hoe dat eruit moet zien. Welk aflossingsplan hoort bij een lening met een looptijd van drie jaar, waarbij aan het eind van elk jaar naast de interest € 100 wordt afgelost en de interest 8% is? A. C. jaar schuldrest begin interestbedrag aflossing schuldrest eind jaar schuldrest begin interestbedrag aflossing schuldrest eind 1 300 24 100 200 1 300 24 100 200 2 200 16 100 100 2 200 24 100 100 3 100 8 100 0 3 100 24 100 0 48 300 72 300 totaal totaal B. jaar schuldrest begin interestbedrag aflossing schuldrest eind 1 300 20 100 200 2 200 12 100 100 3 100 4 100 0 36 300 totaal D. Ik wil eerst meer uitleg. Welk aflossingsplan hoort bij een lening met een looptijd van drie jaar, waarbij aan het eind van elk jaar naast de interest € 100 wordt afgelost en de interest 8% is? A. C. jaar schuldrest begin interestbedrag aflossing schuldrest eind jaar schuldrest begin interestbedrag aflossing schuldrest eind 1 300 24 100 200 1 300 24 100 200 2 200 16 100 100 2 200 24 100 100 3 100 8 100 0 3 100 24 100 0 48 300 72 300 totaal totaal B. jaar schuldrest begin interestbedrag aflossing schuldrest eind 1 300 20 100 200 2 200 12 100 100 3 100 4 100 0 36 300 totaal D. Nog eens de uitleg. Fout! Omdat de aflossing in één keer aan het eind van het jaar gebeurt, mag je de interest niet berekenen over het gemiddelde van de schuldrest aan het begin en het eind van het jaar. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet. Fout! Je hebt geen rekening gehouden met de aflossing. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet. De vraag is welk aflossingsplan hoort bij een lening met een looptijd van drie jaar, waarbij aan het eind van elk jaar naast de interest € 100 wordt afgelost en de interest 8% is. Stel dat je voor de duur van vier maanden € 600 leent tegen 8% en dat je afspreekt op het eind van elke maand € 150 af te lossen. Daarnaast betaal je op het eind van elke maand de interest. Je kunt dan het volgende aflossingsplan opstellen: maand beginschuldrest interestbedrag aflossing eindschuldrest 1 2 3 4 totaal Klik hier om de bedragen te zien. De vraag is welk aflossingsplan hoort bij een lening met een looptijd van drie jaar, waarbij aan het eind van elk jaar naast de interest € 100 wordt afgelost en de interest 8% is. Stel dat je voor de duur van vier maanden € 600 leent tegen 8% en dat je afspreekt op het eind van elke maand € 150 af te lossen. Daarnaast betaal je op het eind van elke maand de interest. Je kunt dan het volgende aflossingsplan opstellen: maand beginschuldrest interestbedrag 1 600 4 x 1/12 = 600 x 8% 150 600450 - 150 = 2 450 3 x 1/12 = 450 x 8% 150 450300 - 150 = 3 300 2 x 1/12 = 300 x 8% 150 300150 - 150 = 4 150 1 x 1/12 = 150 x 8% 150 150 - 0150 = 10 600 totaal aflossing eindschuldrest Zoals je ziet wordt de interest altijd over de beginschuldrest van de betreffende periode berekend en is deze beginschuldrest gelijk aan de eindschuldrest van de periode daarvoor. 16 Klik op de groene knop om door te gaan. 17 Als je zo’n aflossingsplan handmatig moet opstellen kost dat nogal wat tijd. Omdat de onderlinge verbanden vaststaan is het in Excel zo gebeurd. Klik op het uiltje als je dat eens wilt doen. Om het totale interestbedrag te berekenen moet je bij een lening met periodiek gelijke aflossingsbedragen, net als bij een lening met aflossing ineens, voor “T “de totale looptijd invullen. Voor “K” zul je nu echter de gemiddelde beginschuldrest moeten invullen. 18 Eens kijken of je weet hoe dat gaat. Wat is de juiste berekening van het totale interestbedrag als je een bedrag van € 600 leent tegen 11% en dit bedrag in acht maanden aflost door aan het eind van elke maand naast de interest over die maand € 75 af te lossen? A. € 600 + € 0 × 11% × 8/12 2 B. € 600 + € 75 × 11% × 8/12 2 C. € 600 × 11% × 8/12 D. Ik wil eerst meer uitleg. Wat is de juiste berekening van het totale interestbedrag als je een bedrag van € 600 leent tegen 11% en dit bedrag in acht maanden aflost door aan het eind van elke maand naast de interest over die maand € 75 af te lossen? A. € 600 + € 0 × 11% × 8/12 2 B. € 600 + € 75 × 11% × 8/12 2 C. € 600 × 11% × 8/12 D. Nog eens de uitleg. Fout! Je hebt er geen rekening mee gehouden dat je altijd interest over de schuldrest aan het begin van de periode moet betalen. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet. Fout! Je houdt er geen rekening mee dat wordt afgelost. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet. De vraag is wat de juiste berekening is van het totale interestbedrag als je een bedrag van € 600 leent tegen 11% en dit bedrag in acht maanden aflost door aan het eind van elke maand naast de interest over die maand € 75 af te lossen. Hieronder is het verloop weergegeven van een lening van € 300 die in vijf maanden wordt terugbetaald, door aan het eind van elke maand naast het bedrag van de interest € 60 af te lossen. De interest bedraagt 12%. Alleen het bedrag waarover in de betreffende maand interest betaald moet worden is aangegeven. Dat is gebeurd in de vorm van blokjes. Elk blokje stelt € 60 voor. maand 1 maand 2 maand 3 maand 4 maand 5 Bij enkelvoudige interest wordt over elk blokje evenveel interest berekend. In dit geval is dat € 60 x 12% x 1/12 = € 0,60. Door twee blokjes van maand 1 over te hevelen naar maand 5 en één blokje van maand 2 naar maand 4 zie je dat je in totaal evenveel interest moet betalen als wanneer je € 180 voor vijf maanden leent zonder tussentijds af te lossen. maand 1 maand 2 maand 3 maand 4 Klik hierop om dit te zien. maand 5 Bij enkelvoudige interest wordt over elk blokje evenveel interest berekend. In dit geval is dat € 60 x 12% x 1/12 = € 0,60. Door twee blokjes van maand 1 over te hevelen naar maand 5 en één blokje van maand 2 naar maand 4 zie je dat je in totaal evenveel interest moet betalen als wanneer je € 180 voor vijf maanden leent zonder tussentijds af te lossen. maand 1 maand 2 maand 3 maand 4 maand 5 Die € 180 kun je berekenen als het gemiddelde van de beginschuldrest in de eerste maand (€ 300) en de beginschuldrest in de laatste maand (€ 60), dus: gemiddelde beginschuldrest = beginsch. eerste periode + beginsch. laatste periode 2 Zo kom je tot de volgende berekening van het interestbedrag bij een lening die afgelost wordt met regelmatige tussenpozen in gelijke bedragen bij een gelijkblijvend interestpercentage: beginsch. eerste per. + beginsch. laatste per. × interestpercentage × totale looptijd 2 In dit geval is dat € 300 + € 60 x 12% x 5/12 = € 9. 2 Dat is toch een wat snellere berekening dan: € 300 x 12% x 1/12 + € 240 x 12% x 1/12 + € 180 x 12% x 1/12 + € 120 x 12% x 1/12 + € 60 x 12% x 1/12 = € 3 + € 2,40 + € 1,80 + € 1,20 + € 0,60 = € 9 19 Goed Klik op de groene knop om door te gaan. 20 Omdat de “K” telkens verandert, kun je bij een lening met periodiek gelijke aflossingsbedragen met de formule K x P x T verder niet veel berekenen. Je bent nu aan het einde van de gewone onderwerpen gekomen. Klik op het plaatje om het berekenen van periodieke en totale interestbedragen te oefenen met open vragen. Klik op de groene knop om verder te gaan met de extra onderwerpen. Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets als je nu al wilt afsluiten. 21 Er zijn twee extra onderwerpen. Het eerste onderwerp is het berekenen van het interestbedrag over “restdagen”. Bij bijvoorbeeld een lening met aflossing ineens kun je daar mee te maken krijgen als je hebt afgesproken dat de aflossing op elk willekeurig moment mag plaatsvinden. Als die aflossing plaatsvindt voordat een interestperiode is afgelopen, hoef je maar over een deel van die interestperiode interest te betalen. Dat zijn de restdagen. Het tweede onderwerp is het berekenen van het totale interestbedrag bij sporadisch aflossen. Dit onderwerp is kort gehouden. Wil je alleen het tweede extra onderwerp bekijken, klik dan op de home-knop en ga van daaruit naar dit onderwerp. 22 Bij restdagen staat de vraag centraal op hoeveel dagen een jaar moet worden gesteld bij het bepalen van de “T”. Bijna geen enkele bank stelt het jaar namelijk op het werkelijke aantal dagen Het blijkt dat veel banken elk jaar op 365 dagen stellen. Andere stellen het jaar op 360 dagen. In beide gevallen geldt dat bij het bepalen van het aantal dagen altijd tot een bepaalde einddatum moet worden geteld. Als de lening tot en met een bepaalde dag loopt, dan moet je als einddatum de dag erna nemen. Wordt het jaar op 365 dagen gesteld, dan telt februari ook in een schrikkeljaar 28 dagen en telt verder elke maand zijn werkelijke aantal dagen. Om het laatste interestbedrag uit te rekenen moet je K x P vermenigvuldigen met een T die gelijk is aan het aantal restdagen gedeeld door 365. 23 Op de TI-83 kun je met behulp van de functie “dbd” (= “days between dates”) voor de jaren tussen 1950 en 2049 het aantal dagen “van … tot …” uitrekenen. Daarbij wordt het jaar echter op het juiste aantal dagen gesteld. Als het jaar een schrikkeljaar is en 29 februari in de gewenste periode valt, wordt dus één dag teveel gerekend. Schrikkeljaren zijn de jaren waarbij het jaartal deelbaar is door 4. Uitzondering zijn de eeuwjaren waarbij het aantal eeuwen niet deelbaar is door 4 (zoals 1700, 1800, 1900 en 2100). Dergelijke eeuwjaren vallen echter buiten het bereik van de TI-83. Wil je weten hoe je met de functie “dbd” het juiste aantal dagen kunt berekenen, klik dan op het plaatje van de TI-83. Hiernaast zie je een afbeelding van de TI-83. We laten nu stap voor stap zien hoe je de functie “dbd” in werking stelt. Klik op de groene knop. Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op de x-1-knop om het menu Finance op te roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op om de volgende stap te zien. Dat geldt ook voor het vervolg.) N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83. Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83. Zoals je ziet kun je bij het menu Finance kiezen voor “CALC” (= calculation) of “VARS” (variables). Het submenu dat je ziet, hoort bij de optie “CALC”. De functie “dbd” is verderop in dit submenu te vinden. Druk op de pijltjestoets naar beneden om daar heen te gaan. CALC VARS 1: TVM Solver 2: tvm_Pmt 3:tvm_I% 4:tvm_PV 5:tvm_N 6:tvm_FV Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar toe gaan. Als je op D: dbd staat moet je de keuze bevestigen door op ENTER te drukken. (Doe dat.) CALC VARS 0: Prn( A: Int( B:>Nom( C:>Eff( D:dbd( Dbd(0502.96,1706.01 Je ziet dat de functie “dbd” geactiveerd is. Nu kun je op de volgende manier de begindatum invoeren: DDMM.JJ. Zo voer je bijvoorbeeld 5-2-1996 in als 0502.96 (de eeuwjaren zijn weggelaten omdat vanzelf duidelijk is of het 19 of 20 moet zijn). Typ dan een komma en voer op dezelfde manier de einddatum in, bijvoorbeeld 17-6-2001 als 1706.01. Op het scherm zie je deze invoer al staan. Druk nu op ENTER. Dbd(0502.96,1706.01 1959 Zoals je ziet is het werkelijke aantal dagen van 5-2-1996 tot 17-6-2001 1959. Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op “Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via 2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat je de functie “dbd” gebruikt zullen er geen decimalen meer staan bij de uitkomst. Klik op de groene knop. 24 Eens kijken of je al kunt rekenen met datums en een jaar dat op 365 dagen is gesteld. Stel dat je op 8-11-2001 een 12%-lening van € 400 afsluit, waarbij je maar één keer per jaar interest hoeft te betalen en op elk willekeurig moment het hele bedrag in één keer kunt aflossen. Op 21-4-2004 vindt deze aflossing inderdaad plaats. Hoeveel interest moet je nu over de periode van 8-11-2003 tot 21-4-2004 betalen? A. € 21,57 B. € 21,70 C. € 21,83 D. Ik wil eerst meer uitleg. Stel dat je op 8-11-2001 een 12%-lening van € 400 afsluit, waarbij je maar één keer per jaar interest hoeft te betalen en op elk willekeurig moment het hele bedrag in één keer kunt aflossen. Op 21-4-2004 vindt deze aflossing inderdaad plaats. Hoeveel interest moet je nu over de periode van 8-11-2003 tot 21-4-2004 betalen? A. € 21,57 B. € 21,70 C. € 21,83 D. Nog eens de uitleg. Fout! Waarschijnlijk heb je februari op 30 dagen gesteld. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet. Fout! Je hebt waarschijnlijk 29 februari 2004 meegerekend. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet. De vraag is hoeveel interest je moet betalen van 8-11-2003 tot en met 21-4-2004 bij een 12%-lening van € 400 als het jaar op 365 dagen wordt gesteld. Stel dat het om een 9%-lening van € 500 gaat, waarover van 8-9-2005 tot en met 1-3-2006 nog interest moet worden betaald. Tot en met 1-3-2006 is tot 2-3-2006, dus moet je bij gebruik van de functie “dbd” 0809.05,0203.06 invullen. Als je op ENTER drukt, krijg je 175 als antwoord. Omdat er geen sprake is van schrikkeljaren hoef je dit antwoord niet te corrigeren voor het eventueel meerekenen van 29 februari . Vervolgens kun je het interestbedrag uitrekenen als 175 € 500 x 9% x = € 21,58. 365 Je kunt het aantal dagen ook handmatig berekenen. Daarbij geldt als regel dat de eerste dag meetelt en de laatste dag niet. Zo krijg je de volgende berekening: Van 8-9-2005 tot 1-1-2006: Van 1-1-2006 tot 2-3-2006: september oktober november december januari 31 dagen februari 28 dagen maart 1 dagen (laatste dag telt 23 dagen (1e dag telt mee) 31 dagen 30 dagen 31 dagen 115 dagen x x60 dagen Zoals je ziet kom je uit op 115 + 60 = 175 dagen. niet mee) 25 Goed Klik op de groene knop om door te gaan. 26 Wordt het jaar op 360 dagen gesteld, dan telt elke maand steeds 30 dagen en bereken je het laatste interestbedrag door K x P te vermenigvuldigen met een T die gelijk is aan het aantal restdagen gedeeld door 360. Het aantal dagen kun je uitrekenen door gewoon de datums van elkaar af te trekken. Wil je weten hoe dat gaat, klik dan op het plaatje. Om het aftrekken van de datums goed te laten verlopen, maak je een opstelling, waarbij je de einddatum bovenaan plaatst en de begindatum eronder. Als de lening tot en met een bepaalde dag loopt, moet je - zoals al gezegd - als einddatum de dag erna nemen. Vervolgens trek je eerst dagen van dagen af, dan maanden van maanden en tenslotte jaren van jaren. Kom je bij het aftrekken van de datums iets tekort, dan kun je een maand inruilen voor dertig dagen en een jaar voor twaalf maanden. Omdat een maand maar dertig dagen telt, moet je voor de 31ste van de maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van maken (want februari is ten einde). Wil je het aantal dagen van 8-11-2003 tot 21-4-2004 weten, dan ziet de berekening volgens deze methode er zo uit: van tot tot 21 van 8 (+12 =) 16 4 11 - 13 dagen 2003 2004 2003 5 maanden 22000 jaren In totaal kom je dan op 13 + 5 x 30 = 163 dagen. Je kunt ook in eerste instantie alleen de jaren van elkaar aftrekken. van tot 21 4 2004 1 tot van 8 11 2003 0 Vervolgens reken je wat overblijft bij beide om naar dagen. 21 + 4 x 30 + 1 x 360 = 501 en 8 + 11 x 30 = 338. Dat trek je van elkaar af. Zo kom je ook uit op 501 – 338 = 163 dagen. Klik op de groene knop om verder te gaan. 27 Eens kijken of je het aantal dagen kunt uitrekenen als het jaar op 360 dagen is gesteld. Hoeveel dagen is het van 21-9-2001 tot en met 2-4-2002 als een jaar op 360 dagen wordt gesteld? A. 191 B. 192 C. 221 D. 222 Hoeveel dagen is het van 21-8-2001 tot en met 2-3-2002 als een jaar op 360 dagen wordt gesteld? A. 191 B. 192 C. 221 D. 222 Fout! Je hebt niet gezien dat het tot en met was. Dan moet je tot de dag erna rekenen. Klik op de knop om het opnieuw te proberen. Fout! Als je een maand opdeelt in dagen, moet je die maand niet ook nog eens bij de maanden zelf meetellen. Bovendien hebt je niet gezien dat het tot en met was. Dan moet je tot de dag erna rekenen. Klik op de knop om het opnieuw te proberen. Fout! Als je een maand opdeelt in dagen, moet je die maand niet ook nog eens bij de maanden zelf meetellen. Klik op de knop om het opnieuw te proberen. 28 Goed Denk er aan altijd van … tot … te nemen. Klik op de groene knop om door te gaan. 29 Nu eens kijken of je het allemaal kunt toepassen. Hoeveel bedraagt het interestbedrag als je een bedrag van € 4.000 uitzet van 15-9-2002 tot 19-7-2003 tegen 5% interest? A. € 168,89 bij 1 jr = 360 dagen en € 168,22 bij 1 jr = 365 dagen B. € 170,56 bij 1 jr = 360 dagen en € 168,22 bij 1 jr = 365 dagen C. € 168,89 bij 1 jr = 360 dagen en € 166,58 bij 1 jr = 365 dagen D. € 170,56 bij 1 jr = 360 dagen en € 166,58 bij 1 jr = 365 dagen Hoeveel bedraagt het interestbedrag als je een bedrag van € 4.000 uitzet van 15-9-2002 tot 19-7-2003 tegen 5% interest? A. € 168,89 bij 1 jr = 360 dagen en € 168,22 bij 1 jr = 365 dagen B. € 170,56 bij 1 jr = 360 dagen en € 168,22 bij 1 jr = 365 dagen C. € 168,89 bij 1 jr = 360 dagen en € 166,58 bij 1 jr = 365 dagen D. € 170,56 bij 1 jr = 360 dagen en € 166,58 bij 1 jr = 365 dagen Fout! Je hebt bij 1 jaar = 360 dagen het werkelijke aantal dagen per maand gerekend. Klik op de knop om het opnieuw te proberen. Fout! Je hebt bij 1 jaar = 365 dagen de maanden op 30 dagen gesteld. Klik op de knop om het opnieuw te proberen. Fout! Je hebt bij 1 jaar = 360 dagen het werkelijke aantal dagen per maand gerekend en bij 1 jaar = 365 dagen de maanden op 30 dagen gesteld. Klik op de knop om het opnieuw te proberen. 30 Goed Klik op de groene knop om door te gaan. 31 Als je terugdenkt aan de regel: 1 1 1 één kwartaal = jaar, één maand = jaar en één week = jaar 4 12 52 is het zo gek nog niet om het jaar op 360 dagen te stellen. Bij deze regel ga je er immers ook vanuit dat elke maand evenveel dagen heeft. Om precies te zijn wordt elke maand op (7 x 52 =) 364 : 12 = 30 1/3 dagen gesteld. Het is dan wel zo gemakkelijk om elke maand gewoon op 30 dagen te stellen. Stel dat uitdrukkelijk wordt gezegd dat het jaar op het werkelijke aantal dagen moet worden gesteld, dan moet je bij een schrikkeljaar voor T het werkelijke aantal dagen nemen gedeeld door 366. Valt maar een deel van de restdagen in het schrikkeljaar, dan moet je de interestbedragen in het gewone jaar en het schrikkeljaar apart uitrekenen en die bij elkaar optellen. 32 In Excel kun je voor de jaren na 1900 met behulp van de functie “JAAR.DEEL” op verschillende manieren het aantal dagen uitdrukken als deel van een jaar. Daarmee heb je in theorie de “T” te pakken die je in de formule K x P x T kunt gebruiken om het totale interestbedrag te berekenen. In praktijk blijkt dat toch niet zo gemakkelijk. De “T” die Excel voor je berekent, kun je wel goed gebruiken om het juiste aantal dagen te berekenen. Je hoeft deze “T” maar te vermenigvuldigen xxxx met het totale aantal dagen per jaar en het is gebeurd. Xxxxxxx Wil je meer over de functie “JAAR.DEEL” weten, Xxxxxxxxx klik dan op het plaatje. 33 Je bent aan het einde van het eerste extra onderwerp gekomen. Klik op het vliegtuig om het rekenen met restdagen te oefenen met open vragen. Klik op de groene knop om naar het tweede extra onderwerp te gaan. Dat is het berekenen van het totale interestbedrag bij sporadisch aflossen. Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets als je nu wilt afsluiten. 34 Als er sprake is van sporadisch aflossen kun je een foefje gebruiken om het interestbedrag te berekenen. Je hoeft dan geen aflossingschema te maken. Dat foefje gaat zo: je doet net alsof de oude lening doorloopt en je beschouwt de aflossing als een storting bij een andere bank tegen hetzelfde interestpercentage als de lening die is afgesloten. Op het einde van de looptijd verreken je de te betalen en te ontvangen interest. 35 Eens kijken of je het doorhebt. Je leent € 500 tegen 8%. Na twee maanden los je € 120 af. Een maand later leen je toch weer € 75 bij. Hoeveel interest moet je over het eerste halfjaar betalen als er verder niets meer verandert? A. € 18,20 B. € 18,30 C. € 19,10 D. Ik wil eerst meer uitleg. Je leent € 500 tegen 8%. Na twee maanden los je € 120 af. Een maand later leen je toch weer € 75 bij. Hoeveel interest moet je over het eerste halfjaar betalen als er verder niets meer verandert? A. € 18,20 B. € 18,30 C. € 19,10 D. Nog eens de uitleg. Fout! Je hebt geen rekening gehouden met het verschil in looptijd. Klik op de knop. Je krijgt dan eerst de uitleg. Fout! De lening kent geen regelmatig verlopende aflossing, zodat je het gemiddelde niet mag uitrekenen door de som van de schuldresten aan het begin en eind te delen door twee. Klik op de knop. Je krijgt dan eerst de uitleg. De vraag is hoeveel interest je over het eerste halfjaar moet betalen als je € 500 leent tegen 8%, na twee maanden € 120 aflost en één maand later weer € 75 bijleent. Stel, je leent € 1.000 tegen 8%, waarbij je alleen op het eind van de tweede maand € 50 aflost en op het eind van de vijfde maand nog eens € 150. Je wilt weten hoeveel interest je over de eerste zes maanden moet betalen. Je doet dan net alsof je € 1.000 voor zes maanden leent en tussentijds niets aflost. Op het eind van de tweede maand stort je ergens anders € 50 die vier maanden uitstaat en op het eind van de vijfde maand weer ergens anders € 150 die één maand uitstaat. De berekening van het interestbedrag (in euro’s) is dan: 1000 8% 6 12 50 8% 4 12 150 8% 1 12 = 40 - 1,33 - 1 = 37,67 36 Goed Klik op de groene knop om door te gaan. 37 Dit foefje kun je natuurlijk ook gebruiken als er sprake is van sporadisch bijlenen in plaats van aflossen. Je doet dan net alsof je bij een andere bank nog een extra lening afsluit. Je bent nu aan het definitieve einde van deze presentatie gekomen. Klik op het plaatje om het berekenen van het interestbedrag bij sporadisch aflossen te oefenen met open vragen. Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets om af te sluiten. Kruislings vermenigvuldigen komt voort uit het werken met een zogenaamde verhoudingstabel. Wat dat is kan het beste aan de hand van een voorbeeld worden duidelijk gemaakt. Stel je krijgt de volgende vraag voorgelegd: 2 centimeter staat tot 4 meter als 5 centimeter staat tot … meter De meeste mensen zullen direct 10 meter zeggen omdat 4 twee keer zo groot is als 2 en 10 twee keer zo groot is als 5. Nu stellen we de vraag als volgt: 6 centimeter staat tot 14 meter als 12 centimeter staat tot … meter Nu kun je op het antwoord komen door te redeneren dat 12 twee keer zo groot als 6 is en 28 twee keer zo groot als 14 is. Maar krijg je de vraag voorgelegd: 6 centimeter staat tot 14 meter als 21 centimeter staat tot … meter … dan is het antwoord moeilijker te vinden. De verhoudingstabel kan dan helpen. Laten we nog eens naar de verhouding 2 centimeter staat tot 4 meter als 5 centimeter staat tot 10 meter kijken. Je kunt dat ook zo noteren: 2 cm : 4 m als 5 cm : 10 m Nu maken we er een tabel van en laten we zien wat kruislings vermenigvuldigen inhoudt. Je kunt nu duidelijk zien dat in deze tabel geldt: 2 x 10 = 5 x 4. Dit kruislings vermenigvuldigen kun je ook toepassen bij 6 centimeter staat tot 14 meter als 21 centimeter staat tot … meter Eerst zet je het in een verhoudingstabel: 6 cm 14 m 21 cm …m Nu geldt: 21 x 14 = 6 x …, dus … = 21 x 14 = 49. 6 Je kunt dit controleren, want 21 = 3,5 x 6 en 49 = 3,5 x 14. Je kunt zo’n verhoudingstabel met kruislings vermenigvuldigen voor van alles gebruiken, als je dezelfde eenheden maar aan dezelfde kant houdt (dus bijvoorbeeld bedragen links en percentages rechts). De uitleg is hiermee ten einde. Zoals gezegd kun je met de functie “JAAR.DEEL” op verschillende manieren het aantal dagen uitdrukken als deel van een jaar. Daarbij heb je de volgende opties: optie 1: boven en onder de streep het juiste aantal dagen optie 2: boven de streep het juiste aantal dagen en onder de streep xxxxxxxxhet jaar als 360 dagen optie 3: boven de streep het juiste aantal dagen en onder de streep xxxxxxxxhet jaar als 365 dagen optie 4: boven en onder de streep het jaar als 360 dagen Er is ook nog een optie 0. Die is hetzelfde als optie 4 maar dan met het Amerikaanse systeem van de notering van een datum (eerst de jaren, dan de maanden en dan de dagen). Drie van deze opties zijn echter niet of niet altijd bruikbaar. Bij optie 1 gaat het mis zodra er een schrikkeljaar bij zit. Dat komt omdat Excel schrikkeljaren en gewone jaren boven en onder de deelstreep op één hoop gooit. Bestrijkt de periode bijvoorbeeld 100 dagen uit een gewoon jaar en 100 dagen uit een schrikkeljaar, dan rekent Excel de T in jaren uit als: 100 + 100 (365 + 366) / 2 100 100 Dat is echter niet hetzelfde als + , terwijl dat wel zo 365 366 zou moeten zijn. Optie 2 is al direct onbruikbaar omdat we de combinatie van het werkelijke aantal dagen met het jaar als 360 dagen niet kennen. Optie 3 is alleen bruikbaar bij gewone jaren. In schrikkeljaren wordt teveel interest berekend omdat de dagen uit het schrikkeljaar niet door 366 gedeeld worden. Blijven over opties 0 en 4. Met die opties kun je altijd het goede interestbedrag uitrekenen, tenminste als het jaar op 360 dagen wordt gesteld. Overigens zet de Nederlandse versie van Excel de Amerikaanse notatie van een datum direct om naar de Europese notatie, zodat het niet uitmaakt of je optie 0 of 4 gebruikt. We laten zo dadelijk aan de hand van een simulatie zien hoe de functie JAAR.DEEL werkt in Excel. Dat doen we met gebruikmaking van optie 4. Aansluitend daarop laten we zien hoe je met het gevonden jaardeel het totale interestbedrag bij een lening met aflossing ineens kunt berekenen. Klik op de groene knop om te beginnen met de uitleg. . C7 voorbeeldberekening begindatum einddatum optie jaardagen 19-6-01 8-11-03 4 jaardeel Om een overzichtelijk geheel te maken, voeren we eerst de benodigde gegevens in. Dat zijn de begindatum (in cel C3), de einddatum (in C4) en het aantal dagen in een jaar (in C5). Je moet op cel C7 gaan staan. Klik nu op de functie-knop in het menu. . C7 Nu verschijnt een keuzemenu. Op dit menu moet je kiezen voor Datum en tijd en vervolgens voor JAAR.DEEL Klik op OK. In het dialoogvenster dat je nu te zien krijgt, kun je de cellen aangeven waar de gegevens te vinden zijn. Je kunt ook de bedragen zelf invoeren. Het voordeel van de invoer van cellen is dat de uitkomst gekoppeld wordt aan de cellen. Verander je de waarden in de betreffende cellen dan past de uitkomst zich vanzelf aan. Door op het dialoogvenster te gaan staan en de muisknop ingedrukt te houden kun je in Excel het venster naar een andere plaats slepen. Klik op de groene knop om door te gaan. Zoals je ziet is het dialoogvenster hier versleept. Je kunt de balken handmatig invullen. Je kunt ook met de muis op de betreffende cel klikken. Telkens geldt dat als je een cel hebt ingevoerd, je op de volgende balk moet gaan staan en die moet activeren door er op te klikken. De cellen zijn hier al ingevoerd. Klik nu op OK. De uitkomst komt op de aangewezen plaats (cel C7) te staan. Klik op de groene knop om door te gaan. Om het interestbedrag te krijgen, moet je het jaardeel nog vermenigvuldigen met het kapitaal en het interestpercentage per jaar. Deze zijn al aan de gegevens toegevoegd. In de opdrachtbalk kun je zien dat die vermenigvuldiging hier in cel C12 gebeurd is door de cellen te koppelen. Omdat het JAAR.DEEL ook al gekoppeld was, hoef je alleen maar de oorspronkelijke gegevens te veranderen om direct tot een aangepaste uitkomst te komen. Klik op de groene knop om door te gaan. Klik op het uiltje om naar Excel te gaan en te oefenen met het gebruik van de functie JAAR.DEEL. Daar krijg je desgewenst ook uitgelegd hoe je met behulp van optie 2 (boven de streep het juiste aantal dagen en onder de streep het jaar als 360 dagen) of optie 3 (boven de streep het juiste aantal dagen en onder de streep het jaar als 365 dagen) het werkelijke aantal dagen kunt berekenen. Klik op de groene knop om verder te gaan met de presentatie.