ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Теорема о циркуляции. Работа сил поля и потенциальная энергия. Потенциал поля. Связь между напряженностью и потенциалом поля. Характеристики поля Напряженность поля –
Download
Report
Transcript ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Теорема о циркуляции. Работа сил поля и потенциальная энергия. Потенциал поля. Связь между напряженностью и потенциалом поля. Характеристики поля Напряженность поля –
ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Теорема о циркуляции.
Работа сил поля и потенциальная энергия.
Потенциал поля.
Связь между напряженностью и потенциалом поля.
Характеристики поля
Напряженность поля – силовая
характеристика. Существует еще одна
характеристика поля – энергетическая,
названная потенциалом. Потенциал – это
потенциальная энергия единичного заряда.
Докажем, что электростатическое поле
потенциально, а силы, действующие на
заряд в электростатическом поле
консервативны.
Работа сил электростатического
поля
Рассмотрим поле,
создаваемое
неподвижным
точечным зарядом q.
В любой точке этого
поля на пробный
точечный заряд q
действует сила
1 qq ' r
F
40 r 2 r
F
1 qq ' r
40 r 2 r
Работа сил электростатического
поля
Вычислим работу, которую
совершает электростатическое
поле, созданное зарядом q
по
перемещению заряда q из точки 1
в точку 2.
Работа на пути dl равна:
1 qq '
A Fdlcos
dlcos,
2
40 r
dr dl cos ,
A
qq '
40r
2
dr.
Работа сил электростатического
поля
Полная работа при перемещении заряда
точки 1 в точку 2 равна:
qq '
A12
40
Работа
r2
q
из
qq ' 1 r2 qq ' 1 1
r 2 40 r r1 40 r1 r2 .
r1
dr
электростатических сил не зависит
от формы пути, а только лишь от координат
начальной и конечной точек перемещения.
Следовательно, силы поля консервативны, а само
поле – потенциально.
Работа сил электростатического
поля
Работу сил электростатического поля по
перемещению заряда q можно
записать:
A qEdl .
Полная работа по перемещению из точки 1
в точку 2 определится
2
A q Edl.
1
Циркуляция вектора напряженности
электростатического поля
Возьмем перемещение заряда по замкнутому
контуру. Так как силы электростатического поля
консервативны, то работа сил по замкнутому
контуру равна нулю:
qEdl 0.
Если в качестве пробного заряда взять единичный
заряд ( q 1 ), то
Edl 0.
Циркуляция вектора напряженности
электростатического поля
Интеграл
Ed l
называют циркуляцией,
Edl 0
а утверждение
- теоремой о
циркуляции.
Теорема о циркуляции говорит о том, что
любое электростатическое поле является
потенциальным.
Теорема о циркуляции позволяет сделать ряд
важных выводов, практически не прибегая к
расчетам.
1)Линии электростатического поля не могут
быть замкнутыми.
Если это не так, и какая-то линия – замкнута, то,
взяв циркуляцию вдоль этой линии, мы сразу же
придем к противоречию
с теоремой о циркуляции
вектора E .Интегрирование вдоль замкнутой
силовой линии даст результат отличный от нуля.
Потенциальная энергия
Электростатическое поле потенциально.
Следовательно, можно ввести функцию
состояния, зависящую от координат –
потенциальную энергию.
Работа консервативных сил равна убыли
потенциальной энергии
A12 W1 W2.
Расчет работы сил электростатического поля,
выполненный ранее, привел к результату:
qq '
qq '
A12
.
40r1 40r2
Потенциальная энергия точечного
заряда
Из сопоставления формул для потенциальной
энергии заряда q
в поле, созданном точечным
зарядом q , получаем
1 qq '
W
const.
40 r
Потенциал численно равен потенциальной энергии,
которой обладает в данной точке поля единичный
W
положительный заряд
Следовательно
равен
q'
.
потенциал поля точечного заряда
1 q
const.
40 r
Потенциал поля точечного заряда
Если принять потенциал поля на бесконечном
удалении от заряда равным нулю, то можно дать
другое определение потенциала: потенциал
численно равен работе, которую совершают
силы поля над единичным положительным
зарядом при удалении его из данной точки в
бесконечность
A
q
Потенциал поля системы зарядов
Потенциал поля, создаваемый системой зарядов,
в соответствии с принципом суперпозиции, равен
алгебраической сумме потенциалов, создаваемых
каждым из зарядов в отдельности.
qk
1
40 k rk
Для непрерывного распределения зарядов
1
dV
1
dS
1
;
;
40 r
40
r
4
V
S
dl
0L r
Связь между напряженностью и
потенциалом
Работу, совершенную силами электростатического
поля на бесконечно малом отрезке d l можно найти
так:
A Fdl Fdl cos Fl dl qEl dl,
Эта работа равна убыли
потенциальной энергии
A qd;
El qdl qd
Связь между напряженностью и
потенциалом
Приравнивая два выражения для работы,
получаем:
d
El
dl
l
Поступим по другому. Вспомним связь силы с
потенциальной энергией:
F gradW
qE grad q
Окончательно:
E grad
Связь между напряженностью и
потенциалом
В развернутом виде:
E i j k,
x y z
следовательно
Ex ;
x
Ey ;
y
Ez .
z
Теорема о циркуляции в
дифференциальной форме
E
Из условия
следует одно важное
соотношение, а именно,
величина, векторного
произведения [, E] для стационарных
электрических полей всегда равна нулю.
Действительно, по определению, имеем
[, E]
i
j
x
x
y
y
k
i
z
x
z
x
j
y
y
k
0,
z
z
поскольку определитель содержит две одинаковые
строки.
Теорема о циркуляции в
дифференциальной форме
Величина
(вихрем).
[, E]
называется ротором
rotE 0
Получили важнейшее уравнение
электростатики: ротор вектора напряженности
электростатического поля равен нулю
(электростатическое поле безвихревое).
Теорема о циркуляции в
дифференциальной форме
Теорему о циркуляции вектора
напряженности электростатического поля
можно получить также используя теорему
Стокса:
(E, d l ) rotEdS.
L
S
Эта теорема связывает контурный и
поверхностный интегралы.
n
Контур L ограничивает поверхность S, ориентация которой определяется
направлением вектора положительной нормали
: dS ndS.
Теорема о циркуляции в
дифференциальной форме
Так как электростатическое поле
потенциально, что было доказано ранее, то
(E, d l ) rotEdS 0.
L
S
Данное равенство справедливо для любого
контура и натянутой на него поверхности,
что возможно, если
rotE 0
Силовые линии и эквипотенциальные
поверхности
Связь напряженности поля с потенциалом позволяет
доказать, что силовые линии всегда
перпендикулярны к эквипотенциальным
поверхностям и направлены в сторону убывания
потенциала.
Эквипотенциальная поверхность – это
воображаемая поверхность, все точки которой имеют
одинаковый потенциал. Уравнение этой поверхности
( x, y, z ) const.
Силовые линии и
эквипотенциальные поверхности
На рисунках изображены силовые линии и
эквипотенциальные поверхности различных полей.
Силовые линии и
эквипотенциальные поверхности
Воспользуемся соотношением:
El .
l
Возьмем перемещение l
вдоль
эквипотенциальной поверхности. Так как в каждой
точке такой поверхности const , то 0.
Следовательно El 0 , что возможно только если
E l .
Силовые линии перпендикулярны к
эквипотенциальным поверхностям.
Силовые линии и
эквипотенциальные поверхности
Возьмем перемещение l вдоль нормали к
эквипотенциальной поверхности в сторону
уменьшения потенциала, тогда 0.
Согласно соотношению E
E 0.
,
l
l
l
Т.е. вектор
E направлен в сторону уменьшения
потенциала.
Эквипотенциальные поверхности проводят так, чтобы
разность потенциалов для двух соседних
поверхностей была бы одинаковой.
Силовые линии и
эквипотенциальные поверхности
По густоте эквипотенциальных
поверхностей можно наглядно судить о
значении напряженности поля в различных
точках. Чем гуще расположены
поверхности, тем напряженность поля
больше.
Формула E grad выражает связь
потенциала с напряженностью и позволяет по
известным значениям φ найти напряженность поля в
каждой точке.
Можно решить
и обратную задачу, т.е. по известным
значениям E
в каждой точке поля найти разность
потенциалов между двумя произвольными точками
поля.
2
1 2 (E,dl).
1