Transcript 2.3连续非周期信号的频谱     从傅立叶级数到傅立叶变换 频谱函数与频谱密度函数的区别 傅里叶反变换 非周期距形脉冲信号的频谱分析 1．从傅立叶级数到傅立叶变换 讨论周期T增加对离散谱的影响： 周期为T宽度为t的周期矩形脉冲的Fourier系数为 n0 X n  Sa ( ) T A Xn lim  lim TX n  X ( j ) T  f T  TT X n   xT.

2.3连续非周期信号的频谱




从傅立叶级数到傅立叶变换
频谱函数与频谱密度函数的区别
傅里叶反变换
非周期距形脉冲信号的频谱分析
1．从傅立叶级数到傅立叶变换
讨论周期T增加对离散谱的影响：
周期为T宽度为t的周期矩形脉冲的Fourier系数为
n0
X n  Sa (
)
T
2
A
Xn
lim
 lim TX n  X ( j )
T  f
T 
0
T
2
T

2
1
X n   xT (t )e  jn 0 t dt
T
T
2
T

2
1
1 
 jn 0 t
lim X n  lim  xT (t )e
dt  lim  x(t )e j t dt
T 
T  T
T  T 

X ( j )  lim TX n   x(t )e j  t dt
T 

物理意义: X(jw)是单位频率所具有的信号频谱，
称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。
2. 频谱函数与频谱密度函数的区别
（1）周期信号的频谱为离散频谱，
非周期信号的频谱为连续频谱。
（2）周期信号的频谱为Xn的分布，
表示每个谐波分量的复振幅；
非周期信号的频谱为T Xn的分布，表示每单位带宽内
所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。
两者关系：
X ( j )  lim TX n
T 
X ( j )
Xn 
T
  n 0
3.
傅里叶反变换
x(t )  lim xT (t )  lim
T 
 lim
T 
T 


n=—

X
n=—
n
e
jn 0 t
X ( j )0 jn 0 t
e
2
T , 记n0=, 0=2/T=d,
1
x(t ) 
2



X ( j )e j t d
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为，
复振幅为[F()/2π]d 的复指数信号ejw t的线性组合。
傅立叶正变换：

X ( j )   x(t )e  j t dt

1
傅立叶反变换： x(t ) 
2
符号表示：



X ( j )e j t d
X ( j )  F[ x(t )]
x(t )  F 1[ X ( j )]
或
F
x(t )  X ( j )
F
1
[例题] 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数
[解] 非周期矩形脉冲信号x(t)的时域表示式为
 A，
x(t )  
 0，
| t |  / 2
| t |  / 2
由傅立叶正变换定义式，可得

X ( j )   x(t )e
 j t


dt    A  e
2

 j t
 A  Sa (
dt
2
F ( )
A
f (t )

2
)
A



2
2
t

2
2



分析：
1.
非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状
与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。
2.
周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的
连续频谱等间隔取样求得
3.
信号在时域有限，则在频域将无限延续。
4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零
点之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。
5.
脉冲宽度越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。
即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用
的频带越宽。
常见连续时间信号的频谱
 常见非周期信号的频谱(频谱密度)






单边指数信号
双边指数信号e-|t|
单位冲激信号δ(t)
直流信号
符号函数信号
单位阶跃信号u(t)
 常见周期信号的频谱密度



虚指数信号
正弦型信号
单位冲激序列
1.
常见非周期信号的频谱
 (1) 单边指数信号
x(t )  et，  0，



0
X ( j )   x(t )e  jt dt  
幅度频谱为
相位频谱为
 (  j ) t

e
1
t  jt

e e dt 
 (a  j ) 0 a  j
X ( j ) 
A
a2   2

 ( )  arctg ( )
a
f (t )
1
F ( )
t
0
 ( )
 /2
1/ 
0
0

 / 2
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱

(2) 单位冲激信号δ(t)
a. 函数的定义：
在很短时间间隔ε内激发一个矩形冲激函数δε(t)
其面积为1，当ε趋于0时， δε(t) 的极限称为单位冲
激函数，记作δ(t) 。
b.δ函数的筛选性质
如果δ(t)与某连续信号f(t)相乘，在t非0处的乘积均为零
同理：
(2) 单位冲激信号δ(t)

F[ (t )]   x(t )e
 jt


dt    (t )e jt dt  1

 (t )
F ( )
1
(1)
0
t
0
单位冲激信号及其频谱

(3) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限
的方法求出其傅里叶变换。
F [1]  lim F [1 e
 0
 | t|
2
]  2 ( )
]  lim[ 2
2
 0   
0
A  2
X [ A]  lim[ 2
]
2
 0   




0
0
A  2
 
d  2arctg( )
 2
2
2
 
 
f (t )
F ( )
1
0
(2 )
t
0

直流信号及其频谱
对照冲激、直流时频曲线可看出:
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
非周期信号频域分析小结
 重要概念:非周期信号的频谱

1)非周期信号的频谱与周期信号的频
谱的区别

2)非周期信号频谱的物理意义

3)非周期信号频谱的分析方法:应用常
用基本信号的频谱与傅里叶变换的性质
 分析问题使用的数学工具:傅里叶变换
 工程应用:调制、解调，频分复用