Transcript Vortrag Gerhard Fobe - Index Zahlensysteme: • • • • Dualsystem (Binärsystem) Oktalsystem Dezimalsystem Hexadezimalsystem (Sedezimalsystem) Dualarithmetik: • • • • Addition Subtraktion Multiplikation Division Ende Dualsystem (Binärsystem) • Basis: 2 • Zeichenvorrat: {0;1} • Umwandlung von Dezimalsystem in das Dualsystem mit Restdivision (Modulo-Operation) – beliebige Zahl dividiert.

Vortrag Gerhard Fobe - Index
Zahlensysteme:
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•
•
Dualsystem
(Binärsystem)
Oktalsystem
Dezimalsystem
Hexadezimalsystem
(Sedezimalsystem)
Dualarithmetik:
•
•
•
•
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Ende
Dualsystem (Binärsystem)
• Basis: 2
• Zeichenvorrat: {0;1}
• Umwandlung von Dezimalsystem in das
Dualsystem mit Restdivision
(Modulo-Operation)
– beliebige Zahl dividiert durch 2 ergibt als Rest
entweder 0 oder 1
• Notwendig für Dualarithmetik
Umwandlung Dezimal- in Dualsystem
168 : 2 = 84
84 : 2 = 42
42 : 2 = 21
21 : 2 = 10
10 : 2 = 5
5:2= 2
2:2= 1
1:2= 0
Rest 0
Rest 0
Rest 0
Rest 1
Rest 0
Rest 1
Rest 0
Rest 1
Schreibweise der Ergebnisse
in umgekehrter Reihenfolge:
16810 = 101010002
Schnelle Umrechnungen mit
dem Windowstaschenrechner
in wissenschaftlicher Ansicht:
Mehrere Wege zur Berechnung möglich
Umwandlung Dual- in Dezimalsystem
101010002 = 1*27+0*26+1*25+0*24+1*23+0*22+0*21+0*20
= 128+0+32+0+8+0+0+0
= 16810
Oktalsystem
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•
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•
Basis 8
Zeichenvorrat {0;1;2;3;4;5;6;7}
Erleichtert den Umgang mit Dualzahlen
Aus 3-Bit-Worten können acht
verschiedene Kombinationen dargestellt
werden
Umwandlung Dual- in Oktalsystem
binär
oktal
dezi.
000 001 010 011 100 101 110 111
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
1. Zerteilen der Dualzeichenfolge in 3er-Gruppen von
rechts beginnend
2. Umschreiben der Dualzahl in eine Oktalzahl
300910 = 1011110000012 = 57018
binär
101
111
000
001
oktal
5
7
0
1
Umwandlung Oktal- in Dezimalsystem
• Zur Umwandlung von Oktal- in Dezimalzahlen
einfach die Oktalzahl mit ihrem Stellenwert
potenzieren und die Ergebnisse addieren:
5
7
0
1
(8)
1
0
7
5
*
*
*
*
80
81
82
83
=
1
=
0
= 448
= 2560
3009 (10)
Umwandlung Dezimal- in Oktalsystem
• Zur Umwandlung von Dezimal- in Oktalzahlen
muss die Dezimalzahl mit Hilfe der ModuloOperation umgewandelt werden und von der
höchsten oktalen Stelle aus gelesen werden:
3009 : 8 = 376
Rest 1
376 : 8 =
47
Rest 0
47 : 8 =
5
Rest 7
5 : 8 =
0
Rest 5
5 7 0 1
(8)
Dezimalsystem
• Basis: 10
• Zeichenvorrat: {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}
• Ziffern besitzen Nenn- und Stellenwert
– Nennwert: wirklicher Wert der Ziffer
– Stellenwert: Wert der Ziffer innerhalb der
dargestellten Zahl
• Beispiel: 4186 = 4*1000+1*100+8*10+6*1
= 4*103 +1*102+8*101+6*100
Hexadezimalsystem (Sedezimalsystem)
• Basis: 16
• Zeichenvorrat:
{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;A;B;C;D;E;F}
• In der Praxis können mit wenig Zeichen große
Zahlen dargestellt werden
• Anwendung bei Programmiersprachen,
Farbangaben bei Grafikprogrammen
• zweithäufigst genutztes Zahlensystem (n. DEZ)
• Verminderte Fehleranfälligkeit
• Wird auf maschinennaher Umgebung häufig in
Assemblersprachen genutzt
Hexadezimalsystem - Zeichenvorrat
DEZ
0
1
2
3
4
5
6
7
BIN 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
HEX
0
1
2
3
4
5
6
7
DEZ
8
9
10
11
12
13
14
15
BIN 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
HEX
8
9
A
B
C
D
E
F
Umwandlung Hexadezimal- in Dezimalsystem
Die Stellenwerte des Hexadezimalsystems sind
Potenzen zur Basis 16.
B
C
1
(16)
1 * 160 =
1
12 * 161 = 192
11 * 162 = 2816
3009 (10)
Umwandlung Dezimal- in Hexadezimalsystem
• Zur Umwandlung von Dezimal- in
Hexadezimalzahlen muss die Reste von unten
nach oben angeschrieben werden
3009 : 16 = 188
Rest 1
188 : 16 =
11
Rest 12
11 : 16 =
0
Rest 11
B C 1
(16)
Dualarithmetik - Addition
• stellenweises Rechnen von geringstwertigen zur höchstwertigsten Stelle, also
von rechts nach links
• Stellenübertrag analog zum Rechnen im
Dezimalsystem
• Zusätzliche Regeln unbedingt beachten:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 0 Übertrag 1
Addition - Rechnung
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 0 Übertrag 1
Beispiel:
Addition dezimal
168
+ 37
205
Addition dual
10101000
+ 00100101
1 1 10 0 1 1 0 1
Dualarithmetik - Subtraktion
• stellenweises Rechnen von geringstwertigen zur höchstwertigsten Stelle, also
von rechts nach links
• Stellenübertrag analog zum Rechnen im
Dezimalsystem
• Zusätzliche Regeln unbedingt beachten:
0-0=0
0 - 1 = 1 Übertrag 1
1-0=1
1-1=0
Subtraktion - Rechnung
0-0=0
0 - 1 = 1 Übertrag 1
1-0=1
1-1=0
Beispiel:
Subtraktion dezimal
168
- 37
131
Subtraktion dual
10101000
- 00100101
1
1 0 0 0 0 10 1
1 1
Berechnung auch über Komplementbildung möglich
Dualarithmetik - Multiplikation
• Vorgehensweise simultan zur schriftlichen
Multiplikation im Dezimalsystem
• Kein Stellenübertrag
• Ergebnisse aus Teilmultiplikationen werden
zu Summe addiert (Dualaddition)
• Zusätzliche Regeln unbedingt beachten:
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
Multiplikation - Rechnung
1*0=0 0*0=0
0*1=0 1*1=1
Beispiel:
Multiplikation dezimal
1 2
* 1 4
1 2
4 8
1 6 8
Multiplikation dual
1100*1110
1100
1100
1100
0000
1 10 11 10 1 0 0 0
Dualarithmetik - Division
•
•
Komplexeste Arithmetik
Rechnung wird an höchster Stelle des
Dividenden begonnen
1. Prüfen ob Divisor vollständig abgezogen
werden kann (mittels Dualsubtraktion)
2.
Ja: Notierung einer 1 im Ergebnis und
mit Rest weiterrechnen.
Nein: Notierung einer 0 im Ergebnis,
eine Stelle nach rechts rücken und
nochmals prüfen
Division - Rechnung
Beispiel:
Division dezimal
1 6 8 / 6 = 2 8
1 2
4 8
4 8
0
Division dual
10101000 / 110 = 000 111 00
1 - 110 geht nicht
10 - 110 geht nicht
101 - 110 geht nicht
1010 - 110 geht (Rest 100)
1001 - 110 geht (Rest 11)
110 - 110 geht (Rest 0)
0 - 110 geht nicht
0 - 110 geht nicht
Division - Rechnung
Beispiel übersichtlicher:
1 0 1 0 1 0 0 0 / 1 1 0 = 0 0 0 1 1 1 0 0
1 1 0
1 0 0 1
1 1 0
1 1 0
1 1 0
0
Diese Präsentation sowie weitere Informationen
sind zu finden im Downloadbereich unter
Verwendete Quellen:
• http://www.isis.de/members/~tweber/rs_semi/1/rs_1.htm
• Buch Informatik Auflage 1991 (Compact Verlag München)
• Tafelwerk Auflage 10 (Paetec)