Transcript Die Ebenengleichungen in der Vektorrechnung
Thema
von: Sarah Otto
Überblick
1. Parameterformen
1.1 Punkt - Richtungsform 1.2 Drei - Punkte – Form
2. Die Koordinatenformen
2.1 Achsenabschnittsform 2.2 Normalenform 2.3 Hessesche Normalform
3. Umwandlung 4. Lagebeziehungen / Schnitte 5. Schnittwinkel 1/22
1. Parameterformen
Die beiden Parameterformen:
1.1 Punkt-Richtungs-Form 1.2 Drei-Punkte-Form
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1.1 Punkt-Richtungs-Form
x = a +
*u +
*v
x y z = a 1 a 2 a 3 + * u 1 u 2 u 3 + *
Gegeben:
- Der Punkt A mit dem Ortsvektor a Zwei linear unabhängige Richtungsformen u und v - X sei ein beliebiger Punkt der Ebene v 1 v 2 v 3 A (5/0/1) 2 u = 1 3 v = 1 1 4
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1.2. Drei-Punkte-Form
Gegeben:
- drei Punkte A,B,C auf der Ebene x y z =
x = a +
*(b-a) +
*(c-a)
a 1 a 2 a 3 + * b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 + * c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 A (1/3/2) B (-2/2/-1) C (3/1/5) - Richtungsvektoren sind jetzt z.B. b-a und c-a - X sei ein beliebiger Punkt der Ebene
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2. Koordinatenformen
Die Koordinatenformen
2.1 Achsenabschnittsform 2.2 Normalenform 2.3 Hessesche Normalenform
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2.1 Achsenabschnittsform
x y 1 = + + s t z u
Schneidet die Ebene E die x-Achse im Punkt S (s/0/0), die y-Achse im Punkt T (0/t/0) und die z Achse im Punkt U (0/0/u), so gilt für einen beliebigen Punkt X (x/y/z) auf der Ebene E: die Achsenabschnittsform Die Ebene E ist durch die Achsenschnittpunkte S (4/0/0) T (0/-2/0) U (0/0/3) ...gegeben
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2.2 Normalenform
Gegeben:
- ein Punkt A der Ebene
° – a)
0 = n 1 n 2 ° n 3 - ein Normalenvektor n der Ebene - X sei ein beliebiger Punkt der Ebene E
° °
x a 1 y a 2 z a 3 1 n = 2 3 A (-4/5/3)
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2.3 Hessesche Normalenform
0 = n o ° (x – a)
0 = n o 1 n o 2 n o 3 ° x a 1 y a 2 z a 3 1x + 2y + 2z - 12 = 0 n = 1 2 2 1 n o = n o = 1² + 2² + 2² 1 1 * 2 3 2 a * b c
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3. Umwandlung
Umwandeln in andere Darstellungsformen:
3.1 Umwandlung von der Parameterform in Koordinatenform und – Normalenform 3.2 Umwandlung von der Koordinatenform in die - Normalenform - Hessesche Normalenform und - Parameterform
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3.1 Umwandlung
Umwandlung von der Parameterform in Koordinatenform und - Normalenform
x -1 8 y = 2 + * -3 z 3 -1
Ermittlung der Normalenform:
u = v = 8 -3 -1 4 -1 1 + * 4 -1 1 0 = n ° (x – a) = n ° x n ° a Berechnung des Normalenvektors mit dem Kreuzprodukt ((-3) * 1) – ((-1) * (-1)) n = ((-1) * 4) – (8 * 1) (8 * (-1)) – ((-3) * 4) n ° a = - 2 1 3 a = x + 3y - z - 2 = 0 ° x - 2 = 0 n = u y * v z – u z * v y u z * v z – u x * v z u x * v y – u y * v x n = -4 -12 4 *(-1/4) 1 3 -1 -1 -1 2 3
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3.1 Umwandlung
x -1 8 y = 2 +
*
z 3
Ermittlung durch Gauß:
-3 -1 -8x - 24y + 8z + 16 = 0 x + 3y - z - 2 = 0 :(-8) 8 -3 -1 -1 1 4 +
*
-1 1 4 x - (-1) y - 2 z - 3 1 3 -1 ° x - 2 = 0 8 0 0 4 4 0 x +1 3x+3+8y-16
-9x –9 -24y+48+1x+1+8z-24
-8x - 24y + 8z + 16 = 0
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3.2 Umwandlung
Umwandlung Koordinatenform in die Normalenform Hessesche Normalen- und Parameterform
6x – 4y + 2z – 12 = 0 n = 6 -4 2
Normalenform: Hessesche Normalenform:
6 n o = 1 6² + (-4)² + 2² 6 * -4 -4 ° x - 12 = 0 2 2 6 1 0 = 56 * -4 2 ° x - 12 = 0
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3.2 Umwandlung
Parameterform:
I. Wähle drei Punkte die in der Ebene 6x – 4y + 2z – 12 = 0 liegen, z.B.
A (2/0/0) B (0/-3/0) C (0/-2/2) x 2 -2 y = 0 + * -3 z 0 0 + * -2 -2 2 II. Setze x = und y = und setze in die (nach z umgeformte) Gleichung
z = 6 -3
+ 2
x = 0 0 y = 0 0 x 0 1 0 z = 6 - 3 + 2 y = 0 + * 0 + * 1 z 6 -3 2
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4. Lagebeziehungen
Lagebeziehungen:
4.1 Lage von Punkt und Ebene zueinander 4.2 Lage von Gerade und Ebene zueinander
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4.1 Punkt - Ebene
x y z = P (5/-3/3) 3 1,5 + * 0 -1 -1,5 + * 2 5 -3 = 3 3 1,5 + * 0 -1 -1,5 + * 2 -3 3 1 -3 3 1
II. Ermitteln der Parameter
durch Gauß: und
-1 -1,5 2 -3 3 1 2 -4,5 3 -1 0 0 -3 7,5
-5
2 -7,5
7
5 = 3 - 3 -3 = 1,5 – 1,5 + 3 3 = 0 + 2 + = -3 - 2 -5 = 7 = - 1,4 7,5 = -7,5 = -1 Daraus folgt: P E
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4.2 Gerade - Ebene
Eine Gerade kann:
- zu einer Ebene echt parallel sein
E:
x y z = 2 -1 + * 0 - in der Ebene liegen oder genau einen Schnittpunkt haben
G:
x y z = 1 2 3 + * -1 2 4 -3 1 4 + * 1 2 4 -1 3 3 = * -3 1 4 + * 1 2 4 + * 1 -2 -4
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4.2 Gerade - Ebene
Ebene parallel zu Geraden
-3 1 4 0 1 2 4 0 1 -2 -4 0 -1 3 3 4 0 4 g || E es gibt keinen Schnittpunkt
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4.2 Gerade - Ebene
-3 1 4 0
Gerade liegt in / auf Ebene
1 2 4 0 1 -2 -4 0 -1 3 3 0 0 = 0 g E es gibt unendlich viele Schnittpunkte
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4.2 Gerade - Ebene
Gerade schneidet Ebene
-3 1 4 0 1 2 4 0 1 -2 -4 3 -1 3 3 6 3 = 6 = 2 es gibt einen Schnittpunkt
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5. Schnittwinkel
Schnittwinkel bei Ebenen:
5.1 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene 5.2 Schnittwinkel zwischen Ebene und Ebene
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5.1 Schnittwinkel
2 u = 1 -2 n = 3 1 2
Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene E:
3 1 2 ° x 2 1 3 = 0
G:
x y z = 2 1 3 + * 2 1 -2
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5.2 Schnittwinkel
0 n 1 = 3 2 n 2 = 4 3 2
Schnittwinkel zwischen Ebene und Ebene E:
0 3 2 ° x 0 0 6 = 0
E:
4x + 3y + 2z - 12 = 0
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Ende
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit =)