Thema

von: Sarah Otto

Überblick

1. Parameterformen

1.1 Punkt - Richtungsform 1.2 Drei - Punkte – Form

2. Die Koordinatenformen

2.1 Achsenabschnittsform 2.2 Normalenform 2.3 Hessesche Normalform

3. Umwandlung 4. Lagebeziehungen / Schnitte 5. Schnittwinkel 1/22

1. Parameterformen

Die beiden Parameterformen:

1.1 Punkt-Richtungs-Form 1.2 Drei-Punkte-Form

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1.1 Punkt-Richtungs-Form

x = a +



*u +



*v

x y z = a 1 a 2 a 3 +  * u 1 u 2 u 3 +  *

Gegeben:

- Der Punkt A mit dem Ortsvektor a Zwei linear unabhängige Richtungsformen u und v - X sei ein beliebiger Punkt der Ebene v 1 v 2 v 3 A (5/0/1) 2 u = 1 3 v = 1 1 4

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1.2. Drei-Punkte-Form

Gegeben:

- drei Punkte A,B,C auf der Ebene x y z =

x = a +



*(b-a) +



*(c-a)

a 1 a 2 a 3 +  * b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 +  * c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 A (1/3/2) B (-2/2/-1) C (3/1/5) - Richtungsvektoren sind jetzt z.B. b-a und c-a - X sei ein beliebiger Punkt der Ebene

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2. Koordinatenformen

Die Koordinatenformen

2.1 Achsenabschnittsform 2.2 Normalenform 2.3 Hessesche Normalenform

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2.1 Achsenabschnittsform

x y 1 = + + s t z u

Schneidet die Ebene E die x-Achse im Punkt S (s/0/0), die y-Achse im Punkt T (0/t/0) und die z Achse im Punkt U (0/0/u), so gilt für einen beliebigen Punkt X (x/y/z) auf der Ebene E: die Achsenabschnittsform Die Ebene E ist durch die Achsenschnittpunkte S (4/0/0) T (0/-2/0) U (0/0/3) ...gegeben

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2.2 Normalenform

Gegeben:

- ein Punkt A der Ebene

° – a)

 0 = n 1 n 2 ° n 3 - ein Normalenvektor n der Ebene - X sei ein beliebiger Punkt der Ebene E

° °

x a 1 y a 2 z a 3 1 n = 2 3 A (-4/5/3)

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2.3 Hessesche Normalenform

0 = n o ° (x – a)

0 = n o 1 n o 2 n o 3 ° x a 1 y a 2 z a 3 1x + 2y + 2z - 12 = 0 n = 1 2 2 1 n o = n o =  1² + 2² + 2² 1 1 * 2 3 2 a * b c

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3. Umwandlung

Umwandeln in andere Darstellungsformen:

3.1 Umwandlung von der Parameterform in Koordinatenform und – Normalenform 3.2 Umwandlung von der Koordinatenform in die - Normalenform - Hessesche Normalenform und - Parameterform

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3.1 Umwandlung

Umwandlung von der Parameterform in Koordinatenform und - Normalenform

x -1 8 y = 2 +  * -3 z 3 -1

Ermittlung der Normalenform:

u = v = 8 -3 -1 4 -1 1 +  * 4 -1 1 0 = n ° (x – a) = n ° x n ° a Berechnung des Normalenvektors mit dem Kreuzprodukt ((-3) * 1) – ((-1) * (-1)) n = ((-1) * 4) – (8 * 1) (8 * (-1)) – ((-3) * 4) n ° a = - 2 1 3 a = x + 3y - z - 2 = 0 ° x - 2 = 0 n = u y * v z – u z * v y u z * v z – u x * v z u x * v y – u y * v x n = -4 -12 4 *(-1/4) 1 3 -1 -1 -1 2 3

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3.1 Umwandlung

x -1 8 y = 2 + 

*

z 3

Ermittlung durch Gauß:

 -3 -1 -8x - 24y + 8z + 16 = 0 x + 3y - z - 2 = 0 :(-8) 8 -3 -1 -1 1 4 + 

*

-1 1 4  x - (-1) y - 2 z - 3 1 3 -1 ° x - 2 = 0 8 0 0 4 4 0 x +1 3x+3+8y-16

-9x –9 -24y+48+1x+1+8z-24

-8x - 24y + 8z + 16 = 0

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3.2 Umwandlung

Umwandlung Koordinatenform in die Normalenform Hessesche Normalen- und Parameterform

6x – 4y + 2z – 12 = 0 n = 6 -4 2

Normalenform: Hessesche Normalenform:

6 n o =  1 6² + (-4)² + 2² 6 * -4 -4 ° x - 12 = 0 2 2 6 1 0 =  56 * -4 2 ° x - 12 = 0

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3.2 Umwandlung

Parameterform:

I. Wähle drei Punkte die in der Ebene 6x – 4y + 2z – 12 = 0 liegen, z.B.

A (2/0/0) B (0/-3/0) C (0/-2/2) x 2 -2 y = 0 +  * -3 z 0 0 +  * -2 -2 2 II. Setze x =  und y =  und setze in die (nach z umgeformte) Gleichung

z = 6 -3



+ 2

 x = 0  0 y = 0 0  x 0 1 0 z = 6 - 3  + 2  y = 0 +  * 0 +  * 1 z 6 -3 2

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4. Lagebeziehungen

Lagebeziehungen:

4.1 Lage von Punkt und Ebene zueinander 4.2 Lage von Gerade und Ebene zueinander

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4.1 Punkt - Ebene

x y z = P (5/-3/3) 3 1,5 +  * 0 -1 -1,5 +  * 2 5 -3 = 3 3 1,5 +  * 0 -1 -1,5 +  * 2 -3 3 1 -3 3 1

II. Ermitteln der Parameter

 

durch Gauß: und

 -1 -1,5 2 -3 3 1  2 -4,5 3 -1 0 0 -3 7,5

-5

2 -7,5

7

5 = 3  - 3  -3 = 1,5 – 1,5  + 3  3 = 0 + 2  +    = -3  - 2 -5  = 7   = - 1,4 7,5  = -7,5   = -1 Daraus folgt: P  E

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4.2 Gerade - Ebene

Eine Gerade kann:

- zu einer Ebene echt parallel sein

E:

x y z = 2 -1 +  * 0 - in der Ebene liegen oder genau einen Schnittpunkt haben

G:

x y z = 1 2 3 +  * -1 2 4 -3 1 4 +  * 1 2 4 -1 3 3 =  * -3 1 4 +  * 1 2 4 +  * 1 -2 -4

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4.2 Gerade - Ebene

Ebene parallel zu Geraden

 -3 1 4 0  1 2 4 0  1 -2 -4 0 -1 3 3 4 0   4 g || E  es gibt keinen Schnittpunkt

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4.2 Gerade - Ebene

 -3 1 4 0

Gerade liegt in / auf Ebene

 1 2 4 0  1 -2 -4 0 -1 3 3 0 0  = 0 g  E  es gibt unendlich viele Schnittpunkte

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4.2 Gerade - Ebene

Gerade schneidet Ebene

 -3 1 4 0  1 2 4 0 1 -2 -4 3  -1 3 3 6 3  = 6   = 2  es gibt einen Schnittpunkt

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5. Schnittwinkel

Schnittwinkel bei Ebenen:

5.1 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene 5.2 Schnittwinkel zwischen Ebene und Ebene

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5.1 Schnittwinkel

2 u = 1 -2 n = 3 1 2

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene E:

3 1 2 ° x 2 1 3 = 0

G:

x y z = 2 1 3 +  * 2 1 -2

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5.2 Schnittwinkel

0 n 1 = 3 2 n 2 = 4 3 2

Schnittwinkel zwischen Ebene und Ebene E:

0 3 2 ° x 0 0 6 = 0

E:

4x + 3y + 2z - 12 = 0

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Ende

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit =)