Transcript Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario Inhaltsübersicht: • Einleitung • Was hat eine Kaninchenpopulation mit einer quadratischen Abbildung zu tun? • Das Feigenbaum-Diagramm: Was für Strukturen sind sichtbar und wie.

Reelle quadratische Abbildungen:
das Feigenbaum-Szenario
Inhaltsübersicht:
•
Einleitung
•
Was hat eine Kaninchenpopulation mit einer quadratischen Abbildung zu tun?
•
Das Feigenbaum-Diagramm:
Was für Strukturen sind sichtbar und wie lassen sie sich erklären?
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Einleitung
•
Chaostheorie Ende des 19. Jahrhunderts durch den
franz. Mathematiker Henri Poincaré ins Leben gerufen
•
Früher: Chaos und Ordnung galten als Gegensatzpaare
•
Aber: Viele natürliche Systeme gehen den Weg von
der Ordnung ins Chaos
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Kaninchenpopulation
Szenario 1: Beliebige Menge von Kaninchen wird ausgesetzt. Die Population
pendelt sich nach einigen Generationen auf einem stabilen Wert ein.
Szenario 2: Die Population oszilliert über mehrere Generationen (Jahre) zw.
Maximal- und Minimalwert.
Szenario 3: Die Population schwankt von Generation zu Generation sehr stark und
zeigt chaotisches Verhalten.
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Wie kann man die Generationsstärke x einer
Population darstellen?
• xn+1 = a·xn
mit a: Reproduktionsrate und
xn: Generationsstärke im n-ten Jahr
xn = an·x0
• Besser: Reproduktionsrate a durch a(1-xn) ersetzen
(Element negativer Rückkopplung)
logistisch bzw. quadratische Abbildung:
xn+1 = a·xn (1-xn)
fa(x) = a·x (1-x)
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Graphische Iteration
für fa(x) = a·x
für fa(x) = a·x (1-x)
mit a = 2
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Darstellung des Langzeitverhaltens des quadrat. Iterators für
a=2
Zeitreihe und Endzustand
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Darstellung des Langzeitverhaltens des quadrat. Iterators für
a = 1,75 und a = 2,75
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Feigenbaum-Diagramm
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Feigenbaum-Punkt soo=3,5699456... trennt den Periodenverdopplungsbaum vom
chaotischen Bereich.
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•Mitchell Jay Feigenbaum
•geboren am 19.12.1944 in
Philadelphia, USA
graphische Iteration für a = 1,75 und a = 2,75
Winkelhalbierende schneidet die Parabel an den Fixpunkten
p0= 0 stößt die Iteration ab und heißt deshalb abstoßender oder instabiler Fixpunkt
pa heißt attraktiver oder stabiler Fixpunkt
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Der Fixpunkt pa ist superattraktiv für a=2
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Was passiert nun für a > 3 ?
a= 3,1 und x0 = 0,075 bzw. 0,65
pa verliert für Parameter a > b1 = 3 (Verzweigungspunkt) seine Stabilität.
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Was bedeutet dies für das Endzustands-Diagramm ?
Zeitreihe mit Anfangswert x0 = 0,1
Es kommt zur Oszillation zwischen dem tieferen Wert xl(a) und dem höheren
Wert xh(a).
Der 2er-Zyklus {xl(a), xh(a)} ist stabil.
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Genaue Berechnung der Fixpunkte
Da es zu einer Oszillation zwischen zwei Fixpunkten kommt, muss die zweite
Iteration fa(fa(x)) = f ²a(x) betrachtet werden.
Die Fixpunktgleichung ist dann:
fa(fa(x)) = x
-a³x4 + 2a³x³ - (a²+a³)·x² + (a²-1)·x = 0
Lösungen:
xh a  
xl a  
a  1  a²  2a  3
2a
a  1  a ²  2a  3
2a
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Betrachtung der graphischen Iteration für fa(fa(x))
•
Der Abschnitt im Quadrat sieht aus wie die umgekehrte
Parabel von fa(x)
•
Die Polylinie weist in diesem Abschnitt ähnliches
Verhalten auf, wie bei die Iteration von fa(x)
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Systematischer Vergleich der Graphen von fa(x) und f2a(x)
•
a = 1: Fixpunkt p0 = 0 wird instabil;
für alle a > 1 existiert nun neuer
Fixpunkt pa
•
a = 2: superattraktiver Fall
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Systematischer Vergleich der Graphen von fa(x) und f2a(x)
•
a = b1 = 3: periodenverdoppelnde
Verzweigung; pa verliert seine Stabilität.
Es entstehen 2 zusätzliche Fixpunkte xl(a)
und xh(a)
•
a = s1= 1 5 : superattraktiver Fall für
f2a(x)
•
a= b2  3,4495: xl(a) und xh(a) von f2a(x)
werden instabil.
Für a > b2 werden Fixpunkte von f2a(f2a(x))
entstehen, die sich bei xl(a) und xh(a)
verzweigen
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Systematischer Vergleich der Graphen von f2a(x) und fa(x)
Alle Veränderungen, die für fa(x) mit 1 < a < 3 vorliegen,
können auch für f2a(x) mit 3 < a < b2
 3,4495 beobachtet werden.
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Es gibt 2 Folgen wichtiger Parameter
•
•
s1, s2,....bei denen superattraktive Fälle auftauchen.
Der kritische Punkt xcrit = 0,5 ist dann Fixpunkt von fs1, fs2, fs3,..
b1, b2,...liefern periodenverdoppelnde Verzweigung.
Die beiden Folgen konvergieren gegen einen bestimmten Wert.
Dieser Wert bedeutet das Ende des Bereichs, in dem sich die Perioden
verdoppeln.
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 Feigenbaum-Punkt
a  s  3,5699456....
Vergrößerungsfaktor von einer
Vergrößerung zur
nächsten entlang der horizontalen
Achse:
d = 4,6692...
Vergrößerungsfaktor von einer
Vergrößerung zur
nächsten entlang der vertikalen
Achse ist etwa 2,3
 selbstähnliche Struktur
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Betrachtung des Abstandes dk zweier aufeinander folgender Verzweigungspunkte
dk = bk+1 – bk , k = 1, 2, 3, ..
verkleinert sich rapide
Diese Verkleinerung ist annähernd geometrisch:
dk
 d k  d  4,6692...
d k 1
Für wachsende k gilt:
lim d k  d  4,6692 ....
k 
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Feigenbaum-Konstante d
•
Im Oktober 1975 von Feigenbaum entdeckt
•
Sie ist universell, d.h. sie tritt in vielen anderen Systemen ebenfalls auf/ ist für
eine große Klasse verschiedener Iteratoren gleich.
•
Im Umfeld von Chaos ist sie eine Konstante mit ähnlich großer Bedeutung
wie p in der Geometrie.
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Feigenbaum-Punkt soo: Eintritt ins Chaos
Schematische Darstellung des Periodenverdopplungsbaumes unter
Berücksichtigung der Skalierungsfaktoren 4,6692... und 2,3.
 Blätter des Baumes bilden eine streng selbstähnliche Cantor-Menge
(fraktale Dimension: 0,5376 < D <0,5386)
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Darstellung der Oszillation
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Betrachtung des rechten Teils des Feigenbaum-Diagramms
s00 < a < 4
•
Chaotisches Spiegelbild des Periodenverdopplungs-Baumes
• Chaos von Fenstern der Ordnung unterbrochen
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•
a = 4 : nur ein einziges Band
•
a < 4 : verengt sich das Band
langsam
•
a = m1 : Aufspaltung des Bandes in
2 Teile
•
a = m2 : jedes dieser Bänder spaltet
sich wieder in 2 Teile
•
.....
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•
Es gibt unendliche Folge von Parametern m1, m2, m3, ..
•
Die Folge mk konvergiert gegen den Feigenbaum-Punkt moo = soo
•
Quotient der Abstände der Verschmelzungspunkte (dk = mk+1 – mk):
dk
 d k  d  4,6692...
d k 1
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Genauere Untersuchung für a = 3,67
(etwas unterhalb von m1)
Zeitreihe von fa
Zeitreihe von f²a
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Vergleich von fa und f²a mittels graphischer Iteration
für a = 4 und a = m1 = 3,678...
fa
•
Parabel für a = 4 : logistische Parabel, passt
genau in das Einheitsquadrat.
•
Polynom vierten Grades für a = m1 = 3,678... :
enthält logistische Parabeln.
In diesen Bereichen ist die Iteration gefangen
und chaotisches Verhalten ist zu erwarten.
•
Für a = mk sind ebenfalls logistische Parabeln
zu finden
f²a
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Aber wie erklärt sich das Durchschimmern der Bänder für
a  mk ?
Betrachtung der ersten 4
bzw. 8 Iterierten von
xcrit = 0,5 für soo < a < 4
aber: im EndzustandsDiagramm sind nicht alle
Linien vollständig zu sehen
 Fenster
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Fenster
•
•
Es gibt unendlich viele Fenster, die alle zu stabilen, periodischen Bahnen
gehören.
Größtes Fenster zwischen a = 3,828.. und a = 3,857.. :
Fenster der Periode 3
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Fenster der Periode 3
•
Selbstähnlichkeit
•
Im Fenster der Periode 3 baut alles auf f³a(x) auf.
•
Bei a = 3,8415.. liegt ähnliches Verhalten vor
wie beim Feigenbaum-Punkt soo (Übergang zum
chaotischen Verhalten)
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Fenster der Periode 6
Im gestrichelten Rechteck findet man
alles aus dem gesamten Diagramm
wieder jedoch mit verdoppelter Periode
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Wie kommen diese Fenster zustande?
•
a = w3 = 3,82843... : Anfang des Fensters der Periode 3
•
a > w3 : stabiler Zyklus der Periode 3
•
a < w3 : Chaos
völlig anderer Weg ins Chaos, als über periodenverdoppelnde
Verzweigungen
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Zeitreihe für x0 = 0,5 und a = 3,82812 < w3
•
Das Chaos kommt erst im
Langzeitverhalten zum Vorschein.
 Intermittenz
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Wie kommt Intermittenz zustande?
xn1  axn2 sinxnp 
-Wieso scheint der Verzweigungsbaum bei a = 1,7264... Aus dem
Nichts zu entstehen?
-Was geschieht für a < 1,7264... ?
 graphische Iteration
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•
a = 1,6 und a = 1,7 : Iteration führt zum
attraktiven Fixpunkt 0
•
Graph rückt immer näher an die
Winkelhalbierende.
•
a = 1,7264... : Winkelhalbierende
berührt Graphen tangential bei xs
(Sattelpunkt)
•
a = 1,9 : zwei neue Fixpunkte
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Zurück zum bekannten quadratischen Iterator
Graph von f³a für a = 3,81 und a = w3 = 3,82843....
 Es ist eine Tangentialverzweigung beim Sattelpunkt xs zu erkennen.
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Verhalten des quadrat. Iterators für a < w3
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Abschließend: was geschieht bei a > 4 ?
•
Die Parabel sprengt das Einheitsquadrat.
•
Die Bahnen streben entland der negativen
y-Achse ins Unendliche
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Zeitreihe für a = 4,001
•
•
Bahn beginnt mit chaotischem Bereich, verhält sich aber nur über wenige
Iterationen chaotisch.
Das Langzeitverhalten der Bahn ist vollkommen bestimmt und vorhersagbar.
 Zusammenbruch des Chaos in der Krise
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Literatur:
•
H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe, Chaos- Bausteine der Ordnung,
Springer-Verlag, 1994
•
K. Richter, J.-M. Rost, Komplexe Systeme, Fischer Verlag, 2002
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