Transcript Определители. Свойства определителей. • Определителем (детерминантом) матрицы n-го порядка называется число: a11 a12 ... a1n a 21  n  det A  ... a 22 ... ...

Определители.
Свойства определителей.
• Определителем
(детерминантом)
матрицы n-го порядка называется число:
a11
a12
... a1n
a 21
 n  det A 
...
a 22
...
... a 2 n
... ...
a n1
an2
... a nn
2 
a11
a12
a21 a22

2 

 a11a22  a12 a21







a11
a12
a13
 3  a 21
a31
a 22
a32
a 23  a11 a 22 a33  a 21 a32 a13  a12 a 23 a31 
a33
 a13 a22 a31  a32 a23 a11  a21a12 a33
• Правило Сарруса:



a11
a21
a12
a22
a13
a23
a11
a21
a12
a22
 a11a22 a33  a12 a23 a31  a13 a21a32 
a31

a32

a33

a31
a32
 a13a22 a31  a11a23a32  a12 a21a33
a11
a12
a13
 3  a 21
a31
a 22
a32
a 23  a11 a 22 a33  a 21 a32 a13  a12 a 23 a31 
a33
a13a22 a31  a32 a23a11  a21a12 a33
• Правило треугольника:
  
  
  
  
  
  
«+»
«-»
Примеры:
1)
3 2
 3  5   2  1  15  (2)  17
1 5
2)
cos x sin x
 cos2 x  sin 2 x  cos2 x
sin x cos x
3)
cos x  sin x
2
2
 cos x  sin x  1
sin x cos x
Примеры:
4)
log2 32
log3 27
log4 16 log5 125

5 3
 15  6  9
2 3
Примеры:
2 4 7
3  1 5 3 1 
5 0
7 5 0
4
5)
7
 4  (1)  7  7  5  5  (2)  3  0 
 5  (1)  (2)  0  5  4  7  3  7 
 28  175  0  10  0  147  10
Свойства определителей.
1.Определитель не изменится, если его
T
транспонировать:
det A  det A
3 5
det A 
 12   10  22
2 4
3 2
det A 
 12   10  22
5 4
T
2.При перестановке двух строк или
столбцов определитель изменит свой
знак на противоположный.
3 5
 12   10  22
2 4
2 4
 10  12  22
3 5
3. Общий множитель всех элементов
строки или столбца можно вынести за
знак определителя.
a11
ka12
a 21
ka 22
k
a11
a12
a 21
a22
1
2
2
1
2
2
1
2
1
36 12 24  12  3 1 2  12  2  3 1 1 
1 3 4
1 3 4
1 3 2
 24 2  9  2 1 12  3  24 15  360
4. Определитель с двумя одинаковыми
строками или столбцами равен нулю.
1
1
3
1
1
3
2 1 4
 43 663 4  0
5. Если все элементы двух строк (или
столбцов) определителя пропорциональны,
то определитель равен нулю.
3 7
1
3 7
1
1  2  2 3 1  2  0  0
2 3 1
4 6 2
2 3
6. Если каждый элемент какого-либо ряда
определителя представляет собой сумму
двух слагаемых, то такой определитель
равен сумме двух определителей, в первом
из которых соответствующий ряд состоит из
первых слагаемых, а во втором- из вторых
слагаемых.
a11 ... a1 j  b1 j
... a1n
a21 ... a2 j  b2 j
... a2 n
...
...
...
...
an1 ... anj  bnj

...

... ann
a11 ... a1 j
... a1n
a11 ... b1 j
... a1n
a21 ... a2 j
... a2 n
a21 ... b2 j
... a2 n
...
...
...
...
...
...
an1 ... anj
...
... ann

...
...
an1 ... bnj
...
... ann
2 1 4
2 2 1 4
2 2 4
2 1 4
7 2 3  7 3 1 3  7 3 3  7 1 3
7 5 5
7 23 5
7 2 5
7 3 5

 
60
38
98
7. Если к какой-либо строке (или столбцу)
определителя прибавить соответствующие
элементы другой строки (или столбца) ,
умноженные на одно и то же число, то
определитель не изменится.
a11
a12
a21
a22
к
×

a11
a12
ka11  a21
ka12  a22
5 1
 10  0  10
0 2
5  1 ×2
0
2
5 1
 0   10  10
+ 
10 0
8.
Треугольный
произведению
диагонали.
a11
0
a21
a31
a 22
a32
0
определитель
равен
элементов
главной
a11
a12
a13
0  0
a33
0
a 22
0
a 23  a11  a 22  a33
a33
Привести определитель к треугольному
виду и вычислить его:
2 1 4
1 2 4
×(-2) ×(-5)
7 2 3  2 7 3
7 5 5
5 7 5
1
2
4
  0 3 5
0  3  15
=
1 2
+
 0 3
4
 5  60
0 0  20
Разложение определителя по
элементам строки или столбца.
• Минором Mij элемента aij det D
называется такой новый определитель,
который
получается
из
данного
вычеркиванием i-ой строки и j-го
столбца содержащих данный элемент.
a11
a12
a13
det D  a21
a31
a22
a32
a23
a33
a11
a12
a13
det D  a21
a31
a22
a32
a23
a33
M12
M 23
a 21

a31
a11

a31
a23
a33
a12
a32
Для данного определителя найти
миноры: М22, М31,М43
1 2
3
0 1 5
3 2 1
1 1 3
2
3
4
2
4
2
4
M 31   1 5 2  36
1 3 2
1
3
4
M 22  3  1 4  28
1 3 2
1
2
4
M 43  0  1 2  16
3
2
4
• Алгебраическим
дополнением
Aij
элемента aij det D называется минор Mij
этого элемента, взятый со знаком 1i j
т.е.
Aij   1
i j
 M ij
Aij   1
i j
a11
a12
a13
det D  a21
a31
a22
a32
a23
a33
A12   1
1 2
 M 12  1
A22   1
2 2
 M 22 
 M ij
a21 a23
a31
a33
a11
a13
a31
a33
• Сумма произведений элементов любой
строки (или столбца) определителя на их
алгебраические дополнения равна этому
определителю.
разложение по i-ой строке:
n
det D  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain   aik Aik , i  1,...,n
k 1
разложение по j-му столбцу:
n
det D  a1 j A1 j  a2 j A2 j  ...  anj Anj   akj Akj ,
k 1
j  1,...,n
Разложить
данный
определитель
по
элементам: 1) 3-ей строки; 2) 1-го столбца.
1 2
3
0 1 5
3 2 1
1 1 3
4
2
4
2
1) Разложим данный
элементам 3-ей строки:
определитель
по
det D  a31 A31  a32 A32  a33 A33  a34 A34 
 a31  1  M31  a32  1  M32 
4
5
 a33  1  M33  a34  1 M34 
6
7
2
3
4
1
3
4
 3   1   1 5 2  2   1  0 5 2 
1 3 2
1 3 2
4
5
1
2
4
1
2
3
  1   1  0  1 2  4   1  0  1 5 
1 1 2
1 1 3
6
 3  36  2  2  4  4 11  56
7
2) Разложим данный
элементам 1-го столбца:
определитель
по
det D  a11 A11  a21 A21  a31 A31  a41 A41 
 a11  1  M11  a21  1  M 21 
2
3
 a31  1  M31  a41  1 M 41 
4
5
1
 1   1  2
1
2
2
5
2
2
3
4
 1 4  0   1  2  1 4 
3 2
1 3 2
3
3
4
2
3
4
 3   1   1 5 2  1  1   1 5 2 
1 3 2
2 1 4
4
 20  0  3  36  32  56
5
Основные методы вычисления
определителя.
1. разложение определителя по
элементам строки или столбца;
2. метод эффективного понижения
порядка;
3. приведение определителя к
треугольному виду.
Метод эффективного понижения порядка:
Вычисление определителя n-го порядка
сводится
к
вычислению
одного
определителя (n-1)-го порядка, сделав в
каком-либо ряду все элементы, кроме
одного, равными нулю.
1 2
3
0 1 5
3 2 1
1 1 3
4 ×(-3) ×(-1)
2
4
2
1 2
3
4
0 1 5
2


0  4  10  8
0 1  6  2
1 2
3
4
0 1 5
2
 2 
  2  2   1 
0 2
5
4
0 1  6  2
1 2
0 1
0 2
0 1
1 5 1
 4 1   1  2
1
2
5 2  4 14  56
6 1
3
5
5
6
2
1

2
1
Вычислить определитель приведением его к
треугольному виду.
1 2
3
0 1 5
3 2 1
1 1 3
4 ×(-3) ×(-1)
2
4
2
1 2
3
4
0 1 5
2


0  4  10  8
0 1  6  2
1 2
3
4
0 1 5
2
 2 
  2  2   1 
0 2
5
4
0 1  6  2
1 2
0 1
 4
0 2
0 1
3
5
5
6
2
1 ×2
2
+
1
1 2
0 1
0 2
0 1
3
5
5
6
2
1

2
1
1 2 3 2
0 1 5 1
 4

0 0 15 4
0 0 11 2
1 2
0 1
 4 
0 0
0 0
1 2
0 1
 4
0 0
0 0
2 3
1 5
4 15
2 11
1 2
0 1
 4
0 0
0 0
2 3
1 5
 4 14  56
2 11
0 7
2 3
1 5
2 11 ×(-2)
4 15