Ekonometria.

-6 -4

Co wynika z podejścia stochastycznego?

-2 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

x

2 4 6

Repetytorium z rachunku prawdopodobieństwa, czyli

co to jest zmienna losowa?

Prawdopodobieństwo liczba

z zakresu <0,1> określająca siłę przekonania, że zajdzie niepewne zdarzenie

Zmienna losowa

zmienna, która przyjmuje różne wartości wyznaczone przez los

funkcja

Warto sc oczekiwana E(

X

),

(przeci e tna, s s rednia), nadzieja matematyczna  W rachunku prawdopodobienstwa wartosc opisujaca spodziewany (srednio) wynik doswiadczenia losowego.

Wartosc oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykly.

Estymatorem wartosci oczekiwanej rozkladu cechy w populacji jest srednia arytmetyczna.

p i i x i i

- prawdopodobienstwo wystapienia

i

-tego wyniku –

i

-ty wynik  – wartosc oczekiwana

E

(

X

)   

i m

  1

p i



x i

miara zmienno s s ci

D

2 2

( (

X

),



2

, s s

2

Wariancja jest momentem centralnym drugiego rzedu zmiennej losowej

p i i

- prawdopodobienstwo wystapienia

i

-tego wyniku

x i i D

 –

i

-ty wynik

E(X)= (X)

=   – wartosc oczekiwana  – wariancja

D

2 (

X

)   2 

i m

  1 (

x i



x

) 2 

p i

miara zmienno s s ci

D

2 2

( (

X

),



2

, s s

2

Populacja

s

2 

i m

  1 (

x i n



x

) 2 Próba

s

2 

i m

  1 (

x i n

  1

x

) 2

D(

X

),



, s

miara zmienno s s ci

s



s

2

s



i n

  1 (

x i n

  1

x

) 2 Odchylenie standardowe mówi, jak szeroko wartosci jakiejs wielkosci (takiej jak np. wiek, inflacja, kurs akcji itp.) sa rozrzucone wokól jej sredniej. Im mniejsza wartosc odchylenia tym obserwacje bardziej skupione wokól sredniej.

Wsp ó l l czynnik korelacji



, r

Współczynnik korelacji liniowej

 1 

r xy

 1

r xy

 cov(

x

,

s x



s y y

)  1

n i n

  1 (

x i

1

n i n

  1 (

x i

 

x

) 2

x

)(

y i

 1

n i n

  1 ( 

y i y

) 

y

) 2 (lac.) wzajemny zwiazek Wzajemne powiazanie, wspólzaleznosc jakichs zjawisk lub obiektów W teorii prawdopodobienstwa i statystyce na ogól rozumie sie jako zaleznosc liniowa zmiennych losowych

Zmienna losowa

zmienna, która przyjmuje rózne wartosci wyznaczone przez los

funkcja

ciagle i skokowe (dyskretne)

Funkcja gestosci Dystrybuanta

prawdopodobienstwo ze zmienna losowa

X

przyjmie wartosc mniejsza, lub równa x

F

(

x

) 

P

(

X



x

)  

x

 

f

(

u

)

du

Charakterystyki zmiennej losowej

Zakres zmienności     (

x x

 Funkcja gęstości

f

(

x

)   1 2 

e

2   2 ) 2 

N

 ( , )

Funkcja gęstości rozkładu normalnego

N

(0,1)

-5 -4 -3 -2 -1 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

x

1 2 3 4 5

Charakterystyki zmiennej losowej

Dystrybuanta

F

(

x

) 

P

(

X



x

)  

x

 

f

(

u

)

du F

(

x

)   1 2 

x

  

e

 (

t

2    2 ) 2

dt

Dystrybuanta rozkładu normalnego

N

(0,1)

-6 -4 -2 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

x

2 4 6

-6 -4

Rozkłady normalne przy różnych

 -2 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 -0,05 0

x

2 4 6  

-6 -4

Rozkłady normalne przy różnych

 -2 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

x

2 4 6  

Przedziały prawdopodobieństwa dla rozkładu Normalnego

   -3 -2 -1 0

x

1 2 3

K

lasyczna

M

etoda

N

ajmniejszych

K

wadratów

Ekonometria

n

- liczba obserwacji

k

- liczba zmiennych objaśniających

y

- wektor obserwacji empirycznych zmiennej objaśnianej (endogenicznej, zależnej)

y

     

y y

...

y n

1 2     

X

- macierz obserwacji zmiennych objaśniających (egzogenicznych, niezależnych)

X

     

x

21 ,

x x

11

n

1 , ,

x x

12

n

...

2 ,...,

x

22 ,..., ,...,

x

1

k x

2

k x nk

    

Klasyczna Metoda Najmniejszych Kwadratów

y

ˆ

b -

- wektor obserwacji teoretycznych (z modelu) wektor parametrów modelu

b

    

b

...

b

1

k

    

b

1

X

1 

b

2

X

2  ...



b k X k



Xb SKR



t n

  1 

y t



t

 2  min

b

 (

X T X

)  1

X T y e t



y t

 ˆ

t

e

- składnik resztowy (reszta)

SKR

14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 t 6 7 8 Y 9 10 Yt

Co to jest podejście stochastyczne?

-6 -4 -2 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

x

2 4 6

Podejście stochastyczne

Y=

F

+

e

Y

F e

- zmienna objaśniana - składnik

systematyczny

- składnik

przypadkowy

(

losowy

)

Linia regresji populacji generalnej

E

(

y

)   1 

x

  2

Podejście stochastyczne

Y



f

(

X

,  )  e

Y

Wszystkie możliwe wyniki obserwacji

Model hipotetyczny

  1

X

  2  e Posiadane wyniki obserwacji

Model ekonometryczny

(oszacowanie modelu hipotetycznego) 

b

1

X



b

2

Podejście stochastyczne

Y

  1

X

  2  e ?

Wnioskowanie z określonym prawdopodobieństwem

y

ˆ 

b

1

X



b

2 Estymatory - funkcje zmiennych losowych np.

b

 (

X T X

)  1

X T y

y

Podejście stochastyczne

Dobre

: przy dużej liczbie prób średnie ocen

b

bliskie 

E

(

b

)   przy dużej liczbie obserwacji w próbie oceny

b

bliskie  lim

n

 

P

(  

b

 e )  1 małe średnie kwadratów odchyleń (

b-

 ) 2

Założenia modelu standardowego KMNK

Założenia modelu standardowego 1.

Zmienna objaśniająca (

X

) jest nielosowa Wykorzystanie reguł elementarnej statystyki

2.

Składnik losowy ma rozkład normalny e : N(  ,  ) Wnioskowanie statystyczne w oparciu o rozkład

3.

4.

t

-Studenta i

F

Zakłócenia mają tendencję do wzajemnej redukcji E( e ) = 0 Uchylenie => estymatory nie są nieobciążone Składnik losowy jest sferyczny: - brak autokorelacji - homoskedastyczność Utrata efektywności estymatorów

Autokorelacja

Brak autokorelacji składnika losowego cov( e i , e j ) = 0

i



j

Założenia modelu standardowego

e E(Y)

Założenia modelu standardowego Autokorelacja

Podstawowe przyczyny autokorelacji składnika losowego: - pominięcie sezonowości - błędny dobór postaci funkcji.

e E(Y)

Postępowanie w przypadku autokorelacji

e

t



i p

  1 

i

 e

t



i



u t p

 i

u

t - pewna liczba N - współczynniki autokorelacji - proces czysto losowy E(

u

t )=0,  u 2

Proces czysto losowy

: proces stacjonarny, w którym - w czasie dyskretnym wszystkie zmienne losowe są wzajemnie niezależne Obniżenie efektywności estymatorów KMNK Problematyczne stosowanie testów istotności

t

i

F

Możliwe większe błędy - szacunki dodatkowych parametrów 

Homoskedastyczność

Składnik losowy jest o takiej samej wariancji D 2 ( e ) =  2 homoskedastyczny

e E(Y)

heteroskedastyczny

e E(Y)

IV. Weryfikacja modelu

czyli jak ocenić model?

Etapy budowy modelu ekonometrycznego

I. Specyfikacja zmiennych II. Konstrukcja modelu III. Estymacja parametrów IV. Weryfikacja modelu V. Prognoza

Weryfikacja modelu Weryfikacja merytoryczna Weryfikacja statystyczna Ocena jakości modelu Badanie istotności zmiennych Badanie Rozkładu reszt

Co oznacza weryfikacja merytoryczna?

znaki parametrów • skala parametrów • konsekwencje prognostyczne • konsekwencje modelowe

Co oznacza badanie istotności zmiennych ?

Zmienna objaśniająca jest

istotna

jeżeli w

zauważalny

(wyraźny) sposób wpływa na zmienną objaśnianą • Wszystkie zmienne objaśniające muszą być istotne • Metoda - wnioskowanie statystyczne w oparciu o statystykę •

t-Studenta

a

-

poziom istotności ( a =0,05 a =0,10)

V. Prognoza

czyli jak wykorzystać model?

Przedziały ufności dla linii regresji

y



b

1 

x



b

2

y x V t



s

 

x

*

t n

  1 

x t



x

 2 

x

 2  1

n

 1

y

Sk a a d si e e bior a przedzia l l y ufno s s ci?

Nie r ó wno sc

y t

 [

y t

* 

P

(

X t

a

n



k

  

V t

;

y t

 *

k

  )

t n

a 

k

 1  

V t k

] 1 2 -5 -4 -3 -2

Funkcja gęstości rozkładu normalnego

N

(0,1)

-1 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

x

1 2 3 4 5

Odpowiedzi wynikające z podejścia stochastycznego: - Jaką metodę najlepiej zastosować przy szacowaniu parametrów modelu? - Jaki błąd może zostać popełniony przy szacowaniu?

- Na jaki błąd się narażamy dokonując prognozy?

Next:

Wybrane metody taksonomii,

czyli jak dobierać zmienne do modelu?

Literatura A. Aczel

Statystyka w zarządzaniu

PWN 2000 A.Welfe

Ekonometria

, PWE’95 Z.Czerwiński

Dylematy ekonomiczne

, PWE’92 Z. Czerwiński

Moje zmagania z ekonomią,

Wydawnictwo AE Poznań 2002 A. Zeliaś

Teoria prognozy

PWE’97 J.Gajda

Prognozowanie i symulacja a decyzje gospodarcze,

Wydawnictwo C.H. Beck 2001 K.Jajuga (red.)

Ekonometria. Metody i analiza problemów ekonomicznych

, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. O.Langego we Wrocławiu ’99 W.Kordecki

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Definicje twierdzenia wzory.

Oficyna Wydawnicza GIS 2001 B.Guzik (red.)

Ekonometria i badania operacyjne. Zagadnienia podstawowe.

Materiały dydaktyczne AE Poznań’2000 W.Samuelson, S.Marks

Ekonomia menedżerska

, PWE’98 W.Sadowski (red.)

Elementy

e

konometrii i programowania matematycznego.

PWN’80 M.Cieślak (red.)

Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania .

PWN’97 G.Chow

Ekonometria

, PWN’95