Transcript UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Equações Diferenciais e Aplicações na.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Equações Diferenciais e
Aplicações na Engenharia:
Vibrações de Vigas, Barras e
Cabos
Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do
Rio Grande do Sul – FAPERGS
2007
Um resultado obtido no projeto:
Equações Diferenciais e Engenharia
de Segurança no Trabalho – Algumas
Aplicações Básicas
Fapergs – Processo: 05510790
Dados de Identificação
• Aluno Bolsista: Fábio Henrique de Souza
• Curso: Engenharia Mecânica
• Professor Orientador: Elisabeta D’ Elia Gallicchio
• Período de Vigência: outubro de 2006 a julho de 2007
• Instituição: Universidade Federal do Rio Grande do Sul
• Unidade: Instituto de Matemática
• Órgão: Departamento de Matemática Pura e Aplicada
Objetivos
• Resolver problemas pertinentes à construção civil.
• Estudar as equações utilizadas na modelagem
dos problemas e os métodos adequados a sua
resolução.
• Em cada caso, resolver o sistema e simular a
resposta através de animação com o software
Maple.
Problemas Resolvidos
• Deflexão de vigas
• Vibração de vigas
• Vibração de barras
• Vibração de cabos
• Vibração de uma membrana circular
Deflexão de Vigas
• Deformação elástica das vigas
Deflexão vertical:
• Modelagem: equação diferencial ordinária
de quarta ordem
Deflexão de Vigas – Viga Engastada-apoiada
• A partir da relação entre o momento fletor e a carga por
unidade de comprimento
• Chega-se a EDO que modela a deflexão da viga
• Para um caso particular em que L=10m, E=8x10 N/m² e
Iz=3x10 m
Deflexão de Vigas – Viga Engastada-apoiada
• Com a carga representada pela Delta de Dirac
• E as condições de contorno
• A resposta do sistema com o método da Transformada de
Laplace é
Deflexão de Vigas – Viga Engastada-apoiada
• Simulação da deflexão:
• Flecha:
Vibração de Vigas
Vibração transversal de vigas
• Modelagem: equação de Euler-Bernoulli
Vibração de uma Viga Bi-apoiada
• Equação de Euler-Bernoulli
• Condições de contorno
Condições iniciais
Vibração de uma Viga Bi-apoiada
Vibração de uma Viga Bi-apoiada
• Simulação
Vibração de Barras
Vibração longitudinal:
• Modelagem - através da equação da onda
unidimensional
Vibração de Barras – Barra em Balanço
Modelagem:
• Equação diferencial
Condições de contorno
Condições iniciais
Vibração de Barras – Barra em Balanço
• Resposta do sistema
• Barra com posição inicial u(x,0)=f(x)=0.01m, L=10m,
E=21*10 N/m² e ρ =7*10³ kg/m³
Vibração de Barras em Balanço
Vibração de Barra em Balanço
• Simulação
Vibração de Barra em Balanço
• Simulação
Vibração de Cabos
• Inúmeras aplicações na construção civil
• Em particular, são usados nos mecanismos de
segurança.
• Exemplo: o mecanismo linha de vida, usado para
impedir a queda de trabalhadores em obras realizadas
a grandes alturas
Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à
distância
• A equação da corda vibrante, sobre atuação de uma
força proporcional à distância
• Condições de contorno
Condições iniciais
Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à
distância
• Do método de separação de variáveis e as condições de
contorno, obtém-se a resposta
• Coeficientes
Entrada do sistema
Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à
distância
• Com L=1m, c=1/4m/s, A=60kgf,
• Posição inicial do cabo
Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à
distância
• Posição do cabo para vários tempos
Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à
distância
• Simulação
Vibração de Cabos
• Mecanismo da linha de vida
Vibração de uma Membrana Circular
• Equação diferencial
• O deslocamento independe do ângulo θ
Vibração de uma Membrana Circular
Condições de contorno
Condições iniciais
Vibração de uma Membrana Circular
• Com o método de separação de variáveis
• Coeficientes
Vibração de uma Membrana Circular
Vibração de uma Membrana Circular
• Simulação
Agradecimentos
• À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do
Rio Grande do Sul – FAPERGS, pelo apoio.
• À MR Engenharia Empreendimentos e Consultorias Ltda, em especial à Eng.ª de Segurança no
Trabalho Maria Regina Pereira Buss, pelo acesso
ao canteiro de obras.
• À Professora Elisabeta D’ Elia Gallicchio, pela orientação.
• Aos professores Ignácio Iturrioz e Jun Sérgio Ono
Fonseca do Curso de Engenharia Mecânica que
esclareceram dúvidas.
Referências
• ARTICOLO, G. Partial Differential Equations & Boundary
Value Problems with Maple V. ACADEMIC PRESS, New York,
US, 1998.
• ASMAR, N. Partial Differential Equations and Boundary Value
Problems. Prentice-Hall, Inc., New Jersey, US, 2000.
• AYRES, Frank Jr., Equações Diferenciais, Coleção Schaum,
1ª ed, Rio de Janeiro, ed. Livro Técnico S.A., 1966.
• CLAEYSSEN,J., GALLICCHIO, E., TAMAGNA, A., Sistemas
Vibratórios Amortecidos, Porto Alegre, Editora da UFRGS,
2004.
• HIBBELER, R.C., Estática: Mecânica para Engenharia, São
Paulo, Editora Pearson, 2005.
• INMAN, Daniel J., Engineering Vibration, Prentice-Hall Inc.,
New Jersey, US, 1996.
• LECKAR, H., SAMPAIO, R., CATALDO, E., Revista Tema –
Tendências em Mat. Aplicada Computacional, SBMAC, 2006.
Referências
• MADALOZZO, D., GALLICCHIO, E.,Transporte Vertical de
Materiais, Suspensão de Cargas e Deslocamentos Horizontais: Uma Abordagem Matemática na Análise de Situações
em um Canteiro Obras, XVIII Salão de Iniciação Científica
UFRGS/2006.
• SAMPAIO, R., ALMEIDA, P., RITTO, T., Vibrações Mecânicas
– Dinâmica de Estruturas Flexíveis, PUC, Rio de Janeiro,
2007.
• SPIEGEL, Murray, Equaciones Diferenciales aplicadas, Prentice-Hall Inc., Máxico, 1983.
• THOMSON, Willian T., Teoria da Vibração com Aplicações,
Editora Interciência, Rio de Janeiro, 1978.
• WHITE, Richard N., GERGELY, Peter, SEXSMITH, Robert G.,
Estructural Engineering – Introdution to Design Concepts and
Analysis, V.1, Canada, John Willey & sons Inc, 1972.
Equações Diferenciais e
Aplicações na Engenharia:
Vibrações de Vigas, Barras
e Cabos
Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do
Rio Grande do Sul – FAPERGS
2007