Transcript Цифрови филтри Синтез на цифрови филтри Разработил: Борис Христов Фак.№ 140022 София 2009г. Основни зависимости при цифровата обработка на сигнали. Видове преобразувания Цифровите филтри Синтез на цифровите филтри.

Цифрови филтри
Синтез на цифрови филтри
Разработил:
Борис Христов
Фак.№ 140022
София 2009г.
Основни зависимости при цифровата обработка на сигнали.
Видове преобразувания
Цифровите филтри
Синтез на цифровите филтри
Основни зависимости при цифровата обработка на сигнали.
Видове преобразувания
Дискретизация по време
Дискретизация по честота
Дискретен ред на Фурие
Дискретно преобразуване на Фурие
Лапласово преобразуване
Z - преобразуване
Дискретизация по време
Един непрекъснат сигнал, в спектъра на който няма честоти, по-големи от fm, се определя
напълно от редицата от моменти стойности, отчетени през интервал от време, определен по
теоремата на Найкуист – Котелников t 
1
.
2 fm
Сигналът се представя по следния начин
s(t ) 

 s(k t )
k 
sin m (t  k t )
,
m (t  k t )
където m  2 fm .
На фигурата е дадена графиката на дискретизирания сигнал.
Моментните стойности се наричат дискрети (отчети).
Колкото е по-малък интервалът на дискретизация и по-голям броят на дискретите,толкова повярно ще се възстанови непрекъснатия сигнал.
Грешките при дискретизирането и възстановяването могат да се пренебрегнат, ако се приеме
честотата на дискретизация f0  (2.2  2.5) fm .
Броят на дискретите е N 
Tc
,
T
където Tc е продължителността на сигнала,
T  t 
1
(2.2  2.5) f m
е интервалът на дискретизация.
Следователно, като се заместят границите, за сигнала се получава
N 1
s(t )   s(kT )
k 0
sin m (t  kT )
.
m (t  kT )
Дискретизация по честота
Дискретизацията се извършва аналогично като се заменя:
- времето с честота - t  ;
- интервала на дискретизация по време с интервала на дискретизация по честота
T  t 
1
2
    
2 fm
Tc
- полуширината на спектъра с полупродължителността на сигнала  
При краен брой дискрети се получава
S ( ) 
fmTc

S (k )
k  fmTc
sin
Tc
(  k  )
2
,
Tc
(  k  )
2
където ∆ω = Ω е интервалът на дискретизация.
Като се има предвид теоремата за дискретизация
f mTc 
1
N
Tc  .
2T
2
Следва, че границите на изменение са от- N/2 до N/2.
Tc
2
Дискретен ред на Фурие
Дискретният ред на Фурие намира приложение при спектралния анализ на дискретни
периодични сигнали.
Непрекъснатият периодичен сигнал s(t )  s(t  nT ), n=0, 1, 2, …..
се представя в ред на Фурие по следния начин
1 
s(t )   Cn e jn0t ,
2 n
където n е номера на хармоничната съставка.
Хармоничните съставки се определят от израза
2
Cn 
T
t0  T

s (t )e  jn0t dt.
t0
При преминаване от непрекъснати към дискретни сигнали:
- времето t  nT или само n
- периодът на сигнала  NT
- сигналът s(t )  s(nT ) или само sn
- честотата на повторение     2
NT
t  k nT
съответно
- интегрирането се заменя със сумиране    ,
където за дискретния сигнал n е номер на дискретите, k е номер на хармониците.
Следователно след заместване в горните формули дискретния периодичен сигнал
може да се представи така:
s ( n) 
1 N 1
Ck e jk nT .

2 k 0
Спектралните съставки се определят по следния начин
1 N 1
Ck   s(n)e jk nT .
N k 0
Дискретно преобразуване на Фурие
Дискретното преобразуване на Фурие (ДПФ) намира голямо приложение при цифровата
обработка на сигнали (ЦОС). При правото дискретно преобразуване на Фурие (ПДПФ) от
сигнала се получава спектъра, а при обратното дискретно преобразуване на Фурие (ОДПФ) – от
спектъра се възстановява сигнала.
Основните зависимости са аналогични на тези при непрекъснатите сигнали.
При правото преобразуване на Фурие спектърът на непрекъснатия сигнал се

представя посредством израза
S ( )  s(t )e jt dt.

За дискретни сигнали
N 1

 j nT
S ( )   s(nT )e
.
n 0
Следователно спектърът на дискретните сигнали е непрекъснат и периодичен.
При ЦОС спектърът трябва да се дискретизира. Като се има предвид   2 ,   к  2 к ,
N 1
за дискретния спектър се получава S (к)   s(nT )e
където  nT 
2
j kn
 N
NT
,
n 0
2
kn.
N
Изразът за ОДПФ се получава аналогично на обратното
преобразуване на Фурие за непрекъснат сигнал
s(t ) 
1
2



S ( )e jt d,
s(nT ) 
2
j kn
1 N 1
N
S
(
k

)
e
,

N k 0
където n се изменя от 0 до N-1, k се изменя от 0 до N-1.
При непрекъснатите сигнали спектралната функция се
представя като разпределение на амплитудите по oста на
честотите (A/Hz), докато при дискретните сигнали S∂ (ω) се
измерва непосредствено със сигнала.
На фигурата са дадени спектрите на непрекъснат сигнал S(ω),
на дискретен сигнал S∂ (ω) и дискретизирания спектър S(k Ω).
NT
Лапласово преобразуване
Лапласовото преобразуване намира приложение при анализа и синтеза на
непрекъснати и дискретни системи. Използва се при изследване на устойчивостта и
реализуемостта на системите. При правото преобразуване времевите характеристики на
p    j ,
системите се разглеждат в областта на комплексната променлива
т.е в комплексната равнина. При обратно преобразуване на Лаплас се възстановяват
времевите характеристики.
Величините, които са функции на времето се наричат оригинали (сигнали и времеви
характеристики на системите), а след преобразуването се получават съответните образи.
Правото преобразуване на Лаплас се получава аналогично на преобразуването на
Фурие като се полага
p = j ω,

S ( p) 
 s(t )e
 pt
dt.

Обратното преобразуване на Лаплас се дава с израза
s(t ) 
1
2

 S ( p)e
pt
dp.

Изразите се отнасят за непрекъснати сигнали и системи.
При дискретните сигнали и системи се използва дискретното преобразуване на
Лаплас. Като се използва аналогията между непрекъснатите и дискретните сигнали за
правото дискретно преобразуване на Лаплас се получава

S ( p)   s(nT )e pnT .

Z – преобразуване
Полагаме
e pT  z,
от това следва, че
p
1
ln z.
T
Като заместим се получава изразът за Z – преобразуването

S ( z )   s(nT ) z  n .
n 0
При обратното z – преобразуване от образа S(z) се възстановява сигнала s(nT)
s(nT ) 
1
z
2 j 
n 1
S ( z )dz.
Основните свойства на Z – преобразуването, които се използват при
анализа и синтеза на дискретни системи, са:
1. Линейност
Z[a1s1 (nT )  a2 s2 (nT )  ...]  a1S1 ( z)  a2 S2 ( z)  ...
2. Теорема за закъснението
Z[s(nT  mT )]  S ( z) z m ,
при условие, че
s(nT  mT )  0 за n<m.
Z – преобразуването се използва при описанието на цифровите филтри.
Цифрови филтри
Основни принципи и зависимости при цифровите филтри
Нерекурсивен цифров филтър
Рекурсивен цифров филтър
Последователно и паралелно свързване на ЦФ
Последователно (верижно) свързване на цифрови филтри
Паралелно свързване на цифрови филтри
Основни принципи и зависимости при цифровите филтри
Цифровите филтри (ЦФ) се използват при обработка на дискретни сигнали. Те могат да се
реализират програмно по зададен алгоритъм или като изчислително устройство, съставено
от бързодействащи интегрални схеми.
Някои от предимствата на ЦФ пред аналоговите са:
- висока точност;
- по-добри характеристики;
- при апаратурно изпълнение – малки размери, висока точност, малки смущения и слаба
чувствителност към изменение на параметрите на компонентите.
Според лентата на пропускане ЦФ могат да се разделят, аналогично на аналоговите, на:
- нискочестотни;
- високочестотни;
- лентови;
- режекторни (спиращи, заграждащи).
В зависимост от алгоритъмана работа ЦФ биват:
- нерекурсивни;
- рекурсивни.
Алгоритъмът на работа на ЦФ се представя чрез функционална схема. Схемата се съдържа
следните елементи:
А) суматор;
Б) закъснителни елементи;
В) умножители.
Процесите в ЦФ се описват с диференчни (разликови) уравнения.
Нерекурсивен цифров филтър
Нерекурсивният ЦФ е представен на фигурата. Той се описва със следното диференчно уравнение:
M
sизх (nT )  a0 sвх (nT )  a1sвх (nT  T )  ....  aM sвх (nT  MT )   am sвх (nT  mT ),
m 0
където am са числови коефициенти.
От диференчното уравнение и схемата е ясно, че един изходен отчет на ЦФ от М-ти
ред зависи от М+1 входни отчета. Към суматора едновременно постъпват първия
отчет (дискрет) от обработвания дискретен сигнал, преминал през умножителя ам,
вторият – през ам-1 и т. н. Всеки следващ през съответния умножител. Отчетът с номер
М+1 се подава към умножителя а0. Така изходният сигнал е сума от М+1 входни отчета
преминали през М+1 умножителя. В следващия момент изходният сигнал ще се
получава от следващите М+1 входни отчета, като този път през аМ преминава втория
отчет, а през а0 – М+2.
Системната функция на нерекурсивния ЦФ се определя от диференчното
уравнение, като се приложи Z- преобразуването:
Използват се две от свойствата на преобразуването,
а именно линейност и теоремата за закъснението.
След прилагането на Z – преобразуването се получава:
1
Sизх ( z )  a0 Sвх ( z )  a1Sвх ( z ) z  ....  aM Sвх ( z ) z
M
M
  am Sвх ( z ) z  m .
m 0
Системната функция е отношение между Z – образите
на изходния и входния сигнал, т.е.
K ( z) 
Sизх ( z )
.
Sвх ( z )
Следователно за системната функция на нерекурсивния ЦФ се получава
K ( z)   a z .
M
m0
m
m
Като се знае, че z = epT
M
K ( p)   am е pmТ .
m 0
Ако се замести p = jω, се получава коефициента на предаване на ЦФ:
M
K ( j )   am е jmТ .
m0
Коефициентът на предаване е комплексен и следователно ще има модул, който
представлява амплитудно – честотната характеристика на ЦФ (АЧХ), и фаза (аргумент),
която представлява фазово – честотната характеристика (ФЧХ).
K ( j)  K ( j) e j ( )
Поради наличието на експонента честотната характеристика на цифровите филтри има
периодичен характер, като периодът е равен на интервала на дискретизация.
z  e jT .
По формулата на Ойлер
e jT  cos T  j sin Т .
Следователно
K ( j)  am cos mT  j sin mT )  A  jB.
Амплитудно – честотна характеристика
K ( j )  A2  B 2 .
Фазово – честотна характеристика
 ( )  arctg
B
.
A
Нерекурсивен ЦФ от ІІ ред, се описва със следното диференчно уравнение
sизх (nT )  a0 sвх (nT )  a1sвх (nT  T )  a2sвх (nT  2T ).
Системната функция ще има вида
K ( z)  a0  a1z 1  a2 z 2 .
Комплексният коефициент на предаване е
K ( j)  a0  a1e jT  a2e j 2T 
 a0  a1 cos T  ja1 sin T  a2 cos 2T  ja2 sin 2T 
 (a0  a1 cos T  a2 cos 2T )  j (a1 sin T  a2 sin 2T )  A  jB.
Схемата, с която се представя филтъра, е
Рекурсивният цифров филтър
Рекурсивният ЦФ е представен на фигурата. Той се описва със следното диференчно
уравнение: sизх (nT )  a0 sвх (nT )  a1sвх (nT  T )  ....  aM sвх (nT  MT )  b1sизх (nT  T )  b2sизх (nT  2T )  ......  bN sизх (nT  NT ).
От диференчното уравнение и блоковата схема се вижда, че изходният сигнал зависи от
М+1 входни отчета и N изходни отчета. Това връщане на изходния сигнал е своеобразна
обратна връзка. Рекурсивните ЦФ имат по-добри характеристики в сравнение с
нерекурсивните.
Системната функция на рекурсивния ЦФ се получава по аналогичен начин:
Sизх ( z )  a0 Sвх ( z )  a1Sвх ( z ) z 1  ....  aM Sвх ( z ) z  M
b1Sизх ( z ) z 1  b2 Sизх ( z ) z 2  ......  bN Sизх ( z ) z  N .
Като се групират от едната страна изходният, а от другата страна – входният сигнал
N
M
n 1
m0
се получава: Sизх ( z )   bn Sизх ( z ) z  n   am Sвх ( z ) z  m .
Системната функция е :
M
K ( z) 
Sизх ( z )

Sвх ( z )
a
m
m0
z m
N
1   bn z
.
n
n 1
Следователно
a e 

K ( j ) 
,
1 b e 
 a (cos mT  j sin mT )
 j nT
m
 j nT
n
K ( j ) 
m
1   bk (cos kT  j sin kT )
АЧХ
K 
A2  B2
.
C 2  D2
ФЧХ
 ( )  arctg
B
D
 arctg .
A
C

A  jB
.
C  jD
Рекурсивен ЦФ от ІІ ред, той се описва със следното диференчно уравнение
sизх (nT )  a0 sвх (nT )  a1sвх (nT  T )  a2 sвх (nT  T )  b1sизх (nT  T )  b2sизх (nT  2T ).
Системната функция има вида
K ( z) 
a0  a1 z 1  a2 z 2
1  b1 z 1  b2 z2
Комплексният коефициент на предаване
a0  a1e jT  a2e j 2T
K ( j ) 

1  b1e jT  b2e j 2T


a0  a1 cos T  ja1 sin T  a2 cos 2T  ja2 sin 2T

1  (b1 cos T  jb1 sin T )  (b2 cos 2T  jb2 sin 2T )
(a0  a1 cos T  a2 cos 2T )  j (a1 sin T  a2 sin 2T ) A  jB

(1  b1 cos T  b2 cos 2T )  j (b1 sin T  b2 sin 2T )
C  jD
Схемата, с която се представя филтъра, е
За да се намали броя на закъснителните елементи се използва т. нар. канонична схема на
рекурсивен ЦФ. При нея закъснителните елементи се обединяват, като при това първо се
извършва рекурсивната, а след това нерекурсивната обработка на сигнала.
Последователно и паралелно свързване на ЦФ
Свързването на цифровите филтри по определен начин е от съществено значение при
синтеза, с цел да се получат по-добри характеристики. Обикновено се свързват
последователно звена от първи и втори ред, каквато е практиката и при синтезирането на
аналогови филтри.
Последователно (верижно) свързване на цифрови филтри
При последователното свързване системната функция на свързаните филтри е
произведение от системните функции на отделните ЦФ:
N
K ( z )  K1 ( z ) K2 ( z )   Kj ( z ).
j 1
Извежданията на математическите изрази на входния сигнал се бележат с xn, а на
изходния - yn, т.е.
sвх(nT) → xn
и sизх(nT) → yn.
Схема на последователно свързани звена от І ред.
vn  a0 xn  a1xn1  b1vn1
a  a z 1
K1 ( z)  0 1 1
1  b1 z
yn  c0vn  c1vn1  d1 yn1
c  c z 1
K 2 ( z )  0 1 1
1  d1 z
Като се има предвид формулата
при последователно свързване
K ( z)  K1 ( z).K2 ( z) 


Следователно диференчното уравнение, с което
се описва схемата на фигурата има вида:
yn  (a0  c0 ) xn  (a1  a0d1  c1  c0b1 ) xn1  (a1d1  c1b1 ) xn2 
a0  a1 z 1 c0  c1 z 1
.

1  b1 z 1 1  d1 z 1
1
(b1  d1 ) yn1  b1d1 yn2 .
2
a0c0  (a0c1  a1c0 ) z  a1c1z
.
1  (b1  d1 ) z 1  b1d1 z 2
Паралелно свързване на цифрови филтри
При паралелното свързване системната функция е сума от функциите на
отделните филтри:
N
K ( z )  K1 ( z )  K 2 ( z )  ...   K j ( z ).
j 1
Схема на паралелно свързани звена от І ред.
yn  a0 xn  a1xn 1  b1 yn1
a0  a1 z 1
1  b1 z 1
yn  c0 xn  c1xn 1  d1 yn1
K1 ( z) 
c0  c1 z 1
K2 ( z) 
1  d1 z 1
K ( z)  K1 ( z)  K2 ( z) 
a0  a1 z 1 c0  c1 z 1



1  b1 z 1
1  d1 z 1


(a0  a1 z 1 )(1  d1 z 1 )  (c0  c1 z 1 )(1  b1 z 1 )

(1  b1 z 1 )(1  d1 z 1 )
a0  (a1  a0 d1 ) z 1  a1d1 z 2  c0 (c1  c0b1 ) z 1  c1b1 z 2

1  (b1  d1 ) z 1  b1d1 z 2
(a0  c0 )  (a1  a0 d1  c1  c0b1 ) z 1  (a1d1  c1b1 ) z 2

.
1  (b1  d1 ) z 1  b1d1 z 2
Като се имат предвид изразите се вижда, че
дадените на фигурите схеми на последователно
и паралелно свързани ЦФ от І ред съответстват
на ЦФ.
Следователно диференчното уравнение, с което се описва схемата на фигурата за
паралелно свързани звена от първи ред има вида:
yn  (a0  c0 ) xn  (a1  a0d1  c1  c0b1 ) xn1  (a1d1  c1b1 ) xn2 
(b1  d1 ) yn1  b1d1 yn2 .
Синтез на цифрови филтри
Метод на инвариантната импулсна характеристика
Метод на билинейното z - преобразуване
Синтез по зададена предавателна характеристика на
аналоговия прототип
Синтез по зададено диференциално уравнение
Цифров нискочестотен филтър от I ред
Цифров високочестотен филтър от I ред
Цифров лентов филтър от II ред
Цифров режекторен филтър от II ред
Синтез на цифрови филтри
При синтеза на ЦФ обикновено се използва съответен аналогов прототип, при
което се получават коефициентите am за нерекурсивен ЦФ и am и bn за рекурсивен ЦФ.
Решението на задачата за синтеза се свежда до следното:
а) установява се дали желаната системна функция може да се реализира и
дали синтезираната верига (система) е устойчива;
б) желаната системна функция се апроксимира с най-подходящата функция;
в) избира се най-подходящата реализация, тъй като при синтеза може да се
получи нееднозначно решение, т.е. на условията за реализация и устойчивост да
отговарят няколко фyнкции, съответно структури.
В практиката се предпочита създаването на структури чрез комбинация
(паралелно или последователно свързване) на звена от първи и втори ред.
Съществуват различни методи за синтез на ЦФ:
- метод на инвариантната импулсна характеристика;
- метод на билинейното z – преобразуване;
- синтез на ЦФ по зададена предавателна характеристика на аналоговия
прототип;
- синтез на ЦФ по зададено диференциално уравнение.
Метод на инвариантната импулсна характеристика
Този метод е сравнително прост, но с ограничени възможности. Той се използва когато е
зададен аналогов прототип със съответна импулсна характеристика g(t). Тя се дискретизира и
спрямо g(n) се прилага z-преобразуването, за да се получи системната функция на цифровия
филтър. По този начин се запазва съответствието между импулсната характеристика на
прототипа и синтезирания филтър. Това е причина за названието на метода, тъй като
импулсната характеристика е инвариантна (неизменна) при дискретизирането на времето.
Този метод ще бъде илюстриран с дадения по-долу пример.
Синтезиран рекурсивен цифров филтър по аналогов прототип е показан на фигурата.
Импулсната характеристика е
Аналогов прототип на
нискочестотен филтър
g(t)  1/   e2T /
Така дадената импулсна характеристика трябва да се дискретизира.
Импулсната характеристика е безкрайна. Ето защо системната функция се получава
чрез безкраен брой дискретни стойности на g (nT )  enT /


m0
m0
K ( z )   g (mT ) z  m   e mT / .z  m .
Дясната част на израза за К(z) е сума от членовете на безкрайна намаляваща
геометрична прогресия. От математиката е известна зависимостта, чрез която се
определя сумата на такава прогресия
a
lim s  1 ,
 1 q
където а1 е първият член на прогресията, q-нейното частно.
T /
В случая а1=1; q= e
z-1. Като се вземе под внимание това представяне на
безкрайната сума в дясната част на К(z), се получава
K ( z) 
1
1 e
T /
z 1
.
Този израз съответства на схемата на ЦФ, дадена на предишния слаид - дясната
фигура (синтезиран цифров филтър).
Синтезиран ЦФ
Метод на билинейното z - преобразуване
При този метод се използва връзката между честотните характеристики на аналоговия и
цифровия филтър, като се осъществява чрез билинейното преобразуване. Синтезът се
извършва в следния ред.
• Задава се честотната характеристика на аналоговия прототип. Неговата
предавателна системна функция Кa(p) = А(p)/B(p) трябва да бъде дробнорационална функция и да отговаря на условието за физическа реализация и
n
устойчивост. K ( p)  a0  a1 p  ...  an p ,
a
b0  b1 p  ...  bm p m
където n не трябва да е по-голямо от m.
• Коренити на уравнението B(p) = 0 трябва да лежат в лявата част на комплексната
равнина.
• От Кa(p) = А(p)/B(p) се получава системната функция на цифровия филтър К(z),
като се използват зависимостите
z  e pT ;
p
1
ln z.
T
Получената системна функция след заместване на p от дясната част на второто
равенство няма да бъде дробно-рационална функция и не позволява реализирането на
цифровия филтър. Приблизително решение може да се получи, ако зависимостта за p се
развие в редa
където

z 1
.
z 1
p
1
2
1
1

ln z      2   5  ...  ,
T
T
3
5

При ограничване на редът К(z) до първия член, се получава формулата за билинейното zпреобразуване
p
2 z  1 2 1  z 1
 .
.
T z  1 T 1  z 1
Изразът за p се замества в Kа(p), за да се получи системната функция на цифровия
филтър K(z).
Полученият ЦФ не отговаря напълно на аналоговия прототип. За коригиране на
честотния мащаб се постъпва по следния начин. Приема се, че честотната
характеристика на аналоговия филтър спада с 3db при честота ωа. Зависимостта
между нея и съответната честота ωц на цифровия филтър се определя чрез полагане
j T
p
2 1  е ц
.
T 1  е jцT
След преобразуване се получава
a 
2 цT
tg
.
T
2
Коригирането на честотния мащаб се прави още в началото при синтезиране на
аналоговия филтър, т.е при определяне на Ta(p), тъй като се задава граничната честота ц .
Синтез по зададена предавателна характеристика на аналоговия прототип
При този метод се използва съответствието между честотната характеристика (ЧХ) на
аналоговия прототип и системната функция на цифровия филтър.
ЧХ се представя във вида
K ()  W (e jT ),
и като се има предвид, че
e jT  e pT  z
се получава W(z).
За да може да се реализира филтъра е необходима К(ω) да е дробно - рационална
функция по отношение на e jT ,което означава, че и W(z) ще е такава функция.
Синтез по зададено диференциално уравнение.
Синтезирането на ЦФ по оразмерен аналогов филтър - прототип може да бъде на база
диференциално уравнение.
По-нататък, на основата на примери, ще бъдат синетзирани конкретни ЦФ от първи и
втори ред чрез използуване метода със зададено диференциално уравнение (метод с
дискретизация на диференциалното уравнение). Този метод е особено подходящ за
вникване по-добре в основната форма на описание на ЦФ – диференчното уравнение, за
по-добро разбиране физичната същност на цифровите му коефициенти.
Методът изисква замяна на аналоговите величини с дискретни и апроксимация на
диференциалния нарастък с крайни разлики в базовото диференциално уравнение. Тук ще
използуваме крайни разлики отляво.
Правят се следните замествания:
t  nT ; x(t )  x[nT ]  xn ; y(t )  y[nT ]  yn .
dt  T ; dt 2  T 2 ,
За диференциалния нарастък на аргумента можем да запишем
а за диференциалния нарастък на функцията да използуваме крайна разлика отляво от
първи ред
dy(t )  yn  yn  yn1; dx(t )  x  x  x ,
n
и крайна разлика отляво от втори ред
n
n 1
d 2 y(t )  (2) yn  yn  yn1  yn  yn1 ( yn1  yn2 )  yn  2 yn1  yn2 ;
d 2 x(t )  (2) xn  xn  xn1  xn  xn1 ( xn1  xn2 )  xn  2xn1  xn2 .
Производните могат да бъдат заменени по следния начин:
y  yn 1 dx(t )
dy (t )
x x
 n
;
 n n 1 ;
dt
T
dt
T
yn  2 yn 1  yn 2 d 2 x(t )
d 2 y (t )
x  2 xn1  xn2

;
 n
.
2
2
2
dt
T
dt
T2
Цифров нискочестотен филтър от I ред
Схемата на аналоговия филтър - прототип, неговото диференциално уравнение и израза, по
който се определя граничната честота fc имат вида:
R  ........; C  ........; f c 
RC
1
;
2 RC
dy (t )
 y (t )  x(t ).
dt
Чрез прилагане на разглеждания метод можем да запишем съответното диференчно
уравнение, което ще бъде RC yn  yn 1  yn  xn .
T
След решаване на последното уравнение по отношение на изходната величина yn
се получава стандартния вид:
Схемата на така получения нискочестотен ЦФ
yn  a0 xn  b1 yn1 ,
от I ред, построена директно по диференчното
T
RC
уравнение, има вида:
където a0 
; b1 
.
RC  T
RC  T
Системната функция К(z) на ЦФ е еднозначно
свързана с диференчното уравнение и,
в случая, ще се опише с равенство
K ( z) 
a0
Y ( z)

.
X ( z ) 1  b1 z 1
Програма за изчисляване
на коефициентите
Цифров високочестотен филтър от I ред
Схемата на аналоговия филтър-прототип, неговото диференциално уравнение и
израза, по който се определя граничната честота fc има вида:
R  ........; C  ........; f c 
1
;
2 RC
dy (t )
1
dx(t )

y (t ) 
.
dt
RC
dt
За диференчно уравнение се получава:
yn  yn 1
x x
1

yn  n n 1 .
T
RC
T
След решаване на последното уравнение по отношение на изходната величина yn се
получава стандартния вид:
Схемата на така получения
високочестотен ЦФ от I ред, построена
yn  a0 xn  a1xn1  b1 yn1 ,
директно по диференчното уравнение, има
RC
RC
; a1  
.
където a0  b1 
вида:
RC  T
RC  T
Системната функция К(z) на ЦФ е еднозначно
свързана с диференчното
уравнение и ще се описва с равенството
K ( z) 
Y ( z ) a0  a1 z 1

.
X ( z ) 1  b1 z 1
Програма за изчисляване на
коефициентите
Цифров лентов филтър от II ред
Схемата на аналоговия филтър-прототип, неговото диференциално уравнение и изразите,
по които се определят резонансната честота f0 и качествения фактор Q има вида:
R  ........;
L  ........; C  ........; f 0 
 dx(t )
d 2 y(t ) 0 dy(t )

 0 2 y(t )  0
.
2
dt
Q dt
Q dt
1
2 LC
;
L
Q C ;
R
Можем да запишем съответното диференчно уравнение, което ще бъде:
yn  2 yn 1  yn 2 0 yn  yn 1
 x x

 0 2 yn  0 n n 1 .
2
T
Q
T
Q
T
След решаване на последното уравнение по отношение на изходната величина yn се
получава стандартния вид: yn  a0 xn  a1xn1  b1 yn1  b2 yn2 ,
0T
където
a0 
0T
0T
Q
Q
Q
  a0 ; b1 
; a1  
;
0T
0T
0T
2 2
2 2
2 2
1
 0 T
1
 0 T
1
 0 T
Q
Q
Q
Системната функция К(z) на ЦФ е
еднозначно свързана с диференчното
уравнение и ще се описва с равенството
K ( z) 
2
b2  
1
0T
Q
1
 0 2T 2
.
Схемата на така получения лентов ЦФ от II ред,
построена директно по диференчното уравнение
има вида:
a0  a1 z 1
Y ( z)

.
X ( z ) 1  b1 z 1  b2 z 2
Програма за изчисляване на
коефициентите
Цифров режекторен филтър от II ред
Схемата на аналоговия филтър - прототип, неговото диференциално уравнение и израза, по
който се определя честота на режекция f0 има вида:
R  ........; C  ........; f p 
1
;
2 RC
d 2 y(t ) 4 dy(t )
1
d 2 x(t )
1


y
(
t
)


x(t ).
2
2
2
dt
RC dt
( RC )
dt
( RC )2
Диференчното уравнение ще има вида
yn  2 yn 1  yn 2
x  2 xn 1  xn 2
4 yn  yn 1
1
1


y  n

xn .
2
2 n
2
T
RC
T
( RC )
T
( RC )2
След решаване на последното уравнение по
отношение на изходната величина yn се получава
стандартния вид: yn  a0 xn  a1xn1  a2 xn2  b1 yn1  b2 yn2 ,
T2
1
( RC )2
a

;
където 0
4T
T2
1

RC ( RC )2
a1  
4T
RC
b1 
;
4T
T2
1

RC ( RC ) 2
b2  
2
2
1
2
4T
T

RC ( RC )2
1
4T
T2
1

RC ( RC )2
;
a2  
Схемата на така получения режекторен
ЦФ от II ред, построена директно по
диференчното уравнение ще има вида:
a1
;
2
.
Системната функция К(z) на ЦФ е еднозначно свързана с диференчното уравнение и ще се
описва с равенството
K ( z) 
1
2
Y ( z ) a0  a1 z  a2 z

.
X ( z ) 1  b1 z 1  b2 z 2
Програма за изчисляване на
коефициентите
Използвани съкращения













ДПФ – Дискретно преобразуване на Фурие
ЦОС – Цифрова обработка на сигнали
ПДПФ – Право дискретно преобразуване на Фурие
ОДПФ – Обратно дискретно преобразуване на Фурие
ЦФ – Цифров Филтър
НЦФ – Нерекурсивни Цифрови Филтри
РЦФ – Рекурсивни Цифрови Филтри
НЧФ – Нискочестотен Цифров Филтър
ВЧФ – Високочестотен Цифров Филтър
ЛФ – Лентов Цифров Филтър
РФ – Режекторен (Заграждащ) Цифров Филтър
ЧХ – Честотна характеристика
ММП – Мултимедийни Приложения