Transcript Задача о наибольшем паросочетании в двудольном графе Автор: Воробьева Елена [email protected] 2002 год Граф G=(M,N) называется простым или двудольным, если множество его вершин разбито на два.

Задача о наибольшем
паросочетании в
двудольном графе
Автор: Воробьева Елена
[email protected]
2002 год
Граф G=(M,N) называется простым или двудольным,
если множество его вершин разбито на два множества Mе и
Mb, и все начала дуг принадлежат Mb, а все концы Mе, т.е. M
= MeMb, MeMb=, eN: e=(i,k), iMb, kMe c
неповторяющимися i и k.
Набор дуг J  N называется паросочетанием, если для любых
j1, j2  J, j1  j2, начала и концы этих дуг различны: beg j1  beg j2,
end j1  end j2.
Рассмотрим далее построение паросочетания, максимального
по числу входящих дуг.
Построение наибольшего паросочетания с
помощью максимального потока в сети.
Мы будем использовать метод Форда-Фалкерсона для поиска
максимального паросочетания в двудольном графе G=(M,N). Для
этого рассмотрим сеть G' = (M’,N'), соответствующую двудольному
графу G.
Эта сеть строится так: добавляются две новые вершины,
которые будут истоком (s) и стоком (t): M’ = M  {s, t}. Множество
(направленных) рёбер сети G' таково:
N' = {(s,u): uMb}  {(u,v): uMb , vMe , (u,v)N}  {(v,t): vMe}
(напомним, что через Mb и Me обозначаются доли графа). Будем
считать, что пропускная способность каждого ребра равна
единице.
Алгоритм построения паросочетания:
1.
2.
3.
4.
5.
соединяем s дугами с  i Mb
соединяем t дугами с  j Me
направление на ребрах устанавливаем от i к j
 ( i, j ): Cij = 1
методом Форда-Фалкерсона ищем максимальный поток.
Насыщенные ребра потока соответствуют наибольшему
паросочетинию исходного графа.
Рассмотрим пример:
Сеть G’ и максимальный
поток в ней.
Пропускная способность
любого ребра равна 1.
Поток по фиолетовым
ребрам равен единице,
по остальным – нулю.
Построив максимальный
поток через эту сеть,
насыщенные
ребра
будут
соответствовать
наибольшему паросочетанию в графе.
Следующая лемма устанавливает соответствие между потоками
в G’ и паросочетаниями в G.
Поток f в сети G называется целочисленным, если все значения
f(u,v) = целые.
Метод
Форда-Фалкерсона
всегда
дает
целочисленный
максимальный поток, если только пропускная способность всех
ребер целые числа (на каждом шаге, при каждом добавлении
потока по дополняющему пути, поток остается целочисленным ).
Лемма.
Пусть G = (M,N) – двудольный граф с долями Mb и Me, и
G`=(M`,N`) – соответствующая сеть. Пусть J – паросочетание в G.
Тогда существует целочисленный поток в G` с величиной |f| = |J|.
Обратно, если существует целочисленный поток в G’, то в G
найдется паросочетание с |f| рёбрами.
Доказательство.
Сначала докажем, что паросочетание порождает поток, задав
поток f следующим образом. Если (u,v)  J, то
f(s,u) = f(u,v) = f(v,t) = 1
f(u,s) = f(u,v) = f(t,v) = -1
Для всех остальных рёбер (u,v)  N` положим f(u,v) = 0. Иначе
говоря, каждое ребро (u,v)  J соответствует единичному потоку
по пути suvt. Никакие два таких пути не содержат общих
вершин (кроме истока и стока) или рёбер.
Чтобы проверить, что f является потоком, достаточно заметить,
что f представим в виде суммы потоков по этим путям. Поток через
разрез (Mb{s} = S, Me{t} = T) равен |J|
|J|=f(S,T)=f(S,M’)–f(S,S) = f(S,M’)=f(s,M’) + f(S\s,M’)= f(s,M’) = |f|
поэтому величина потока |f| равна |J|.
Докажем обратное.
Пусть f – целочисленный поток в G’; его значения на рёбрах
могут быть равны 0 или 1, так как пропускная способность рёбер
ограничена единицей. Определим
J = {(u, v) : u  Mb, v  Me, f(u, v) = 1}
Докажем, что J – паросочетание. В самом деле, из одной
вершины u не могут выходить два ребра (u,v’) и (u,v’’), по которым
поток равен 1, т.к. входящий в u поток не превосходит 1. По
аналогичным причинам в любую вершину v входит не более
одного ребра с единичным потоком.
Убедимся, что |J| = |f|. Заметим, что |J| есть поток через
разрез (Mb{s}, Me{t}) (по каждому ребру паросочетания идёт
поток 1, а число рёбер есть |J|).
Таким образом лемма сводит задачу о максимальном
паросочетании к задаче о целочисленном максимальном потоке.
Построение наибольшего паросочетания
методом чередующихся цепей.
Рассмотрим еще один вариант постановки этой задачи.
Обозначим существующие ребра матрицей A, где строки
соответствуют Me, а столбцы Mb:
1, если есть ребро
aij  
, где i  1,m, j  1, n
0
,
если
ребра
нет

Введем неизвестную величину:
1, если ребро (i, j) включено в паросочетание
xij  
(1)
0
,
в
противном
случае

Помимо (1) величина xij удовлетворяет еще двум условиям:
n
 xij
 1, i  1,...,m
(2)
j 1
m
 xij  1, j  1,...,n
i1
(3)
Чтобы
было
как
можно
максимизировать функционал:
m n
  aij xij  max
большее
паросочетание,
надо
(4)
i 1 j 1
Запись задачи состоит из оптимизируемого линейного
функционала и нескольких условий (называемых ограничениями),
которые линейны, как (2) или (3). Такая задача называется
задачей линейного программирования.
Для решения задачи о наибольшем паросочетании применяется
метод чередующихся (или удлиняющихся) цепей. Пусть J паросочетание в двудольном графе G. Цепь, в которую поочередно
входят ребра из J и не из J назовем чередующейся
(удлиняющейся) относительно J.
По определению, цепь, состоящая из одного ребра, тоже
чередующаяся. Вершины, инцидентные ребрам из J назовем
насыщенными, а прочие - ненасыщенными. Очевидно, что
если в графе существует чередующаяся относительно J цепь с
ненасыщенными концевыми вершинами, то в ней ребер, не
принадлежащих
паросочетанию,
на
одно
больше,
чем
принадлежащих.
Если цепь «перекрасить», т. е. сделать все жирные ребра
тонкими, а тонкие - жирными, то число жирных ребер, а,
следовательно, и паросочетание, увеличатся на одно ребро.
Чередующаяся относительно J цепь с ненасыщенными концевыми
вершинами называется увеличивающей относительно J цепью.
Теорема 1.
Паросочетание J является наибольшим тогда и только тогда,
когда нет увеличивающих относительно J цепей.
Доказательство.
Необходимость очевидна, а достаточность докажем от
противного. Пусть увеличивающихся относительно J цепей нет, а
большее, чем J, паросочетание Jо есть.
Рассмотрим граф Н, состоящий из ребер, входящих или в J, или
в Jо, но не в оба вместе. Вообще, Н — необязательно связный, и в
нем ребер из Jо больше, чем ребер из J. Любая вершина H
инцидентна самое большее одному ребру из J и одному из Jо.
Связная компонента из
1. циклом;
2. цепью, у которой
3. цепью, у которой
4. цепью, у которой
Н может быть:
одно концевое ребро из J, а второе из Jо;
оба концевых ребра из J;
оба концевых ребра принадлежат Jо.
Цикл в двудольном графе, очевидно, имеет четное число ребер,
значит, в случае (1) число ребер из J равно числу ребер из Jо. То
же соотношение верно для случая (2), а в случае (3) ребер из J
больше, чем ребер из Jо. Но в графе Н ребер из Jо больше, чем из
J, поэтому обязательно должен быть случай (4). Но цепь в этом
случае является увеличивающей относительно J, что даст
противоречие, доказывающее теорему.
Теорема
наибольшего
алгоритм, мы
всех вершин
вершины.
1 служит основой для алгоритма нахождения
паросочетания. Но прежде, чем описывать этот
выделим вспомогательный алгоритм перечисления
ориентированного графа, достижимых из данной
В алгоритме данная вершина - s, результат (в виде номера
предыдущей вершины на пути достижения) записывается в массиве
Р из n чисел, где n - количество вершин графа; еще используются
рабочие массив boolean R (из n элементов) и очередь
обрабатываемых элементов Q.
Алгоритм 1:
Перечисление вершин орграфа, достижимых из s
1. (инициализация): prev:= s, для i = 1,…,n все R[i]:=false,
P[i] := -1.
2.
(общий шаг):
2.1. в цикле рассмотрим все вершины k в орграфе,
непосредственно следующие за prev. Если для вершины
k R[k] = false, то enqueue(Q,k); P[k] := prev; R[k] :=
true.
2.2. Если Q != , то prev = dequeue (Q); перейти к 2.1.
3.
(завершение): выдача Р, конец.
Рассмотрим пример:
(дан ориентированный граф, найти все вершины, достижимые
из s=1)
шаг 1 : все P и R равны -1 и false; prev := 1; Q := 
шаг 2.1 : Q = {2}
P = (-1, 1,-1, …)
R = (f, t, f,…)
шаг 2.2 : Q = {} prev = 2;
шаг 2.1 : Q ={3, 4}
P = (-1, 1, 2, 2, -1, -1, -1)
R = (f, t, t, t, f,…)
(вершины 3 и 4 включены в рабочую зону Q, в P
отмечено, что они достижимы из 2, в R мы отмечаем, что
их уже посетили )
шаг 2.2: Q = {4} prev = 3
шаг 2.1: Q = {4}
P = (-1,1,2,2,-1,-1,-1)
R – не изменился, т.к. после рассмотрения вершины 3
множество достижимых вершин не изменилось
шаг 2.2: Q = {5} prev = 4
шаг 2 : Q = {5}
P = (-1,1,2,2,4,-1,-1)
R[5] = true (мы достигли 5-ой вершины)
шаг 2 : Q = {}
P = (-1,1,2,2,4,-1,-1)
новых достижимых вершин нет
шаг 3 : завершение
Массив Р можно «раскрутить» и узнать, по какому пути
(кратчайшему по числу шагов) достижима каждая вершина.
Скажем, массив Р показывает, что вершина 5 достижима из 4,
4 из 2, 2 из 1, т.е. существует путь [1,2,4,5].
Теперь
вернемся
к
описанию
наибольшего паросочетания.
алгоритма
нахождения
Пусть I={1,2,...,m} - номера верхних вершин, а K={1,2,...,n} - номера нижних. Вначале все вершины ненасыщенные. Для
построения начального паросочетания применим «жадный»
алгоритм; будем просматривать по очереди вершины из I, если из
i  I ведут ребра в ненасыщенные вершины из K будем жадно
хватать и вводить в паросочетание первое попавшееся ребро, не
думая о последствиях.
Далее, преобразуем двудольный граф В в ориентированный
граф В’, введя ориентацию следующим образом:
все ребра, вошедшие в J, ориентируем снизу вверх, т.е. из K
в I, а остальные ребра сверху вниз, т.е. из I в K.
Пусть I = I+  I-, K = K+  K-, где минус означает подмножество
ненасыщенных ребер, а плюс — насыщенных. Очевидно, что
увеличивающая относительно паросочетания J цепь существует в
графе В тогда и только тогда, когда в графе B’ существует путь из
s в t, где s  I-, t  K-.
Алгоритм 2:
построение наибольшего паросочетания
1. (инициализация):
1.1. Построение начального J (производится описанным
выше «жадным» алгоритмом).
1.2. Построение ориентированного графа В (описано
выше).
2. (общий шаг):
2.1. В цикле по i  I- применить алгоритм 1 нахождения
всех вершин В, достижимых из вершины I-. Если среди
достижимых вершин окажется вершина koK-,то (i,...,kо)
есть увеличивающая относительно J цепь в графе B.
Увеличить J и перейти к 1.2.
3. (завершение): выдача J, конец.
Посмотрим на примере построение паросочетания. Рассмотрим
граф, приведенный ниже на рисунке.
Для построение начального парсочетания будет применять
жадный алгоритм, а затем введем ориентацию.
На рисунке I-={4}. Из вершины 4 в графе В’ достижимы
вершины 1', 2, 3, 4' и 4'. Вершина 4‘  K-. Строится путь [4, 3', 3,
1', 2, 4']. В соответствующей увеличивающей цепи в графе В
меняется цвет ребер. Полученное наибольшее паросочетание
показано на следующем рисунке.
Список используемой литературы:
1. И.В.Романовский “Дискретный анализ”
2. Т.Кормен, Ч.Лейзерсон, Р.Ривест “Алгоритмы построение и
анализ”
3. В.М.Бондарев, В.И.Рублинецкий, Е.Г.Качко “Основы
программирования”