Transcript Biomechanika

Biomechanika przepływów
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
Zastrzeżenie
Niektóre materiały graficzne zamieszczone w tym dokumencie oraz w łączach zewnętrznych mogą być chronione prawem autorskim i jako takie są
przeznaczone jedynie do użytku wewnętrznego na WIChiP PW dla celów edukacyjnych
Disclaimer
Selected graphics in this document and external links can be copyright protected, and as such they are intended only for educational use at WIChiP PW
Materiały wykładowe opracowane w ramach projektu „Program Rozwojowy Politechniki Warszawskiej” współfinansowanego ze środków Unii Europejskiej
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
Czym jest biomechanika ?
BIO
Mechanika
BIO odnosi się do otaczającego nas świata biologicznego
Mechanika jest natomiast nauką obejmującą opis ruchu wszelkiego rodzaju cząstek i układów
ciągłych uwzględniając: kwanty, atomy, cząstki, gazy ciecze , ciała stałe , układy kompozytowe,
planety , gwiazdy . W ogólnym znaczeniu jest to nauka stosowana do opisu
układów dynamicznych
Świat biologiczny jest naturalną częścią świata fizycznego otaczającego nas i w sposób
naturalny jest obiektem dociekań mechaniki
Biomechanika stara się opisać mechanikę układów ożywionych
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
W przypadku organizmów żywych biomechanika pozwala :
• na zrozumienie ich normalnego funkcjonowania
• przewidzieć następujące zmiany w procesie starzenia się
• zaproponować metody ewentualnej medycznej interwencji
nauki związane z biomechaniką:
diagnostyka
chirurgia
protetyka
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
Rys historyczny
Najwcześniejsze opracowania wykorzystujące koncepcje biomechaniki:
„On the parts of Animals” - Aristoteles (384 – 322 B. C.) Grecja
wyczerpujący opis anatomii i funkcji narządów wewnętrznych
„Internal Clasics” – autor nieznany ( 472 – 221 B. C. ) Chiny
opis przepływu krwi w układzie krwionośnym człowieka
Nazwiska uczonych którzy wnieśli wiele do biomechaniki:
Galileo Galilei (1564 – 1642)
Isaac Newton(1642 – 1727)
Wiliam Harvey (1578 – 1658)
Leonhard Euler(1707 – 1783)
Rene Descartes (1596 – 1658)
Thomas Young (1773 – 1829)
Robert Boyle (1627 – 1691)
Jean Poseuille (1797 – 1869)
Robert Hooke (1635 – 1703)
Adolf Fick(1829 – 1901)
Herrmann von Helmholtz (1821 - 1894)
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
Stosowana metodyka opisu zjawisk
Opis zjawisk w biomechanice sprowadza się do następujących punktów:
Badanie i poznanie morfologii organizmu, anatomii organów, histologii tkanek, struktury
materiałów je budujących
Określenie mechanicznych właściwości materiałów lub tkanek
(Bardzo trudne!!!!)
Bazując na fundamentalnych prawach fizyki (zachowanie masy , pędu i energii ) i równaniach
konstytutywnych badanych materiałów, wyprowadzenie równań (różniczkowych bądź
całkowych) opisujących dany proces
zrozumienie środowiska w którym dany organ się znajduje w celu określenia prawidłowych
warunków brzegowych dla zagadnienia.
Rozwiązanie równań różniczkowych z odpowiednimi warunkami brzegowymi , analityczne
bądź numeryczne
Przeprowadzenie eksperymentu fizjologicznego który będzie sprawdzeniem otrzymanego
rozwiązania.
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
Porównanie wyników eksperymentu z wynikami otrzymanymi z modelu
teoretycznego. Pozwala określić czy założenia przyjęte podczas tworzenia modelu są słuszne.
Jeżeli tak pozwala to również znaleźć wartości numeryczne stałych w równaniach
konstytutywnych
Stosowane narzędzia:
Zagadnienia
Narzędzia
Geometria
Morfometria, histologia,
computer automation
Materiały
Biochemia, mechanika
molekularna
Biologia
Biologia komórki,
farmakologia, immunologia,
genetyka
Właściwości mechaniczne
Równania konstytutywne
Podstawowe zależności
Fizyka, chemia, biologia
Medycyna
Inżynieria tkankowa
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
Geometria
Musimy poznać kształt i wymiary organów, strukturę tkanek oraz ich skład.
W przypadku tkanek miękkich musimy wiedzieć o właściwościach , rozkładzie
włókiem kolagenowych i elastynowych. W przypadku komórek mięśni gładkich
Musimy poznać ich wymiary i orientacje przestrzenną . W przypadku komórek
interesuje nas grubość błony komórkowej itd..
Aby uzyskać te wszystkie parametry musimy korzystać z podstawowych narzędzi anatomii
i histologii matematyki i dziedzin pokrewnych !!!!!
Mikroskopy optyczne
Mikroskopy skaningowe
Teoria morfometrii
Teoria grup
topologia
geometria fraktalna
Mikroskopy konfokalne
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
Materiały
Musimy zrozumieć i poznać strukturę
materiałów biologicznych
Chemia polimerów
chemia
biochemia
Biologia molekulerna
chromatografia
Zdjęcia Rentgenowskie
Magnetyczny Rezonans Jądrowy
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
Czynnik biologiczny
Musimy poznać biologiczne właściwości komórek i tkanek.
Poziom enzymów
Czynniki wzrostu
Farmakologia
Poziom toksyn
Immunologia
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
Wprowadzenie do mechaniki klasycznej
Prototypy teorii sprężystości i lepko-sprężystości
Po raz pierwszy pojęcie sprężystości zostało sformułowane w 1676 roku przez
Roberta Hooke`a (1635 – 1703)
Prawo Hooke`a jest prawem konstytutywnym dla materiałów liniowo sprężystych,
lub inaczej mówiąc dla materiałów podlegających prawu Hooke`a.
Precyzyjne brzmienie Prawa Hooke`a można uzyskać na dwa sposoby:
Rozważając zależności obciążenie – przemieszczenie dla „sprężyny”
Napisaniu odpowiedniego równania tensorowego wiążącego
naprężenia z odkształceniami.
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
Rozważmy ciało stałe pod działaniem sił zewnętrznych w stanie równowagi statycznej:
Załóżmy, że ciało podparte jest tak iż co najmniej
trzy jego punkty są nieruchome w przestrzeni
opisanej przez prostokątny kartezjański układ
współrzędnych. Przyjmiemy trzy podstawowe
hipotezy dotyczące własności badanego ciała:
(H1) Ciało ma strukturę ciągłą i zachowuje ją,
będąc pod działaniem sił zewnętrznych. Tzn. że
materiał z którego zbudowane jest ciało jest
OŚRODKIEM CIĄGŁYM
Rozważmy działanie sił na ciało. Niech każda ma ustalony kierunek i punkt przyłożenia i
niech wielkości wszystkich sił wzrastają lub maleją jednocześnie, pozostając względem siebie
w stałym stosunku. Pod działaniem tego układu sił ciało doznaje odkształceń. Niech
przemieszczenie dowolnego punktu w dowolnym kierunku mierzone będzie w nieruchomym
układzie współrzędnych związanym z podporami.
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
(H2) Prawo Hooke`a :
u  a1 P1  a 2 P 2  ...  a n Pn
(1.1)
gdzie a są stałymi niezależnymi od wielkości sił ale zależnymi od położenia punktu, w
którym mierzona jest składowa przemieszczenia oraz kierunków i punktów przyłożenia
poszczególnych sił danego obciążenia.
(H3) Istnieje jednoznaczny, beznapięciowy stan ciała stałego, do którego badane ciało
sprężyste powraca ilekroć zostają usunięte siły zwenetrzne.
Ciała spełniające wszystkie trzy hipotezy nazywamy ciałami stałymi liniowo sprężystymi
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
Z tych założeń można wyciągnąć szereg wniosków. Oto kilka najważniejszych:
(A) Zasada superpozycji dla obciążeń działających w tym samym punkcie. Niech P1 i P1` będą
siłami działającymi w tym samym kierunku i przyłożonymi do jednego i tego samego punktu
ciała. Wówczas wypadkowe przemieszczenie u jest równe sumie przemieszczeń wywołanych
siłami P1` i P1 działającymi oddzielnie niezależnie od kolejności ich działania.
(B) Zasada superpozycji. Korzystając z hipotez (H2) i (H3) można wykazać iż wzór 1.1 jest
słuszny nie tylko dla układów sił, które w trakcie odkształcania się ciała, pozostają względem
siebie w stałym stosunku, lecz dla zupełnie dowolnego układu obciążeń.
(C) Jednoznaczność całkowitej pracy wykonanej przez siły działające na ciało. Można
wykazać że, całkowita praca wykonana przez dany układ sił jest niezależna od kolejności
w jakiej siły działają na dane ciało.
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
(D) Zasada wzajemności współczynników wpływowych Maxwella.
Niech P1 i P2 oznaczają dowolne siły działające odpowiednio w punktach 1 i 2. Niech
przemieszczenie w punkcie 3 będzie mierzone w pewnym wyróżnionym kierunku. Jeśli
P1 działa osobno, w punkcie 3 zachodzi przemieszczenie:
u 3  c 31 P1
Jeśli P2 działa osobno to w punkcie 3 zachodzi przemieszczenie : u 3  c 32 P2
Jeśli P1 i P2 działają równocześnie to:
u 3  c 31 P2  c 32 P2
`
`
łatwo wykazać że: c `  c
31
31
c 32  c 32
`
Stałe noszą nazwę współczynników wpływowych
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
Współczynniki wpływowe dla odpowiadających sobie sił i przemieszczeń są symetryczne:
c ij  c ji
(1.2)
czyli: przemieszczenie w punkcie i wywołane jednostkową siłą działająca w punkcie j jest
równe przemieszczeniu w punkcie j wywołanemu jednostkową siłą w punkcie i, o ile w
każdym punkcie przemieszczenia i siły są mierzone w tym samym kierunku.
u 2  c 21 P1
dla danej belki zachodzi zależność c 21  c12
u 1  c12 P2
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
(E) Zasada wzajemności przemieszczeń Bettiego – Rayleigha.
Przypuśćmy, że dany układ obciążeń P1, P2,… Pn wywołuje w danym ciele odpowiadający
mu układ przemieszczeń u1,u2,…,un . Przypuśćmy, że inny układ obciążeń P1`, P2`,…, Pn`
o tych samych punktach przyłożenia i kierunku działania co i pierwszy wywołuje w ciele
odpowiadający mu układ przemieszczeń u1`,u2`,…,un`. Zasada wzajemności przemieszczeń
głosi, iż:
P1u 1  P2 u 2  ...  Pn u n  P1 u 1  P2 u 2  ...  Pn u n
`
`
`
`
`
`
(1.3)
w liniowym układzie sprężystym praca sił danego układu na przemieszczeniach wywołanych
przez inny układ sił, jest równa pracy tego innego układu sił na przemieszczeniach
wywołanych przez dany układ.
Zasada wzajemności w postaci (1.3) może być uogólniona na momenty i kąty obrotu
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
(F) Energia odkształcenia.
Jeżeli ciało jest izolowane termicznie i zmiana jego wymiarów liniowych pod wpływem
temperatury nie jest brana pod uwagę, pierwsze prawo termodynamiki stwierdza, iż praca
wykonana przez siły zewnętrzne w określonym czasie jest równa przyrostowi
energii kinetycznej oraz energii wewnętrznej w tym czasie. Jeżeli proces jest na tyle wolny
,że przyrost energii kinetycznej można zaniedbać, to praca wykonana przez siły zewnętrzne
jest równa zmianie energii wewnętrznej. Traktując energię wewnętrzną za równą zeru w
stanie nieobciążonym, będziemy nazywali nagromadzoną energię energią odkształcenia U.
U 
1
n
n

2
i 1
j 1
c ij Pi P j 
1
n

2
i 1
c ii Pi 
2
c
ij
Pi P j
(1.4)
i j
Energia odkształcenia w ciele liniowo sprężystym nie zależy od porządku w jakim dane siły
zewnętrzne działają na ciało.
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
Różniczkując (1.4) względem Pi otrzymujemy:
U
 Pi
 c ii Pi 
c
ij
Pj
(1.5)
i j
Korzystając z (1.1) otrzymujemy :
U
 Pi
(G) Twierdzenie Castigliana:
 ui
(1.6)
Jeśli układ sił P1,…Pn działa na ciało idealnie sprężyste i energia odkształcenia wyrażona jest
jako funkcja układu sił P1, …,Pn wówczas pochodna cząstkowa energii odkształcenia
względem danej siły jest równa odpowiadającemu tej sile przemieszczeniu w punkcie
przyłożenia danej siły.
WYKŁAD 1 : WPROWADZENIE DO BIOMECHANIKI
(H) Zasada prac przygotowanych
Dla ciała będącego w stanie równowagi pod działaniem układu sił, można wykazać, że
o ile energia odkształcenia wyraża się jako funkcja przemieszczeń odpowiadających tym
siłom, to:
U
ui
 Pi
(1.6)