Transcript Kombinatorika - WordPress.com

Kombinatorika
Izlases un to sakārtošana
M.Bērente
Izdarot izvēli, piemēram- iet uz skolu vai pie drauga, vai skatīties basketbola spēli,…. Mēs
ne vienmēr aizdomājamies- cik izvēles iespēju mums katrā dzīves situācijā ir.
Pirmie kombinatorikas likumi nosaka, kā aprēķināt konkrētās situācijas piedāvājumu
skaitu.
Ja kafejnīca piedāvā 5 picu 3
spageti veidus, tad kopā ir
……………dažādas
iespējas
8
paēst.
Ja mājās jāpilda 2 uzdevumi
matemātikā un 3 piemēri latviešu
valodā, tad pavisam ir …………
5
izvēles iespējas, ar ko sākt
mācīties.
Tas ir saskaitīšanas
likums.
M.Bērente
Cik dažādos veidos no punkta A var nonākt punktā B
A
B
A
B
Uzdevumi risināšanai
M.Bērente


Grozā atrodas 4
āboli, 5 bumbieri
un 7 apelsīni. Cik
veidos no groza var
paņemt vienu
augli?
Lasītavā tiek
piedāvāti 8 dažādi
žurnāli un 6 dažādi
laikraksti. Cik
veidos var
izvēlēties vienu
preses izdevumu
lasīšanai?

Grupā ir 28
audzēkņi; no tiem
12 meitenes. Cik
veidos var
izvēlēties:
◦ vienu zēnu;
◦ vienu zēnu vai
vienu meiteni?
Uzdevumi risināšanai
M.Bērente
Dažkārt izvēle sastāv no vairākiem soļiem: dienas plānojums, piemēram, vai apģērba izvēle, vai
…..
Šādu izvēļu skaitu vieglāk zīmēt t.s. «koka» veidā.
Ja pārī jāsakārto Jānis, Mikus ar Ilzi, Annu, Līvu , tad pavisam
ir ……………..
iespējas
6
Ilze
Jānis
Anna
Līva
Ilze
Mikus
Tas ir
reizināšanas
likums.
Anna
Līva
M.Bērente
Cik dažādos veidos no punkta A var nonākt punktā B
A
C
B
Uzdevumi risināšanai
M.Bērente


Cik veidos var
izvēlēties
pusdienas ēdnīcā,
ja tiek piedāvāti 3
veidu salāti, 2
veidu otrie ēdieni
un saldējums.
Cik trīsciparu
skaitļu var
uzrakstīt ar
cipariem 2; 4; 6, ja
tie neatkārtojas?

Cik dažādu
trīsciparu skaitļu
var izveidot no
cipariem 3; 5; 6, ja
cipari
◦ neatkārtojas;
◦ atkārtojas;
◦ neatkārtojas un
skaitlis ir pāra?
Uzdevumi risināšanai
M.Bērente


UZDEVUMUS, KURU RISINĀŠANAI IZMANTO
REIZINĀŠANAS LIKUMU, VAR PIERAKSTĪT ARĪ
TABULAS VEIDĀ.
Uzdevums- cik trīsciparu skaitļu var izveidot no
cipariem 3; 4; 6; 8;9, ja cipari neatkārtojas?
◦ Doti 5 dažādi cipari. Ja pirmā cipara vietā var ierakstīt vienu no
šiem 5 cipariem
1.cipars
2.cipars
3.cipars
5
4
3
◦ Tad otrajā vietā var ierakstīt vienu no atlikušajiem 4 cipariem
◦ Trešajai vietai paliks viens no 3 cipariem.
◦ Pavisam var uzrakstīt 5x4x3=60 dažādus trīsciparu skaitļus.
Reizināšanas likums
M.Bērente
Piemērā par mājas darbiem netika pievērsta uzmanība secībai,
kādā tos pildīt. Ir sakārtotas un nesakārtotas izlases.
Uzdevumā ar skaitļu veidošanu izlases atšķiras ar elementu
secību, tās ir sakārtotas :
Cik trīsciparu skaitļu var uzrakstīt, izmantojot ciparus 2, 4,
7, ja tie neatkārtojas?
1.cip.
2
2.cip. 3.cip.
4
7
7
4
4
2
7
7
2
7
4
2
2
4
Iegūst 6 dažādus
trīsciparu skaitļus.
Ja izlases no doto
elementu kopas atšķiras
tikai ar elementu secību,
tad tās sauc par
permutācijām,
apzīmē
Pn
M.Bērente
Kombinatorikas aprēķiniem
nepieciešams apgūt jaunu darbībusaīsinātu pierakstu naturāliem
reizinātājiem no 1 līdz nosauktajam
skaitlim
123n=n!
Piemērā ar skaitļu veidošanu rezultātu
6= 123= 3!
Faktoriāls
M.Bērente
8! 7  8

 56 28!
1
1
6!
1


30! 29  30 870
5!-4!=4!(5-1)=4!4=1 2 3 4 4=96
Darbības ar faktoriāliem
M.Bērente
10!

12!
16!

10!4!
8!6!

7!
12!20!

19!11!
Darbības ar
faktoriāliem
M.Bērente
No elementu kopas veido arī mazākas izlases, t.i.- izvēlas
noteikta veida, skaita elementus.
Cik veidos var izvēlēties 2 skolēnus referāta
gatavošanai, ja klasē ir 34 skolēni?
Var, protams, meklēt atbildi
zīmējot:
1.skolēns
2.skolēns



33 skolēni
32 skolēni,
jo ar Nr.1
pāris jau
izveidots
Izlase ir
nesakārtota, jo
netiek sadalīti
pienākumi- tādas
izlases sauc par
kombinācijām
Ilgi un garlaicīgi, tātad- ir formula.
M.Bērente
Kombinācijasnesakārtotas
izlases
FORMULA
k
Cn
n!

k! (n  k )!
Dotā piemēra atrisinājums ir:
34!
34!
C 


2!(34  2)! 2!32!
33  34 33 17


 561
1 2
1
2
34
M.Bērente
C 
3
12
C 
4
16
C 
5
20
C 
3
8
Kombināciju formula
M.Bērente
No elementu kopas veido arī izlases (izvēlas noteikta
veida, skaita elementus), kuras sakārto- sakārtotas
izlases.
Cik veidos var izvēlēties 2 skolēnus klases
vakara organizatora un kasiera amatiem, ja
klasē ir 34 skolēni?
1.organizators
2.organizators



33 kasieri
33 kasieri, jo
1.organizators
otrajā pārī var
būt par kasieri
Sakārtota
izlasevariācijas.
M.Bērente
Sakārtota izlasevariācijas.
FORMULA
Atrisinājums:
2
A 34
k
An
n!

(n  k )!
34!
34! 33  34



 1122
( 34  2)! 32!
1
P.S. Ne vienmēr atbildē iegūs 2 reizes lielāku skaitli,
salīdzinot ar nesakārtotu izlasi. Rezultāts atkarīgs no
izlases apjoma.
M.Bērente
A 
3
12
A 
4
16
A 
5
20
A 
3
8
Variāciju formula
M.Bērente