Transcript 微積分基本定理的應用(101暑期資訊式教學觀摩)x

微積分基本定理的應用
格致中學101學年度暑期資訊式教學觀摩
時
間：2012年7月4日(三) 1330～1420
地
點：111 教室
主 講 人：數學科 黃俊誠
摘要
表面上看來，一個函數的微分和積分所涉及的兩個極限
推移過程似乎毫不相干，但卻有密切的關係。其實它們就像
加法與減法或乘法與除法的運算，兩者互逆於對方。單獨的
微分學和積分學是不存在的，有的只是單獨一個的微積分。
牛頓和萊布尼茲率先開發出微積分基本定理，來幫助此
新的數學分析方法有一個巨大的發展。
【微積分基本定理】
基本定理一
x
設 f ( x) 在 [ a, b] 上連續, 若令 F ( x)   f (t )dt , a  x  b
a
則 F ( x) 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微分,
d x
且 F ( x) 
f (t )dt  f ( x)

dx a
基本定理二
設 f ( x) 在 [a, b] 上連續, 若 F ( x) 是 f ( x) 任意的一個
b
反導函數, 即 F ( x)  f ( x), 則  f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
基本定理一：(將F(x)視為面積函數)
因為 F ( x  h)  F ( x)  
xh
a
x
x h
a
x
f (t )dt   f (t )dt  
f (t )dt
設 h  0, 且 f ( x) 在 [ x, x  h] 上滿足 m  f ( x)  M
F ( x  h)  F ( x )
則 mh  F ( x  h)  F ( x)  Mh, 即 m 
M
h
基本定理一：(將F(x)視為面積函數)
因為 f ( x) 在 [a, b] 上連續,
當 h  0 時, m  f ( x), M  f ( x)
F ( x  h)  F ( x )
由夾擠定理可知 lim
 f ( x) 。
h 0
h
當 h  0 時, 可得到相同的結論,
d x
所以 F ( x) 在 (a, b) 上可微分, 且 F ( x)   f (t )dt  f ( x) 。
dx a
基本定理二：(將G(x)視為 f (x)的原函數)
x
令 G( x)   f (t )dt , a  x  b, 則由(1)可知 G( x)  f ( x),
a
因為 F ( x), G( x) 在 [a, b] 上連續, 且 G( x)  F ( x),
則 G ( x)  F ( x)  c, c 為常數。
a
因為 G(a)   f (t )dt  0, 則 0  F (a)  c  c   F (a),
a
b
得 G( x)  F ( x)  F (a), 即 G(b)   f (t )dt  F (b)  F (a) 。
a
練習(1)：(101大學指考數甲單選1)
令 f ( x)  x( x  1)( x 3  2), 試問有多少個實數 a
滿足

a
0
(1) 1個
f ( x)dx  0 ？
(2) 2個
(3) 3個
(4) 4個
(5) 5個
利用微積分基本定理：
得 f (a)  f (0)  0, 即 a(a  1)(a 3  2)  0,
又 a 為實數, 所以 a  0,1, 3 2, 答案選(3) 。
練習(2)：(100四技二專統測數學C單選19)
設 f ( x)  2 x  1, 且 f ( x) 為 f ( x) 的二階導函數,
5
則  f ( x)dx ？
1
2
(A)
3
1
(B)
3
1
(C)
3
2
(D)
3
利用微積分基本定理：
1
,
2x 1
1
2
f ( x)dx  f (5)  f (1)   1   , 答案選(A) 。
3
3
因為 f ( x) 

5
1
2

2 2x 1
練習(3)：(101新北市國中聯合教甄單選40)
若 f ( x)  x ln(4  x), 則定積分
5
(A)  ln 3
(B) ln 3
(C) 2ln 3

3
1
f ( x)dx ？
(D) 3ln 3
利用微積分基本定理：
得定積分  f (3)  f (1)  35 ln(4  3)  15 ln(4  1)   ln 3
答案選(A) 。
課程結束
敬請指教